单元检测(四) 幂函数、指数函数与对数函数-【衡水真题密卷】2025年高考数学单元过关检测（A版）

2024一2025学年度单元过关检测（四） 数学·幂函数、指数函数与对数函数 (考试时间120分钟，总分150分) 一，选择{本藏共8小避，每小题5分，共相分.在每小题始出的四个选项中，只有一项是 符合整目要求的】 题号 答案 上若一5，周药+5的为 9 B号 c 2.已知函数f(x)一l0g(2一x)的值域为（一，1门，相函数f(2x)的定义城为( A.[0,+m》 B.[0,20 Co,1) D.(-o,1) 品函数)=+上的周象大数为 水人 okr1. 4,已知「(x)= 是定义在最上的增函数，则显的取值雅围是( (3-a}x-1r<1 A.[2,3》 且(1,3) C,(1,+四) h.(1,2 瓦若两数y=(千十)为偶函数，期6约值为 A.-1 凤司 C.o 6已每函数fz)-e(z-1Dg(x)-4-2+1十2.对于任意x1e[2,十o),存在z∈ [-1,2],有f)gx,则实数g的取值范围是 A,{-∞，1] 且(-o四.0） C.(-o,-2] D.《=0,=8] 单元垃关恰测[目】数学第1页{具8西) 衡水直 元设a-号b-多ec-1-e,则 A.a B.c<<a C.bScca D.a<c<o &已知6数)-c+er,若fem+f0gm)-0-20.则实数m的取值范 围为 Ao》 C.(o,3) D(3,too】 二，燃辉丽（本题具3小题，每小题分，共1器分在每小题给出的透项中，有多项符合题日 妻零.全部益对的得年分，部分选对的得都分分，有选错的得0分] 题号 10 11 答案 头已知两数：)=的用象经过点么，》财下列结论正确的有 Af)的图象经计点6，动 Bf(r)为斋派数 C.f(x)在定义线上兼调递减 D.fx)在(0，+6o)内的值域为(0，+eo》 10,已知函数/《x)=-如g:(mr3一2规r十3》，北中m为常数，下列命题为直命题的有 A当m=1时，f(x)的增区间为1，十四》 B,存在w,使得∫(x》为，函数 C.若fx)的定义线为R,期0<m<3 B若f(x》的植拔为R,附m3 1山.已知直线y一2-子的图象分群与雨数y“0和y一h(2)的图象交于点A y1》zt+3y》,期 A.eh十>2e B.zi:>In 2 C.2 D.+1n(2x)>3 三，填空题（本赠共3小题，每小题5分，共15分} 2(x2I》, 12.已知函数f(x)一 则f《-1》]- 2-leg;Cr十4-4<x<1): ]3,大西祥胜鱼每年都要逆道面上馨同产地产卵，研突鱼的科学家发观大万洋能鱼的善速 M (单位：m的可以表示为=专g10,兆中M表示鱼的矩氧量的单位数.当一条大 密鞋 单元过关检测（因）数学第2页（其8页！ 西洋链鱼的耗氧量的单位数是其静止时耗氧量的单位数的33倍时，它的前递是 16,(15分)已每定义在t上的两数fx)横足f代一年)-f《x}=0,且fKx》=l(2*+ m/s. 1)+x,(x)一(x)中1， 14,定义在R上的意函数f(x)拥足f(x)+f(2一#)0，当xE(一11)时，f(x)= (1)求f(x)的解析式： 二，一小+b测g) (2)若不等式g《4°一@·Y+1g《3)恒或文，来实数的取值范围 四，解答藏（本原共5小葡，共T行分.解答座写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15,《13分)已知释函数f(x)■〔2四一5网十3)x“的定义城为全体实数北， 1)求/(x)的解析式： (2)若了(x)>3x十★x一1在[0,1)上恒成立，求实数·的取值围 A 单元垃关粉湖[居】做第3面具8或) 衡水直题密蓉 氧元过关检测因)数学第4页（共8面！ 