单元检测(十一) 数列的概念、等差数列与等比数列-【衡水真题密卷】2025年高考数学单元过关检测（A版）

2024一2025学年度单元过关检测（十一） 数学·数列的凝念、等差数列与等比数列 《考试时间120分钟，蓝分150分) 一，选择题{本题共8小题，超小道5分，共相分.在小题始出的四个选项中，只有一项是 符合整日要求的】 蓝号 2 多 答案 1.已知数列1w3,w5.W7,3,11。…,则V43是这个数列的 A.第21项 且，第22项 C,第23项 D,第24项 2.已知等差数列{a.}的佛m壤和为S.,且a1+ù：-12，a:十a,-20,则S- A.88 B.88 C.110 D.182 3,已知等比数列{a.}的公比g=一 *a 公，十出+41十4m A月 B.-5 c D.9 4,设等北数列{a.1的前m项和为5.，若S.,5m,5,成等差数列，且2(a,十a1》=a:, 则k A.6 B.7 C.8 D.5 5,已知a,为正项等比数判4一0，=1，当，数最小值时，数列.}的通项公式为《） A.a,-29 且.a。-2” Ce.-21 D.2.=2 i,已知正项等比数列{a,}约葡n项和为5，：询w项积为T,…调是1=言，2：=5一3和1： 荆当丁。双量小植时， A.4 B.3或4 C4或5 D.5 7,已知等差数判{.}（公差不为0》和等差数列{6.1的前日项和分别为S。和T,如果关于 的实系数方型1003z一S,x十T1购-0有实数解，尾么以下1003个方程x3一ax 十6.=0(：=1,2，，1003)中，有实数解的方程个数最少是 A.499 且，00 C,501 D,02 8.议[x]表示不超过x的最大整数（例如[&5]一3，一1.5们一一2），则[01]+[10g:2] 十[l03t+[0og2046】- A.9×2m-8 且.9×24-8 C9X20+2 D.9X2+2 单元过关松潮（十一）数学第1面（热8夏 衡水真 二，效择题（本题典3小题，每小题6分，共1器分，在每小题给出的选项中，有多项符合题日 开 要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分] 题号 10 11 答裳 姓名 ,《九章算术)是我国古代的数学名著.第六章《均输》中有如下问题：“今有五人分五钱，令 上二人所得与下三人等.同各得儿何“其意思为“已知甲、乙，丙，丁，成五人分五钱，甲， 得分 乙两人所限与丙，丁，皮三人所得相等，可五人各多少钱？”（注，“均输“即按比例分配， 此处指的是甲、乙，丙、丁、优新得线依次成等兼数列：“钱”是古代的一种重量单位)关 于这个间题，下列说达正确的是 A.成得辑是甲得线的一半 且乙得线比了得战多长 C.甲.丙料钱的和是乙料线的2信 D.丁，成得钱的和比甲得钱多。钱 1收.已知等比数列{4,1的前n和为S,且S,>0,S,>0,则 ,a1>0 a:0 G5,>0 D.S>S. 1山.在平面四边形ABCD中，点D为动点，△ABD的面积是△BCD面积的多倍，又数列 a,澜足1-3，恒有BD-(a。一31)BA十(a-1十3)，设a.}的的n项和为 3。:用 A,任.」为等比数列 Ha:=一81 C学为等差数列 DS.=(8-n)3y-3 三，填鉴丽（本题共3小题，每小题5分，共15分} 12,在各顾均为正数的等比数列(a。)中，@一16，则2，中@：的最小值为 1点民两个等差数现和6的常4项和分别为5，和工…且产-则完 14.我国古代名看《任子·天下篇》中有一句名言一尺之棒，日取其华，万世不，其意思 为：一尺的木混，每天靓最一率，水远都截不完.已每长度为？