向量法解决立体几何中的存在性问题专项训练-2025-2026学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

向量法解决立体几何中的存在性问题 方法提炼 对于存在判断型问题的求解，在解答时，应先假设存在，再建立空间直角坐标系，设该点坐标，把要成立的结论当作条件，据此列方程(组)，把“是否存在”问题转化为“点的坐标是否有解，是否有规定范围内的解”等. 考法1：与平行关系有关的存在性问题 【例1.1.】 如图，在正三棱柱中，侧棱与底面边长均为2，点E，F分别为的中点，点D满足， (1)若直线与直线交于点G，求证：B，C，G三点共线； (2)线段上是否存在一点H，使得？若存在，请在图中找到点H，并证明，若不存在，请说明理由． 【例1.2.】 如图，在三棱锥中，是边长为2的正三角形.是边的中点，平面， . (1)在直线上是否存在一点，使得直线平面? (2)若平面平面，求直线与平面所成角的正弦值. 【例1.3.】 如图，在直三棱柱中，，四边形，均为正方形，点是线段的中点.在线段（不含端点）上是否存在点，使得平面？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.    【例1.4.】 如图四棱锥的底面是直角梯形，，，平面，点M是SA的中点，． (1)求证：平面； (2)求二面角的大小； (3)判断在线段SC上是否存在一点E，使得平面？若存在，确定E点的位置；若不存在，请说明理由． 考法2：与垂直关系有关的存在性问题 【例2.1.】 如图，在三棱柱中，底面，，，，为的中点， 为侧棱上的动点. (1)求证：平面平面； (2)试判断是否存在，使得直线.若存在，求的长；若不存在，请说明理由. 【例2.2.】 如图，在四棱锥中，平面平面，，，，，为的中点. (1)求平面与平面夹角的余弦值； (2)在棱上是否存在一点，使得？若存在，求的值；若不存在，请说明理由. 【例2.3.】 在四棱锥中，底面是边长为的正方形，平面底面，.点分别是棱的中点. (1)求证：； (2)设平面平面，求直线与平面所成角的余弦值； (3)若点分别是棱的中点，平面与棱的交点为，则在线段上是否存在一点，使得，若存在，求的长；若不存在，请说明理由. 【例2.4.】 已知正方体的棱长为3，分别为棱的中点，点是棱上靠近点的三等分点．    (1)已知是靠近的三等分点，求证：点在正方体过三点的截面上； (2)在线段上是否存在点，使得平面，若不存在，请说明理由；若存在，求出D1P的长度． (3)求正方体过三点的截面与平面的夹角的余弦值． 【例2.5.】 如图，直三棱柱中，，，分别为，的中点．    (1)求证：平面； (2)线段上是否存在点，使平面？若存在，求；若不存在，说明理由． 【例2.6.】 如图1，在中，，分别是上的点，且，将沿折起到的位置，使，如图2．直线上是否存在点，使平面与平面垂直？    【例2.7.】 在三棱锥中，平面平面，为等腰直角三角形，，为的中点.    (1)求证：； (2)求平面与平面所成角的余弦值； (3)在线段上是否存在点使得平面平面？若存在，求出的值，若不存在，说明理由. 考法3：与夹角有关的存在性问题 【例3.1.】 如图，四边形是正方形，平面，，，、、分别为、、的中点． (1)求证：平面； (2)求平面与平面夹角的大小； (3)在线段上是否存在一点，使直线与直线所成的角为？ 【例3.2.】 如图，在四棱锥中，底面，底面是边长为2的正方形，，，分别是，的中点． （1）求证：平面； （2）求平面与平面夹角的余弦值； （3）在上是否存在一点，使得与所成角为？若存在，求出点坐标，若不存在，请说明理由． 【例3.3.】 如图，在三棱柱中，侧面为正方形，，，点在线段上， 平面. (1)求证：为的中点； (2)求二面角的大小； (3)在线段上是否存在点，使得直线与平面所成的角为，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 【例3.4.】 如图，在梯形中，，，.将沿对角线折到的位置，点P在平面内的射影H恰好落在直线上. (1)求二面角的正切值； (2)点F为棱上一点，满足，在棱上是否存在一点Q，使得直线与平面所成的角为?若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 【例3.5.】 在直角梯形中，，，，如图1把沿翻折，使得平面平面（如图2）． (1)； (2)若点为线段的中点，求点到平面的距离； (3)在线段上是否存在点，使得与平面所成的角为?若存在，求出点的具体位置；若不存在，请说明理由． 【例3.6.】 如图，在四棱锥中，四边形为平行四边形，P在平面的投影为边的中点O，，，，． (1)求证：平面； (2)在线段上，是否存在一点E，使得平面与平面的夹角的余弦值为，若存在，指明点E的位置，若不存在，说明理由． 