17,《15分)酒翼是严重危言交通安全的违法行为，为了保第交通安全，鼠暑国家有关规定： 1B,(17分)最区同A是函数y=f:)是义城的一个子集，若存在：∈A,使得f《)= 100mL直液中酒精含量达到20~？9回g的露整员即为置后驾车，8的mg及国上认定 x:成立，则称z。是f(x)的一个“不动点”，食称f(x)在区间A上存在不动点，钢如 为郁酒算车，经注反复试验，喝一雅率简后简萄在人体直被中的含量变化规律的“数点 g(x》=2x一1的不动点满足g(x。》=2x1一1=r,即g(x)的不动点是x,=1,设 图”如图，谈函数近似模得如下， fx》=w%(4*+e42-1-61,x∈[1,2]. 3 f( u-z+40,18,0r<2. (1)若a=0.求丽数f(x》的不动点， 已知酒后1小时测得酒精含量值为46.18毫克/ (2)若函数《x)在上[1,2]存在不动点，求实数a的取值总国 56.26·etu+14.73,x2, 百老升，根据上迟条牛，解答以下月题。 《1)当0x<2时，南定f(r)的表达式( 《2)喝一瓶降酒多长时问后才可以驾车？时同以整分伸什算) (参号数据：lb527=6.29,n5626=&63,1n1473=7.29) 写一机中销均情况 小·◆· 24681021416 时间小时 单元垃关粉湖[居】做第5面具8或) 衡水直疑密鞋 氧元过关检测因)数学第5页（共8面 A 1.1#)记如孟数fx)-log+7g)-m·-2-+a 日一军 《1》若y一gg(红门的值域为R,求清足条件的整数牌的值： 《2)若非常数函数f(x)是定文城为（一2.2）的奇函数，且Yx1∈[1,2)，3x:∈[一1,1]， -,>一号·求m的取值范. A 单元垃关检测因】数学第T页{具8页) 衡水真题密参 单元过关检测因)数学第8页（其8夏！衡水真题密卷 故m的取值范围是（一∞，3]. (2)因为a>0, ar-m,x≥ a f(x)=ar-ml ax十m,z< 所以∫(x)在 侣十)上单调递增，在 (一∞，m）上单调递诚， 又因为力为假命题，所以>1，即m>a 记满足力为假命题的m的取值集合为A= (a,十c∞). 因为q为真命题，所以△=m2一4m≥0，解 得m≤0或m≥4. 记满足q为真命题的m的取值集合为 B=(-0∞，0]U[4,+c∞). 因为p为假命题是q为真命题的充分不必要条 件，所以集合A是集合B的真子集，则a≥4. 故a的取值范围是[4，十∞). 19.(1)解：因为78=2×3×13，所以k=3,p1=2, p2=3,pa=13,r1=1,rg=1,r3=1, 所以4(78)=(-1)=-1： 又375=3×5，因为5的指数3>1， 所以4(375)=0. (2)证明：①若x=1或y=1,因为μ(1)=1， 2024一2025学年度单元过关检测（四） 一、选择题 1 1.B【解析】由题知二=log:5, 所以m=10g5=log2, 所以容+5-产+-5十写品-4 19 22 2.C【解析】由f(x)=log(2-x)的值域为 (-0∞，1]，得0<2-x≤2， 故0≤x<2,即f(x)的定义战为[0,2)， 令0≤2x<2,得0≤x<1, 故f(2x)的定义域为[0,1). 3.A【解析】当x>0时，f(x)=工+】， ,在x=1 处取得最小值，排除C、D, ·10 单元过关检测 所以u(xy)=u(x)r(y). ②若x≠1且y≠1，且存在质数p,使得x或y 的质因数分解中包含p(r>1),则xy的质因数 分解中一定也包含'， 所以u(xy)=u(x)r(y)=0. ③若x≠1且y≠1，且不存在②中的p, 可设x=p12…py=q198…q, 其中p1,p2…,p4,q1,q2,…,9,均为质数， 则xy=p1p2“p919“9s: 因为xy互质， 所以1，p2,…,p4919…,9:互不相等， 所以：(xy)=(-1)+=(-1)(-1)= u(x）u(y）, 