单元检测(七) 三角恒等变换-【衡水真题密卷】2025年高考数学单元过关检测（A版）

2024一2025学年度单元过关检测（七）】 题 数学·三角恒等变换 《考汉时间120分钟，惑分150分)》 一、选择题（本整共常小盟，每小题5分，共和分，在每小盟给出的四个选项中，只有一项是 符合慧目要求的) 题号 答案 1.已知ogg十inB-2,削n(a-》- A.1 B,-1 C±1 D.0 2已知me+》-行期cor+m+》- A 且，3 3.(1一tn100)(1一a35)的值为 A-1 且.0 C.1 D.2 6.设0<9<，若（地0十os+行c0s29-3.属0 A.22-7 B8-2 C2-店 D.3-2② 5.已知n(a一)十in(a十》一 1 tan 9 么已如锐角e2锅足a+归一若撕noon可的最小管为 1 A.2 B.4 C.8 D.18 7.已知n(20'-8)+sn(2+)+(siB40一0)一0，舞tun0- A.-5 D./ 品已知两数)=2受+受，者=0是：准一的极本值点图：的取值施图为 《 A.1,+∞》 且.0,1 C[-1,+∞) D.(-,1订 单元垃关检测[七】数学第1页{具4页) 衡水真 二，避择题（本题典3小题，每小题6分，共1器分，在每小题输出的选项中，有多项符合题日 要零，全部意对的得6分，加分选对的得部分分，有选错的得0分) 题号 11 答案 多下列选项中，与m一的值等的有 A.2c0w21s-1 k6m186cm42-mn1842” C.2sin 15'sin 75 n" 1a已知e,7,引a中n7鱼民m叶7ema离下列说法正确的有《) Ama+n-号 且cos0+n-一号 C&-5 DB-g-一号 11,由丙角和差公式我1得到倍角公式0m四=2一1，实际上o0端也可以表示为0 的三次多项式，像18.36”，54.2这袋半特味角我打可以通过现察发现它们之间的 相互关系，进面米出各自的三角函数值，测 A.aw30=4oow30-3w日 07g店-1 2 C.已每方程4红-红一2一0在（一1山上有三个复，记为1x江…期4如+红1十 u-是 D.对于任夏的0∈R,当a一72T时，一定有ces8十c0s8+e》十60s0+2e》十%0+a1+ 心w8十4a)=0 三，填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12.计算： 2ain年 1设ae后引ae后引且面0-Too.- 单元过关检测（七）数学第2页（热4面！ A 14,已知函数f(x)=n(nx)十an(aw,则下列说法正确的是， ①2x是f(x)的周期 ②f(x)的困象有对称中心，没有对称射 当zeo,受}时.f<tan(in 国对任意∈五：在x-2上单调 四、解答题{本题共5小盟，共行分，解答皮写出文字境明、证期过理威演算步骤引 15.分E知-}-e(侵》 (1》求n无的值： 《2求地n2z一票）的值. 1成.5分)已知8为授角0m。一号ma十-一售 (10求0s2a的值： 《2》求n(a一》的直. 1.6分尼短e+一言ao-即一 (1)求证：tnas3=5 co asin元， 《2若0<十受0心a-K营求eos的做 单元垃关恰测七】做学第3面{具4页) 18,(1T分)已知两数f《x)=ex, 者均为能角，=-号m。-求m石及ng一，期位 者f+f-fo+即=0，ae0,0求e及月的值 1,17分已知两数/e)=mr一1+子 (1)求由线y=x)在点(0，f(0))处的切线方型， (2)求f《x)在区闭0，+四)上的最小值. （已知当≥0时恤一苦总我立，令g中=加，者在g红的图象上有一 点到A侵g台-1,2，，，∈N,m≥1)若直线AA的新半为，4-1. 2用-D求证>子 衡水真题密鞋 氧元过关检湖七)数学第4页（其4互！