，3的线段PQ,最PQ的 中友M,以PM,为边作等边三角形（如图1D,该等边三角形的置积为S,再取M,Q 的中点M::以MM:为边作等边三角聪（如图2》，图2中所有的等边三角形的面积之 和为S:,以此类推，则S, 题花鞋 单元过关检测十一)数学第2页（共5页1 A 西、解答题（本愿共5小题，共T7分，解苦皮写出文字说明、证明过醒或演算步骤} 15,(15分)已知数列(a.1的前n和为5.5.=2a.一2(w∈N”), 15.(13分)已如等差数到{a,}约前t项和为S,公差d≠0，且S,+S一0t:心1，e1:域 (1)求a,1的通项公式： 等比数列. (2)段b.- e,(w=20,k∈N), 求数列b.》的前2e十1项的和. 《1)求致列a,的通项公式： l6g4.(m=2-1,k长N, 《授，=二求级到，的前m颅和T A 单元过关松潮（十一）数学第3面（携8夏》 衡水直题密蓉 单元过关检测十一》数学需4页（其8页】 17,《15分)已知数列，}为等差数列，a:=1:a二42十1，黄w项和为5.，数列6.}澜足 18,(1T分)某企业2023年的地利阿为500万元，由于设备老化等夏因，全业的生产能力将 6-8 逐年下降.着不进行找术改造，福测从2024年开始，每年比上一年间利胸减少2如万元. 香过行找术改造，2如24年初该金业围一次性投人置金600方元，在未扣降技术改毒资 (1》旺明：数列5。)为等差数列 金的情况下，顿计2024年的利物为750万元，此后排年的利润比前一年利润的一率多 《2)狂所：数列{a,中任意三项均不能构成等比数列， 250万元 (1)段从202年开始的第题年（以2024年为第一年），该企业不进行找术或造的年钝 利阁为4。万元：进行技术皮着后，在未扣廉技术改造蜜金的情况下的年利洞为6。 万元，求。和。1 (2)设从2024年开始的第年《以2024年为第一年)，该企业不进行载宋改迹的累计 纯利闲为A。万元，进行技术改造后的黑计纯利铜为B。万元，依上述预测，从2024 年开始该企业至少轻过多少年，进行技术数造的累计屹利润将恒过不进行技术攻 造的累计镜利润 单元过关松潮（十一）数学第3面（携8夏} 衡水直题密蓉 单元过关检测十一}数学需6页（共B页1 1g,(17分已知集合A=(a13,…,a.…,B=,b,,b.一7，e.》是公比为2的 等此数列且：十3,1十1，世：一3将成等比数列 《1)求数列{@.}的遥项公式. (2)设{5，)是等差数列，将集合AUB的元素按由小到大的顺序特列梅成的数列记为 r.}. ①若6.=5m一1，数列.1的前n项和为S.,求整S.多2024成立的划的最大值： 心若A门B一②，数列{，)的前5项构成等比数列，且，=1，，=8，试写出所有搏 足条件的致列，》. A 单元过关松潮（十一）数学第7面（黄8夏） 衡水真题密卷 单元过关检测十一酸学第8页（其8页1·数学· 参考答案及解析 参考答案及解析 2024一2025学年度单元过关检测（十一）数学·数列的概念、等差数列与等比数列 一、选择题 1.B【解析】由题意可得数列的通项公式为a,= 日9+日9-3X日，*里得g-g-2=0,解得 1 √2m-I,又√43=√2n-1,解得n=22,所以 q=2或q=-1(合)，故an= 8×2-1=2-4,故 √43是这个数列的第22项. T.=23·2…·24=2学，函教y 2.B【解析】由aa十a=12,a?十as=20,得a1= 6,a,=10,所以S1=11(a十an)_1(a4+a) x(x-)=1 2 =2(x2-7x)的图象的对称轴为工 2 2 =88 2,故当m=3或n=4时，m)取得最小位 2 3D【解折】等比数列a,}的公比g-一行·则 由于函数y=2是单调增函数，则T,=2一也 取得最小值. a1+a+as十a?=a1+a,十as十a?_=1 a,Fa:Fa;Fa,(ajFa,-as+a,)qq 7.D【解析】由题意得S1一4×1003T1a≥0， 9. 