【例3.7.】 如图，四棱柱的棱长均为6，侧棱与底面垂直，且，是侧棱上的点，，是线段上的动点．    (1)以为坐标原点、为轴正方向、为轴正方向，建立空间直角坐标系，写出点的坐标． (2)求点到平面的距离． (3)在线段上是否存在一点，使得平面与平面夹角的余弦值为?若存在，求出点的位置；若不存在，请说明理由． 【例3.8.】 图1是边长为的正方形，将沿折起得到直二面角，如图2所示． (1)求异面直线与所成角； (2)棱上是否存在一点，使得二面角的余弦值为，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 考法4：与距离有关的存在性问题 【例4.1.】 如图，在四棱锥中，，，，，，平面平面，.    (1)证明：平面； (2)若点Q是线段的中点，M是直线上的一点，N是直线上的一点，是否存在点M，N使得?请说明理由. 【例4.2.】 如图，在四棱锥中，底面四边形为菱形，为棱的中点，为边的中点． (1)求证：平面； (2)若侧面底面，且，；在棱上是否存在点，使点到直线的距离为，若存在，求的值；若不存在，说明理由． 【例4.3.】 如图，在多面体中，平面平面，底面为直角梯形，，，，，． （1）证明：； （2）在线段上是否存在点，使得点到平面的距离为？若存在，求出的值；若不存在，说明理由． 【例4.4.】 如图，等边三角形ABC的边长为，，分别为所在边的中点，为线段的中点，现将三角形沿直线折起，使得二面角为直二面角． (1)求线段的长度； (2)求直线与平面所成角的正弦值； (3)棱上是否存在异于端点的点，使得点到平面的距离为．若存在，请指出点的位置；若不存在，请说明理由． 【例4.5.】 如图，在四棱锥中，平面平面，，，，为棱的中点．    (1)求平面与平面的夹角余弦值； (2)在线段上是否存在点，使得点到平面的距离是？若存在，求出的值；若不存在，说明理由． 【例4.6.】 如图，三棱锥的底面是以为底边的等腰直角三角形，且，各侧棱长均为3. (1)求证：平面平面； (2)若点为棱的中点，线段上是否存在一点，使得到平面的距离与到直线的距离之比为？若存在，求出此时的长；若不存在，说明理由. ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $$ 向量法解决立体几何中的存在性问题 方法提炼 对于存在判断型问题的求解，在解答时，应先假设存在，再建立空间直角坐标系，设该点坐标，把要成立的结论当作条件，据此列方程(组)，把“是否存在”问题转化为“点的坐标是否有解，是否有规定范围内的解”等. 考法1：与平行关系有关的存在性问题 【例1.1.】 如图，在正三棱柱中，侧棱与底面边长均为2，点E，F分别为的中点，点D满足， (1)若直线与直线交于点G，求证：B，C，G三点共线； (2)线段上是否存在一点H，使得？若存在，请在图中找到点H，并证明，若不存在，请说明理由． 【答案】(1)证明见解析； (2)存在，证明见解析. 【难度】0.65 【知识点】空间中的线共点问题、平面向量共线定理的推论、空间线段点的存在性问题 【分析】（1）利用点为平面和平面的公共点即可得证； （2）先证明由为的中点，然后由三角形中位线定理可确定点的位置. 【详解】（1）若直线与直线交于点G，则， 又平面，平面，所以平面，平面， 又平面平面，所以， 即B，C，G三点共线. （2）存在，证明如下： 延长相交于点，连接， 因为为的中点，，所以， 所以，所以为的中点，为的中点， 在平面中，由平面向量知识可知，， 又，所以，所以， 因为，所以三点共线，即直线与直线交于点， 由为的中点可知，当取为的中点时，，即. 【例1.2.】 如图，在三棱锥中，是边长为2的正三角形.是边的中点，平面， . (1)在直线上是否存在一点，使得直线平面? (2)若平面平面，求直线与平面所成角的正弦值. 【答案】(1)存在； (2) 【难度】0.65 【知识点】线面角的向量求法、判断线面平行 【分析】（1）当点是的中点时,得到，即可求证； （2）先证平面，进而建系，求得直线方向向量及平面法向量，代入夹角公式即可求解. 【详解】（1）存在点是的中点.理由如下： 当点是的中点时，是三角形的中位线， 所以又平面 所以面. （2） 过作于D，若D与C不重合， 平面平面，且两平面交线为， 在平面内， 平面，在平面内， ，为平面内两条相交直线， ，又在平面内， ，矛盾. 故与重合，平面，在平面内，所以. 以为原点，过作的平行线为z轴，以所在的直线分别为轴， 建立如图所示的空间直角坐标系，则 ， ， ， ，   设平面的法向量为 ， 则，令 ，得. 设直线与平面所成的角为，则 ， 即直线与平面所成角的正弦值是 【例1.3.】 