·数学· 参考答案及解析 (2)依题意得f(x)=sin +， Q一5时，fx)有一个零点， 将f(x)的图象上所有点的横坐标缩小为原来的 5 名得到y=血（借×号+）=2z+）的 1<a<号时，fx)有两个零点. (2)证明：若f(x)有两个零点x1x, 图象， 令t1=co5x1,l2=co5x2, 再格所得图象向右平移侣个单位长度，得 则t1,l:为2+1=a十1两解， 则t1+t2=-1,所以cosx1+cosx2=-1, 到a)=sin2x-）的图象。 所以cos2x1十2c08x1c03x2十c0s2x2=1, 当≤<受时， ,5≤2x- 元8元 由x1z:∈（经）可得cosx1<0cosx<0, 33 则2c05x1co5x2>0, 故sin(2红-）的取值范围为 3, -21 所以cos2x1十cos2x2<1, 即A)在区向，习上的值装为[ 所以eox<im2x-co(登-小 19.(1)解：f(x)=-c0s2x-cosx-a十1， 由x,∈（货）可得经-x∈（货， 令f(x)=0,即cos2x十cosx=-a十1， 所以m经-0.则as>(经-）： 当xe(经时，令1=cosx∈(-1,0， 所以+∈[o小 由y-o在（货递减，可得< 所以<x1十x<37,所以cos+x)<0, 3π f(x)=0,即t2+t=-a+1, 所以当-a+1≥0或-a+1<-},即a<1或 令入=1一tanx1tanx2,则= c0sosinsincos()0 a>时+1=-a+1无解， cOS TiCos T2 COSCOS 3 1 当-a+1=-},即a=时，+4=-a+1 要证1-tan zitan x: ≤tanx:tanx2一3成立， 仅有一解： 即证<1--3=-X-2 当--a+1<0,即1a<时+4 即证A2+2以+1≥0， 显然入2+2入+1=(a+1)2≥0恒成立，故原式 一a十1有两解， 成立 综上，a≤1或a>时，f(x)无零点： 2024一2025学年度单元过关检测（七） 数学·三角恒等变换 一、选择题 1.B【解析】因为cosa十sinB=2,又因为一1≤ osx+n(+）=osx+ 2 sin x+cos x= cosa≤1，-1≤sinB≤1，所以cosa=sinB=1, 5mr+2osg=n(+）-5 3 sin'a+cos'a=1,sin'B+cosB=1, 所以sina=cosB=0, tan100°+tan35 sin(a-B)=sin acos B-cos asin 8--1. 3.D【解析】因为m135-☐m10n3行-1， 2,D【解标】由题意知，i(+）-行， 变形得-tan100°-tan35°+tan100°tan35°=1， 所以(1-tan100)(1-tan35)=1-tan100° ·25 A 衡水真题密卷 单元过关检测 -tan35°+tan100°tan35°=1+1=2. 3 4.C【解析】由题意(sin0+cos0)2+√3cos20=3, 2sin20°+sin(60°-20) 2 sin 20-cos 20 cos 40" C0s40° 则1+2sin0cos0+W3cos20=3→ sin20+√3cos20=2, 3sn(20+302=5. c0s40 所以2sim(20+）=2,即sim(20+）=1, 品A【解折】因为f)-2om受十号=omsx十 又因为0<0<受所以<29+晋<”。 331 1+受x,所以fx)=-sinx+ax 4g(x)=f'(x)=-sin x+az,g'(r)= -cos x+a, 所以tan0=tan是=tan(爱-） 当a≥1时，g'(x)=-cosx+a≥0，故g(x)单 调递增， π tan3-tan43-14-23 又g(0)=0,故当x>0时，g(x)>0,当x<0 =2-3. 时，g(x)<0, n1+52 1+tan 3tan 4 所以f(x)在（一∞，0）上单调递减，在 (0,十∞)上单调递增， 5.A【解析】由sin(a-B)+sin(a+B)= 2 故x=0是f(x)唯一的极小值点，特合题意； .1 .1 当a<1时，g'(0)=-1+a<0, 得2 sins月=2，即sin acos=, 故一定存在m>0,使得g(x)在(0，m)单调 而msam月=写所以日 1 sin acos B 3 递减， tan 8 cos asin B 4' 此时x=0不是f(x)的极小值点，不符合题意， 6.C【解析】国为a十B=6, 综上所述，a的取值范围为几，十∞). 