其中S,m-103a+a1m2-=103am,T1m 2 4.C【解析】由S6,S1,S:成等差数列可得： 25m=5,+5,→2×41gD-01g-1D+ =1003(b:+b1m）-103b,代入上式得a 2 9-1 9-1 -4bz≥0，要方程x2-ax十b:=0(i=1,2,3, a1(q8-1) 1 9-1 >q=-2浅g=1. …,1003)无实数解，则a?一4b,<0,显然第502 由題知q3=1时，数列为常数列不满足题意，故舍去 个方程有解，设方程x2一a1x十b1=0与方程x 所以2(as十an)=a4→2(a1q十a1q)=a1g-1→ 一a10z十b103=0的判别式分别为△1，△1o08, 则△：十△103=(a-4b1)十(a号o3-4b1）=a 2a【gy+g月=g→2a(}吉）=g, +awg-4b:+b1m)≥a:十a1 2 --4×2b1 中}-g→g=g→6=8 (2as) 2 -8bo=2(a30g一4bs02)≥0，等号成立 5.B【解析】设正项等比数列{a.}的公比为q,因 的条件是a1=a13,所以△1<0，△10<0至多 为a2-a1=1>0,则a19-a1=1,且q>1,所以 一个成立，同理可证：△2<0，△11<0至多一个 a一211义a=ag9一9二1十工一g+ g-1q-1 成立，…△1<0，△<0至多一个成立，且△1≥ 0,综上，在所给的1003个方程中，无实数根的方 1+。9-1+g+2,因为g-1计， 1 +2 -1 程最多有501个，有实数根的方程最少有502个， ≥2Q-1g于+8=4，多收多g-1 8.B【解析】当2"≤x<2+1时，[1ogx]=n,即 [1og22]=[1og:(2+1)]=…=[1og2(2+1-1)] =n,共有2”个n.因为20<2046<21，故 。与即q=2时，等号成立，此时a1=1,所以数列 [1og21]+[1og2]+[1og23]+…+[1og22046]= {a.}的通项公式为a.=2-1 [1og21]+[log:2]+[log23]+…+[1og22047]- 6.B【解析】在正项等比数列{am}中，设公比为 [1og22047]=0+2×1+4×2+…+21o×10-10 99>0a1-日2a,-8,-8a,中2x日9-日 =2°×0+2×1+22×2+…+210×10-10，设S =2°×0+2×1十22×2+…+210×10①，则 A 衡水真题密卷 单元过关检测 2S=2×0+22×1+2×2+…+21X10②， ①-②，得-S=21+22+…+20-21×10= -赋+成-)-成+成，南于B, 21-2)-20×10=21-2-2"×10=-9× E,D三，点共线，故存在实数A(A≠0)，使得BD 1-2 =ABE,即BD=(a.-3"-1)BA+(am+1十 2-2,所以S=9×2+2.所以[1og1]+ [log:2]+[1og23]+…+[1og2046]=9×21+2 )BC-}BA+子BC,故 -3= -10=9×2-8. 二、选择题 9.ABC【解析】依题意，设甲、乙、丙、丁，戊所得钱 整理得a.+1+3"=3(a。一3"-1)，即am+1=3a. 分别为a一2d,a一d,a,a十d,a十2d,依题意， 一2·3”，则中=0-2 3=”一三，即4号一3。=一3 3"+3网 (a-2d+a-d=a+a+d+a+2d, 解得a a-2d+a-d+a+a+d+a+2d=5, 而01=3，故停是黄项为学=1，公差为-号 =1d=一日因此甲得钱，乙得名钱丙得1 的等差数列，故C正确导=1十(a-1(-号) 钱，丁得号钱，成得号钱.戊得钱是甲得镜的一 5=2,故a.-5-20.3,故a, 5-2×4.3 3 3 3 丰，长A正确，乙得钱比丁得钱多名音-行收 5-2(n+1) 3 ·3+ =一81，故B正确：因为+= an 5一2m.3 故B正确：甲，丙得钱的和是乙得钱的7=2 3 6 33-2m=3≠常数，故a.