单元检测(十二) 数列的通项公式和求和-【衡水真题密卷】2025年高考数学单元过关检测（A版）

·数学· 2024一2025学年度单元过关检测（十 一、选择题 1.C【解析】因为2am=2a+1一1，所以am+1一a. 1 1 =2,所以数列a,}是以1为首项，2为公差的 等差数列，所以am=1+(101-1D×7=51. 2.A【解析】令m=n=1,根据已知可得a2=a= 2,令m=1,则a+1=a1a.,所以8=a1,所以 a。 数列{a.}是首项和公比都为a1的等比数列，所 以a2十a4十a每十…十a1ot4是首项为a2=2,公比 为af=2的等比数列的前1012项之和，所以a:十 2·(1-2412) a4十a6十…十az4 =2118-2. 1-2 3.C【解析】国为am+1(1一an)=1,所以am+1= 1 1 1 1=0,由a1=3,得a4a一2，网理可得 2 1 2 a=3,a4=3,a=一2a4=3,…,所以数列 1a,是网期为3的数到，所以5a=6X(3-号十 )+s-号 4B【解析】由1十a ait-ai =2n,得a+1十a= 2na+1-2na,即(2n-1)a+1=(2n+1)a:,整 里得2a节2片因地数列2}是 a+1 a a:ai 常数列，则。 07-9=1,又a,>0,所以a. √2m-1,所以a111=√225=15. 5,D【每扬】当a=1时a,-5-3号-号事 ≥2时a.=5.-5.1=3”2_3-1-2-4 3”3-130,所 以n=1不满足n≥2的情况，所以4。= 1 3n=1, 对于A,当n≥2时，由指数函数单调 3m,n≥2， 4、4 性可知3>3市，所以a,>a,+1,故A错误：对于 B,因国为51-S.=312_3-2.4 3"+1 3 3+>0, 参考答案及解析 二)数学·数列的通项公式和求和 所以S,+1>Sm,故B错误：对于C,当n=1时， 2a1十S1=3a1=1,满足；当n≥2时，2am十S。= +3二2=3十6≠1，不满足，故2a+5=1 3 3" 不恒成立，故C错误：对于D,当n=1时，a:=3 ∈(0，]，满足，当n≥2时，由指数画载的单调性 可知a,亭为递减载到，此时a,<a:-号且>0 4 -4 4 恤成立，所以0Ca,≤g也满足，所以0<a,≤g 故D正确。 6C【解折】由题意f)-0兰，f(x) 血w血z_Bmr+ e e 令fx)=0,即cos(红+）=0，即x+受-受 十k,k∈Z,所以x=吾+k,k∈乙，又x∈[0， 十©)，所以x,是以为首项，元为公差的等差 到，即x,=-十n,n∈N,当n=2张-1之 ∈N时，a,=f(x.)=反 2 2e背+m2e5+-10x b,n∈N”,当n=2k,k∈N·时，a.=f(x.) √2 2e+ 2e7+ =c4,n∈N,从而 S:4=(a1+48十…+a2os)+(a:十a4+…+ az4)=(b1十…十b1m2)+(c1+…十c1z)= 0-ey叮 三[1-(e)1] 2e7 + 1-e领 1一em √2(1-e)[1-(em)1]V2(e-eor) 2ei (1-e-") 2e(e+1) 7.D【解析】因为{an}的前n项和为S。=n2十 (20+λ)n,A<0,n∈N,所以当n≥2时，a.=S. -S.-1=an2+(20+A)n-x(n-1)2-(20+1) (n-1)=2λn+20,又当n=1时，a1=S,=20+ 2λ，符合上式，所以数列{a.}的通项公式a,=2入n A 衡水真题密卷 +20,数别6.}满足6，-号，因为26=61→0 ),公此q622,所以.=6g1-2 b:12 ×(受)一-（号），所以行-2，因为数到 2λn十20,1<0是递减数列，而 =2是道增数 列c,=maxa,/,其中max(x.y}表示x,y 中的较大值.若c.≥cs恒成立，则c是数列{c.