如图，在直三棱柱中，，四边形，均为正方形，点是线段的中点.在线段（不含端点）上是否存在点，使得平面？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.    【答案】存在，1，理由见解析. 【难度】0.65 【知识点】求平面的法向量、空间线段点的存在性问题 【分析】以为坐标原点建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，看是否有解，若有解求出点坐标. 【详解】以为坐标原点，分别以所在的直线为轴、轴、轴，建立如图所示的空间直角坐标系，    不妨设，则， ，，，， ，. 假设在线段上存在点（），使得平面， 则. 设平面的法向量为，则令，得，， 是平面的一个法向量. ，解得，，为线段的中点. 综上可知，在线段上存在点，满足，使得平面. 【例1.4.】 如图四棱锥的底面是直角梯形，，，平面，点M是SA的中点，． (1)求证：平面； (2)求二面角的大小； (3)判断在线段SC上是否存在一点E，使得平面？若存在，确定E点的位置；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)证明见解析； (2)； (3)存在点为线段靠近点的三等分点满足条件. 【难度】0.65 【知识点】面面角的向量求法、证明线面垂直、补全线面平行的条件 【分析】（1）依题意易得两两垂直，以为原点建立空间直角坐标系．通过,证得平面； （2）通过计算平面和平面的法向量，由此计算出面面角的余弦值，进而求得二面角的大小； （3）设出的坐标，利用直线的方向向量和平面的法向量垂直，求出关于点坐标的参数，由此判断出点的位置. 【详解】（1）因为 平面. 所以，，又. 如图，以为原点建立空间直角坐标系． 由题意得 所以,,. 所以,, 所以,,平面， 所以平面. （2）设平面的法向量为， 因为. 所以，即， 令，则. 于是. 因为⊥平面，所以为平面的法向量， 又. 所以. 由图可得所求二面角为钝角，所以二面角大小为. （3）设， ， ，. 设平面的法向量， 则，即 ， 令，，. 于是， 如果直线平面， 那么，解得 . 所以，存在点为线段靠近点的三等分点，使得直线平面. 考法2：与垂直关系有关的存在性问题 【例2.1.】 如图，在三棱柱中，底面，，，，为的中点， 为侧棱上的动点. (1)求证：平面平面； (2)试判断是否存在，使得直线.若存在，求的长；若不存在，请说明理由. 【答案】(1)证明见解析 (2)存在， 【难度】0.65 【知识点】证明线面垂直、证明面面垂直、空间线段点的存在性问题 【分析】（1）由条件证明，，结合线面垂直判定定理证明平面，再由面面垂直判定定理证明结论； （2）建立空间直角坐标系，设，求向量，的坐标，由条件列方程求即可. 【详解】（1）在三棱柱中，底面，平面， ， ，为的中点， ， ， 平面， 平面， 平面， 平面平面； （2）以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，如图所示， ，，， 设，则，，， 若，则，解得， 所以存在，使得直线，此时. 【例2.2.】 如图，在四棱锥中，平面平面，，，，，为的中点. (1)求平面与平面夹角的余弦值； (2)在棱上是否存在一点，使得？若存在，求的值；若不存在，请说明理由. 【答案】(1) (2)不存在 【难度】0.65 【知识点】面面垂直证线面垂直、面面角的向量求法、空间线段点的存在性问题 【分析】（1）由条件，建立空间直角坐标系，求出两平面的法向量，利用空间向量的夹角公式计算即得. （2）假设存在一点，使得，由的计算结果即可判断 【详解】（1） 取中点,中点，连接,,, ,, 平面平面,平面平面,平面, 平面, ，，，, ,，,则,可得,, ,,又,, 以为原点,,,所在直线为轴建立空间直角坐标系, 则，，，, 由图易得平面的一个法向量, 为的中点.， 则,, 设平面的法向量， ，即， 故可取， , 平面与平面夹角的余弦值为. （2）设在棱上存在一点，使得, ,, , ,, ， 解得， 故在棱上不存在点，使得. 【例2.3.】 在四棱锥中，底面是边长为的正方形，平面底面，.点分别是棱的中点. (1)求证：； (2)设平面平面，求直线与平面所成角的余弦值； (3)若点分别是棱的中点，平面与棱的交点为，则在线段上是否存在一点，使得，若存在，求的长；若不存在，请说明理由. 【答案】(1)证明见解析 (2) (3)存在， 【难度】0.65 【知识点】线面垂直证明线线垂直、线面角的向量求法、空间线段点的存在性问题 【分析】（1）设，连接PO，进而说明，从而得到底面，得到，即可求证； （2）先说明直线l与平面DMN所成角即为直线CD与平面DMN所成角，再由（1）建系，利用线面角的向量法公式即可求解； （3）记，，结合向量垂直的坐标表示即可求解； 【详解】（1）记，连接PO， 因为底面ABCD是边长为的正方形， 所以. 