}不是等比 5-2m 倍：女C正瑞：丁，成得钱的和比甲得钱多号十号 3 数列，故A错误；S.=a1十a2十…十an= 3 ·3十 一号-言我：故D错误。 3 10.BC【解析】设等比数列{am}的公比为q,由S: 3+·3+3++72.+ 1 -1 =a1(1十q十g2)>0,由于1+q十g>0,所以 3 a1>0.又S,>0,即a1(1+g)(1十g2)>0,于是 q>一1,4g=a1q,由于q正负不定，故无法确定 50.g,则-28.=3-号g+8+3+ 3 a2与0的大小，故A错误；a1=a1g>0,故B 正确；S:=S4十a1g>0,故C正确；S,一S6= +）50g-8-号90- 3 1-3 a1g(1十q)>0,故Sg>S6,故D错误. 5-2m 3 .3+1=6-(6-2m)·3",故S.=(3-n)· 1.BCD【解析】设AC,BD交于点E,则△Am S△cD 3-3,故D正确. 2BD·AE·sin∠AED 三、填空题 AE·sin∠AED 12.32√2【解析】因为{an}为等比数列，所以aaa,= BD·EC·sin∠CEB 1 EC·sin∠AED a=256,所以2a3十a,≥2√2aa?=32v2,当 AE EC=3, 且仅当2aa=a;时，2a:十a?的最小值为32√2. 35 13.13【解析】设5，=7an(a≠0)，则T.=(9n+ 4n)入，则aa=S,-S2=71(32-22)=35入，b1= T-13以，哈-没-瓷 中AB-8BC,k成-成+正-成+正14.日×（兮与）【g折1由道可得， ·2· ·数学· 参考答案及解析 5-号×6×3×血60=39从第2个号 故T.=10- 2m+5 2寸(neN'). 边三角形起，每个三角形的面积为前一个三角 16.解：(1)当n=1时，a1=2a1-2,所以a1=2, 形面积的子，故每个正三角形的面积可构成一 当n≥2时，am=Sn-S.w-1=2an一2a.-1,即an =2aw-1, 个以S1为首项，4为公比的等比数列，则S, 则数列{a.}是以2为首项，2为公比的等比数 列，故a.=2X2-1=2(n∈N“). [1++()广++()]s |an(n=2k,k∈N·), (2)因为b.= loga.(n=2k-1,k∈N) [-(4)]s 2(n=2k,k∈N), n(n=2k-1,k∈N·), 1-4 =5[1-(得)]，所以5 故数列{b.}的前2n+1项的和T+1=1+3十 -付门-器周结清×台 5+…+(2m十1)+22+24+25+…+22m _（n+1)(1+2m+1)4(1-4) 2 1-4 所以·是·1=1 4”. =(m+1)+442-Dm∈N. 3 17.证明：(1)因为数列{a.}为等差数列，a1=1,a =4√2+1， 所以数列{a.}的公差d=a。a1=2反，所以 2 a.=a1+(n-1)d=2√2(n-1)+1, (品)+…+(1】 则S,=u+2n(a-1D,又6.-S-2(m-1D +1, 所以b.+1-b.=2n+1-[V2(n-1)+1]=√2 四、解答题 (n∈N),故数列{b.}为等差数列. 15.解：(1)依题意得 (2)假设数列{a.}中存在不同三项构成等比数 3,+3x2 d+5a1+4X5 d=50, 列， 不妨设am,a.a,(m,n,p均不相等)成等比数 (a1+3d)2=a1(a1+12d), 解得/43， 列，即a=am·a, d=2, 以a.=2n十1(m∈N·). 由数列{a.}的通项公式可得[2(n-1)+1]= 2m+1 [2(m-1)+1]·[2(p-1)+1], (2)由cn= 24-1 将此式展开可得2，√2(n一1)+2(n-1)2十1= 5,79,11 得了二3+2+2十2十24十…2w-1 2-1 ①， √2(m+p-2)+2(m-1)(p-1)+1, 所以有 2(n-1)=m十p-2, 即 2-1 ②， 2(n-1)2+1=2(m-1)(p-1)+1,1 2 ①一②可得 (2n=m+p, l(n-1)2=(m-1)(p-1), =3+号+++号++品 2m-可 2 所以n2-2n十1=mp-(m十p)十1，所以mp 1-(》 =-(m, =3+ 2m+1-5-2m,t5, 2 化简整理得(m一p)2=0,即m=p,与假设矛盾， 故数列{a.}中任意三项均不能构成等比数列. 3 A 衡水真题密卷 单元过关检测 18.解：(1)由题意得{an}是等差数列，a1=480,d= 2-1, 一20，所以a。=500-20m, b,=5n一1，设其前n项和为B.= 4+5n-1Dn- 由题意得b:=750,b.+1= 26,+250, 5n2+3n 所以6+1-500=2(6.一500)， 集合AUB中的所有元素的最小值为a1=1, 所以(6，-500}是首项为250，公比为2的等比 且b1=a1=4,b1a=a7=64,b206=an=1024三 个元索是{b.)中前205项中的元素， 数列， 且是A∩B中的元素， 所以6.-500=250(2) ,所以b.=500+250× 又Sg=B+1+2+8+16+32= (号)=50o1+(号)门 5×13+3×13+59-501. 2 (2)A.是数列{a.}的前n项和，所以A.=480n 又bw=129>ag=128, +nn2-12X(-20)=490m-10m, 故S2=B6+1+2+8+16+32+128 5×262+3×26 2 +187=1916, B。是数列{b.)的前n项和减去600，所以 B.=500(1+2+1+2+…+1+2)-60 1 1 且S33=S2+bm=1916+134=2050, 故使S.≤2024成立的n的最大值是32. ②因为A={1,2,…,2-1,…},AUB中的元素 500 =500n十 600=500m -100, 按从小到大的顺序记为{c.}, 12 对集合{c.}中的元素2进行分类讨论： 500 B。-A.=500n -100-(490n-10n2)= 情况一：当ca=2时，由{c.}的前5项成等比数 列，得c4=2=8=c,显然不成立； 500 10n2+10n -100, 情况二：当c1=2时，由{c.}的前5项成等比数 因为当n∈N”时，函数y=10m+10n-100和 列，得b好=2，所以b1=√2： 单润适增， 因此数列{c.}的前5项分别为1，√2,2,2，√2,4； 这样bn=√2n,则数列{c.}的前9项分别为1， 所以函数y=B.一A。单调递增，且n=1,2,3 时B。-A.<0,n=4,5,6…时Bn一Am>0, √2,2,22,4,3√2,4√2,5√2,8，此数列符合 所以至少经过4年，该企业进行技术改造的累计 要求； 纯利润将超过不进行技术改造的累计纯利润. 情况三：当c.=2(k≥4)时，有b2一b1<2一1，即 19.解：(1){an}是公比为2的等比数列且a:十3，a 数列{b.}的公差d<1, 十1，a1一3构成等比数列. 所以b,=b1十5d<2+5=7,因为1,2,4<c3, 则(a:+1)2=(a:+3)(a,-3),即(4a1+1)2= 所以1,2,4在数列(c.}的前8项中，由于A∩B (2a1+3)(8a1-3), =,这样，b1,bg,,b6以及1,2,4共9项， 解得a1=1,故数列{a,}的通项公式a。=2-1(n 它们均小于8，即数列{c.}的前9项均小于8，这 ∈N). 与c=8矛盾，所以不成立. 综上所述，b.=√2n. (2)①a.=21,设其前n项和为A.=号 A