单元检测(十六) 计数原理-【衡水真题密卷】2025年高考数学单元过关检测（A版）

·数学· 参考答案及解析 (2)①第n次后游戏停止的情况是：前n一1次 答题正确恰好为4次，答题错误n一5次，且第n次 (2)因为x= (x1+x1十x十x4十x)=2024 5 摸出最后一球时答题正确， =404.8, 所以a.=c(2)'(2)×2=c(2)” 依题意t=1时，即当1≤i,j≤5时，max(x:一 x)=1, ②由①知a,=C(2广， 所以max{x,}=405,min{x,}=404, 设有y个405，则有5-y个404，由405y+404 c() n！ 41(n-厅×2 (5-y)=2024,解得y=4, 所以出」 所以x1,x2,x8,x4,x写中有4个405,1个404， a。 c) (n-1)！ 4！(n-5)川 所以方程①的解共有5组. ③)因为平均数工++x+x4+) 2(n-4) 令2m”D≥1，解得n≤8：2-D<1,解得n -2024=404.8, 5 >8,因为n为整数，所以n≥9. 又方差0-号2u,-八，即5对-2u,- 所以a6<as<a<ag=ag>a1o>an>, 35 所以a.的最大值是a=a,一256 =2x-5x, 所以S=5a2+5x2,因为x为常数，所以当方差 19.解：(1)若x+1一x:(i=1,2,3,4)等于同一常数， σ取最小值时，S取最小值， 根据等差数列的定义可得(x,}构成等差数列， 又当t=0时，x1=xg=x1=x4=x5,即5x1 所以x1十x:十xa十x4十x6=5x3=2024, =2024,方程无正整数解，故舍去： 解得-224，与€N矛质， 当t=1时，即(x1,x2,xa,x4,x6)是1一密集 时，S取得最小值， 所以不存在一组解(x1,x2,x1,x4,x6),使得 且Sn=4×4052+4042=819316. x+1一x:(i=1,2,3,4)等于同一常数. 2024一2025学年度单元过关检测（十六） 数学·计数原理 一、选择题 1.B【解析】由A?=C得n(n-1)= 5.C【解析】(2-)1-2x)=2×1-2x)- n(n-1)(n-2) -,n≥3，n∈N,解得n=8. 3×2×1 二.(1-2x),(1-2x)的展开式的通项公式为 2.A【解析】落在第一象限内点有2×2=4个，落 T+1=C(-2x)'=(-2)'Cx,r=0,1,2,3,4, 在第二象限内，点有1×2=2个，所以落在第一象 所以2×(1一2x)展开式中x3项的系数是2 限和第二象限内的点一共有4十2=6个， ×(-2)C=-64,二·(1-2x)展开式中x 3.C【解析】1与4相邻，共有A好=2种排法，两个 2之间插入1个数，共有C=2种排法，再把组合 项的系数是×(-2C-24 ,所以-64-24 好的数全排列，共有A=6种排法，则总共有2X 2×6=24种密码. 一58，解得a=-4, 4.B【解析】由二项展开式的形式可知，每一项的 6.C【解析】令x=1,则(1+1)(2-1)5=a。十a1 系数和二项式系数相等，所以第6项的系数是 十a2十…十as,即ao十a1十ag十…十as=2,令x C,所以2=5，得m=10, =-1,则(1-1)(2+1)°=a。一a1十a2-…十a6: 即ao-a1十a2-…十a6=0,故(a。十a1十a2十 十ag)-(a-a1十a2-…十a6)=2-0=2,即 ·23 A 衡水真题密卷 单元过关检测 2(a1十a1十as)=2,故a1十a3十a5=1. _·(n-1)!+(n-r)·(m-10! n! 7.A【解析】要做到每人只报名1个项目，任意两 r！(n一r)！ r!(n-r)月 人不报同一个项目，甲不报名参加A项目，可以 =C,故B正确：对于C,由二项式系数的性质， 分成两步完成：①让甲在B,C,D三个项目中任 得C十C十C十…十C”=2",故C错误；对于 选一个，有C种方法：②让另外三个同学在剩下 D,C+C明+Cg+…+C。=C+C8+Cg+…+C。 