因为，所以. 因为平面底面ABCD，且平面底面平面PAC， 所以底面 因为底面，所以，所以. （2）易知，又因为平面，所以平面PAB， 又因为平面PCD，平面平面，所以，所以直线l与平面DMN所成角即为直线CD与平面DMN所成角 由（1）知，可以为坐标原点建系如图所示， 由（1），， ，三角形为直角三角形，所以. 则， ， 所以 设平面DMN的法向量为， 因为，所以 令，可得.所以 设直线CD与平面DMN所成角为，则， （3）记，可得，所以. 由可得，解得， 所以. 记，可得， 所以，若，则，解得，所以， 故在线段BC上存在一点，使得，此时. 【例2.4.】 已知正方体的棱长为3，分别为棱的中点，点是棱上靠近点的三等分点．    (1)已知是靠近的三等分点，求证：点在正方体过三点的截面上； (2)在线段上是否存在点，使得平面，若不存在，请说明理由；若存在，求出D1P的长度． (3)求正方体过三点的截面与平面的夹角的余弦值． 【答案】(1)证明见解析 (2)不存在，理由见解析 (3) 【难度】0.65 【知识点】判断正方体的截面形状、面面角的向量求法、空间线段点的存在性问题 【分析】（1）根据平面性质作出截面，再分析线段长度，即可证明； （2）建立空间直角坐标系，通过坐标运算求得点P位置； （3）写出两平面法向量的坐标，根据法向量的夹角余弦值得出二面角的夹角余弦值． 【详解】（1）证明：如图所示，连接，分别为棱的中点， 所以，作，交于， 连接并延长，交的延长线于点， 延长，交的延长线于点， 连接，交于点，交于点，连接， 则六边形过三点的截面， 由面面平行的性质定理得，从而有， 因为，，所以， 因为是的中点，，易得， 所以， 又因为，可知， 所以， 所以，故点是靠近的三等分点，得证；    （2）建立如图所示坐标系，    则，设， 则， 若平面，则有，无解， 所以不存在点，使得平面； （3）由（2）可知，即为平面的法向量， 取平面的法向量为， 则， 即过三点的截面与平面的夹角的余弦值为． 【例2.5.】 如图，直三棱柱中，，，分别为，的中点．    (1)求证：平面； (2)线段上是否存在点，使平面？若存在，求；若不存在，说明理由． 【答案】(1)证明见详解； (2)Q是的中点, 即. 【难度】0.65 【知识点】空间位置关系的向量证明 【分析】（1）（2）根据给定的几何体，建立空间直角坐标系，利用空间位置关系的向量证明推理即可. 【详解】（1）在直三棱柱中，，直线两两垂直， 以C为原点，以直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，    设，则， ，设是平面的一个法向量， 则，令，得， 显然，即，而平面， 所以平面. （2）假定线段上存在点满足条件，由（1）设，， ， 则，， 设是平面的一个法向量， 则，令，得， 由平面，得，即存在实数，满足： ，即，解得，因此，即Q是的中点， 所以线段上存在点，使平面，. 【例2.6.】 如图1，在中，，分别是上的点，且，将沿折起到的位置，使，如图2．直线上是否存在点，使平面与平面垂直？    【答案】存在 【难度】0.65 【知识点】已知面面角求其他量、空间线段点的存在性问题 【分析】根据已知构建合适的空间直角坐标系，标出相关点坐标并设，分别求出平面与平面的法向量，根据及垂直的坐标表示列方程求参数，即可得结论. 【详解】由题设，构建如下图示的空间直角坐标系，则，，，，， 设平面的法向量为，， 所以，取，则， 设平面的法向量为，， 所以，取，则，    因为平面平面，所以，所以，故． 所以点在的延长线上，且． 【例2.7.】 在三棱锥中，平面平面，为等腰直角三角形，，为的中点.    (1)求证：； (2)求平面与平面所成角的余弦值； (3)在线段上是否存在点使得平面平面？若存在，求出的值，若不存在，说明理由. 【答案】(1)证明见解析 (2) (3)存在， 【难度】0.65 【知识点】证明线面垂直、线面垂直证明线线垂直、面面角的向量求法、空间线段点的存在性问题 【分析】（1）取为中点，由条件证明，，根据线面垂直判定定理证明平面，再证明结论； （2）由面面垂直性质定理证明平面，建立空间直角坐标系，求平面与平面的法向量，结合向量夹角公式求结论； （3）假设存在点满足条件，且，，求平面平面的法向量，结合假设列方程求可得结论. 【详解】（1）取为中点，连接，，又为的中点. ∴，又， 故， 又为等腰直角三角形，， ∴， 又，平面， 则平面，又平面， ∴.    （2）因为平面平面，平面平面， 由（1），又平面， 所以平面， 以为原点，以为轴正方向建立空间直角坐标系，   ， 则， ， ， 若为平面的一个法向量， 则， 令，则， 故为平面的一个法向量， 又为平面的一个法向量， 所以， 所以平面与平面所成角的余弦值为. （3）假设存在使得平面平面，且，， 由（2）知： ，， 则， ， 若是平面的一个法向量， 则， ， 令，  则，， 所以为平面的一个法向量，， 所以 ， 所以 存在使得平面平面，此时. 考法3：与夹角有关的存在性问题 【例3.1.】 如图，四边形是正方形，平面，，，、、分别为、、的中点． (1)求证：平面； (2)求平面与平面夹角的大小； (3)在线段上是否存在一点，使直线与直线所成的角为？ 【答案】(1)证明见解析 (2) (3)存在 【难度】0.65 【知识点】空间位置关系的向量证明、面面角的向量求法、空间线段点的存在性问题 【分析】（1）以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法可证得平面； （2）利用空间向量法可求得平面与平面夹角的大小； （3）设，其中，求出向量的坐标，利用空间向量法可得出关于的方程，解出的值，即可得出结论. 【详解】（1）因为平面，，所以平面， 又因为四边形是正方形，所以． 以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系， 不妨设， 所以、、、、、， 因为、、分别为、、的中点， 所以、、， 所以，， 易知平面的一个法向量， 因为，则， 又平面，所以平面． （2）设为平面的一个法向量，则， 解得，令，得． ，． 设为平面的一个法向量，则， 令，得， 所以． 所以平面与平面夹角的大小为． （3）假设在线段上存在一点，使直线与直线所成角为． 依题意可设，其中． 由，则． 又因为， 因为直线与直线所成角为，， 所以，即，解得． 所以在线段上存在一点，使直线与直线所成角为． 【例3.2.】 如图，在四棱锥中，底面，底面是边长为2的正方形，，，分别是，的中点． （1）求证：平面； （2）求平面与平面夹角的余弦值； （3）在上是否存在一点，使得与所成角为？若存在，求出点坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】（1）证明见解析；（2）；（3）存在，点的坐标为，0，. 【难度】0.65 【知识点】空间位置关系的向量证明、已知线线角求其他量、面面角的向量求法 【分析】（1）以为原点，、、分别为、、轴建立空间直角坐标系，写出、、、、、的坐标，根据法向量的性质求得平面的法向量，证得即可； （2）由（1）知，平面的法向量为，1，，同（1）可求得平面的法向量，由，即可得解； （3）设，则，0，，故有，，解之得的值即可． 【详解】（1）证明：以为原点，、、分别为、、轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则，0，，，0，，，0，，，2，，，2，，，1，， ，1，，，2，，，2，， 设平面的法向量为，，，则，即， 令，则，，，1，， ， 故平面． （2）解：由（1）知，平面的法向量为，1，，，0，， 同（1）可求得平面的法向量，0，， ，， 由图可知，平面与平面的夹角为钝角， 平面与平面夹角的余弦值为． （3）解：设，则，0，， ，0，， 与所成角为，，2，， ，，解得， 故在上存在一点，使得与所成角为，点的坐标为，0，． 【例3.3.】 如图，在三棱柱中，侧面为正方形，，，点在线段上， 平面. (1)求证：为的中点； (2)求二面角的大小； (3)在线段上是否存在点，使得直线与平面所成的角为，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 【答案】(1)详见解析； (2)； (3)存在，或. 【难度】0.65 【知识点】面面角的向量求法、由线面平行的性质判断线段比例或点所在的位置、线面角的向量求法、已知线面角求其他量 【分析】（1）设，根据线面平行的性质可得，进而即得； （2）取的中点，根据线面垂直的判定定理可得平面，然后利用坐标法利用面面角的向量求法即得； （3）设，利用线面角的向量求法结合条件即得. 【详解】（1）设，连接， 因为侧面为正方形， 所以为的中点， 因为平面，平面，平面平面， 所以，又为的中点， 所以为的中点； （2）因为， 所以，又平面，平面， 所以平面， 取的中点，则， 由平面，平面，可得， 又平面，平面， 所以平面， 如图以为原点建立空间直角坐标系， 则， 所以， 设平面的法向量为， 则，令，则， 又平面的法向量可取， 所以， 所以二面角的大小为； （3）假设在线段上存在点，使得直线与平面所成的角为， 设，因为， 所以，，又， 所以，又平面的一个法向量为， 所以， 整理可得， 解得或， 所以在线段上存在点，使得直线与平面所成的角为， 的值为或. 