} 1 1 中的最小项，所以当c=a:时，丽≤a,≤行，即 8≤6似十20≤16，解得-2<A≤-号，当6，=司 时，a≤≤a:,即6A+20≤8≤4钱+20，解得 -3<≤-2，取并集可得A∈[-3，-] 8.C【解析】令x=y=0,则f(0)=f(0)+f(0) +1,所以f(0)=-1,令x=y=-1,则f(-2) =f(-1)+f(-1)+2+1=2f(-1)+3=1,所 以f(-1)=-1,令x=1,y=-1,则f(0)= f(1)+f(-1)-2+1=f(1)-2=-1,所以f(1) =1,令x=n,y=1,n∈N',则f(n+1)=f(n) +f(1)+2n+1=f(n)+2n+2,所以f(n+1) -f(n)=2n+2,则当n≥2时，f(n)-f(n-1) =2n,则f(n)=f(n)-f(n-1)+f(n-1) f(n-2)+…+f(2)-f(1)+f(1)=2m+(2n 2+…+4+1=2m+4)0a-D+1=m+n-1, 2 当n=1时，上式也成立，所以f(n)=n2+n一1， n∈N°，所以f(2n)=4n2+2n一1，n∈N°， 二、选择题 9ABc解折1内a,=1-尉a:=1-合 a,=1--1a,=1-号-2，则数到 1 2 {a.}是周期为3的数列，由2022=3×674，故 1 arom=a=-1,a:0-a1=2,a:ox-a:=2 a:s=Q1=一1，故A,B,C正确，D错误. 10.AD【解析】数列{am}满足a1=1,an=a1十 :+号t+0>1.所以=2 1 A 单元过关检测 时，a4=a1=1,此时-1，故A正确B错误：因 a 1 1 1 为a,=a1+2a+3a+…+ n-1am-1(n∈ 1 N,n≥2)，所以a*1=a,+2ag+3a,+…+ 1 1 n一0+a,所以ai一a,=元a,化为 a中-8.又当n=2时，a4=41=1,所以2- n+1 n ...=4:1 -2-2所以a,=2(m∈Nm≥2，故可 f1,n=1, 知a三n n≥2， 故C错误，D正确. 1.BCD【解折】对于A,由题意可知a1-受十 →ai=1,所以a,1,则a,十a-2+2a 2a1 →a十2a2-1=0,所以a2=√2-1<a1,故A 错误：时于C由8+这S-58 2 +20S,-S.→S:-$1=1,n≥2，故C正 确；对于B,S:=1十(n一1)=n→S。=√m,则 n+n+2一 5.+S+a=m+n+2<22 25故B正确：对于D,易知S一 令fx)-王-21nx1,则r) 1+号至-（位-八≥0测）单销遥境，所 2f2f0⑩=0→i-2n,即S。s ≥2lnn,故D正确. 三、填空题 12.200【解析】由题意知a1十a2=2,a2十ag=4, 则数列{am十am+1}是以2为首项，2为公差的等 差数列，则an十am+1=2十2(n一1)=2n,am+1十 am+g=2n十2，则am+2一a.=2,所以a1十ag十as +…+aw=1+3+5+…+19=1+192×10 2 100, a2+a4十ag+…十a20=1+3+5+…十19= (1+192×10=100, 2 ·数学· 所以a1十a:十a3十…十a0=100+100=200. 13.n×2"-1【解析】因为a1=1,n+1=2(n+1)a. 所以-2x告，又-1，所以盘列份}是 以1为首项，2为公比的等比数列，所以=1X 2"-1,解得a.=nX2-1 14.512【解析】由已知可得，这个数阵的第n行第 一个数为2"-1，令2一1≤2025，则满足不等式 的最大整数为10，即i=10,则20一1十2(G一1) =2025,解得j=502,所以i+j=512. 四、解答题 15.解：(1)当n=2时，a1=2+(2-2)·22=2. 因为a1+2a:十3ay+…+(n-2)aw-2+(n一10a,- =2+(n一2)·2"，n≥2①， 所以a1+2a2十3aa+…+(n-2)a,-2+(n-1)aw- +nan=2十(n-1)·2+1,n≥1②， ②减①得nan=n·2”,n≥2，所以am=2",n≥2， 经检验a1也符合a.=2", 故an=2" (2)因为6.=(a,-1D(a+1-1) 2" 1 (2”-1)(2+1-1)2”-12+1-1 所以工.=1-)+（号-号）+（号-）十 +(111 1 又因为1-21-1<1，T.<m-3m+3恒成 立，即1≤m2-3m十3，所以m2-3m+2≥0，所 以(m一2)(m一1)≥0，所以m≤1或m≥2，所 以m的取值范围为（一c∞，1]U[2,十∞）. 16.)证明：由a1一0，+（分》广，则21a =2t…[2.+(号)]=2a.+2, 又2·a1=2×2=1, 故数列{2"·a.