的三个项目中各任选一个，有A}种方法.由分步 =Cg十Cg十…十C。=…=CH。十C。=C克= 乘法计数原理，可得特合条件的报名方法种数为 330,故D正确. CA}=18. 三、填空题 8.C【解析】“各位数字之和为8的三位数叫幸运 12.24【解析】若三人选书没有要求，则有33=27 数”，故首位最大为8，且首位不为0，则有：若首位 种，若三人选择的书完全相同，则有3种，所以 为8，则剩余两位均为0，共有1个“幸运数”；若首 三人选择的书不全相同，不同的选法有27一3 位为7，则剩余两位为1,0，共有A=2个“车运 24种. 数”；若首位为6，则剩余两位为2,0或1,1，共有 13.18【解析】若用3种不同颜色涂四个区域，则 A8十1=3个“幸运数”；若首位为5，则剩余两位 A,C区城或A,D区域或B,D区域必同色，当 为3,0或2,1，共有2A=4个“车运数”：若首位 A,C区城同色时，有3×2×1=6种，同理A,D 为4，则剩余两位为4,0或3,1或2,2，共有2A 区城、B,D区城分别同色时各有6种，由分类加 十1=5个“幸运数”：若首位为3，则剩余两位为 法计数原理得拾好用3种不同颜色涂四个区城 5,0或4,1或3,2，共有3A=6个“幸运数”；若 共6十6十6=18种不同的涂色方案. 首位为2，则剩余两位为6,0或5,1或4,2或3， 3,共有3A号十1=7个“车运数”：若首位为1，则剩 14.-25【解标】因为(x2-2)(x+)》”=x 余两位为7,0或6,1或5,2或4,3，共有4A好=8 (+)》°-2(+》”(+》°的展开式的 个“幸运数”.综上所述：共有1十2十3十4十5十6 十7十8=36个“幸运数”. 通项公式为T=Cx(）厂=Cxr 二、选择题 9.ACD【解析】由题可得2-128，解得n=7,故A 0,1,234,5,6所以(x-2)(x+)广的展开 医确：展开式中项为C(一厂=一要， 式中的常数项为C一2C%=15-2×20=-25. 四、解答题 故B错误：令x=1,则展开式中的各项系数之和 15.解：(1)先排甲、乙有A:种排法，再排其余6人 为1-》广=8故C正确：因为n=1,所以G 有A8种排法，所以共有A:·A8=21600种排 =C最大，故D正确 法 10.ABD【解析】对于A,如果甲，乙必须相邻且乙 (2)先排4名女生有A种方法，再把4名女生 在甲的右边，那么不同的排法有A:=24种，故 看成一个整体和4名男生排成一行有A种排 A正确；对于B,最左端只能排甲或乙，最右端不 法，所以共有A:·A=2880种排法。 能排甲，若最左端排甲，有A1=24种排法，若最 (3)先排4名男生有A:种方法，男生之间包括 左端排乙，有CA好=18种排法，所以共有42 两端共有5个空， 种，故B正确；对于C,甲，乙不相邻的排法种数 由于要男女相间，故再将4名女生插空，空出男 有AA=72种，故C错误：对于D,甲，乙，丙按 生最左侧或最右侧的位置， A 有2A种方法，故共有A1×2A1=1152种排 从左到右的顺序排列的排法有示=20种，故D 法 正确， 16.解：(1)需测试8次，按顺序可看作为8个位置， 11.ABD【解析】对于A,第9行中从左到右第6 第一步，第一个位置放置正品，第二步，选2个 个数是C3=126,故A正确：对于B,C十C- 次品放在第二和第八个位置，第三步，在第三到 (n-1)! (n-1)! 第七个位置中选2个位置放置剩余的两个次 =(r-1)1(m-r)1十r1(m-r-1月 品，其他3个位置放3个正品，所以测试情况数 A ·24 ·数学· 参考答案及解析 为：CAA号Ag=86400. 符合性质T的排列有：(1,2,4,3)，(1,3,2,4) (2)至多6次可分为恰好4次，恰好5次，恰好6 (1,3,4,2),(1,4,2,3),(2,1,3,4), 次找到所有次品， (2,3,1,4),(2,3,4,1),(2,4,1,3),(3,1,2,4), 恰好4次，即前4次测试都是次品，方法数为 (3,4,1,2),(4,1,2,3),故d4=11 A: (3)由(1)、(2)可得：d1=0,d2=1,d3=4,d.