立体几何中的最值问题专项训练-2025-2026学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

立体几何中的最值（范围）问题 方法提炼 立体几何中的最值问题解题策略 解决空间图形有关的线段、角、距离、面积、体积等最值问题,一般可以从三方面人手:一是从问题的几何特征入手,充分利用其几何性质来解决;二是利用空间几何体的侧面展开图来解决;三是找出问题中的代数关系,建立目标函数,利用代数方法求目标函数的最值。解题途径很多,在函数建成后,可利用一次函数的端点法,二次函数的配方法、公式法,函数有界法(如三角函数等)来解题。 【例1.】 如图，在四棱锥中，平面平面，底面是矩形，，，，点是的中点，则线段上的动点到直线的距离的最小值为（    ） A． B．2 C． D．3 【例2.】 如图，在直四棱柱中，，，，，． (1)求证：平面； (2)求平面与平面夹角的余弦值； (3)若为线段上的动点，求到直线距离的最小值． 【例3.】 已知正方体的棱长为3，点在上运动，点在棱上运动，上有一点满足，且，则动点到平面距离的最小值为 ． 【例4.】 如图，正方形ABCD和正方形ABEF的边长都是1，且它们所在的平面所成的二面角的大小是，M，N分别是AC，BF上的动点，且，则MN的最小值是 【例5.】 如图，在直三棱柱中，，，是线段的中点，在内有一动点（包括边界），则的最小值是（    ）． A． B． C． D． 【例6.】 已知正方体的边长为1，P为上的动点，S，T分别是面ABCD和面上的动点，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【例7.】 如图，在三棱锥中，，，是线段上的点． (1)求证：平面平面； (2)若为线段的中点，求直线与平面所成角的正弦值； (3)若平面，为垂足，直线与平面的交点为，当三棱锥体积最大时，求的长． 【例8.】 已知一圆锥的底面半径是1，高为，SA为该圆锥的一条母线，B，C是圆锥底面圆周上的两个动点，则直线SA与BC夹角的余弦值的最大值是（   ） A． B． C． D． 【例9.】 如图，在正方体中，M为线段的中点，N为线段上的动点，则直线与直线所成角的正弦值的最小值为（    ）      A． B． C． D． 【例10.】 在正方体中，点在上运动（包括端点），则与所成角的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【例11.】 （多选）如图，在棱长为1的正方体中，点P在线段上（含端点）运动，下列选项中正确的有（    ） A．线段长度的最大值是 B．点P到平面的距离是定值 C．直线与BD所成角的最小值是 D．直线与平面所成角的正弦值的取值范围是 【例12.】 如图，在四棱锥中，已知平面，且四边形为直角梯形，，，.点是线段上的动点，当直线与所成的角最小时，则线段的长为 【例13.】 在直三棱柱中，，，若点满足，其中，则直线与平面所成角的最大值为（    ） A． B． C． D． 【例14.】 在长方体中，，，是的中点，点在线段上，若直线与平面所成的角为，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【例15.】 如图，在正方体中，为棱上的一个动点，为棱上的一个动点，则平面与底面所成角的余弦值的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【例16.】 如图，在正方体中，点满足．设二面角的平面角为，则当增大时，的大小变化为（    ）    A．增大 B．减小 C．先增大后减小 D．先减小后增大 【例17.】 如图，在四棱锥中，，E是PB的中点． (1)求CE的长； (2)设二面角平面角的补角大小为，若，求平面PAD和平面PBC夹角余弦值的最小值． 【例18.】 如图，在四棱锥中，四边形是直角梯形，，，，，，是棱的中点． (1)证明：平面； (2)若，求平面与平面所成的锐二面角的余弦值的最大值． ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $$ 立体几何中的最值（范围）问题 方法提炼 立体几何中的最值问题解题策略 解决空间图形有关的线段、角、距离、面积、体积等最值问题,一般可以从三方面人手:一是从问题的几何特征入手,充分利用其几何性质来解决;二是利用空间几何体的侧面展开图来解决;三是找出问题中的代数关系,建立目标函数,利用代数方法求目标函数的最值。