【例3.4.】 如图，在梯形中，，，.将沿对角线折到的位置，点P在平面内的射影H恰好落在直线上. (1)求二面角的正切值； (2)点F为棱上一点，满足，在棱上是否存在一点Q，使得直线与平面所成的角为?若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 【答案】(1) (2)存在， 【难度】0.4 【知识点】求二面角、线面角的向量求法 【分析】（1）过点作于点，连接，可证得平面，进而可知为二面角的平面角，利用三角形计算即可得出结果. （2）连接，由为等边三角形，H为线段的中点，，又平面，以H为坐标原点，，，所在直线分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，求得平面的法向量，假设棱上存在满足要求的点，设，，利用，计算可求得，即可得出结果. 【详解】（1）如图，过点作于点，连接，， 平面，平面，， 又，平面，平面， 平面，，. 为二面角的平面角. ∵，，∴为等边三角形，， 又中，，，，. 又，，，H为线段的中点. ，， 中，，， 所以二面角的正切值为. （2）连接，为等边三角形，H为线段的中点，， 又平面，则，，两两垂直， 以H为坐标原点，，，所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，， ，，. 设平面的法向量为，， 令，可得. 假设棱上存在满足要求的点Q，设，，. ， 因为直线与平面所成的角为， ， 整理得：，解得或（舍去）. 所以，则. 所以当时，与平面所成的角为. 【例3.5.】 在直角梯形中，，，，如图1把沿翻折，使得平面平面（如图2）． (1)； (2)若点为线段的中点，求点到平面的距离； (3)在线段上是否存在点，使得与平面所成的角为?若存在，求出点的具体位置；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3)不存在，理由见解析 【难度】0.65 【知识点】点到平面距离的向量求法、已知线面角求其他量、线面垂直证明线线垂直 【分析】（1）可先证明，利用平面平面，可得平面，利用线面垂直的性质可得结论； （2）建立空间直角坐标系，求出面的法向量，利用向量法可求点到平面的距离； （3）假设在线段上存在点，使得与平面所成的角为，设出，求出，利用向量的夹角公式列方程求解即可. 【详解】（1）由已知可得，， 平面平面，平面平面，平面， 平面，又平面， ； （2）以为原点，BD所在的直线为x轴，DC所在直线为y轴，建立空间直角坐标系，如图， 由已知得， ， 设平面的法向量为， 则，取，得 点到平面的距离. （3）假设在线段上存在点，使得与平面所成的角为， 设， 则， ， ， 整理得，该方程无实数解， 故在线段上不存在点，使得与平面所成的角为 【例3.6.】 如图，在四棱锥中，四边形为平行四边形，P在平面的投影为边的中点O，，，，． (1)求证：平面； (2)在线段上，是否存在一点E，使得平面与平面的夹角的余弦值为，若存在，指明点E的位置，若不存在，说明理由． 【答案】(1)证明见解析 (2)存在；点E为线段上靠近点P的三等分点 【难度】0.65 【知识点】面面角的向量求法、证明线面垂直 【分析】（1）欲证明 平面POC，需证明AB垂直与平面POC内两条相交的直线，分析其中的几何关系即可证明； （2）要建立空间坐标系，用空间向量的方法来计算. 【详解】（1）在中，由余弦定理可得：， ，∴，， 由题易知平面，平面， ∴， ∵，∴C平面， ∵四边形为平行四边形， ∴，∴平面． （2）取的中点F，连接，则，，两两垂直，建立空间直角坐标系，如图： 则，，，， ，， 设， ， 易知平面的一个法向量为， 设平面的法向量为， 则， 令得， 由题得，解得， 所以当点E为线段上靠近点P的三等分点时，满足题意； 故答案为：证明见解析，存在，点E为线段上靠近点P的三等分点. 【例3.7.】 如图，四棱柱的棱长均为6，侧棱与底面垂直，且，是侧棱上的点，，是线段上的动点．    (1)以为坐标原点、为轴正方向、为轴正方向，建立空间直角坐标系，写出点的坐标． (2)求点到平面的距离． (3)在线段上是否存在一点，使得平面与平面夹角的余弦值为?若存在，求出点的位置；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)6 (3)存在，点在线段上且与点的距离为2 【难度】0.65 【知识点】求空间图形上的点的坐标、面面角的向量求法、点到平面距离的向量求法、空间线段点的存在性问题 【分析】（1）取的中点，连接，根据菱形的性质及线面垂直的性质得到，，两两垂直，从而结合题意即可建立空间直角坐标系，再求出的长度，进而即可得到点的坐标； （2）先结合（1）求出平面的一个法向量，再根据点到平面的距离公式计算求解即可； （3）设，则，先求平面的一个法向量，再根据二面角与平面法向量夹角的求解公式求出，进而即可得出出点的位置． 