= 恰好5次，即第5次是次品，前4次中有3次是 11,同理可得d,=26. 次品，方法数为CC%A: 恰好6次，即第6次是次品，前5次中有3次是 所以归纳出dn=2一n一1， 次品或前6次都是正品，方法数为CAA+Ag 证明：因为在1,2，…，n的所有排列41,42，…a。中， 所以总的测试情况数为A+CCA:+ 若a=n,(1≤i≤n-1),从n一1个数1,2,3， (CA3A8+A8)=8520. …,n一1中选i一1个数， 17.(1)解：9110=(100-9)1a0=C80×1001o0+ 从小到大排列为：a1,a2,…,a-1, C。×1009×(-9)+…+C8×100×(-9)9+ 其余的则按从小到大的顺序排列在余下位置， C18×(-9)1o0, 所以满足题意的排列个数为C,二， 由展开式可知，前100项都能被100整除，最后 若a:=n一1，则满足题意的排列个数为d,-1, 一项是(-9)100=910=(10-1)100， 而(10-1)100=C8×1010+C10×109×(-1) 综上：d.=d.-1+C=d,1十21-1，即 +…+C8×102X(-1)路+C8×10×(-1)9 d.-d。-1=2-1-1, +C88×(一1)10，其展开式的前100项都能被 所以d。=(dn-d.-1)+(d.-1-d.)+…十 100整除，最后一项是（一1）10=1， (d:-d) 所以910除以100的余数是1. =2+22+…+2-1-(n-1)×(-1)= 2)证明：因为(2)=(1+)）=c8 2×(1-2"-1) 1-2 十1-n=2"一n-1, c×2+C-×(2}'+…+c=x(2) 故数列{d.}的通项公式为d.=2一n一1. 19.(1)解：因为78=2×3×13，易知k=3,p1=2, =1+"22+c×(2)+…+() pg=3,p3=13,r1=rg=ra=1, 所以4(78)=(-1)3=-1： n十1 >0(n≥3)， 又375=3×5，因为5的指数3>1，所以：(375) =0. 即(》→”>0，故（号》<子即原 (2)证明：①若x=1或y=1,因为4(1)=1，所 不等式成立 以u(xy)=H(x)μ(y): 18.解：(1)由性质T的定义可知：当n=1时，由1 ②若x≠1且y≠1，且存在质数p,使得x或y 构成的排列不满足性质，故d,=0: 的质因数分解中包含(r>1),则xy的质因数 当n=2时，只有构成的排列2,1满足性质T, 分解中一定也包含p”, 故d2=1: 所以u(xy)=H(x)r(y)=0, 当n=3时，由1,2,3构成的所有排列为： ③若x≠1且y≠1，且不存在②中的p,可设x (1,2,3),(1,3,2),(2,1,3),(2,3,1),(3,2,1), =p1pg“p4,y=q19g“q:, (3,l,2)其中满足仅存在一个i∈(1,2)，使得a: 其中p1,p:…p4,q1,q2…g,均为质数，则xy= >a+1的排列有： p1p2"Pq1qz“q,, (1,3,2),(2,1,3),(2,3,1),(3,1,2),从中任选 因为x,y互质，所以p1,p2…pq1,q2…q,互 一个即可 不相等且互质， (2)若n=4,由1,2,3,4构成的A=24种排列中， 所以4(xy)=(-1)+=(-1)*(-1)'= 25 A 衡水真题密卷 单元过关检测 (z)u(y), =u(1)十[u(p1)十u(p:)+…十u(pa)]十 综上所述，(xy)=(x)a(y). [u(p:p:)+u(p2p:)+…十4(p4-1p)门+…十 (3)证明：由于4(n)=1且n>1,所以可设n= u(n) p1p…p:,k为偶数， =1+C1(-1)+C(-1)2+…+C1(-1)-1 m的所有因数，除了1之外都是p1,p2,,p +(-1)=(1-1)*=0, 中的若干个数的乘积，从k个质数中任选( 所以u(a1)十u(a:)十…+u(am)=0-u(1)一 1,2,·,k)个数进行乘积一共有C种结果， u(n)=-2. 