解题途径很多,在函数建成后,可利用一次函数的端点法,二次函数的配方法、公式法,函数有界法(如三角函数等)来解题。 【例1.】 如图，在四棱锥中，平面平面，底面是矩形，，，，点是的中点，则线段上的动点到直线的距离的最小值为（    ） A． B．2 C． D．3 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】面面垂直证线面垂直、点到直线距离的向量求法、线面垂直证明线线垂直 【分析】作出辅助线，得到线面垂直，进而得到线线垂直，建立空间直角坐标系，写出点的坐标，设，求出点到直线距离，求出最小值. 【详解】取的中点为，连接，，，因为，为的中点， 所以， 又平面平面，平面平面，平面， 所以⊥平面， 因为平面， 所以， 又底面是矩形，所以， 以点为原点，，，所在直线分别为，，轴建立空间直角坐标系如图所示， 由，，，得， 所以，，， 则，设， 则，， ， ， 因此点到直线的距离 ， 故当时，取最小值， 即线段上的动点到直线的距离的最小值为． 故选：C． 【例2.】 如图，在直四棱柱中，，，，，． (1)求证：平面； (2)求平面与平面夹角的余弦值； (3)若为线段上的动点，求到直线距离的最小值． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【难度】0.65 【知识点】证明线面垂直、面面角的向量求法、点到直线距离的向量求法 【分析】（1）由直棱柱的性质可得，再结合，可证得平面，则，然后根据已知的条件可得∽，从而可证得，进而可得，最后利用线面垂直的判定定理可证得结论； （2）由题意可证得，，，所以以为原点，，，所在直线分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，分别求出平面与平面的法向量，从而利用向量的夹角公式可求得结果； （3）设，则表示出点的坐标，从而可表示出的坐标，然后表示出到直线的距离，化简可求出其最小值. 【详解】（1）证明：由直四棱柱知底面， 因为平面，所以， 又，，，平面， 所以平面， 因为平面，所以． 因为，，， 所以，， 所以∽，所以， 因为，所以，所以， 又，，平面，所以平面． （2）解：因为底面，平面， 所以， 因为，所以，，两两垂直， 所以以为原点，，，所在直线分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系如图所示， 则，，，，，， 由（1）知，为平面的一个法向量． 设为平面的一个法向量， 因为，， 所以，即，令，可得． 所以， 所以平面与平面夹角的余弦值为． （3）解：设，， 则，， 设到直线的距离为，则 ， 所以当时，，即到直线距离的最小值为． 【例3.】 已知正方体的棱长为3，点在上运动，点在棱上运动，上有一点满足，且，则动点到平面距离的最小值为 ． 【答案】 【难度】0.4 【知识点】点到平面距离的向量求法 【分析】建立空间直角坐标系，计算证得线面垂直，得是平面的一个法向量．设到平面距离为，根据公式计算距离，设，结合辅角公式计算最值. 【详解】如图所示，以为原点，所在直线分别为轴、轴、轴建立空间直角坐标系， 所以， 则，，，即， 连接，因为，所以， 则，， ，又，平面， 所以平面， 则是平面的一个法向量， 设到平面距离为，则， 由上可设， 则，其中， 故动点到平面距离的最小值为. 故答案为：. 【例4.】 如图，正方形ABCD和正方形ABEF的边长都是1，且它们所在的平面所成的二面角的大小是，M，N分别是AC，BF上的动点，且，则MN的最小值是 【答案】/0.5 【难度】0.65 【知识点】求二次函数的值域或最值、异面直线距离的向量求法 【分析】利用二面角的定义证得就是二面角的平面角，即为，再利用空间向量将的长转化为的模求解，利用空间向量的线性运算和数量积、一元二次函数的图象与性质运算即可得解. 【详解】连接，如下图，     由题意，，，正方形中， 正方形中，平面，平面， 平面平面， ∴就是二面角的平面角，则， ∴向量与向量夹角为，且，， 设，，，则， 且由题意， ∴， ， ∴， 令，，图象开口向上，且对称轴为， ∴当时，取得最小值， 即最小值为， ∴的最小值是. 故答案为：. 【例5.】 