}是以1为首项，2为公差的等差 数列， 故2"·a.=1十2(n-1)=2n-1,则a.= 2m-1 2” (2)解：由a,-2n-1 2”,放6.一2m白-交， 参考答案及解析 令>得2≤2m+l. 1 若m=1,则n≤1，即cm=61=2' 若2<m≤3，则m<2,即c.=6:= 故有61=76：= 1 若4≤m≤7，则n≤3，即cm=b,=8: 1 若8≤m≤15，则n≤4，即c.=b,=16 若1024≤m≤2047，则n≤11，即cm=b11= 2’ 当1024≤m≤2023时，共1000项， 故数列{cm}的前2023项和为 号+2x+4xg++2×品+1o0× 1 11 ++8器-5+器1 =2+2+…+2+2048 1 17.解：(1)根据题意，(n十1)S,=nS+1一2n(n十 1),所以3-S=1 n+1n2' 由于子-1=1，则受}是首项为1，公差为号 的等差数列， 所以受=1+a-1D×号=”史，所以S. n(n十1) 2 当n≥2时，a.=S.-S-”n,+D 2 (n一1)n= 2 验证当n=1时，a1=1,满足通项公式，故数列 {a.}的通项公式为a。=n. (2)由(1)知b.=(a:+3）·Cos=(-1)"n2 +(-3). 设（一1）n°的前n项和为A,则当n为偶数 时， A.=-12+22-32+42-…-(n-1)3+n2 =(2-1)(2+1)+(4-3)(4+3)+…+[n-(n -1)][n+(n-1)] A 衡水真题密卷 =1+2+3+4+…+(m-1)+元=mn+2 2 当n为奇数时，A,-A1一n-a,1n-m 2 =-n(n十1) 2 设（一3）”的前n项和为B.,则B。= (-3)·[1-(-3)]-3-(-3)+1 1+3 4 因为T.=A.+B。,所以 n(m+1)3+(-3)+1 T,= 2 4一n为偶数， n(n+1)3+(-3)+1 2 4 n为奇数， 18.解：1)由题意得1十a:=3 解得 a1=1, ag=a1+1, a2=2, 又当n≥2时，由am+1一an=(S.+1)-(S。- +1)=an,得a。+1=2a 所以数列{a.》的通项公式为an=2-1,n∈N” (2)由(1)知，a.=2-1, =6+1 1 由bnti=2Ta+i 得6-十会即26 =2-16.+1,即2"b.+1-2"-1b。=1, 因为b1-1,所以数列{2"-1b,}是首项为1，公差 为1的等差数列 所以2"1b。=1+(n一1)×1=n,所以b.= 2-7 由T.=1×(2)°+2×（分）}+3×(2)+… +nx(2), 所以2工.=1×（号》'+2×(2）°++(a-1） x(2》+x(2)广， 两式相酸，得2T.=(分)》”+（分）》'+（分）'+… +x 1- =2-(m+2)x(2” 所以T.=4-(2m+4)×(号) (3)假设存在互不相等的正整数m,s,n满足条 单元过关检测 件， m十n=2s, 则有 (a,-1)2=(a.-1)(a.-1) 由a.=2"-1与(a,-1)2=(am-1)(a。-1)得 (2-1-1)2=(2m-1-1)(2-1-1), 即2-》-2X2-1=2m+m-2-2-1-2m-1, 因为m十n=25,所以2m1十2-1=2×2-1. 又2m-1十2-1≥2√/2m+m-7=2×2-1,当且仅当 m=拉时，等号成立， 这与m,$,n互不相等矛盾， 所以不存在互不相等的正整数m,5,n满足条 件 19.解：(1)设等比数列a1a2,a3,…,az4,k≥1的公 比为q. 若q≠1，则由①得a1十ag十…十au= a1-9"）=0,得g=-1, 1-9 由②得a:-六或0，=一 1 若g=1,由①得，a1·2k=0,得a1=0,不可能. 综上所述，9=一1. 1 1 所以a.=2（-1)1或a,=一2(-1) (2)设等差数列a1,a2,a1,…,a+1(k≥1)的公 差为d, 因为a1十ag十a,十…十aM+1=0, 所以(2k+1Da+2头(2，+1Dd=0,a1+kd=0, 2 即at+1=0,所以a4+2=d, 当d=0时，“曼德拉数列”的条件①②矛盾， 当d>0时，据“曼德拉数列”的条件①②得， 1 a++a4+十+a1=2=-(a,+a+… 十a), 断以d+ 1 2,即d=kk+D 1 由a+1=0得a1十k·(k十1)=0，即a1= 1 +1' 质以，-+a-)·中D k(k+1)一友n∈N,n≤2k+1. 