单元检测(五) 一元函数导数及其应用-【衡水真题密卷】2025年高考数学单元过关检测（A版）

·数学· 参考答案及解析 无解； f1<m<4, 当2≥2，即0<m<1时，n=2时取最小值y 所以 4+3<1, =4m一5<0恒成立，符合题意； 解得1<m<2, 当宁名<2，即1<<4时a-品时墩最小值， 综上所述，m的取值范围为（一∞，2）. ym=-4+3. 2024一2025学年度单元过关检测（五） 数学·一元函数导数及其应用 一、选择题 5.D【解析】设m(x)=x-lnx, 1.A【解桥】由fx)-是-1，得fP)= er, 则备x>1时，mx)=1-子>0，m()单辆 所以f'(-1)=-e,又f(-1)=e-1, 递增， 故曲线y=f(x)在点(-1，f(一1)处的切线方程 所以a=m(3)>m(2)=c. 为y-(e-1)=-e(x+1),即ex十y+1-0. 又由于c=2-ln2>2-lne=1,而b=sin2<1, 2A【解折】y-hx的定义接为0，十o∞)。 所以b<c, 1x2-1 y'=xx 故a>c>b. 6,A【解析】由ac-ln(x+1)十lna≥1 令y'-x2-1 <0,解得0<x<1, 得e+ha+x十lna≥e++ln(x+l), 令F(x)=e十x,则原不等式可转化为 故品数y=女-hx的单调递减区同是(0,1》。 F(x+In a)>F[n(x+1), 3.D【解析】因为f(x)=c十ax, 因为y=e,y=x都是单调递增函数， 所以f'(x)=e2十a. 所以F(x)=e十x为单调递增函数， 又x=ln2是f(x)的极小值，点， 所以x+lna≥ln(x十1)， 所以f'(ln2)=2+a=0,解得a=-2. 即对任意x∈(-1，十o∞)，lna≥ln(x十1)-x恒 当a=-2时，f'(x)=e2-2, 成立 当x>ln2时，f'(x)>0,∫(x)单调递增， 令e)=nx+hD-x>-D.he)= 当x<ln2时，f'(x)<0,f(x)单调递减， 所以当a=一2时，x=ln2是f(x)的极小值点， 当-1<x<0时，h'(x)>0,h(x)单调递增， 林合题意. 当x>0时，h'(x)<0,h(x)单调递减， 故a=-2. 所以h(x)≥h(0)=1n1=0, 4.A【解析】由题意，得∫'(x)=2 xsin x十x2cosx十 所以lna≥0，即a≥1，所以a的最小值是1. 2cos x-2xsin x=(x:+2)cos x. 7.A【解析】因为f(x)十f(3-x)=4, 当e吾，引时f≥0，)单调运增 所以了)的图象关于点（侵2）中心对称，且 当x(匠时，'(x)<0,)单调递减 f()=2. 又因为）-零(》 由f'(x)-f'(3-x)=0,f'(x)=g(x), 得g(x)=g(3-x), f(π)=一2π， 3 所以f)的最大值与最小位分别为与-2 所以gx)的图象关于x=2对称，g(1)=g(2). 根据图象变接的规律，由y=g(x一1)的图象关 ·15 A 衡水真题密卷 单元过关检测 于点(2,1)中心对称， 小 得g(x)的图象关于点(1,1)中心对称，g(1)=1, 1y=x) 则gx)的周期为T=4x(号-1)-2， g(2024)=g(2)=g(1)=1, 3n- (房n) yg(x) 故f(侵）+g202)=2+1=3. o3 8.A【解析】因为1nx≤4+b≤e, 二、选择题 9.AC【解析】对于A项，由图象可知， 所以xlnx≤bx十a≤xe, 当x<-1时，f'(x)>0, 即求直线y=bx十a的纵截距a的最小值， 所以f(x)在（一∞，一1）上单调递增； 设f(x)=xe,f'(x)=e(x十1)>0， 当-1<x<3时，f'(x)<0, 所以e)在x∈，引率调递增， 所以f(x)在（一1,3）上单调递减， 所以f(x)在x=一1处取得极大值故A正确. 