如图，在直三棱柱中，，，是线段的中点，在内有一动点（包括边界），则的最小值是（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.4 【知识点】空间向量的坐标运算、空间向量模长的坐标表示、求平面的法向量、点到平面距离的向量求法 【分析】建立适当的空间直角坐标系，因为位于的同侧，设关于平面的对称点为，根据求解. 【详解】以为原点，所在直线为轴，过点且平行于的直线为轴，所在直线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，，， 所以，，． 设A关于平面的对称点为，， 则，． 设平面的法向量，则， 令，则，，所以， 所以A与到平面的距离， 即        ①． 又，所以，即        ②． 由①②得，由可得，，， 所以， 所以， 当且仅当，，三点共线时取等号， 所以的最小值为． 故选：C. 【例6.】 已知正方体的边长为1，P为上的动点，S，T分别是面ABCD和面上的动点，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】异面直线距离的向量求法 【分析】根据题意，分别作关于面ABCD和面对称的直线，点对称后为，以为原点建立空间直角坐标系，由，故的最小值为异面直线的距离，再利用空间向量法求异面直线距离距离即可. 【详解】根据题意，分别作关于面ABCD和面对称的直线， 点对称后为，以为原点建立空间直角坐标系， ， 又是异面直线上的点， 所以的最小值为异面直线的距离， ， ， 设与直线都垂直的一个向量， 则，不妨取，， 所以异面直线的距离. 故选：C. 【例7.】 如图，在三棱锥中，，，是线段上的点． (1)求证：平面平面； (2)若为线段的中点，求直线与平面所成角的正弦值； (3)若平面，为垂足，直线与平面的交点为，当三棱锥体积最大时，求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【难度】0.65 【知识点】锥体体积的有关计算、证明面面垂直、线面角的向量求法、空间线段点的存在性问题 【分析】（1）取的中点，连接、，推导出平面，再利用面面垂直的判定定理可证得结论成立； （2）点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法可求得直线与平面所成角的正弦值； （3）设，设，根据空间向量的坐标运算求出点的坐标，将三棱锥的体积表示为关于的函数关系式，利用基本不等式求出三棱锥体积的最大值，利用等号成立的条件求出的值，可得出点、的坐标，求出平面的一个法向量，设，求出的坐标，根据求出的值，即可得解. 【详解】（1）取的中点，连接、， 因为，，则，   所以，所以，所以， 又因为，所以，则， 又因为，所以， 又因为，，、平面，所以平面， 又因为平面，所以平面平面. （2）因为平面，， 以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系，    则、、、， 当点为的中点时，，，，， 设平面的一个法向量为，则， 取，则， 所以，， 故当为的中点时，直线与平面所成角的正弦值为. （3）设，因为，其中， 所以，，可得，即点， 因为平面，则点，， ， 当且仅当时，即当时，等号成立， 故当点为线段的中点时，三棱锥的体积取最大值， 此时，点，    由（2）可知，此时，平面的一个法向量为， 设，其中， 则， 因为平面，则， 所以，，解得， 所以，，所以，即的长为. 【例8.】 已知一圆锥的底面半径是1，高为，SA为该圆锥的一条母线，B，C是圆锥底面圆周上的两个动点，则直线SA与BC夹角的余弦值的最大值是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】异面直线夹角的向量求法 【分析】根据题意建系，设出点B，C的坐标，利用空间向量的夹角公式和三角恒等变换将其化成关于余弦的绝对值函数，利用余弦函数的值域即可求得. 【详解】   如图，设圆锥的底面圆圆心为点，分别以直线所在直线为轴， 过点且与垂直的直线为轴建立空间直角坐标系. 依题意，因点B，C是圆锥底面圆周上的两个动点， 可设，其中， 则， 设直线SA与BC夹角为， 则 ， 因，故当时，取得最大值1，此时取得最大值. 故选：D. 【例9.】 