二、选择题 所以na十)=sin叶asa如月=n文=-】 6=2 9BC【解折】由题老有s(-）-s血- 因为a,B均为锐角， 则sin acos>0,cos asin>0,in acos月 1 对于A选项：因为2c0s15-1=0530-5≠ 2 1 1 cos asin月=2(sin acos+cos asin)· ,故A选项不符合题意； 对于B选项：因为cos18°cos42°-sin18°sin42°= 1 )-2(2+cos asin 1 sin acos B cos asin B sin acos 8 c0s(18+42)=c0s60°=2，故B选项特合题意： sin acos B cos asin B sin acos B 对于C选项：图为2sin15sin75°=c0s(75°-15)- =8, cos asin B )≥2(2+2，in acos月cs sin月 1 c0s(75+15)-ea60-c0s90-7故C选项 当且仅当cos sin=-sin cs=4时，等号成立， 符合题意； 1 1 所以sin acos月十eosa5inB的最小值为8. tan30°+tan15 对于D选项：因为1一tan30an15-tan(30+ 7.D【解析】由sin(20°-0)十sin(20°+0)十 sin(40°-0)=0 15)=tan45°=1≠2，故D选项不符合题意. →2sin20°cos8+sin40°c0s0=cos40°sin0, 10.ABC【解析】由已知得sinY十sina=sinB, cos a-cos y=cos B, 则tan0 sin02sin20°+sin40° cos 0 c0840° 两式分别平方相加，得(siny十sina)2十(cosa A ·26 ·数学· 参考答案及解析 cos y)2=1,siny+sin'a +2sin ysin a+cosa+ 对于D,cos0+c0s(0+72)十c0s(0+144)+ cos2y-2cos acos y=1, cos(0+216)+cos(0+288) 整理得2(sin ysin a-cos acos y)=-1, =cos0-sin(0-18)-co8(0-36)-cos(0+36)+ 1 sin(0+18) 所以cos(a十Y)=2,所以A正确； =cos 0+2cos 0sin 18-2cos 0cos 36= 同理，由sinB-sinY=sina,cosB+cosY=cosa, cos0(4im218+2sin18-1)=0,结合选项B,故D 两式分别平方相加，易得c0s(3+y）=一2，所 正确. 三填空题 以B正确： 由sinB-sina=siny,cosa-cosB=cosY,两 2如m 【解析】 式分别辛方相加，易得c0日-。） 2sin 9 图为ag,y∈(o,经）所以mY=nB-na>0, 所以B>a, 所以月-a-了，所以C正确，D错民. 2如号 11.ACD【解析】对于A,cos30=cos(20+0)= cos 20cos 0-sin 0sin 20=(2cos20-1)cos 0- 2sin g 2sin2 0cos 0=(2cos20-1)cos 0- 2(1-cos20)cos0=4cos30-3cos0,故A正确： =-co5 2 对于B,cos72°=sin18°，cos(3×18)= cos(90°-2×18)， 1点受【解标】因为ne十cose=厄（受na十 整理得到4cos318°-3cos18°=2sin18cos18°， cos18°≠0， 即4sin218°+2sin18°-1=0，解得sin18°= cos(a-）, 5-或血18=5-1（合)，故B错误： 4 4 所以Zcos(a--开）=2cosA, 对于C,4红2-3x-号=0，授x=6os0,0e (0,π)，38∈(0,3π)， 即cos-)=cos月 中cms30-7,则30-子我30-我30-75 又ae匠引ae匠引， 5π7π 故三个根分别为cosg,cos9,cosg? 4红+红+=3红，+：t)+2 则可得。--=，则=，= 3los晋+eosg+cos）+2 故a-B=子 14.①③④【解析】对于①，f(x+2π) 3后-g）+mg++m】+ tan [sin(x+2x)]+tan [cos(x+2x)]= 12x3n2红+122 tan(sinx)+tan(cosx)=f(x),则2r是f(x) 的周期，故①正确： 对@f受-x)=am[sn(-]十 ·27 衡水真题密卷 单元过关检测 又因为（侵）所以x-(任，》 且f(受-x)=ansn(-z)] 所以sin(e-）>0, tam[os(受-=taneos)+an(in, 所以-》-震-语， 有)+f(经-x)=0f)=（受-，则 所以snx=m长-）+ f红)的因象关子点经，0)时称，关于直线x sim(e-g)eos+cos(-）sin开 对称，故②错误： x号+×号- 10 对于③当x∈(0，受)时，sinx,c0sx∈(0,1 即iz= 4 sin+cossin(+ 即sinx<2 2由①奥，im=合xe(经）， -cos sin( 所以osx=-个厂=一是 -C05x) π tan(sin x)<tan(2-cos x)= 24 所以sin2x=2 sin xcos=- -cos x) 25,C0s2x= 0s( -cos(cos z) 1 2c052x-1=一25 sin(cos z)tan(cos z)' 0<tan(sin z)tan(cos x)<1, 所以sn2r-经）-sin2zos牙-cos2zn- 则tan(sinx)+tan(cosx） tan(sin x)+tan(cos x) 1-tan(sin tan(cos )=tan(sin +cos), 【器(】×9 50 故③正确： 16.解.0os2a=2m。-1-2x号-1=务 对于④，由2π是f(x)的周期知，只需考虑k= 3 0,k=1时f(x)的单调性， (2)因为a为锐角，cosa=亏，则sina=5 当k=0时，x∈(-2,0)，函数y=sinx与y- 24 sin 2a=2sin acos a-25 co0sx均单润递增，而y=anx在（受，）上 递增，则f(x)单调递增： 又a,为镜角，asa十的=一5则n。 当及=1时，x∈（受，x,函教y=inx与y +)26 5 cQ0sx均单调适减，而y=anx在（受，）上 所以sin(a-B)=sin[2a-(a十)]= 递增，则∫(x)单调递减，故④正确， sin 2acos(a)-cos 2asin()5 25 四、解答题 17.解：(1)证明：因为sin(a十)-sin acos B+ 15解：)烟为6-》-得。 1 cos asin B=2,sin（a-B）=sin acos月- 所以sin(-）-1-cos2(-）=8 cos asin月=3' ·28 ·数学· 参考答案及解析 所以2 sin acos B+2 cos asin B=1①， 又因为cose+B》=2c0s“寸月-1， 3 sin acos B--3 cos asin B=1②， 2 ②-①得sin acos B-5 cos asin B=0, 所以2s-2e+1-号》 2 sin acos B=5cos asin 8. (2)因为sin(a+3)= 2'sin(a-B) 3,0<a 则9-o2+1-0, 2 2 +B受0a-9K受 则-w+1-o-o 2 所以osa+p-9osta-2号 (coo)n. 2 31 则cos2a=cos[(a十)+(a-)]= a十B 2cos- 2 -2=0, 一co52 cos(a++8)cos(a-B)-sin(a+B)sin(a-B)= 所以 5、221126-1 2 m22-0, X 323 61 又因为0<a<π，0<B<π， 18,解：1)因为ana=子且a为锐角， 4 所以。=月=子 4 3 所以sina= 5,c0sa= 19.(1)解：f'(x)=-sinx十x, 4 则f'(0)=0,又f(0)=0, 2tan a tan 2a-1-tan'a7 所以曲线y=f(x)在点(0，f(O)处的切线方 7 程为y=0. 则cos2a=cos2a-sin2a= 25 (2)解：令h(x)=-sinx十x, 又∫(a+B)=cos(a+B)= 5a9均为锐角， 则h'(x)=-cosx+1≥0， 所以h(x)在[0，十∞)上单调递增， 所以sna+-25ana+)=-2】 则h(x)≥h(0)=0, 即∫'(x)≥0，则f(x)在[0，+∞)上单调递增， 所以tan(B-a)=tan[(a十)-2a]= 所以f(x)的最小值为f(0)=0. -2-( (3)证明：i∈N时， tan(a十B)-tan2a 2 1十tan(a十B)tan2a 1+(-2x( ()-) k:= 1 11 (2)ja)+f(g)-fa+)=2,即cosa+os日 3 2+2 1 3 1 -cos(a+B)= =2(2sn2cos2-i如2) 因为m-m- -2血(-小 1 sin-月 2 sin 2 由@知0s≥1-号》 1 1 则c0s2有≥1-2>0， 2 a十Ba-B 所以cosa十cosB=2cos2cos2 g六-)-] ·29 A 衡水真题密卷 单元过关检测 如-)上 >m-1（++++）=a-1 -) --)-1-名×+× 6 14 >1-名×， 7,71、797 2024一2025学年度单元过关检测（八） 数学·平面向量及其应用、复数 一、选择题 则PA+PB=(-6x,-4)+(6-6x,-4)=(6 1.A【解析】由(x一2)i=1十i,得x=3-i, 12λ，-8)， 所以z=3十i,对应点为(3,1)，在第一象限 则|PA+PB|=√(6-12x)+64. 2十mi(2十mi)(1-3i) 2.B【解析】x=1+30+0-3D 因为入∈0,3 ,所以6-12λ∈[-2,6]， (2+3m)+(m-6)i(2+3m).m-6 所以(6-12λ)2∈[0,36] 10 10 10i, 故|PA+PB|=√(6-12x)2+64∈[8,10]. 因为z为纯虚数，则2十3m=0且m一6≠0， 6.A【解析】因为D为边BC上一点（不包含端 得m=一号，则=导，则12=是 点)，所以B,C,D三点共线， 又AD=mAB+nAC, 3.A【解析】因为a⊥b,故2(m十1)一m=0,解 可得m+n=1,则AD=mAB+(1-m)AC, 得m=-2,所以a=(2,一2)， 且0<m<1,0<n<1, 则a在e方向上的投彩向量为·日 得|AD18=16m3+25(1-m)产+2m(1- m)AB.AC. 2x2-2x1.2-(传》 5 在△ABC中，因为AB=AD=4,AC=5,BC=6, 5 4.B【解析】因为P币=A市-A=2店+AC) 由余孩定理得cos∠BAC=AB十AC一-BC1 2AB·AC8' 所以16=16m2+25(1-m)2+2m(1-m)× 3AC-A店+名C, 4×5×8: 1 所以头-安一行所以+以一 2 整理得4m-5m十1=0，解得m=或m 5.B【解析】以A为坐标原点，AB,AD所在直线 分别为x轴，y轴，建立平面直角坐标系， 1(舍去).所以，m=4 1 7.A【解析】因为DE=3,DF=2√3， D C ∠DEF=90°， 所以EF=√DF-DE=√3， Bx 设∠BED=0,0e(o,》 A 则A(0,0),B(6,0),D(0,4),C(6,4),设P(s,t), 则∠BDE--0,∠CEF=-0，∠CFE- 图为DP=DC,所以(s,t一4)=A(6,0), 即s=6入，t=4, (经-0)=8+， 「。21 故P(6x,4)1∈0,3] A ·30