【详解】（1）依题意可得四边形是菱形， 又，连接，则是正三角形， 取的中点，连接，得，． 因为四棱柱的侧棱与底面垂直，即平面， 又，平面，所以，， 所以，，两两垂直． 则以为坐标原点，分别以，，为轴、轴、轴的正方向建立空间直角坐标系，如图．    由直四棱柱的棱长均为6，且， 则，所以， 从而点的坐标为． （2）由，则， 则结合（1）得，，，， 所以，，设平面的一个法向量为， 则，即， 取，则，，所以， 又， 所以点到平面的距离为． （3）设，则， 设平面的一个法向量为， 则，即结合（2）得， 取，则，，所以， 又， 则， 化简得，解得或， 因为，所以，即． 故当点在线段上且与点的距离为2时，平面与平面夹角的余弦值为． 【例3.8.】 图1是边长为的正方形，将沿折起得到直二面角，如图2所示． (1)求异面直线与所成角； (2)棱上是否存在一点，使得二面角的余弦值为，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)存在， 【难度】0.65 【知识点】异面直线夹角的向量求法、空间线段点的存在性问题 【分析】（1）在图1中，连接，交于点，推导出平面，然后以点为原点，分别以、、所在直线为、、轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法可求得异面直线与所成角的大小； （2）假设在棱上存在点，满足，其中，使得二面角的余弦值为，利用空间向量法可得出关于的等式，即可解得的值，即可得出结论. 【详解】（1）如图，在图1中，连接，交于点， 因为四边形为边长是的正方形，则， 在图2中，则有，，， 因为是直二面角，所以平面平面， 因为平面平面，，平面，所以有平面， 以点为原点，分别以、、所在直线为、、轴建立空间直角坐标系，如图： 由题意，、、、， 所以，， 设异面直线与所成角为， 所以有， 因为，故，即异面直线与所成角为. （2）如图2，假设在棱上存在点，满足，其中， 使得二面角的余弦值为， 则， 又，设平面的一个法向量为， 则，取，则， 由题意可知，平面的一个法向量为， 所以，化简得：， 解得或（舍去）， 故存在点，只需满足， 即棱上存在点，当时，二面角的余弦值为． 考法4：与距离有关的存在性问题 【例4.1.】 如图，在四棱锥中，，，，，，平面平面，.    (1)证明：平面； (2)若点Q是线段的中点，M是直线上的一点，N是直线上的一点，是否存在点M，N使得?请说明理由. 【答案】(1)证明见解析 (2)不存在，理由见解析 【难度】0.65 【知识点】证明线面垂直、面面垂直证线面垂直、异面直线距离的向量求法 【分析】（1）根据面面垂直的性质可得线面垂直，进而可得线线垂直，根据线面垂直的判定即可求解 （2）建立空间直角坐标系，利用向量法求解异面直线的距离，即可求解. 【详解】（1）如图，取的中点O，因为，则， 因为平面平面，平面平面，平面， 所以平面， 又平面， 所以，又，平面，平面，， 所以平面. （2）因为，O为的中点，，所以， 过点O作交于点E，则由平面,平面,可得， 则以O为原点，，，分别为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，，， 所以，，， 设与，都重直的向量为， 则得 令，则， 设直线与直线的距离为d， 则， 则不存在点M和N使得. 【例4.2.】 如图，在四棱锥中，底面四边形为菱形，为棱的中点，为边的中点． (1)求证：平面； (2)若侧面底面，且，；在棱上是否存在点，使点到直线的距离为，若存在，求的值；若不存在，说明理由． 【答案】(1)证明见解析； (2)存在点， 【难度】0.65 【知识点】证明线面平行、点到直线距离的向量求法 【分析】（1）取线段的中点，连接，证明为平行四边形，即可证明结论； （2）以为原点，建立空间直角坐标系如图所示，设，点点坐标用表示出来，根据点到直线距离向量公式解出参数，即可求出结果． 【详解】（1）取线段的中点，连接，在中，分别为的中点． ，且 又底面是菱形，且为的中点， ，且， ，且， 四边形为平行四边形， 又平面平面 平面. （2）在平面内过点作， 又由平面底面,且平面平面,可得平面， 又菱形中，且，所以可得在中有， 以为原点，分别以所在直线为轴建立空间直角坐标系，由且，所以是正三角形，所以， 设 ， ， ，， 即 化简得，故（舍负）. 综上，存在点，. 【例4.3.】 如图，在多面体中，平面平面，底面为直角梯形，，，，，． （1）证明：； （2）在线段上是否存在点，使得点到平面的距离为？若存在，求出的值；若不存在，说明理由． 