如图，在正方体中，M为线段的中点，N为线段上的动点，则直线与直线所成角的正弦值的最小值为（    ）      A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】异面直线夹角的向量求法 【分析】建立空间直角坐标系，通过表示出点坐标，利用数量积求出夹角余弦值的范围，进而得出答案. 【详解】以D为原点建立如图所示的空间直角坐标系，    设正方体的棱长为2，    则， ，， 设得：， 所以， ， 由， 所以，当时，等号成立， 则，即异面直线与MN所成角的正弦值的最小值为. 故选：C. 【例10.】 在正方体中，点在上运动（包括端点），则与所成角的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】异面直线夹角的向量求法 【分析】建立空间直角坐标系，设，则，，利用，即可得出答案． 【详解】设与所成角为， 如图所示，不妨设， 则，，，， ，，． 设， 则，． 所以， 当时，，此时与所成角为， 当时，， 此时，当且仅当时等号成立， 因为在上单调递减，所以， 综上，． 故选：B． 【例11.】 （多选）如图，在棱长为1的正方体中，点P在线段上（含端点）运动，下列选项中正确的有（    ） A．线段长度的最大值是 B．点P到平面的距离是定值 C．直线与BD所成角的最小值是 D．直线与平面所成角的正弦值的取值范围是 【答案】ACD 【难度】0.65 【知识点】求点面距离、异面直线夹角的向量求法、线面角的向量求法、点到平面距离的向量求法 【分析】建立空间直角坐标系，设，且，利用空间两点间的距离通过求函数最大值即可判断A；由∥平面得到点P到平面的距离即为点到平面的距离，并通过等体积法求得距离可判断B；利用空间向量表示线线角、线面角并利用函数单调性求得最值或范围，从而判断CD. 【详解】如图，以为坐标原点，以所在的直线分别为轴建立空间直角坐标系，则 设，且. 对于A，， 当时，.故A正确； 对于B，正方体中，∥，平面，平面， 所以∥平面，因为，所以点P到平面的距离是等于点到平面的距离, 设到平面的距离为，由得，，得，故B不正确； 设，且. 对于C，，， 设直线与BD的所成角为， 则 令，则， 函数，在上单调递减，在上单调递增，所以 ，所以，故C正确； 对于D，设平面的法向量，则 取，得， 所以直线与平面所成角的正弦值为： 因为在上单调递增 ，故D正确 故选：ACD 【例12.】 如图，在四棱锥中，已知平面，且四边形为直角梯形，，，.点是线段上的动点，当直线与所成的角最小时，则线段的长为 【答案】 【难度】0.4 【知识点】异面直线夹角的向量求法、已知线线角求其他量、空间向量夹角余弦的坐标表示、求空间图形上的点的坐标 【分析】建立空间直角坐标系，求得相关点坐标，利用向量的夹角公式求出的最大值，从而确定Q点在上的位置，即可求得答案. 【详解】因为平面年，所以两两垂直, 以为正交基底，建立如图所示的空间直角坐标系， 则各点的坐标分别为, 因为,设， 又，则， 又，从 , 设 ， 则, 当且仅当，即时，的最大值为, 即直线与所成角的余弦值的最大值为， 而直线与所成角的范围为， 因为在上是减函数，故此时直线与所成角最小， 又因为，所以， 故答案为： 【例13.】 在直三棱柱中，，，若点满足，其中，则直线与平面所成角的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】线面角的向量求法 【分析】建立空间直角坐标系，利用空间向量法即可求线面角的正弦值. 【详解】分别取，中点，，则，即平面，连接，因为，所以，以为原点，分别以，，所在直线为，，轴建立如图所示的空间直角坐标系， 由已知，，，，，则，，因为，，，易知平面的一个法向量是， 设直线与平面所成角为，， 则， 所以时，，即的最大值是. 故选：B. 【例14.】 在长方体中，，，是的中点，点在线段上，若直线与平面所成的角为，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】线面角的向量求法 【分析】建立空间直角坐标系，设点，其中，利用空间向量法求出的取值范围. 【详解】以点为坐标原点，以、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系， 则、、、、， 设点，其中，则， ，， 设平面的法向量为， 则，取，可得， 所以，， 因为，则，则，则， 所以，，则. 故选：B. 【例15.】 