单元检测(十五) 统计与概率-【衡水真题密卷】2025年高考数学单元过关检测（A版）

衡水真题密卷 n2-4 =18×√3m2+4)' 令n2-4=t(t>0), 则SAAF=18X √(3t+16)F =18× 2024一2025学年度单元过关检 一、选择题 1.A【解析】由题意可知抽取到的男性职工人数为 320×0=64,女性职工人数为100-64=36，则 抽取到的男性职工的人数比女性职工的人数多 64-36=28. 2.C【解析】由统计图知，小王同学的总体成绩要高 于小张同学的成绩，且小张同学的成绩波动较大， 小王同学的成绩较稳定，所以x王>x廉，51<S 3.D【解析】甲、乙两人依次从标有数字1,2,3,4， 5,6的六张卡片中各抽取一张（不放回），共有30 种不同的抽法，其中两人均抽到标有偶数数字的卡 片共有6种不网的抽法，所以所条托率为品日 4.C【解析】从正六边形A1A2…A。的六个顶点 中任取三个，点可以构成三角形的个数为C=20, 其中等腰三角形有：△A1A2Aa,△A2A3A,: △AaAA5,△A,A5Ag,△AAA1,△AsA1A2 △A1A,A5,△A2A1A,共8个，所以所求概率 为卫=品- 5.B【解析】先在5名同学中选出2名同学分配到 一个社区，有C=10种分配方法，再将另外3名 分配到3个社区且每个社区各1人，则共有CA =240种分配方法，其中甲、乙2人被分配到同一 个社区的分法有A=24种，则甲、乙2人被分配 A8241 到同1个社区的凝车PC-2知可故甲， 乙2人被分配到不同的社区的概率为1一10一10 19 6.D【解析】令事件A:经过的列车为和谐号；事 件B:经过的列车为复兴号：事件C:列车未正点 到达，则P(A)= 3,P(B)= 3,P(C1A)- 0.02,P(CB)=0.01, 于是P(C)=P(A)P(CA)+P(B)P(CIB)= 号xa.02+日x0o1-005 3， 所以该列车为和谐号的概率为P(AC)= A 2 单元过关检测 33 ,当且仅当1=号时取等号， 16 256 9t+ -+96 所以△ABF面积的最大值为5 测（十五）数学·统计与概率 PAC)PA)P(C1A)3×0.02 P(C) P(C) 0.05 -=0.8. 3 7,D【解析】记从甲袋中摸出一个红球的事件为 A,从乙袋中摸出一个红球的事件为B,且P(A) 1 1 =3,P(B)=年，A,B相互独立.对于A,2个球 都是红球的事件为AB,则有P(AB)=P(A) PB)=言×立故A医瑞：对于B2个g 中恰有1个红球的事件为AB十AB,则P(AB +B)=PAB+PB)=号×(1-4)+(1- ）×行-故B正角：对子C,至少有1个红 球的事件的对立事件是AB,则P(AB)=P(A)· P国=(1-)×(1-)=2所以至少有 1个红浆的概率为1一言子：故C运确：对于 D,2个球不都是红球的事件是事件AB的对立 事件，其概奉为1-弓×品故D错误 8.C【解析】依题意甲、乙两人所选选项有如下情 形： ①有一个选项相同②两个选项相同③两个速项 都不相同， 所以P(M)= _C4·c·C-2 CiC Ci3P(N)-C C -P(x-P)- C1 号·C号 ·C 1 ，因为事件M与事件N互斥，所以P(MN)= 0,又PM0·PN)=号所以率件M与率件N C1 不相互独立，故A错误：P(X)C:C2≠ P(X)P(Y)=24,故B错误：由P(MY)= ·数学· C房·C1 C好·C旺6 =P(M)P(Y),则事件M与事件Y 相互独立，故C正确：因为事件N与事件Y互 斥，所以P(NY)=0,又P(Y)·P(N)=24≠ 1 P(VY),所以事件N与事件Y不相互独立，故D 错误」 二、选择题 9,ABC【解析】由频率分布直方图可知：(0.004十 a+0.018十0.022+0.028+0.022)×10=1，解 得a=0.006,故A正确；评分落在[40,50)内的 8 有8人，所以m=0.004X10=200,故B正确：评 分的平均数为45×0.04+55×0.06+65×0.22 +75×0.28+85×0.22+95×0.18=76.2,故C 正确：0.04十0.06十0.22=0.32>0.25，所以甲 不会被邀请，故D错误. 10,BC【解析】对于A,四个人每人从中随机抽取 一张共有CCC种抽法，其中小王和小张恰好 互换了贺卡的抽法有C种，故小王和小张恰好 C21 互换了贺卡的瓶率为CCC一2，故A错误： 对于B,设小王抽到的是小张写的贺卡为事件 CC 1 A,则P(A)=CCC=小张抽到小王写的 贺卡为事件B,则已知小王抽到的是小张写的 贺卡的条件下，小张抽到小王写的贺卡的概率 1 为P(B|A)= P(AB)121 P(A)=工=3，故B正确：对 4 于C,恰有一个人抽到自己写的贺卡的抽法有 CX2种，故给有一个人抽到自己写的贺卡的概 CX2 1 率为CCC3,故C正痛：对于D,每个人抽 到的贺卡都不是自己写的抽法共有C(1十2)= 9种，故每个人柏到的贺卡都不是自己写的概率 C(1+2)9_3 为 C4CC-24=8,故D错误. 11.ABD【解析】由题意知P(X=k)=】 C (kE 32 C1 《0,1,2,3,4,5}),则P(X=0)=3232P(X C号10 =1)=C=,P(X=2)=32-32P(X=3)】 2 参考答案及解析 C810 C 3232,P(X=4)-g=5,P(X=5)= 一32对于A,众数是1，说明添加的数为1，因 1 5 为P(X=1)一2，故A正确：对于B,板差不 变，说明添加的数X∈(0,1,2,3,4}，则极差不 卖的概奉是1一P(X=)-沿长B正确；对于 C,由于5×25%=1.25,6×25%=1.5，故原数 据和新数据的第25百分位数均为第2个数，只 要添加的数不为0，原数据和新数据从小到大排 列后，第二个数不变，都为1，故第25百分位数 131 不变的概率是1-P(X=0)=1一3232，故C 错误；对于D,原样本数据的平均值为 0十1十2+3十4=2，平均值变大，则添加的数要大 5 于2，即X∈(3,4,5}，故平均值变大的概率是P(X =0+P0X=0+P0X=5》是+最+27 故D正确， 三、填空题 12.号【解折】不超过15的质数有2,35,7,1 13,一共6个，随机选取2个数有15种不同的取 法，其中和为偶数有10种不同的取法，所以所 102 求概率为53· 1.【解折】由P(B)-专，得P(E)-1- 41 P(B)=1-5=5由全概率公式：P(A)= P(A B)P(B)+P(AB)P(B),P(A B)= 21、13 P(A)-P(A|B)P(B)52X5103 P(B) 4 48 5 14.17,54【解析】由题意可知，数据x1,x2,…,xm 的平均数为10，所以工=之x,=10,则之x, n=1 10n,所以数据2x1十4,2x2十4，…，2x。十4的平 均数为x=1之(2，十40=2之x,+4=2X10 n=1 推=1 +4=24,方差为=12[(2z,+4)-(2z十 2=11 A 衡水真题密卷 4J=42(x,-10)=4之x-4×nX10 n=1 n1 =4之x-400=8,所以之xi=102m,将两组数 n 据合并后，得到新数据x1,x2,,工，，2x1十4， 2+4,2十4，则无平均数为7-[ +22红，+]=2+0=(2，+到 =号×(8×10+0=1，方差为=头： 1 g-17+82+4-19门=2 -862x:+458m)=2(6×102n-86X10m+ 458n)=54. 四、解答题 15.解：(1)由题意，可以估计甲在比赛时答对题的 概率为P,=120-244 1205 乙在比赛时答对题的概率为P,=120一20=5 1206 (2)设事件B=“某轮比赛中甲得1分”，事件C =“某轮比赛中乙得1分”， 则事件A=BCUBCUBC, 所以PA)=P(BC)+P(BC)+P(BC)-专 x+×+官×名-器 1129 (或P(A)=1-P(BC)=1-5×6-30 16,解：(1)由题意得，甲能通过初试概率P1= C+CC 7 C 101 CC 3 乙能通过初试的概率P=C=10 (2)若甲初试得3分，要合格则需复试答对1道或2 道题，若初试得2分，要合格则需复试答对2道题， 故甲合格的概率P,-[()'+C()门十 器（合品+）+品×-品 乙要合格，则需初试合格且复试答对2道题， 故乙合格的概率P,= 忌因为局品所以甲合格的概率更大。 A *2 单元过关检测 17.解：(1)因为a,b,c是公差为0.01的等差数列， 所以(a+b十c)×5=(3a+0.01×3)×5=1 (0.02+0.02+0.01)×5, 解得a=0.04,b=0.05,c=0.06. (2)因为果苗高度位于区间[20,30)的频率为 (0.02+0.05)×5=0.35, 位于区间[35,50]的额率为(0.04+0.02十0.01) ×5=0.35, 所以果苗高度的中位数是区间[30,35)的中点， 设中位数为xcm,则30=0.5035 0.3 2,解得工 =32.5,即32.5cm. 由频率分布直方图得，该苗圃受到这种病虫害 的果苗的平均高度为： h=0.02×5×22.5+0.05×5×27.5+0.06×5× 32.5+0.04×5×37.5+0.02×5×42.5+0.01×5 ×47.5=33,即33cm. (3)该苗圃一棵受到这种病虫害的果苗的高度 位于区间[30,45)的频率为： (0.06+0.04+0.02)×5=0.6, 所以估计该苗僩一棵受到这种病虫害的果苗的 高度位于区间[30,45)的概率为0.6 18.解：(1)记M=“此人三次答题后，乙罐内恰有 红、黑各一个球”， A:=“第i次摸出红球，并且答题正确”，i=1, 2,3: B,=“第j次摸出黑球，并且答题正确”，j=1, 2,3: C:=“第k次摸出红球或黑球，并且答题错误”， k=1,2,3, 所以M=A:B:C3+B1AzC1+A,C:Ba+ B1C2Ag十C1A2B,十C1B:A 又PA-号x分-高P,a)-号x号 21 11 =4:P(C,AB:)=1X2=2: 所以P(A1B,Ca)=P(A1B2)·P(C|A1B2) =P(A)·P(B,A)·P(CaA:B:) 3、1、13 =10×4×280 同理：P(B1AC3)=P(AC2B,)=P(B1CA,) =P(CiA:B,)=P(C:B:A)-80 3 3 9 所以P(M)=P(AB:C)X6=80×6=40 ·数学· 参考答案及解析 (2)①第n次后游戏停止的情况是：前n一1次 (2)因为x= (x1十x1十x十x4十x)=2024 1 答题正确恰好为4次，答题错误n一5次，且第n次 5 摸出最后一球时答题正确， =404.8, 所以a.=c(2)'(2)×2=c(2)” 依题意t=1时，即当1≤i,j≤5时，max(x:一 x;)=1, ②由①知a,=C(2广， 所以max{x,}=405,min{x,}=404, 设有y个405，则有5-y个404，由405y+404 c() n！ 41(n-厅×2 (5-y)=2024,解得y=4, 所以“出」 所以x1,x2,x8,x4,x中有4个405,1个404， a c() (n-1)！ 4！(n-5)川 所以方程①的解共有5组. ③)因为平均数工=红++x+x4+x) 2(n-4) 令2m”D≥1，解得n≤8：2-D<1,解得n -2024=404.8, 5 >8,因为n为整数，所以n≥9. 又方差-号2u,-八，即5对-2u,- 所以a5<as<a7<ag=ag>a1o>a1n>, 35 所以a,的最大值是a=a,一256 =2x-5z, =1 所以S=5a2+5x,因为工为常数，所以当方差 19.解：(1)若x+1一x:(i=1,2,3,4)等于同一常数， σ取最小值时，S取最小值， 根据等差数列的定义可得(x:}构成等差数列， 又当t=0时，x1=xg=x1=x4=x5,即5x1 所以x1十x:十xa十x4十x6=5x3=2024, =2024,方程无正整数解，故舍去： 解得-224，与€N矛质。 当t=1时，即(x1,x2,x1,x4,x6)是1一密集 时，S取得最小值， 所以不存在一组解(x1,x2,x1,x4,x6),使得 且Sn=4×4052+4042=819316. x+1一x:(i=1,2,3,4)等于同一常数. 2024一2025学年度单元过关检测（十六） 数学·计数原理 一、选择题 1.B【解析】由A:=C得n(n-1)= 5.C【解析】(2-)1-2x)=2×(1-2x)- n(n-1)(n-2) -,n≥3，n∈N,解得n=8. 3×2×1 二.(1-2x),(1-2x)的展开式的通项公式为 2.A【解析】落在第一象限内点有2×2=4个，落 T,+1=C(-2x)'=(-2)rCx,r=0,1,2,3,4, 在第二象限内，点有1×2=2个，所以落在第一象 所以2×(1-2x)展开式中x3项的系数是2 限和第二象限内的点一共有4十2=6个， ×(-2)C=-64,二.1-2x)展开式中x 3.C【解析】1与4相邻，共有A好=2种排法，两个 2之间插入1个数，共有C=2种排法，再把组合 项的系数是×(-2》C-24 好的数全排列，共有A=6种排法，则总共有2X ,所以-64-24 2×6=24种密码. -58,解得a=-4, 4.B【解析】由二项展开式的形式可知，每一项的 6.C【解析】令x=1,则(1+1)(2-1)5=a。十a1 系数和二项式系数相等，所以第6项的系数是 十a2十…十as,即ao十a1十ag十…+as=2,令x C,所以2=5，得=10， =-1,则(1-1)(2+1)°=a0一a1十a:-…十a8, 即a0-a1十a2-…十as=0,故(ao十a1十a2十 十ag)-(a-a1十a2-…十a6)=2-0=2,即 ·23 A2024一2025学年度单元过关检测（十五） 数学·统计与概率 (考试时间120分的，总分150分) 一，选择题{本整共常小显，每小题5分，共0分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是 符合整日要求的】 藏号 2 4 5 78 答案 1.某单位有取工500人，其中男性积工有320人，为了解所有肌工的身体健康情配，按性别 采用分层抽样的方法挂表100人进行调查，侧抽取到的男性现工的人数比女性取工韵 人数多 A.28 且.33 C,32 D.36 2,2023年某城市美食节期同，依据小壬与小张2023年12月1目至12月7日母目外卖的 单数《单位：单)数据，整理并绘剂成所线图（如因），小王与小张两组数居的平均数分别 为宝玉亚童，标准差分料为s:,5。,喇 八，z里<Fn里<3 且r<于售>国 C不里>xw生<阳 九x>r第s里>■ a.甲，乙两人次从标有数字1,2,3,4,3,6的六张卡片中备拍取一张（不度回），群两人均 抽到标有妈数数学的卡片的概率为 B号 e 方 单元过关检测（十置）数学第1页（热8夏 衡水真 4,如图，从正六边形A:A:A:的六个顶点中任取三个点构成三角形，则能构成等腰三角 形的氧事为 姓名 得分 3 6 2 5.某校有甲，乙等5名司学到4个杜区参加志里眼务活动，要求每名同学其们去1个杜区， 每个杜区至夕安律1名同学，则甲，乙2人被分配到不同杜区的氧率为 c号 6,随籍我同候路的发展，列军的正点率有了量著的提高，摆统计，宽经某车站的只有和 谐号和复兴号列车，且和谐号列车的列放为复兴号列车的列次的2倍，和腊号的正点 率为0.8，复类号的正点率为0.9，今有一列车表正点到达核站，期依列车为和谐号 的鬟率为 A,0,2 且0.s C0.6 D0.8 无从甲袋中装出一个红球的概米是写：从乙毅中出一个红绿的藏半是从两袋中各换 出一个感，则下列结论情误的是 A.名个球都是红味的度率为 且2个球中怡有1个红球的氧率为司 C至少有1个红球的概率为号 D,2个球不都是红缘的概率为三 8,在某次考试中有一道4个选项的双选题，其中B和C是正确选项，A和D是精误远项， 甲，乙两名同学都完全不会这道题日，只能在4个建项中随机选意两个路璞.设事牛M 一·甲，乙两人所遗选项恰有一个相同”，事件N一甲，乙两人所这边项完全不月”，事件 X一·甲，乙两人所选选项完全相同，事作Y一甲，乙两人均未选择B选项，则《》 A.事件M与事件N相互独立 玉事件X与事件Y相亚陆立 C,事件M与事件Y相互独立 D.事件N与事件Y相互粮立 花卷 单元过关检测十五}数学第2页（共5页】 二，速择题（本愿共3小显，解小题6分，共18分，在每小题给出的透项中，有多项杆合题日 要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选情的得0分》 题号 10 11 答案 9.一家公司为了解客户对公司新产品的高意度，随机选取了稀名客户进行评分调查，将评 分数近行适当分组后（每组为左闭右开的区间），画出的规率分布直方图如图衡示，其中 有8名客户的评外数落在[40,50)内，黑 1响胞 A.图中的a=0.006 孔用=200 二，司组数据用该组区闻的中点领作代表，则评分的平均数为6.2 D.该公司计划邀请评分数低于第25百分位数的客户参与产品改进会议，若客户甲的评 分数为1，则甲将会被遂请参与产品改进会议 10,随着春节的修近，小王和小张等4位同学在备互相送视福.他们每人写了一张祝福的 舅卡，这四张贺卡收齐后每人从中随机袖取一张作为收到的新春祝福，则 t> 人小王和小来给好互热了顿卡的氧率为后 县在已如小王挂到的是小张可的贺卡的条件下，小强拍到个王写的贸卡的概率为 C.恰有一个人抽到自已写的贺卡的领率为； 口每个人输到的载卡都不是自已写的餐率为 11,有一组样本数据0,1,2,3,4，溶加个数X形成一组新的数据，且P(X-无》一 40,1,2,3,4,5)),侧新的样本数据 个众数是1的氧率是 2 且板港不变销新率号 C第25百分位数不变的概率是三 D平均值变大的概率是三 单元过关松测（十五）数学第3面（黄8夏 衡水直 三，填空题（本题典3小题，每小题5分，共15分} 12我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界幅先的成是，哥海巴赫精想 是，每个大于2的偶数都可以表示为两个质数的和，如14一3十11，在不品过15的质数 中，随机选取2个不同的数，其和为偶数的极率为 1设同一随机达龄中的两个事件A,B满足P6A)一号，P(B)-专，PA国-子，测 P(A:8)- 4 14,若一锌本数据11…，.的平均数为10，另一担样本数据21十4,2：十4， 2x。+4的方差为8，则两组样本数据合并为一组样本数据后的平均数是，方 是 四，解答道（本随共5小题，共7分.解答应写出文字做明，证明过程或商算步骤】 15,(]3分)甲，乙两人准备参加某电视白举办的地理知识抢签赛，比赛规则为：每轮比春每 人随机在题岸中前取一道题作容，答对得1分，答错成不答得0分，量后得分多的获胜， 为了在比赛中取得比较好的属镯，甲，乙两人在比翼甫进行了针对性再练，调娇后的答 题情况如表， 甲 乙 邮可现日个数 120 10 答情个数 24 20 若比赛中每个人同容正确与香相互之间没有影响，且用颗率代替氧来， (1)结计甲、乙同人在比赛时对题的概率： (2)设事件A-“某轮比赛中甲.乙至少有1人刺1分”，求P(A) 题花鞋 单元过关检测十五}数学第4页（共5页1 16,《15分)某企业在相聘员工时，皮同者需要参加测其，侧试分为初试和夏试，初试从5道 17,(15分)在某果国的苗国进行果当病虫言调查，随机初查了20模受到某病虫害的果 藏中阵机选择8酒避回答，转暮对一题得1分，答错得0分，材试得分大于或等于2分 苗，并测量其高度A(单位：m),羽到如下样本数基的颗率分布直方图.图中，b,c业 才能参加复试：复试每人同答A、B两道题，每答对一题得？分，签馆得一1分，已知在 等差数列，公差为0.01. 初试5道题中甲有3道远能答对，乙有2道哪能答对：在复试的A,B两道期中，甲每题 能答对的餐率椰是了·乙年题能答对的概米都是子 (1)求甲，乙两人各自能通注初试的概率 (2)若酒试总得分大于或等于4分为合格，清问，在参加完测试后，甲，乙谦合格的概率 更大？ (1)求年b,e的值： (2)估计该齿置受到这种病虫害的果苗高度的中位酸和平均值（间组数累用该组区闻 的中点值代表)： (3)估计该青国一假受到这种病虫害的果省高度位于区闻[D,45)的概率. 单元过关松潮（十五）数学第3面（携8面》 衡水直题密蓉 单元过关检测十五}数学需6页（共B页】 18,《17分)有甲，乙两个不透明的罐子，甲罐有3个红球，2个丽球，球除例色外完全制可 19,(17分)将2024表示成5个正整数x:F:141之和，得到方程1十：十T1十4 某人做摸球答莲静烧.规雨如下：每次答题前先从甲内随机额出一球，然后答莲，若 十士：一224①，称五元有序数组（工121，工4,2）为方程①的解，对于上述的五元有 答题正确，则将流球校人乙罐，若答情误，则将该球放财甲罐.此人答对每一道墨目 序数组(x1:4r1r),当1i,j5时，若max(x,一g,》=(∈N),期称(x1, 的抵率均为分当甲速内无球时，游攻停止假设拼始时乙储无球 王1，x4,》是1一图第的一组解。 (1)方程0是香在在一组解(1x4,使得无+1一（行-1,2,3,4）等于同 《1》求此人三次答题品，乙耀内恰有红球，■球各1个的概率 章数？若存在，请求出该常数：若不存在，请说理由. (?设第n(m∈N”,知5)次答题后静戏停止的概率为a. (2)方程少的解中共有多少里是1一密集的？ ①求a.F (3)妃5=之x}同5悬管存在最小值若存在，请求出5的最小值：若不存在，请说明 ②。是者存在最大值？若存在，求出最大值，若不存在，请说明理由， 4=1 理由， A 单元过关松潮（十五）数学第7面（携8面} 衡水直题密蓉 单元过关检测十五}数学需8页（共B页1