所以r(1)十μ(a:)十u(a2)十…十μ(an)十(n) 2024一2025学年度单元过关检测（十七） 数学·随机变量及其分布 一、选择题 6.B【解析】随机变量：的取值为0,1,2，当=1 1.B【解析】由题意得0.21+0.20+0.05+0 时，所取的三个数中仅两个数相邻，其中取1,2 和19,20时，对应取法为17种，其余17种情况取 0.10+0.10+0+0.10=1,化简得10x+y=24, 法为16种，所以P(传=1D=2X17+17×16 C 又xy∈N且x,y∈[0,9]，所以x=2,y=4,所以 1140当=2时，即所取的三个数中两两相邻， 306 P(g<X<9》=Px=2+PX=3》=0.20+ 承法有18种，所以P=2)=是-0当 1818 0.25=0.45. 2.B【解析】由题意可知a十b=1,由E(X)= =0时，即所取的三个数彼此不相邻，取法有1 816 6 3,则a=2 得a+26- 3D(X)-(分 40-18-306=816种，所以P(店=0)=140) 所以E)=0x品+1X+2x品0 306 18 0.3. 3.C【解析】随机变量X可取0,1,2,3，P(X=0) 7.C【解析】P(X=0)+P(X=1)十P(X=2)= C%-252P(X=10=CGC105 C8C片21 C6252,P(X=2) a=1,故a=易得0<写+b<号，0<号-6 C。-252,P(X=3)=CC21 C3C105 C252,所以 <号，则-b≤写益E0X)=a+6+2a一20 B0X0=-0x易+1×2+2x器sx品- 21 =1-6,D0x)=号1-6)+（号+b)b+(G 4,C【解析】因为随机变量X一N(2,a2),所以 P(X≤1.5)=P(X≥2.5)=m,P(X≥2)=P(X≥ 6)1+6-号-6-，又国为6[吉】， 2.5)+P(2≤X≤2.5)=m+1-3m=0.5,解得m= 0.25,所以P(X≤2.5)=1-P(X>2.5)=0.75. 所以DX)∈[日，8]，所以DCX)的最大准为号 5.B【解析】因为成绩X近似服从正态分布 8.C【解析】由题意得E(G)=0.2(x1+x:十x N(89,13),则4=89，a=13,且P(76≤X≤ 102)=P(89-13≤X89+13)=0.6827,所以 +红+，EG)=0.2x(图士++ 2 P(X≥102)=1-P(76sX≤102=0.15865. 2 ++“）=0.2十十 2 2 因此该校数学成绩不低于102分的人数即102分 十x4十xs),故E(:)=E(2),记x=E(G) 的年级排名大约是第800×0.15865≈127名. E(a), ·26·2024一2025学年度单元过关检测（十六） 数学·计数原理 (考试时间120分钟，总分150分)》 一运择题（本题共多小，每小周5分，共0分.在每小丽给出的四个选项中，只有一项是 符合整目要求的] 题号 0 答案 1.若A=C:,则= A.9 且.8 C.7 D.6 2.已知集合M一1，一2,3)，N一《一4,5,6，一71，从集合M中选一个兄常作为点的横坐 标：从集合N中透一个元素作为点的纵坐标，期落在第一象凤和第二象限内点的个数是 A.6 且.8 C.10 D.12 3.小明将1,4,0,3,2,2这大个数字的一种指列设为白己的六位数字的银行卡密码，若两 个2之佩只有一个数字，且1与4相馨，则可以设置的密码即数为 A4倍 且.32 C.24 D.16 《.已知(1十x)”的展开式中只有第6原的系数最大，则正整数？的值为 A.9 且，10 C,11 h,12 5.若二瑰式(2一1-2红的腿开式中x2现的系数是一56，嘴实数。的值为《) A.-2 且.2 C-4 D.4 6.若(1十x)(2i)=2。十212十ad2十十2'，则a1十a1中as A.