单元检测(三) 函数的概念与性质-【衡水真题密卷】2025年高考数学单元过关检测（A版）

2024一2025学年度单元过关检测（三） 数学·函数的概念与性质 (考议时间120分价，总分150分) 一，选择题（本丽共8小题，每小丽5分，共40分，在每小丽给出的四个选项中，只有一项是 符合题目要求的】 题号 2 答案 1 L.省数f代x)-2-一+，左干花的定义城为 Aau哈+】 B[-2.+e) c千2u分+ D.《-2,+o) x+1,x0, 3.若fx)- -24x>0 期f30 A.9 B.10 C-6 D.6 3.已知函数f(x)一2x'+(a≠0》，若f(-3)-3,相f(3)等于 A.2 且，-2 C-3 D.3 x1-1r1, 4.者而数八)=+-323 在区可(0，：》上单两迷增，周实数触的取值范围是 A.(-m,2》 B.(-0o,2】 C(0,2) D.0,23 6.已知函数f)的定复域为民，则“y一(x》十f(一士)为偶函数”是~1x)为偶函数的 A.充要第件 B充分不必要条件 C,必要不充分条件 D,画不充分也不多要条件 6,我国著名数学家华岁度曾说过：“数无彩时少直凳，形尤数时难人微：数彩结合百粒好， 隔商分家万事体“，函数fx)=x十二的图象大数是 单元垃关检测【三】数学第1页{残8页) 衡水直 T,若两数fx)是定义在R上的偶函数，在区同（一©，0]上单测递就，且了(1）=0.则不等 式f>0的解集为 《) A.(1,+0o) B《-1,00U1,+oo) C.(-1,00 D.(-0,-1)U(1.十90) 品，已知f(x)是定又在鼠上的餐两数，当x<0时，f(x》=x'十2x,若了(x)在区闭 [一1，“一2]上单调遥增，期实数a的取值花围是 A.(2,4) 五《-0,3] C.1,3 D.[2,40 二，这释厘（本觅共3小题，每小题6分，共1器分。在每小题给出的选项中，有多项符合题日 要求.全部进对的得6分，部分透对的得部分分，有选错的得分1 题号 10 11 暮裳 点.下列四朝函数中，表示同一雨数的是 A,f(x)=x'+1+g)=+1 Bfx)-+T·可，g《x)-T C,far)=xlgr=√F ]0,德国著名数学家我利克雷在数学领城成就显著，是解析数论的创始人之一，以其命名 1,re0: 的函数f《r) 《) l0,x∈0.0 称为秋利之蜀两数，则 A.f2]-1 且.fx)的定义域为我 C.YzER.(f(x))-1 D.f(x)为钱函数 11,已每函数f《x)的图象如图所示，期 A.f(f(4))=2 且f(2D>f(00 C.fx)-21x-1-x+1,xe[0,4] D,方程)-)只有两个实桃 题花春 单元过关检测（三）数学第2页（其8页！ 三、填空题（本愿共3小题，每小题5分，其15分） 16,(15分)已知函数f(2x+1)=4x1+2x十2 12.为了探护水餐原，星氧节的用水，某吸形对居民生话用水实行“阶梯水价”.计费方法如 (1)求fx)的解析式： 下表： (2)判断两数g上)-/)十在区网2，十e∞)上的单调性，并给出证颗。 每户每月用水量 水情 不用过2立方米的部分 4元/立方米 园过12文方米图不用过8文方米的器分 6元/立方米 道过15立方米的再分 B元/立本米 若某户居见本月交纳的水是为1的无，则此户烟地本月用水量为 文方米】 13,已知系数/（红+1山的定义城为（一1,2过，则fx一1）的定义城为 1北设集合A-b引B-侣小满版e)一+eA,=EB者x后A 且f(fx,)∈A,期x,的值花图是 四、解答题（本题其5小丽，其了分，解答皮写出文学说明，证明过醒或演算步哪引 15.13分)已知函数代r)一，2礼，x<0 {x+rx0, 1》两出/（工）的图象，并写出了《￥)在区可L一2,1]上韵值城： (2)若烯数g(x)=f《x)十(2w一1》x+2,求g(x)在区可[1,5]上的量大值. A 单元垃关粉湖[三】做第3面具8或) 衡水直疑密蓉 氧元过关检测引三)做学第4页（共8面！ 