又周为f”(x)=e(x+2)>0, 对于B项，由图象可知， 所以f)在x∈[1，]单酒递增， 当x>一1时，f'(x)≤0恒成主，且不恒为0， 所以f(x)在（一1，十∞）上单调递减， 所以f(x)增长福度变大， 所以3不是函数∫(x)的极大值点，故B错误， 结合图象可得了x)的图泉在x[1,]上回， 对于C项，由B可知，f(x)在区间（一1,4）上单 所以y=bx十a与f(x)相切，切，点横坐标越大， 调递减.故C正确. 纵裁距越小， 对于D项，由B可知，f(x)在（一1，十∞）上单调 递减， 令切点横坐标为 ,所以y=b虹+a过点 3 所以1不是函数f(x)的极小值点.故D错误. (侵，20)，且y=6r+a外奉为2c, 10.AC【解析】f(x)的定义城为(0，十∞)， 且f'(x)=1-lhx 所以y=b虹+a的直线方程为y=e(停：一》 对于A,令f'(x)=0,得x=e, 设g(x)=xlnx,所以g'(x)=lnx十1， 所以(x)在(0，c)上单调递增，在(e,十o∞)上 3 3 单调递减， 所以在x=2时，g(x)斜奉为l血2十1，在x=1 时，针率为1，均小于直线y=(侣-)的 因此了2)在x=e处取得极大值了e)=。,故 A正确： 斜率， 对于B,令f(x)=0,解得x=1,故函数f(x)有 如图，显然，当直线y=bx十a过点(1,0)， 且仅有一个零，点，故B错误： (侵，)时，所得我距更小 对于C,由f(x)在(e,十c∞)上单调递减， 得f(4)<f(π)<f(3),故C正确； 2-0 此时直线方程为y= —(x-1)+0= 对于D.南C可f<团，p< 3 21 所以ln4<lnπ，则4<π，故D错误. 1l.ABC【解析】由题意知f'(x)=lnx+1+ 3ei(x-1), 2mx(x>0), 所以裁距为-3ei,即a的最小值为一3e. 令f'(x)=0,得lnx+1十2mx=0(x>0)有两 A ·16 ·数学· 参考答案及解析 个解x1,x2: C正确 令g(x)=1nx十1+2mx=0,即g(x)有且仅有 三、填空题 两个零点， 12.0(答案不唯一，1或2也可)【解析】因为函数 又g'(x) 1+2mx且m<0, f(x)=4lnx一ax在区间[1,2]上单调递增， x 所以查x∈(0，一2)时gx)>0,ge)单洞 片以)-a->0在区周[1,2西 递增， 上恒成立，即a<在区间[1,2]上恒成立. 当x(+)时gx)<08e)单 因为x∈[1,2]，所以4∈[2,4]. 递减， 且当x→0时，g(x)→-∞， 为俊a<兰在区间1,2]上极成立，则有4<2 当x一十∞时，g(x)一-0∞， 因为a∈N,所以a=0或a=1或a=2. 因为g)有两个率点，所以（动）>0， 13.(3,十∞)【解析】由题意知f(x)-f'(x)十e< 0,故f'(x)-f(x)-e>0, 即n()+1+2m×(）-1-2m0, 设g(x)=fx) e -.zER, 解得-m<0,故A正喷 则g')-f'(m)-f-1= e 且有0<<-a<,图为f6x)n+ 1 f'(x)-fx)-e>0, e 1十2mx1=0→nx1=-1-2mx1 f'(x2)=lnx2+1+2mx2=0→ 即gr)-f-工在R上单调递增. e lnx2=-1-2mx2, 由f3)=3e,可得g(3)=f3 -3=3-3=0, 所以f(x1)=x1lnx1+mxi=x1(-1-2mx1)+ mx=一x1(1十mx1)<0,故B正确，D错误： 故f(x)>xe即fx) er -x>0, 因为工如+四)时8)单调递减 即g(x)>0,则g(x)>g(3), 故x>3,即f(x)>xe的解集为(3，十∞). 又g(←）>0，gx)=0, 14.3【解析】设p(x=e2一x-1,则p'(x)= 所以f)在]上单运增， e'-1, 当x∈（一o∞，0）时，p'(x)<0,p(x)单调递减； 则有f,)>(动)=-2（动）计 当x∈(0，十∞)时，p'(x)>0,p(x)单调递增： 所以p(x)≥p(0)=0,即e≥x+1,当且仅当 a品()引： x=0时，等号成立. 又为-<m<0-2>1, 所以f)=te-3nx-1 x 令Ax)=x(ax-2》x>1, e*h-3nx-13x+3nx+1-3lnx-1=3, 当且仅当x十lnx=0时等号成立， 则h)=nx+1-安-lhx+分>0， 设s(x)=x十lnx,可得s(x)单调递增， 所以函数h(x)在(1，十∞)上单调递增， 又s(e1)=e1-1<0,s(1)=1>0, 尉>=-是所以)>-号故 所以s(x)=0有解，所以[f(x)]n一3. 四、解答题 ·17· 衡水真题密卷 单元过关检测 15.解：(1)当a=0时，f(x)=x2一21nx,定义域 令h(a)=ln(1十a)+1-a, 为(0，十∞)， 1 k'(a)=1+a -a f'(x)=2x- 22x2-2 -1=1+a' 则令h'(a)<0,解得a>0, 令f'(x)>0,解得x>1,令f'(x)<0,解得 令h'(a)>0,解得-1<a<0, 0<x<1, 所以h(a)在(0，十∞)上单调递减，在（一1,0）》 所以f(x)在(0,1)上单调递减，在(1，+∞)上单 上单调递增， 调递增， 又h(0)=1>0,h(1)=ln2>0,h(2)=ln3-1= 故f(x)在x=1处取得极小值，f(1)=1, ln3-lne>0,h(3)=2ln2-2=ln4-lne2<0, 所以f(x)的极小值为f(1)=1,无极大值. 故整数a的最大值为2. (2)因为f(x)在区间[1,2]上单调递减， 所以在区间[1,2]上f'(x)≤0恒成立， 17.解：1D侬题意，设∠BOP=0(0<0<》 所以f'(r)=2x+a-2≤0→a≤ PH=100sin 0 m,OH-100cos 0 m, x -2x在 因此△OPH的周长L=100+100(sin0+cos0)= [1,2]上恒成立， 令8e)是-2红，月需a<gu… [lo0+1o,2al0+】m, 显然g(x)=2 显然<0+<，于是当0叶 42' 2x在区间[1,2]上单调递减， 即8= 所以g(x)=g(2)=1-4=-3, 有时，Lm=(100+1002)m, 所以a≤一3.故a的取值范围为(-∞，一3]. 所以步行道长度的最大值是100(1十√2)m. 16.解：(1)当a=1时，f(x)=xlnx-x+1, (2)由DH⊥OP于H, f'()-+x.1-1-Inz. OD=OH cos 0-100cos20 m, 1 令f'(x)<0,解得0<x<1: 因此△ODH的面积S=2OH·ODsin0 令f'(x)>0,解得x>1, 5 000sin 0cos20 m2, 所以f(x)在(0,1)上单调递减，在(1，十∞)上 令f(0)=sin0cos20, 单调递增， 求导得f'(0)=cos0-sin0·3cos20sin0= 所以f(x)=f(1)=0. cos0(1-4sin20), (2)由f(x)≥-a可得xlnx-ax+1≥-a, 即1nx-a+1+a≥0. 而0<0<受：则 记gx)=lnx-a+l+@ 当0<0<号时f'(0)>0,函数f0)单调 递增： g'(x)=1_1+a-x-(1+a) x z2 x2 当号n0<1时'0)<0，函数f0)单调 若1十a≤0，即a≤-1，g'(x)>0, 递减， 则g(x)在(0，十∞)上单调递增， 又x→0+时，g(x)→-∞，不合题意； 于是当sn0-2,即0=君时， 若1+a>0,即a>-1, 令g'(x)<0,则0<x<1+a, 令g'(x)>0,则x>1十a, 即g(x)在(0,1+a)上单调递减，在(1+ 所以花圈面积的最大值为S…=500×3,3 16 a,十c∞)上单调递增， 1875 所以g(x)=g(1十a)=ln(1+a)+1-a≥0. 2 -m'. *18. ·数学· 参考答案及解析 18.解：(1)f(x)的定义域为(0，+∞)，对f(x)求 (E-1)-a(x-1), 导得f'(x)=x-1D1-a-ax) x 即f(x)=lnx-ax+ 1-a+2a-1< x 当a≤0时，x∈(0,1)时，f'(x)<0,x∈ 2(E-1)-a(x-1)=(F-1)[2-a(WE+1)], (1,十∞)时，f'(x)>0, 所以f(x)在(0,1)上单调递减，在(1，十∞)上 所以存在=（侣-刂八使得f,)=0, 单调递增： 当a≥1时，x∈(0,1)时，f′(x)>0,x∈ 根据函数零点存在定理，当0<a<时， (1,十∞)时，f'(x)<0, 函数f(x)的零点个数是2. 所以f(x)在(0,1)上单调递增，在(1，十∞)上 单调递减： ②证明：由/(。>0， 当a=2时，z∈(0，+∞)时，f'(x)<0, 得n合-1)+4a-2>0, 所以f(x)在(0，十∞)上单调递减； 当2<a<1时xe(6,1.2）时f'x)<0, 令a=2年7得h"中>2n n>2m+1 2>2n32 所以1n>3,ln25…,ln2 ze(。2)时f(x)>0ze1.+) n2n+1' 时，f'(x)<0, 所以na+1>号+号+…叶+品 所以了x)在0，。2）.1，+o)上单调遥减. 19.(1)解：令f(x)=sinx,则f'(x)=cosx, f"()=-sin I,f (r)=-cosI,fu(r)= 在(。，1)上单调递增： sinx,…,故f(0)=0,f'(0)=1,f"(0)=0, f(0)=-1,f0(0)=0,…, 当0<a<时，xe0,1时，f')0, 由麦克劳林公式可得 z,22）时f'>0… sinx=x31+5一71+… 111 x∈(a2,+∞时，f'x)<0, 故in豆-28十…≈0,48. 所以fx)在0,1.(。，+四)上单调递减， (2)结论：c0sx≥1-号， 在1，。）上单调递增 证明如下： (2)①由(1)且f(1)=0可知， 令84)=ox-1+号≥0， 当0<a<号时，(。2）>0. 令h(x)=g'(x)=-sinx十x, h'(x)=-co8x+1≥0， g(z)=Inz-x+1(>0)g'()-1 故h(x)在[0，十∞)上单调递增，h(x)≥h(0)=0, x 故g(x)在[0，十∞)上单调递增，g(x)≥g(0)=0, 所以在(0,1)上，g'(x)>0,g(x)单调递增，在 (1,十∞)上，g'(x)<0,g(x)单调递减， 即证得c0E一1+号≥0，即c之1- 所以g(x)≤g(1)=0, 所以lnx≤x-1, (3)证明：由(2)可得当x>0时，0sx≥1- 2 所以lnx≤2(W-1). 且由h(x)≥0得sinx≤x, 当x>1时，f(x)=nx-ax+1-0+2a-1< 当且仅当x=0时取等号， In x-ax+1-a+2a-1=In z-ar+a<2 放当>0时，os>1-号in<, ·19, A 衡水真题密卷 单元过关检测 1 1 cosn十k 1>n 1 (n十k)sinn十k (m十k)tann十k (n十k)tan n十k (品+++) 1 1 cosn十克 1 1 1 1 n+).1 8n+k>1-20m+k) =C0s n一2m十1十4n十1，而n一2n+1+4m十1 n十k 1 1 而2m+k-(2m+2k)y<(2m+2)可 2 1 即证得 1 i-1 1>n一4m+2 (2m+2k-1)(2m+2k+1)2m+2k-1 m十k)tann十克 1 2m+2k+1' 即有 1 1>1- 1 1 (n十k)tan 2m+2k-121+2k+1 n十k 2024一2025学年度单元过关检测（六） 数学·三角函数的图象与性质 一、选择题 由函数在[0，十o∞)上单调递增， 1.D【解析】设扇形的半径为r,则蔬长为1一3r, 得|sinx|<|cosx|, 因为扇形的周长为20， 则sin2x<cosx,则cos2x>0, 所以2r+3r=20,解得r=4,则1=12， 1 1 所以2张-受<2z<2x+受∈0， 故扇形的面积为21=2X4X12=24。 即红一<红<x十 4é∈Z, 2.C【解析】因为sin2>0,cos2<0,所以角a是 第四象限角，一a是第一象限角，π一a是第三象 所以A、C、D不合题意，选项B符合条件， 限角 6.C【解析】对于A,由题意可知g(x)的图象在区 3A【解析】若a=吾，则血a=号：故充分性 间[a,b]上的对称轴为x十」 2 成立； 则工=0与工=，十4关于工=1十对称， 2 若如a-宁则日可为管故必要性不成立， 1 又g(x1十x2)=, 故“a=”是“sina= 6 ”的充分而不必要条件。 2 4B【解折】周为ana-如。- 1 结合图象可得g0)=gx1十)= 2 5 cosa2'→ 4cos'a= 5 sin'a++cos'a=1, 所以m甲-号，又0<g<号所以9= 1cos'a-4 ' 所以gx)=sim(2z十写），故A正确： 又a是第二象限角，所以cosa<0, 对于B,gx)=sin2x+）右移营个单位得到 所以osa=-25s（x-a)=-osa 25 2√5 5 函数y=sin2z-）的图象， 5.B【解析】因为f(x)是偶函数， 故f(x)=f(lx|), 再将共横坐标缩短为原来的号得到了(x) 故由f(sinx)<f(cosx), f(Isinl)<f (lcos1), sin(4x- ）的园象，故B正确： A ·202024一2025学年度单元过关检测（五）】 数学·一元函数导数及其应用 (考截时间120分钟，总分150分) 一、这择题（本题共常小题，每小题5分，共和分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是 符合累日要求的们 题号 2 答案 k已知后散f)- 一1，划由线y=fx)在点(-1，f(一1)处的切线方程为() A.r+y十1=0 我g一y十1=0 C.er+y-1=0 D.er-y-1=0 1 2函数y立一血工约单调递减区阀是 A(0,1D B(-9.-1DU(0.1) CG,{-o,1》 ID1,+o） 3.已如上=ln2是两数f(x)=e+r的极小值点，期u= A.In 2 B.-In 2 C.2 D-2 4.版数f(x)-产i加工十8红osx在区画上的最大值与最小值分别为 c,号 B2x.-2= 5设a一3一h3b一m三-公-h2,则下列判断正确怕是 A.ePe>6 B.ba>e C.c>6a D.g>c之b 6,若对任意xE（一1，十o),不等式a一n(x十1)十ma1恒成立，周实数a的 最小值是 A.1 B.2 C.e D.$ 7,已知函数F(x)的定义城为R,且满足f(x》十f(3一)=4，厂(x)的导雨数为g(士》，雨 数y一《一的图象关于点2,1)中心对称，则侵）+e(202) A.3 且.=3 C.1 D.=1 单元垃关检测【玉】做学第1页{具8页) 衡水直 &若不等式h6是+elase对任意的e到成立，用a的量小值为《) A.-3el C D.kesle 二，誉择蹈（本用其3小题，每小是6分，共18分在每小题给出的选项中，有多项符合题日 要零.全部选对的得6分，郁分选对的得布分分，有选错的得0分1 题号 10 答案 9.函数fx)的号雨数了'(x)的图象如图所京，则下列结论玉确的有 A.一1是闹数f《x)的极值点 且.3是两数f《丝)的极大值点 C,f(x)在区周（一1,4）上单国递减 D.1是函数f(x)的极小值息 10.对于话数f2)血二，下列说法正确的有 人和)在工=处取得段大值片 B,f《x)有两个不同的零点 C.f4)<f(m)<f3) D<4" 11,已知函数f《x)=xhx十标士《m<0)有两个级值点x1:(1>x),写 《 A,-2<w<0 Bf(r,)<0 C.(> D.fx,>立 三，填空题（本题具3小愿，每小塘5分，共15分 12.使“当a∈N时，函数f(x)=4lnx一x在区间[1,2]上单调递增为真合题的a的 个取值是 ,(写出符合恩意的一个值群可) 13,定文在R上的雨数fx)满足f《x)一f《x)十<0，其巾了‘《x)为f(x)的导函数： 若f3)-3e,则f(x)>x的解集为 14.函数fg)e一1=x>0)的最小植是 单元过关检测（五）数学第2页（共8夏！ A 西，解答题本愿共5小题，共T7分，解若皮写出文字说明，证明过醒或演算步骤} 15.(13分)已细函f(x)-r+ax一2lnx(aeR). 《1)当a=0时，求函数了{*)的极值： 《2)若函数fx)在区间[1,2上单调递减，求实数a的取值范围. 单元垃关检测（玉】数学第3面{具8页） 16,(15分)已知两数f《x)=xnF一aF十1，e∈R. (1)当a-1时，求函数f(x》的量小值： (2)若f《x)一日对任意的x>0成这，求鼓数年的最大值. 衡水真题密卷 单元过关检测五)数学第4页（其8夏！ 17,《15分》如图所示，某小区有一半径为100m,钢0角为90的扇形空地，现藏对演地块 1817分)已知两数f)-a上一a上4二：+a-L 进行改登，从重AE上一点P向OB明垂线段PH,从点日向OP引套线段DH. 《1》在三角彩)PH三边馨建步行道，求步行道长度的最大值： (1)时论两数fx)在(0，+=)上的单到性： 《2)在三角形OD川内修建花国，求花圈面积的量大值. (2)当0<m<2时， ①判断函数了(：)的零点个数，并证明： ⑦求证，lnm+1>号+是+ 2 单元垃关粉测（玉」做第5面具8或） 衡水直题密蓉 氧元过关检测引五)数学第S页（其8面} 1g,(17分)英网数学家套粉发现的崇秋公式有如下特珠形式：当(x)在x=0处的n(n∈N”) 3'++0 阶孕数都存在时)=0)+r《0+0,1+ 1+ .注：f"(x》表示f(x)的2阶导数，即为广(x》的导数，f(x)(3)表承f(x》的 m阶导数，演公式也称麦克旁林公式， (1)根据孩公式替算豆的值，精确到小数点后两位， （②由该公式可得：m子=1引+后十后十一当0时，试比较m与1一营约 大小，并的出证明 投neN,证明，之1 12n-m十2 '《n十2anw+十g A 单元垃关检测[玉】数学第T页{具8页) 衡水真题密参 单元过关检测{五)数学第8页（其8夏！