当d<0时，同理可得d+6k-1 1 2d=-2 ·数学· 参考答案及解析 即d=一 1 的证明过程知： (k+1) a1≥0，a2≥0，…，4m≥0，am+1≤0，am+2≤0，…， 1 由a+1=0得a1一克·k(k+1D =0,即a1= an≤0，且a++an++…+a,=-2. 1 若数列{S),i=1,2,3,…,n为n阶“曼德拉数列”， k+1' 记数列{S,},i=1,2,3,…,n的前k项和为T4, 1 1 所以a,=市一(n一D‘十D 则工安 =-kk+十6，n∈N”n≤2k+1. 所以T.=S,+S++S.< 1 1 综上所述，当d>0时，a.=k+D一友n∈ 又S.=2,所以51=S:=…=S.-1=0, n 1 Nn≤2k+1当d<0时，a.=一kk+iD十 所以a1=a2=…=am-1=0,am=2 1 n∈N·,n≤2k+1. 1 又ant1十am+a十…十a,=-2: (3)记a1,a:,,a。中非负项和为A,负项和为 所以Sm+1,Sn+,…,S.≥0， B,则A十B=0,A一B=1, 所以|S1|+|S:|+|S|+…+|S.I=S1+S 得A=B=-,- 2,一乏=B≤S≤A=2,即 +S,十…+Sm, 所以S:+S2+S:+…+Sn=0与|S1|+|S: 152k=1,2.3…m +|S,1+…+|S.|=1不能同时成立， 所以数列{S,},i=1,2,3,…,n不为n阶“曼德 若存在m∈1,23，…，n,使S.-2,由前面 拉数列”. 2024一2025学年度单元过关检测（十三）数学·直线与圆的方程 一、选择题 当等腰三角形底边在工轴上时，直线！的倾斜角 L.A【解析】图为直线l1:ax-y十1=0，l2:x by-2=0,所以当11⊥12时，a·1+(-1)(-b) 文了-，斛率为一3，当学腰三角形腰在 =0,即a+b=0,中号=-1或a=6=0,所以 轴上时，直线1的领针角为号 3=6,斜率为 =一1”能推出“⊥2”，而“21L山2”不能推出 3 b ，所以由点斜式可得1的方程为y一3=一3工 1”,所以“2=一1”是“1⊥1，”的充分不必要条件. 或y-3一3x,整理得1的方程为3x十y一3 2.C【解析】根据题意，A∩B中的元素满足 化1释停(-要.》 0或3x-3y+9=0. 4.B【解析】当MN最短时，直线1⊥OP,IOP| 3.D【解析】直线√3x-y+3=0的斜率为√3，所 =+2=5,|MN|=2√32-(5) 4,OM.MN=|OM1·IMN1cos(x-∠OMN) 以倾斜角为，国为直线1过点(0,3)，且与直线 √3x一y十3=0及x轴围成等腰三角形， --IMNI IMNI 2 =-8 (0.3) 3x-y+3=0 ·92024一2025学年度单元过关检测（十二） 数学·数列的通项公式和求和 《考试时间120分钟，5分150分)》 一，法择题{本整共家小避，都小题5分，共相分.在每小题始出的四个选项中，只有一项是 符合整日要求的】 蓝号 2 答案 1若数判{0.}调足20。=2-1一1a1=1,则4m A罗 ag C.51 D.10] 2.若数列{0，增足一2，且mn∈N”g-+,一04，荆a十a1十a十十@啊 A.25m-2 且.四-1 C.211-2 D.21-1 3.已知首项为3的数列@，}，其黄n项和为S.若u.+1(1一，》-1，则8= A.19 且1 n 4.在数列{a.}中，d.>0,21=1 a+n十a -2m,刚u1a- A.41可 B.15 C.227 D.10 品巴如数列均衡，疾和为5且品=则 A.a.<a.- 且s.>s,+1 C.2a,+8.-1 nca,s号 6.已知帝数fx)-色产(e为自然对数的底)江[0，+)记工，为f位)从水到大当第 e 情个极值点，数列{a,1的敢n项和为S+且常足a,-f(x,),第S1 A经(e-。 且21一8) 2a1-0) 2e(1一) C.