-1 B.2 C.1 D.0 7,某校准备下周举办运动会，甲，乙，丙，丁4位同学服名参加A,B,C,D这4个项日的比 赛，每人只报名1个算日，任意周人不根同一个项日，甲不报名参加A观日，侧不间的报 名方法种数为 A.18 且.21 C,23 D.72 8.定义，“各位败字之和为8的三位数到率写数”，比如116.4，则所有幸运数的个数为 A.1 B.35 C,36 D,45 二，选择丽{本丽共3小题，每小题6分，共18分，在每小丽始出的选项中，有多项料合题日 要求.全部选对的得6分，部分进对的得部分分，有选结的得0分) 聪号 9 10 11 答案 单元过关松潮（十大）数学第1面（黄4夏 衡水直 若一的跳开式中各到的二项式系数之和为128，则 A,n■7 且小项的系数为曾 姓名 C.各项系数之粉为12 得分 D.C33C(i=1.2“,m) 1Q,若甲，乙，丙，丁，戊五人并持始域一排，下列说法正确的是 A,果甲，乙必额相邻且乙在甲的右边，则不同的排法有24种 且，如果最左滑只能样甲或乙，最右滑不能排甲，测不可的排法共有42种 C.甲，乙不相邻的排法种数为8这种 D甲，乙，丙按从左到右的顺序指判的排法有的种 11,现国南宋数学家杨解1261年所看的译解九意算法》中粉出了著名的杨辉三角， 由北可见我国古代数竿的成就是单常伟大的，以下关于杨辉三角的氯述正确的是 第1行 第2行 第3行 第4行 4 6 第5行 1 第6行上615201561 4444 4444 A.第0行中从左到右第6个数是126 且.C+-= C,C++…+C心：=2型 D.写+C?+C图++C.-330 三、填空题（本题共3小m.每小题5分，共15分） 12,《九章算术》，《数书九章》，《周算经是中同古代的数学著作，甲，乙，丙三名同学计每 每人从中逸择一种来阅读，若三人透择的书不全相同，潮不同的选法有种， 13如图所标的A,BC,D四个区域按飘下到要求旅色，若恰好用3种不同膜色的A,B, C,D四个区城紧色，且图第区城不同色，其有 种不月的涂色方案， A B C D 14:-2+广的展开式中的膏数项为 单元过关检测十六，整学第2页（共4页1 A 西、解答题（本愿共5小题，共T7分，解若皮写出文字说明、证明过醒或演算步骤} 18,(17分)设数列d.(w∈N)d.为1,2,3n的满足下列性爱T的排列a1, 15.《13分)若有4名男生，4名女生，余排成一行，求下列情形的排法种数. 4,的个数，性爱丁：料列中夜存在一个，1e1,2,…,n一1》，使幕，>4，+… 《1》甲，乙两人不排在两端： (们)求dd:的值，并写出u=3时其中一种得列的情形： 《2)女生相第： (2)若划一4，求调足性质T的历有排列的情形： (3)男女相间. (3)求数列d.的通项公式 16.《15分)已加10件不同的产品中有4件次品，现对这10件产品一一进行测试，直至找 19.(17分)真比号斯两数在数论中有看广泛的意用.所有大于1的正整数性第可以教性一 到所有次品， 表尔为有限个质数的乘积形式：界一护…《为用的质因歌个数，，为衡数「， 《1》若价在第2次商试时，授到第一件次品，第8次到试时，才授到最后一件次品，则共 1i=1,2,…b),例如，90=2X3X5,对应b=3,p1=2,P:=3,p,=5:r,=1ra=2, 有多少种不闻的画试情况？ 月，超=1， 《2)若至多满试6次就能找到所有次品，则其有多少静不同的测试情况？ r,-1.现对任意n∈N”,定文莫比乌斯质数a(w)-(一1)，-=-：一1， 0,存在r>1. (1)求u(78),u(375). (2)若正整数ry互版，正明：r(xy)“u(xy (3)者>1且(m》=1,记程的所有真因数《除了1和m以外的因数)缘火为年， ,a。,证明：x《a1》十r(at》十4十u(@.)=一2 17.(15分)请用二项式定理解决下列问题，可出必要的过程 《1》求91除以100的念数. 证期<e,且≥ A 单元过关松潮（十六）数学第3面（黄4夏} 衡水直题密蓉 单元过关检测十六}数学第4页（其4页1