如图，在正方体中，为棱上的一个动点，为棱上的一个动点，则平面与底面所成角的余弦值的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】面面角的向量求法 【分析】建立合适的空间直角坐标系，求出所需点的坐标和向量的坐标，然后利用待定系数法求出平面EFB的法向量，由向量的夹角公式求解二面角的余弦值的取值范围，由此判断求解即可． 【详解】 设平面与底面所成的二面角的平面角为θ，由图可得θ不为钝角. 以点D为坐标原点，建立空间直角坐标系如图所示， 则， 所以， 设平面的法向量为， 则，即， 令，则，故， 又底面的一个法向量为， 所以，因为， 则， 当时，， 当时，，当，， 则，，则， 则当时，分母取到最小值，此时， 当，时，则，此时， 综上， 故选：A. 【例16.】 如图，在正方体中，点满足．设二面角的平面角为，则当增大时，的大小变化为（    ）    A．增大 B．减小 C．先增大后减小 D．先减小后增大 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】面面角的向量求法 【分析】建立空间直角坐标系，求解平面法向量，即可根据向量夹角求解. 【详解】以为原点，所在直线分别为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系． 设，则， 所以，． 设平面的法向量为，则得 取． 连接，,,由于,故，,易得平面的一个法向量为，所以．因为，所以的值随着的增大而减小，则钝角随着的增大而增大．由图可知为钝角，所以随着的增大而增大． 故选：A    【例17.】 如图，在四棱锥中，，E是PB的中点． (1)求CE的长； (2)设二面角平面角的补角大小为，若，求平面PAD和平面PBC夹角余弦值的最小值． 【答案】(1) (2) 【难度】0.4 【知识点】平行公理、面面角的向量求法、二面角的概念及辨析、证明面面垂直 【分析】(1)由条件证明，解三角形求即可； (2)建立空间直角坐标系，求平面PAD和平面PBC的法向量，结合向量夹角公式求平面PAD和平面PBC夹角余弦值，利用换元法和二次函数性质求其最小值. 【详解】（1）取PA的中点G，连接DG，EG，如图所示： 则，且，， 所以四边形CDGE为平行四边形． 因为，所以为直角三角形，， 在中，因为，所以， 所以 所以CE的长为； （2）在平面ABCD内过点A作BC的平行线，交CD的延长线于点M，如图所示， 则，， 以点M为坐标原点，分别以MA，MC为x轴和y轴，以与平面垂直的直线为z轴，建立空间直角坐标系，取AD的中点为N，连接PN，MN，则，，平面，所以平面，平面， 所以平面平面，在平面PMN内过点P作，垂足为F， 因为平面平面，所以平面， 由已知可得，则，设． 因为，所以， 因为，，为线段的中点，所以， 所以， 所以， 所以． 设平面PAD的法向量， 则 令，则． 设平面的法向量， 因为， 则 令．则，所以为平面的一个法向量． 设平面PAD和平面PBC的夹角为， 则 ． 令，所以， 所以，所以当时，有最小值， 所以平面PAD和平面PBC夹角余弦值的最小值为． 【例18.】 如图，在四棱锥中，四边形是直角梯形，，，，，，是棱的中点． (1)证明：平面； (2)若，求平面与平面所成的锐二面角的余弦值的最大值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【难度】0.65 【知识点】面面角的向量求法、证明线面垂直、线面垂直证明线线垂直 【分析】（1）由线面垂直判定可证得平面，进而得到；利用勾股定理和线面垂直的判定得到平面，从而得到；利用勾股定理可证得，由此可得结论； （2）以为坐标原点建立空间直角坐标系，设，由二面角的向量求法可求得，结合二次函数的性质可求得的最大值. 【详解】（1）连接， ，，，又，， 为棱中点，，又，，平面， 平面，又平面，； 在直角梯形中，取中点，连接， ，，又，，， 四边形为正方形，，， ，又，，， ，平面，平面， 平面，； ，，，， 又，平面，平面. （2）以为坐标原点，正方向为轴，可建立如图所示空间直角坐标系， 设，则，，，，， ，，，； ，，； 设平面的法向量为， 则，令，解得：，， ； 轴平面，平面的一个法向量， 设平面与平面所成的锐二面角为， 则 当时，，， 即平面与平面所成的锐二面角余弦值的最大值为. 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