(ee) n21-e2 2e4e+1) 2e{e*+1) 单元过关松潮（十二）数学第1面（热8夏） 衡水直 了，如图所示是毕达哥放撕的生长程序：正方形上连线看等腰直希三角形，等假直角三角形 边上那连装正方形，加此城接设初始正方形的边长为停，傲次构造出的个正方形（有打 命正方形)的边长构成数列仙.)，若{a,5的精m项和为8。-n十(30+2)n,A<0,nE 姓名 ,令c。一a,其中江表示y中的较大算.若c,恒发立，则实 得分 散A的取植范膜是 A.[-4,-] 我[-3，-2] c[- n[-,-别 B,已每函数f(x)增是￥x,y∈Z,f(x+y)=f(x)+f《y)十2xy十1，且f(一2)=1.则 f2n》,n∈N'- An十6，eEN R8n一1，nEN C.4u2+2u-1,e∈N D.8u2+2u-5.EN" 二，得择循（本夏黄3小题，每小题6分，共1器分.在每小题给出的选项中，有多项符合愿日 要求，全部这对的得6分，部分选对的得郎分分，有选错的得目分1 题号 9 11 答案 0.在数列a,1中，d1-2,a,一1 一⊙2，EN”,图 1 A,￥：=一1 找4：a=2 C.a:a D.a:m=1 a已知数.满是a-1@,-+经0+经++，>超（) 1 A@1=1 ÷-片气32 们，w-1 6- D,。 2和2 、11.已知各项都是正数的数列a,的前项和为$.，且8.一+则 人，当四>mn∈N时n>a, 我5.十5+<25 C.数列{S:1是等差数列 1 n.s.“s22m" 题花鞋 单元过关检测十二数学第2页（共5页1 三、填空题（本愿共3小题，每小题5分，共15分】 12.若数列{a,}满是41一a:一1，d,一3，且数列a,十山，小是等差数列，期数列{a,》的前 165分E知数到a的首孩宝且a-之+白eN”,=与 20项和的植为· (1)证明：数列2·0.}是等差数列并求出，》的通项公式 13.已知数列{@.}满足a1=1,▣，+1一2(u十1)a。,愿2，的项公式a.= (②)记c。为数列6,1中能使6，≥gm十门m∈N”成这的最小项，求出1以及数列 14,将正瓷数1,3,5,7,0，…发阻如下规则排列：从第二行起的每一行的数字个数是上一行 的两锦，议205是第：行的第，个数《从左往右数)，则十行一· 《.}的衡2023项和， 35 T91n11 西.解答整{本整共5小盟，共行分，解答皮写出文字说明、臣明过程成演算步骤引 15,《13分)数列{e,}满足41十2a:十3u,+…+《n一1)a.-1-2十(m-2)+2,w2. (1)求数用{a.}的通项公式： ②)投6，一a,-一刀不.为数列16.的前n项和，者T.<m3-3m十3板成 立，求实数m的取值范围 A 单元过关松潮（十二）数学第3面（携8夏} 衡水直题密蓉 单元过关检测十二〉数学第4页（共8页1 17.(15分)已细数列{a.)的前m和为S,4一1，且满足(u十1)S,-nS,+4 《1》求数判{a.}的通项公式： (2)设b,-(@十3)·60s重，求数列6，}的衡n项和丁， 单元过关松潮（十二）数学第3面（热8夏） 1 2m(m+1D. 18,(1T分)段数列{a.1的前n明和为S.,已知5，=3￥.+1=5.十1，w∈N', (1)求数列(a,J的通项公式. 者数到调是，=1山一一求，的适项公式及藏项和 (3)是香存在互不相等的正整数m,3:滑，使网，：n成等差数列，且。一12，一1：。一1 成等比数列？如果存在，求非所有符合条件的m,,:如果不存在，请说明星山， 衡水真题密鞋 单元过关检测十二)数学第6页（其5页1 15,(17分)投清足以下丙个条件的有穷数列4：a:一，a。为▣(n=2,3,4,…》阶“曼德枚 益列” ①g1十4：十u+十a.=0:@ial+a:l+lal十+la.1=1. 《1)若某2k,k∈N阶“曼德拉数列"是等比数列，求该数列的通项，《1家对2k,月太， n表示). (2)若某2+1，k∈N·阶“是德拉数列“是等整数列，求该数列的通项a.(1场容2法十 1,用业，湘表示). (3记n贪“曼德拉数列《4.1的前是项和为5.(=1.2.3。一w》,若存在m长1,2,3： ”n小，使S。一三达间：数列S行-1,2,3,0能者为和阶曼德拉数列”？若 能，求出所有这样的整列：若不能，请说明理由 A 单元过关松潮（十二）数学第7面（黄8夏 衡水真题密卷 单元过关检测十二}酸学第8页（其8页1