综上可知(xy)=4(x)μ(y). (3)证明：由于n>1且以(n)=1,所以可设n= P1p2…pe,k为偶数， n的所有因数，除了1之外都是p1,p2,…,p: 中的若干个数的乘积，从个质数中任选i(i= 1,2,…,k)个数的乘积一共有C1种结果， 所以u(1)十a(a1)十(ag)十…十u(am)十 r(n)=r(1)+[μ(p1)+u(p:)十…十u(p)]+ μ(pp:)十μ(pp)十…十u(p-1p门十…十 m)=1十C(-1)十C(-1)2+…+C1(-1-1+ (-1)=(1-1)=0, 所以u(a1)+u(az)+…+u(am)=0-u(1)- μ(n)=-2. 数学·幂函数、指数函数与对数函数 当<0时，)=子-，单捐递减故选A logx,x≥1， 4.A【解析】因为f(x)= 是 (3-a)x-1,x<1 定义在R上的增函数， a>1, 所以3-a>0,解得2≤a<3, 0≥3-a-1, 所以实数a的取值范国是[2,3). 5.B【解桥】由题设知（一x)·（年十） (品)-✉(h)-(w: 1 e 所以一c中1一b=。十十6恒成立，则26=-1 ·数学· 26=2 6.A【解析】由题意知，x1≥√2→x≥2→x-1≥ 1→f(x1)>≥0， g(x)=4-2+1十a=(2-1)2+a-1 因为-1≤x≤22≤2≤4 所以a-1≤g(xg)≤a十8. 对于任意x1∈[2，十o∞)，存在x:∈[-1,2]， 有f(x1)≥g(xg)等价于f(x)mn≥g(x)m, 即0≥a-1→a≤1. 则实数a的取值范圆是(-∞，1]. 7.B【解析】对于函数f(x)=e-x-1,f'(x)= e-1,令f'(x)<0→x<0,f'(x)>0→x>0, 所以函数∫(x)在（一∞，0）上单调递减，在 (0,十∞)上单调递增， 所以f(x)m=f(0)=0,则f(x)≥0，即c≥x+1. 所以6=2-e<2-(得+1)-号e=1-e≤ 1-(+)- 由e2<8,得e<8时=2， 吸品 1 则1+e号=1+左>2 2， e √ee 所以1-e号<2-e克，即c<b. 所以c<b<a. 8.B【解析】因为f(x)的定义城为R,f(一x)= (e+e)(-x)'=(e*+e)x2=f(x), 所以f(x)为偶函数， 图为f(z)=(e-e)x2+2x(e+e4),f'(0)=0, 当x>0时，e>1,0<e<1,所以e2-e> 0,所以f(x)>0, 所以f(x)在(0，十∞)上单调递增， 国为fogm)+f0og号m)-2e-。<0 f(logm)+f(-logam)<2e+2-2f(1), e 即2f(log1m)<2f(1),即f(logm)<f(1), 图为f(x)=(e+e)x2在(0，十∞)单调递增 且为偶函数， 1 参考答案及解析 1 所以logm<1,即-11ogm<1,解得3<m<3. 所以实数州的取值花国为信) 二、选择题 9.ABD【解析】由函数f(x)=x的图象经过点 2,得号=2，得a=-1,所以了x)=x 对于A,起(6，后)R入fx)=,即言6 1 成立，故A正确： 对于B,f(x)=x1的定义城为{x|x≠0}，满 足f(-x)=-上=-f(x),是寺画数，故B 正确： 对于C,f(x)在定义域内不单调，在（一∞， 0),(0,十∞)上单调递减，故C错误： 1 对于D,当x>0时，二>0，即f(x)在(0，十∞) 内的值城为(0，十∞)，故D正确. 10.ABD【解析】当m=1时，f(x)=log(x 一2x十3)在(1，十∞)上单调递增，故A正确： 当m=0时，f(x)=log3,f(x)为偶函数，故B 正确： 若∫(x)的定义城为R,则不等式mx2一2mx +3>0恒成立， 当m=0时，3>0恒成立： m0, 当m≠0时，由 解得0<m3, △=4m2-12m<0, 综上，m的取值范国为[0,3)，故C错误： 若f(x)的值域为R,则mx2一2mx十3能取任 意正实数， 当m=0时，不符合题意， m>0, 则由 解得m≥3， △=4m2-12m≥0， 综上，m的取值范国为[3，十∞)，故D正确. 故选ABD. 1 1l.ABD【解析】因为y=2e和y=ln(2x)互为 1 反函数，所以y=2e和y=n(2x)的图象关 于直线y=x对称，又因为y=x的斜率1与 y=一x十2的斜率一1的乘积为一1， A 衡水真题密卷 因此y=x与y=一x十2互相垂直， 显然y=一x十2的图象也关于y=x对称， 解方程组 y=2-x,x=1, → 所以y=x和 y=I, y=1, y=一x十2的交点坐标为(1,1)， 1 有x1十x=2,y十4=2，y=2y=lh2x), 0<x1<1,1<x1<2. 对于A,因为0<x1<1,1<x:<2,x1十x:=2, 所以e+e>2√e·ei=2ve1+西=2√e= 2e,故A正确； 对于B,因为A(x1,y1),B(xy)关于(1,1) 对称， 所以有1<y,<21<2e<2→lh2K,n4, A(x1,y)在y=一x十2上，而x1十x2=2, 所以21=一x1十2=x 显然函数f(x,)=x(2c)在(0，+o)上是单 调递增函数， 所以fx)>fa2)=n2·(经·e） In 2, 所以x1x>n2,故B正确； 对于C,因为0<x1<1,1<x:<2,x1十x2=2, 所以0<任到'=1， 因光有0<红<云 设画数g(x)=2(z∈(0,1D》,g(x) n工，周为x∈(0,1) 所以g'(x)>0, 国此g()(E(0,1)是单调递增的， 当0<1时，有&a1<》 1 In- 即< =x:n-=z:In(:)1= 单元过关检测 -z:In I: 因此有n1十，ln4<0,故C错误： 对于D,因为A(x1,y:),B(x,y2)关于(1,1) 对称， 所以x1十x=2,2e+lh(2x)=2, 即e1=2(-x1十2)，ln(2xz)=-xe十2， 所以e十ln(2x:）=2(-x1+2)+(-xe十2)= 2(-x1十2)+x1=4-x1: 又0<x1<1,所以3<4一x1<4,从而e1十 ln(2xz)>3,故D正确. 三、填空题 12.12【解析】f(-1)=2-1og3=2+1og23, 又2+log:3>1, 故f(f(-1)=22+3=22×23=4×3=12. 13.4【解析】设大西洋蛙鱼静止时的耗氧量的单 3 位数为M则时bs0-0,可得M=10, 将M=3后M,=0测代入-宫s0可 1 得u=号×log,3i-m/0. 14.log10(也可以写成1+log5)【解析】因为f(x) 是定义在R上的奇函数，且当x∈（一1,1）时， fx)=log(吕x-l+b, f(0)=log(a-1)+b=0,① f(》+/(-2)-lga-D+b+ie(信-1+ lo.). 南0@可得，oe(g号+)=bsa-1, fa2-2a=0, a-1>0, 整理得2a-1>0,得a=2,f(0)=log1+b=0, a -1>0, 可得b=0, 故当xe(1,0时fa)=lo(2- 1+x log:1' ·数学· 1+工=-f(x), 1一工=一1og:1一x f(-z)=log:+ 即f(x)为奇函数，符合题意， 国为f(x)十f(2-x)=0, 则f(2-x)=-f(x)=f(-x), 所以∫(x)是以2为周期的周期函数， 1 1 =log:2=1, 13 在f(x)十f(2-x)=0中，令x=1, 可得2f(1)=0,即f(1)=0, f3+f号+f+f(字+f号+f2) f学2+f3+f号+f学+f0+0=0, 因共罗f(传）=f(223）)+f(924）+37× 0=f(传)+f(径）=1+1og5=1og10. 四、解答题 15.解：(1)因为f(x)=(2m3-5m+3)xm为幂 函数， 所以2m2-5m+3=1,解得m=2或m=2, 又m=2时，fx)=x,定义域不为R,舍去， 所以m=2,f(x)=x (2)由(1)得，f(x)=x2,f(x)>3x+kx-1在 [0,1)上恒成立， 即x2>3x十kx-1在[0,1)上恒成立， 即kx<x2一3x十1在[0,1)上恒成立， 当x=0时，0<1，显然成立，此时k∈R; 当x∈(0,1)时，得<x+ -3在x∈(0,1) 时恒成立， 由对勾函数的性质得，y-x+3在x(0, 1)时单调递减， 所以x+五-3>1+1-3=-1，所以k≤-1， 所以实数k的取值范围为（一∞，一1]. 16.解：(1)由题意知，log(2+1)-kx一log(2+ 1)一kx=0, 即2kx=1og2(2-1+1)-log(2+1)= 参考答案及解析 22+1 1og2+1 =一x,所以k=一2 故f(x)=log:(2+1D-2x. (2)由(1)知，g(x)=f(x)+x=log(2+1)+ 2x: 所以g(x)在R上单调递增， 所以不等式g(4-a·2十1)>g(-3)恒成立 等价于4一a·2+1>-3恒成立， 即a<4“+4 2”恒成立. 设1=则>0，生+≥当 t 且仅当t=2,即x=1时取等号， 所以a<4,故实数a的取值范围是（一o∞，4）. 17.解：(1)根据题意知， 当0≤x<2时fz)=a(-)+49.18, 所以fD=a1-)+49.18=46.18, 解得a=-12, 所以当0≤x<2时， fe)=-12(-}'+40.18 (2)由题意知，当车辆驾驶人员血液中的酒精含 量小于20mg/百毫升时可以驾车， 当0≤x<2时，f(x)mm=f(0)=22.18>20,不 符合题意，因此x≥2. 由56.26·eu+14.73<20, 得e。“<5.27527 56.265626 两边取自然对数可得， -0.4x<1n527-ln5626=6.27-8.63=-2.36, 所以r>2.36 0.4 5.9,又5.9小时=354分钟， 故喝一瓶啤酒354分钟后才可以驾车。 18.解：(1)由不动点定义知： 当a=0时，f(x)=log(45-6)=x, 所以4-6=2，即(2)2一2-6=0， 解得2=3或2=一2（舍去）， 所以x-1og23,且1og23∈[1,2]， 所以f(x)在x∈[1,2]上的不动点为1og3. (2)根据已知得，log2(4十a·2-1一6)=x在 A 衡水真题密卷 x∈[1,2]上有解， 即4+a·2-1-6=2在x∈[1,2]上有解， 令2x=t,t∈[2,4]， 所以+2-6=， 即+(？-1-6=0在：[2，上有解， 即1-号-19在[241上有解， 6 设g(t)=t- 1∈[2,4，则gu)在t∈[2,4] 上单调递增，故g)e一1,2： 57 所以-1G1-受<号，得-3Ca<4, 又4'+a·2-1-6>0在x∈[1,2]上恒成立， 所以-g<2一在x∈[1,2]止恒成立。 则-2<-1，即a>2, 综上，实数a的取值范围是(2,4]. 19.解：(1)因为y=lg[g(x)]的值域为R, 所以g(x)的值域包含(0，十∞)， g(x)=m·4x-2+2+3=m·(2)2-4·2 +3, 当m=0时，g（x)=一2+十3，其值域为 (一∞，3)，不满足条件： 当m≠0时，令t=2,t∈(0，+∞)， 则y=mt2-4红+3的对称轴为1=召 4 当m>0时，ym=m· 即g(x)的值域为3 m,+c∞， 4 0 所以 34 解得0<m< m>0, 当m<0时，品<0，y=m-红+3的值城为 (-∞，3)，即g(x)的值域为（一∞，3），不满足 条件 综上所述，0<m<分 所以满足条件的整数m的值为1. (2)因为f(x)是定义域为（一2,2）的奇函数， 1 单元过关检测 (0)=0. 所以fy-1)=-f0: og2=0, 即 a+1 log:2-b ,a-1 =-log2+b' 解得2， a=2, 或 b=1 b=-1, 因为∫(x)不是常数函数，所以 a=2, b=1, ,2-x 经检验，符合题意，即f(x)=og2十z, 由x1∈[1,2)，3x2∈[-1,1]， 1 fx1)-g(x:)>2: 得Vx1∈[1,2)，3xg∈[-1,1]， f(+32) 1、 只要fx)十2>g(x)m即可， 当x∈[1,2)时， 24t-2-1eo, 2+x 2+x 2+x 11 所以f(x)m=log3-2' 1 则fx)=+2=1, g(x)=m·4-2+2+3=m·(2)2-4·2+3, 令m=2,因为x[-1,,所以a∈[侵，2， y=m·n2-4n+3,n∈ 当m=0时，y=一4n十3，n∈ 时取最小值，ym=一5<1恒成立，符合题意： 当m≠0时，y=m·n2一4n十3，n∈ 对称轴为二 n 当m<0时，n=2时取最小值，ym=4m一5<0 恒成立，符合题意： ≤分即≥时一专时康最小他， 当0< m≥4， 4m+1,所以 不等式组 4m+1<1, ·数学· 参考答案及解析 无解； 1<m<4, 当2≥2，即0<m<1时，n=2时取最小值y 所以 4+3<1, =4m一5<0恒成立，符合题意； 解得1<m<2, 当宁名<2，即1<<时a-品时墩最小值， 综上所述，m的取值范围为（一∞，2）. ym=-4+3, 2024一2025学年度单元过关检测（五） 数学·一元函数导数及其应用 一、选择题 5.D【解析】设m(x)=x-lnx, 1.A【解桥】由x)是-1，得fP)= er, 则备x>1时，mx)=1-子>0，m()单销 所以f'(-1)=-e,又f(-1)=e-1, 递增， 故曲线y=f(x)在点(-1，f(一1)处的切线方程 所以a=m(3)>m(2)=c. 为y-(e-1)=-e(x+1),即ex十y+1-0. 又由于c=2-lh2>2-lhe=1,而b=in2<1,】 2A【解折】y-hx的宠义接为0，十o∞)。 所以b<c, 1x2-1 y'=xx 故a>c>b. 6,A【解析】由ac-ln(x+1)十lna≥1 令y'-x2-1 <0,解得0<x<1, 得e+h+x十lna≥e+n+ln(x+l), 令F(x)=e十x,则原不等式可转化为 故品数y=女-hx的单调递减区同是(0,1》。 F(x+In a)>F[n(x+1), 3.D【解析】因为f(x)=c十ax, 因为y=e,y=x都是单调递增函数， 所以f'(x)=e十a. 所以F(x)=e十x为单调递增函数， 又x=ln2是f(x)的极小值，点， 所以x十lna≥ln(x十1)， 所以f'(ln2)=2十a=0,解得a=-2. 即对任意x∈(-1，十o∞)，lna≥ln(x十1)-x恒 当a=-2时，f'(x)=e2-2, 成立 当x>ln2时，f'(x)>0,∫(x)单调递增， 令A)=nx+lD-x>-D.he)= 当x<ln2时，f'(x)<0,f(x)单调递减， 所以当a=一2时，x=ln2是f(x)的极小值点， 当-1<x<0时，h'(x)>0,h(x)单调递增， 林合题意. 当x>0时，h'(x)<0,h(x)单调递减， 故a=一2. 所以h(x)≥h(0)=1n1=0, 4.A【解析】由题意，得∫'(x)=2 xsin x十x2cosx十 所以lna≥0，即a≥1，所以a的最小值是1. 2cos x-2xsin x=(x:+2)cos x. 7.A【解析】因为f(x)十f(3-x)=4, 当e吾，引时f≥0，f)单调递增 所以了)的图象关于点（侵2）中心对称，且 当x(货时，'()<0，单调造减 f()=2. 又因为f)-平(》- 由f'(x)-f'(3-x)=0,f'(x)=g(x), 得g(x)=g(3-x), f(π)=一2π， 3 所以f)的最大位与最小位分别为与-2 所以gx)的图象关于x=2对称，g(1)=g(2). 根据图象变接的规律，由y=g(x一1)的图象关 15 A