【答案】（1）证明见解析；（2）在线段上存在点，. 【难度】0.65 【知识点】面面垂直证线面垂直、点到平面距离的向量求法、线面垂直证明线线垂直 【分析】（1）根据题目中的长度关系，可得，从而可证，结合面面垂直的性质定理和线面垂直的性质，即可证明.（2）以为原点建立空间直角坐标系，设，利用可用表示，求出平面的法向量，由公式距离可解出的值，判断是否成立，从而判断是否存在点并写出的值. 【详解】（1）证明：因为，，， 所以， 所以． 因为平面平面，平面平面，平面， 所以平面． 因为平面， 所以． （2）解：存在，由（1）知，平面且，以为坐标原点，，，的方向分别为轴，轴，轴的正方向建立空间直角坐标系，如图． ，，，，，，，， 设 则 ． 设平面的一个法向量为． 即 令，则． 设点到平面的距离为， ， 解得或（舍）． 所以在线段上存在点，且． 【例4.4.】 如图，等边三角形ABC的边长为，，分别为所在边的中点，为线段的中点，现将三角形沿直线折起，使得二面角为直二面角． (1)求线段的长度； (2)求直线与平面所成角的正弦值； (3)棱上是否存在异于端点的点，使得点到平面的距离为．若存在，请指出点的位置；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在，点位于线段的靠近点的三等分点 【难度】0.65 【知识点】面面垂直证线面垂直、线面角的向量求法、点到平面距离的向量求法、空间线段点的存在性问题 【分析】（1）连接，证明，结合面面垂直性质定理证明平面，取边的中点记为，建立空间直角坐标系，求的坐标，再求线段的长度； （2）求平面的法向量，结合向量夹角公式求直线与平面所成角的正弦值； （3）设，求平面的法向量，结合点到平面的距离的向量求法求点到平面的距离，列方程求，由此可得结论. 【详解】（1）由已知，连接，因为为线段的中点，所以； 因为平面平面，又平面平面，又面， 所以平面；取边的中点记为，则； 以点为原点，以为轴的正方向，建立空间直角坐标系， 则，所以； （2）由（1），，，， 所以，，， 记平面的法向量为， 所以， 不妨取，得， 所以为平面的一个法向量； 记直线与平面的所成角为， 则， 所以，直线与平面的所成角的正弦值为； （3）设，其中， ，， ，， ， 记平面的一个法向量为， 则有， 不妨取，解得， 即； 则点到平面的距离， 整理得：即， 解得或（舍去）， 所以，当点位于线段的靠近点的三等分点时，点到平面的距离为． 【例4.5.】 如图，在四棱锥中，平面平面，，，，为棱的中点．    (1)求平面与平面的夹角余弦值； (2)在线段上是否存在点，使得点到平面的距离是？若存在，求出的值；若不存在，说明理由． 【答案】(1) (2)存在满足题意的点，此时 【难度】0.65 【知识点】求平面的法向量、面面角的向量求法、点到平面距离的向量求法、空间线段点的存在性问题 【分析】（1）建立如图空间直角坐标系，利用空间向量法求解面面角即可； （2）假设存在满足题意的点，，利用空间向量法求解点面距，建立关于a的方程，解之即可求解. 【详解】（1）由平面平面平面， 所以平面，又平面，所以， 又，有，故， 建立如图空间直角坐标系，   ，得， 易知平面的一个法向量为，设平面的一个法向量为， ，令，得，， 所以， 即平面与平面所成角的余弦值为； （2）由（1）知，则，假设存在满足题意的点. 设，则， 得，即，所以， 故点到平面的距离为， 即，解得或（舍去）， 所以存在满足题意的点. 此时，所以. 【例4.6.】 如图，三棱锥的底面是以为底边的等腰直角三角形，且，各侧棱长均为3. (1)求证：平面平面； (2)若点为棱的中点，线段上是否存在一点，使得到平面的距离与到直线的距离之比为？若存在，求出此时的长；若不存在，说明理由. 【答案】(1)证明见解析 (2)存在，此时的长为1 【难度】0.65 【知识点】证明线面垂直、证明面面垂直、空间位置关系的向量证明、点到平面距离的向量求法 【分析】（1）利用线面垂直的判定定理和面面垂直的判定定理即可； （2）建立空间直角坐标系，结合空间法向量分析即可. 【详解】（1）取中点，连接，如图所示： 因为，， 所以，且， 因为是等腰直角三角形， 所以，且， 又，满足， 所以， 因为， 所以平面， 又因为平面， 所以平面平面. （2）由（1）知，平面，且， 故可以为原点建立如图所示的空间直角坐标系， 设， 因为点为棱的中点， 所以到平面的距离为； 则， 则， 所以， 则， ， 所以， 所以， 所以， 设平面的法向量为， 则，即， 令，可得， 则， 由， 得，或（舍去）， 此时. 故存在一点，使得到平面的距离与到直线的距离之比为， 此时的长为1 ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $$