单元检测(十三) 直线与圆的方程-【衡水真题密卷】2025年高考数学单元过关检测（A版）

2024一2025学年度单元过关检测（十三） 数学·直线与圆的方程 (考议时简120分铃，感分150分》 一，选择照本丽共8小用，誓小丽5分，共0分.在每小哪台出的四个选项中，只有一项是 符合整目要求的1 题号 1 4 6 7 8 靠案 1已知直线一y+1-0一y一2-0，期后-一1是4上“的 A.充分不必要条件 弘必要不充分条件 C充要条件 D.辰不充分也不必要条作 2.已如集合A=(x,y》y=x),B=(士，yx+y=1},则A门B中元素的个数为 A.0 B.1 C.2 D.无数个 3.已知直线1过点(0.3)，且与直线，万x一y十3一0及x拍田成等腰三角形，期1的方型为 A5x+y-8-0 弘.3x-3y+9=0成3x-y+3-0 C3x-y+3=0 D.5r十y-3=0线x一38y+0-0 4,已知图0的方程为x+y”=9,直线1过点P(1,2)且与圆0交于M,N两点，当蕊长 MW最题时，ai,MN= 【) A-4 且一8 C.4 1D,8 5,过直规1：3r十4y=b上的点P引周C:x十y'一2x一2y十1=0的两条切线PA,PB 者∠PB的最大值为智，则6的值为 ( A.-3度17 且-3或16 C-2我17 D.-2或16 单元过关松潮（十三）数学第1面（热8夏 衡水直 五，若直线I:l为调C:x+y'=1与C:1x十y-6x一y=0的公切线.设11，l:的突 角为8，则n9的值为 c号 姓名 7,已每Q为圆A:(x一1)十y一1上动点，直线：mx一Jy十3m十2w一0和直线：x 十周y一6m十-0，，wER,网十e0的交点为P,则PQ的最大值是 得分 A.6十5 B4-5 C5十5 D1+5 B,己每由线y一x一2mx十网一1与x轴交于不同的两点A,B,与y轴交于点C,则过A, B,C(A,B,C均不重合》三点的图的半径不可能为 25 C.I 02 二，珠择罩（本共3小盟，每小要6分，共18分.在每小围给出的选项中，有多项符合器日 要求，全部透对的得6分，留分透对的得部分分，有选错的得0分】 题号 10 荞案 0.已每周M:x十y3-4x-5=0,则 A.点(4，)在M外 B.国M的常整为3 C.M关于直线x+3y-2一0对称 D直线x+y=0藏圆M的岳长为园 10:已每周0：r十y一2x-3-0箱惯O1:x十y一2y一1=0交于A,B两点，期 A.两属的国心距10，O:=2 且.直线AB的方程为x-y十10 C.A D.圆O1上的点到直线AB的量大距离为2十区 11.已知圆C:(x-4)F+y2=4,A,B是圆C上的周个动点，且|AB引-2万.设A《x1, y,B(y:)线段AB的中点为M,则 A∠ACB=晋 B.点M的铁连方程为（上一4）十y2=1 C.工：十行的最小值为6 D.z1一n十1川+1z:一：十1的最大算为10十，② 题花鞋 单元过关检测十三}数学第2页（共5页1 A 三、填空题（本愿共3小题，每小题5分，共15分】 16,(15分)如图，在宽为14m的路边安装路灯，灯住M高为8m,灯杆PA是半径为r的 12,已知直线x一2y十1-0：4：x十my十2-0，若41∥4，则4，的距商为 属C的一段劣气.路灯果用锥形灯罩，灯草顶P到路面的距真为1Om:到灯柱4箭在 13.已知W01:x2+y一(2m一10)x一2my十2m一10m十16=0与圆0：x1十y2一6x十 直线的距商为2m.设Q为灯罩轴线与路面的交点，属心C雀线段PQ上.以0为原 2y+15一ú2一0相交于A《士1，B(x13)网点，且调足x号十1一1+y5,测 点，OA所在直线为y轴建立平直直角坐标系 m (1)当点Q恰好为路直中点时，米此时圆C的方程： 14.已知fx)■ =子，-11若直线y-与f()有2m个交点n∈N,则 (2)记周心C在路面上的财影为日，且H在线程OQ上，求Q的最大值， fx-2,x>1. 十十十：= 西，解答题{本愿共5小丽，共T7分，解答盛写出文学说明，证明过醒或演算步骤引 15.《13分)已知A(2,0),B(1,3) 《1》过点A作直线1：交直就：2x十y+1m0和直线1：1x一ym0于E,两点，A为 线QEF的中点，求直线具的方图： (2若遥C的周心在直线x-2y+1-0上，图C经过点4，B,求周C的方程 A 单元过关松潮（十三）数学第3面（携8面》 衡水直题密蓉 单元过关检测十三)数学需4页（共B页】 17,(15分)已知WCx+y2-#一25=0>0分别与x相￥轴交于点P,Q(均异于坐 1B,(17分)已知点A一1，，B(1,0》,直线：F+y十e=,其中年b,r∈R,点P在直 标取微O,过点B,0>作两条直线：斜*分别为且，一一直线么与 线（上. (1)若g,c是常数列，求引PB引的最小值： y轴交于点F,直或：圆C交于A,B两点 (2)若ab,心是等泰数列.且PA11,求PB1的最大算， 1)若P(6,0),AB=G,求直线1：的方程： (3)若正，b,C是等比数列，且PA⊥1，求PB的取算葱国. 《②若取点O列直线PQ的离为号，求△ABF面积的最小位 单元过关松潮（十三）数学第3面（携8夏} 衡水直题密蓉 单元过关检测十三}数学需后页（共B页 1,(17分》如图，在平面直角生标系中，P为直辑y=4上一功点，到0：：3十y=4与x帕 的交点分别为M,N,与y轴的交点分财为5，T, (1)若△MTP为等爱三角形，求P点坐标 (2》若直线PT,P5分别交周D于A,B两点 ①求证：直线AB过定点，并求出定点峰标. ②求四边形ASBT面积的最大值 A 单元过关松测（十三）数学第7面（携8夏 衡水真题密参 单元这关检测十三)腔学第8页（其5页1·数学· 参考答案及解析 即d=一 1 的证明过程知： (k+1) a1≥0，a2≥0，…，4m≥0，am+1≤0，am+2≤0，…， 1 由a+1=0得a1一克·k(k+1D =0,即a1= a.≤0，且a+1+an++…+a,=-2 1 若数列{S),i=1,2,3,…,n为n阶“曼德拉数列”， k+1' 记数列{S,},i=1,2,3,…,n的前k项和为T4, 1 1 所以a,=市一(n一D‘k十D 则工号 =-kk+D十6，n∈N·n≤2k十1. 所以T.=S,+S++S.< 1 1 综上所述，当d>0时，a.=k+D一友n∈ 又S.=2,所以51=S:=…=S.-1=0, n 1 Nn≤2k+1当d<0时，a.=一kk+D十 所以a1=a2=…=am-1=0,am=2 1 n∈N·,n≤2k+1. 又antl+an+e+…+a,=-2, (3)记a1,a:,,a。中非负项和为A,负项和为 所以Sm+1,Sn+2,…,S.≥0， B,则A十B=0,A一B=1, 所以|S1|+|S:|+|S|+…+|S.I=S1+S 得A-:B=,-B<8,<A-脚 +S,十…+Sm, 所以S:+S2+S:+…+Sn=0与|S1|+|S: 152k=1,23…m +|S,1+…+|S.|=1不能同时成立， 所以数列{S,},i=1,2,3,…,n不为n阶“曼德 若存在m∈1,23，…，n,使S.-2,由前面 拉数列”. 2024一2025学年度单元过关检测（十三）数学·直线与圆的方程 一、选择题 当等腰三角形底边在工轴上时，直线！的倾斜角 L.A【解析】图为直线l1:ax一y十1=0，lz:x by-2=0,所以当11⊥12时，a·1+(-1)(-b) 为云了-行，斛率为一3，当等腰三角形腰在 =0,即a+6=0,即分--1或a=b=0,所以4 轴上时，直线1的领针角为号 3=6,斜率为 =一1”能推出“上2”，而“%1L山2”不能推出 3 b ，所以由点斜式可得1的方程为y一3=一3工 1”,所以“。=一1”是“11，”的充分不必要条件 或y-33x,整理得1的方程为3x+y-3 2.C【解析】根据题意，A∩B中的元素满足 化1释9)(-要.》 0或3x-3y+9=0. 4.B【解析】当MN最短时，直线l⊥OP,IOP| 3.D【解析】直线3x-y十3=0的斜率为√3，所 =+2=5,|MN|=2√32-(5)= 4,OM.MN=|OM1·IMN1cos(x-∠OMN) 以倾斜角为，国为直线1过点(0,3)，且与直线 --IMNI IMNI 2 =-8. √3x-y十3=0及x轴围成等腰三角形， (03) 3x-y+3=0 ·9 衡水真题密卷 单元过关检测 5.A【解析】圈C的标准方程为(x一1)2+(y √(1+2)2+4=5，则|PQ|m=5十r1十r2=5十 AC 1 1)2=1,设∠APB=20,则sin0= PCPC' 5+1=6+5. 所以PC-品0周为29的装大值为行所以 PC= 1 =2,所以国心C(1,1)到直线1：3x 元 sin 6 +4=b的矩离为2，所以13X1+4X1-6 32+4 2,解得b=-3或17. 8.A【解析】依题意，设点A(x1,0),B(x2,0),则 6.D【解析】圆C1:x2十y2=1,圆心为C1(0,0), x1,x:是方程x2-2mx十m一1=0的两个实根， 半径r1=1,C2:x2+y2-6x-8y=0→(x-3) △=4m2-4m+4=(2m-1)2+3>0,x1+x2= +(y-4)2=25,圆心为C2(3,4),半径r2=5,则 2m,x1x2=m一1，显然点C(0,m-1),当m=1 1C,C:|=√32+4=5<r1十r2=6,则两画相交， 时，曲线y=x2一2x过原点，点C与点A,B之 有两条公切线， 一重合，不符合题意，则m≠1，设过A,B,C三点 的圈方程为(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0),由y =0,得x2-2ax十a2十b2-r2=0,显然x1,x 是方程x2-2ax十a2+b2-r2=0的两个根，于 是 2a=2m, a2+b2-r2=m-1, 又a2+(m-1-b)2=x2, 联立解得a=观，6=受2=” m2-m+1,又 如图设两直线交于P,11,l2的夹角为0，设C1T ⊥1于T1,CT:⊥l1于Tg,则∠CPTg 2,C,T-n=1,CT,=r=5,由几何关 1 √5 m=1或m=-5时r=2 系知： 0-0=1CC=5,代入1=1， 所以过A,B,C三点的圆的半径的取值范围是 sin 2 sin 2 84 03 [5,U(停+).D均可能，A不可色 n=5,得sin2-5,则cos2-写，所以m0= 二、选择题 0024 9.BC【解析】因为圆M的方程为x2十y2一4x一5 2sin 2cos 225' =0,所以圆心M为(2,0)，半径为3，故B正确， 7.A【解析】l:mx一ny十3m十2n=0,lg:nx十 因为圆心M在直线x十3y一2=0上，所以圆M my一6m十n=0,有m×n+(-n)×m=0,故l1 关于直线x十3y一2=0对称，故C正确，因为x ⊥l2,对l1有m(x十3)十n(2一y)=0,故l1过定 =4,y=0时，42十02-4×4一5=-5<0，所以点 点B(-3,2),对l2有n(x+1)十m(y-6)=0, (4,0)在圆M内，故A错误，因为国心M(2,0)到 故12过定点C(一1,6)，则BC中点M为 直线x十y=0的距离为d=√2，所以直线x十 (-,2生)，中M(-2,4).1BC1- y0截圆M的弦米为2√F-d=2√32一(W2)= -3+D+(2-6=25,则BC=5,故 2√7，故D错误. 2 10.BD【解析】圆O::x2十y2-2x-3=0的图心 点P在以BC为直径的圈上，该國圆心为M(一2， 为(1,0)，半径为2；圈02：x2+y2-2y-1=0 4),半径为5，又Q在圆A:(x-1)2+y2=1上， 的国心为(0,1)，半径为√2，对于A,两圆的圆 该圆國心为A(1,0),半径为1，又AM= 心距|O1O2|=√1+I=√2，故A错误：对于B, A *10 ·数学· 参考答案及解析 两圆相交，两个圆的方程作差可得一2x十2y一2 =0,即x-y+1=0,故B正确：对于C,O1到直 12.台【解析】由直线1：江一2y十1=0，可得直 线AB的距离为2=2，所以AB1=2V2=2= 1 2 41的斜率为2因为6∥1，：江十my+2=0, 2√2，故C错误；对于D,圆O1上的点到直线 所以2一解得m=一2.由平行线间距离 1 1 AB的最大距离为r1十d=2十√2，故D正确. 11.BC【解析】对于A,由题意得C(4,0),半径为 公式可得，山1山2的距离为1一21=5 r=2,由垂径定理得CM⊥AB,则CM|十 √/12+(-2)5 (2)-4,解得1CM=1,南于CM- 2 13.【解折】0+y2-(2m-10)x-2my r 别∠ACM=∠BCM=60,故∠ACB-行故A +2m2-10m十16=0的圆心为01(m-5,m), 年径，=/②m-10+(2m产-42m-10m+1D 错误：对于B,由A选项可得，|CM=1,故点M 2 的轨迹是以C为圆心，半径为1的圆，故点M =3.圆02：x2+y2-6x+2y+15-a2=0, 的轨迹方程为(x一4)2十y2=1,故B正确：对于 即(x-3)2+(y+1)2=a2一5，所以圆心为 C,由题意得OA+OB=2OM,OA-Oi= 0:(3,-1),半径r2=√a2-5(a2-5>0).由于 2BM,两式分别平方后相减得，OA·OB x十y=x十y,所以|OA|=|OB|,O是坐标 =OM2-1BM12=1OM2-3,其中OA·OB 原点.即两园公共弦|AB|的垂直平分线过O, =x1x2十y1y8,又点M的轨迹方程为(x一4) 根据两圆相交弦的性质可知，公共弦|AB|的垂 +y2=1,所以|OM1的最小值为|OC1-1=4 直平分线为O1O2,所以OO1/1O02,所以(m一5) 1=3,故x1x2+y1y:=|OM2-3的最小值为 9一3=6，故C正确： X(-1)=mX3,解得m=年 14.2m十【解析】当-1≤x≤1时，y=f(x)= √1-x,即x2+y2=1,y≥0，当x>1时， ∫(x)=∫(x一2)，所以函数的周期为2，画出函 数图象，如图所示： 对于D,2y+1 可看作点A到直线x一y 2 十1=0的距离，同理，一十1可看作点B √2 到直线x一y十1=0的距离，故 若直线y=k.x与f(x)有2n个交点，根据图象 x1-y1+1|+|x2-y:+1 知，直线y=k.x与第n十1个半圆相切，其國心 可看作点M到直 2√2 为Om+1(2n,0), 线x一y十1=0的距离，点M的轨迹方程 不妨设切点为P,连接PO。+1,所以在 为(x一4)+y2=1,故点M到直线x-y十1= Rt△OPO+1中，tan∠POO+1= 1PO.+1 0的距离最大值为圆心到x一y十1=0的距离 OPI 1 加上*径，南+1=号+1，故 √(0.+10)-1下 =k。,km= √+I 2m)2-1 1x-y+1+|:-+1<52+1,所以 ,故：=（ 2 '- 2√2 x1-y1+1|+x?-y:+1|≤10+2W2,故最 2a-2a+D2(n2动），所以 1/1 1 大值为10十2√2，故D错误. 三、填空题 +好+…+好--号+号-+…叶 *11: A 衡水真题密卷 单元过关检测 1 1 12-2√20=12-45， 2m-12n+1)2m+1 四、解答题 当且仅当9-。即。=2后时取等号。 15.解：(1)设直线L与直线l1交点E(m,-2m 所以|HQ|的最大值为(12一45)m 1),直线l与直线L2交点F(n,n), 17.解：(1)将P(6,0)代人圆C的方程，解得t=6, m十n=2, 所以圆C的方程为x2+y2-6x-2y=0, m=1, 由题意可得： -2m-1+1=0 解得 即(x-3)2+(y-1)2=10, n=3, 2 所以圆心C的坐标为(3,1)，半径r1=√0， 即E(1,-3),F(3,3) 根据题意得，直线L:的方程为y=k:(x一1)，即 所以直线1的方程为}-二号，即3：y6 k2x一y-k:=0, =0. 所以圆心C到直线2的距离d,=2:- √+I (2)由题意可知：直线AB的斜率加-8 -3,线段AB的中点为（号，》。 可知线段AB的垂直平分线方程为y一 2 号(-2)，即x-3y+3=0, 因为|AB|=6,所以6=2√F-d 联立方程 x-3y+3=0, 解得任=3·可得圆的 2/10-(2k,-1 ,解得=0合)或：=兰 x-2y+1=0, y=2, √+1 故直线l2的方程为4x一3y一4=0. 圆心为(3,2)，半径为√(3-2)+(2-0)7=√5， (2)令x=0,得Q(0,2),令y=0,得P(t,0), 所以圆的方程为(x-3)2+(y一2)2=5. 16.解：(1)A(0,8),P(2,10),Q(7,0), 所以直线PQ方程为+名-1，即2x+y一24 所以直线PQ的方程为2x+十y-14=0. =0. 设C(a,b),则 a-2+(6-10)2='两式 a2+(b-8)2=r2, 由原点0到直线PQ的E离为得一 4+1 相减得a+b一10=0， 又2a+b-14=0,解得a=4,b=6, -46 ，结合>0，解得1=4， 所以r=√4+(6-8)=25. 故圆C的方程为(x-2)2+(y-1)2=5,圆心坐 所以圆C的方程为(x一4)2+(y-6)2=20. 标为(2,1)，半径r2=√5. (2)由(1)知a+b-10=0, 根据题意得，直线2的方程为y=k,(x一1)，k: 当a=2时，灯罩轴线所在直线方程为x=2,此 1 时HQ=0, ≠0，则1的方程为y=一 x-1), 当a≠2时，灯罩轴线所在直线方程为y一10= .1 2-2 则点(o,),所以EP-+ 又圆心C到l,的距离为d:= 1k:-1 令y=0可得=12-2，母Q12-2o), ,所以 √1+k 因为H在线段0Q上，所以12-20≥a,解得2 AB|=2√r-d=2 4k+2k,十4 1十k ≤a≤10. 所以1HQ1=12-20 a=12-(0+a) ·12, ·数学· 参考答案及解析 所以x十qy十q2=0,q≠0， 设P(xy),则是= 因为PA上，所以·点=行×（一） 一1，可得yo=g(x。十1)①， 又因为点P在l上，所以x。十qya十q=0②， 所以S△ABP= AB1·EF1-× 将①代人②可得x0十g2(x。十1)十g2=0,即(1 4k十2k2十4 1 +g2)x。+2g2=0, 2 1+k程 1+ 2q3 层++4-++≥ 所以x=一1十g' √ 2 所以|PB|2=(x。-1)2+y=(x。-1)2+ 当且仅当k:=一4时等号成立， q2(x0+1) 所以△ABF面积的最小值为否 （+(器+ 18.解：(1)若a,b,c是常数列，则a-b一c≠0， 故直线1的方程为x十y十1=0， -(+ 1+0+1=2, 令1+g2=t>1,92=t-1, 则点B到直线1的距离为 /1+I 所以PB=(,是}'+u-1D(2号)广- 所以PB的最小值为√2. t3+4t2-4t (2)若a,b,c是等差数列，则2b=a十c, =t一 十4 所以直线l:2ax十(a十c)y十2c=0, 整理得l:(2x十y)a十(y+2)c=0, 因为y=t一 +4在(1，十∞)上单调递增， t 2+y=0可得任=1， 的 此时直线！恒过点 y+2=0, y=-2, 所以y=4-1+>1+4=1,所以PB>1, M(1,-2), 所以|PB的取值范围是(1，十∞). 又因为PA⊥I,即PA⊥PM, 19.解：(1)设P(t,4),由题意得M(一2,0)，T(0, 所以点P在以AM为直径的圆上， 2),MT=2√2， 因为A(-1,0),M(1,-2), 当PT=MT时，即√+2=22， 所以圆心为(0，一1)，半径r= 解得t=士2，当t=2时，P,M,T三点共线，舍 21-0+(-2-0=反， 去，所以P(-2,4), 圆的方程为x2+(y十1)2=2(x≠士1)， 当PM=PT时，即√(t+2)+4=√+2， |PB最大值即为点B(1,0)到圆心(0，一1)的 解得t=一4，所以P(一4,4)， 距离再加半径， 综上P(一2,4)或（一4,4）. 所以|PB|.=√(1-0)2+(-1-0)产+√2= (2)①设P(t,4),t≠0，T(0,2),S(0,-2),kpm 22. 6 krs=tkns=3km (3)若a,b,c是等比数列，则b2=ac,且a≠0，b 因为ks·kPr=一1，所以kP5·kAs=一3， ≠0，c≠0， 设直线AB:y=kx十b(斜率存在)， 将ax十by十c=0两边同时除以6得：号x十y 联立x2+y2=4,消去y可得(1+k2)x2+2kbx +b2-4=0, 设A(x1y),B(xy2), 设总-后=90所以宁+y+9=0, -2kb b2-4 则x1十x1十k2xx4=1+k ·13 A 衡水真题密卷 单元过关检测 2b b2-4k2 放y1十业=1十y·归=1+产，k8·s 4k2+3 =4 √(1十k)3’ =kAs·k= (y1+2)(y2+2) =一3 令1十2=m≥1， I1.x3 所以一：十46+4+4： 4k2十34m-1 =-3→b=1或-2 则1+k2) m ()'+4()≤3，当 b2-4 m=1时，取得最大值， (會去)， 所以当直线AB:y=1时，四边形ASBT面积 则直线AB:y=kx十1， 有最大值4√3. 所以直线AB恒过定点(0,1)， 当t=0时，AB:x=0过定点(0,1)，符合， 综上，直线AB恒过定点(0,1). -2k -3 ②由①得x1十x1+友x121=1+' 则S网边形Asr 2X4Xlz-tl =2√/(x1十x2)-4x1x2 4k2 12 =2,√ā+交十1+ 2024一2025学年度单元过关检测（十四）数学·圆锥曲线的方程 一、选择题 =r为定值，又因为点A在國外，所以|OA|> 1.D【解析】直线3x十2y一6=0与x轴的交点为 |OP|,根据双曲线的定义，点Q的轨迹是以O、 (2,0,所以把物线C的焦点为(2,0，故号-2。 A为焦点，r为实轴长的双曲线. 解得p=4,所以抛物线的标准方程为y2=8x, 5.D【解析】依题意，由y=-3x+ 2x,可得 2,B【解析】双曲线交- 4-9 =1的焦点坐标为 y-3x-6x+2 ，所以在原点处的切线斜率 (士√13,0)，渐近线方程为3x土2y=0,则该双曲 线的焦点到渐近线的距离d=33 y1= ?,又因为双曲线的渐近线方程为 =3. √13 3.B【g标】由已如可得特国后+ ,所以么 a 2,故渐近线方程为工士2 --1的焦点在 m x轴上，故a2=m,b2=4,c=1,则a2=c2十b2= y0设双曲线的左项点(-a,0),d=g-2y5 → 33 5,即m=5. a=2√2，所以b=2,从而双曲线的标准方程为 4.C【解析】连接QA、OA,如图所示： z:y2 P 84=1. 6.D【解析】由3F2A=-2F:B,可设|F2A| 2t,|F:B|=3t(t>0),则|AB|=5t,由对称性知 |F,B|=|F,B|=3t,由题可知F1A⊥F1B, 则下，A=:,c0s∠F1AB=号，由精国的定义 因为I为PA的垂直平分线，所以QA|=|QP|, 所以1IQA|-QO1I=1IQP1-QO1I=1OP| 知AF:+|AF1=6d=2a,则1=号，在 *14,