17,15分)记知函数fx)=一r'十一1 1B,(17分)已知中：雨数f(x)=r一标(a≠0)在区可[1，十一)上单调通增，g:关于王 1)若f1)f(2)之0，来实数@的取值莅围 的不等式x+稀十m0的解起丰客， (2)请在①任意x∈0，十)，f(x)0们我立，②#在x∈(0，十e),使得f(x)>0 (们)当g=3时.若户为真角题，求m的取值范用： 这两个条杆中这择一个补克在下置的问题中，井解客问题.若，求实数 (2)当d>0其，若争为服愿基g为真命题的充分不必要条件，求a的取值范属， 的取植范围， 注，如果达择两个条牛分薄解容，按毫+个解容计分 单元垃关粉测[三】做第5面具8或) 衡水直题密蓉 氧元过关检测引三)做学第S页（共8面} 学 1马，(1了分莫比乌新函数在数晚中有看广泛的应用所有大于1的正整数零都可以被唯 一表求为有限个质数的乘机的形式1一P中“（必为#的威因数个慧，产，为 爱数，1，i-1,2,",k),侧如：90-2×33×5.对应★-3，p1-2.1-3,, 5,=1,=2r=1.现对任意w长N”,定义莫北乌撕函数 1,n=1, a(e-1泸，r1-rm-t-r-1, 0,存在r>1 《10求π(78)，(375). (2若正整数x+y互疑，正明：x(xy》-x(x)(y). 《3)若n>1且：(w)=1记n的所有直因数（除了1和知以外约因敷）依次为14 4,8=,证明(a:)十(a:》十u十x《aJ=一之 A 单元垃关检测（三】数学第T页{具8页） 衡水真题密参 单元过关检测{三)数学第8页（其8夏！·数学· 参考答案及解析 m)产台(x一m十y-m)(x-m一y十m)<0台 1 =0, x+y-2m<0, √2+1 x-y 即2-y<x-√2 所以十y一2m<一1”是“x比y更接近m”的 即(x一√2)>(y一√2)”，此时y更接近2： x-y 充分不必要条件。 ②当0<x<2时，y>√2， (3y-2=+22-1-2x+22 x+1 1 此时g一2)-62-)=-22+1+x十z中 x+1 g++ 又y-工+十中在(0W②)上是增函数， 1 ①当x>√2时，y<2, 即(y-√2)-(2-x)<-22+1+√2+ 1 此时W2-y)-(x-2)=22-1-x一x+ 1 -=0, 2+1 2i-1-(+》 所以y-√2<2-x, 即(x-√2)>(y-√2)2，此时y更接近2. 又y=x十十在(E,+o)上是增函数， 综上，y比x更接近2. 所以（√2-y)-(x-√2）<2√2-1-√2- 2024一2025学年度单元过关检测（三）数学·函数的概念与性质 一、选择题 1.A【解析】由题意得 2x-1≠0：解得x≥-2 x+2≥>0， 所以函数f(x)=2x一1十V工+2的定义城为 [2.2u(分+∞) 因为f(x)在(0，a)上单调递增，由图可知，f(x) 2.C【解析】f(3)=-2×3=-6. 在[0,2]上单调递增. 3,C【解析】由函数f(x)=ax3+bx(a≠0)， 所以实数a的取值范国是(0,2] 可得函数定义域为R,关于原点对称， 5.C【解析】令f(x)=x,显然不是偶函数， 又f(-x)=a(-x)3+b(-x)=-(a.x3+ 但y=∫（一x)十f(x)=0是偶函数， bx)=-f(x), 所以“y=f(x)十f(一x)为偶函数”不是“f(x) 所以函数f(x)=ax3十bx(a≠0)为奇函数. 为偶函数”的充分条件； 因为f(-3)=3, 若f(x)为偶函数，则有f(一x)=f(x), 所以f(3)=-f(-3)=-3. 令F(x)=f(x)+f(-x)=2f(x), x2-1,x<1, 则F(-x)=2f(-x)=2f(x), 4,D【解析】绘制出函数f(x)= -x2+4x-3, 所以F(x)为偶函数，即y=f(x)十f(一x)为偶 x≥1 函数， 的图象如下， 所以“y=f(x)十f(一x)为偶函数”是“f(x)为 偶函数”的必要条件 综上所述，“y=f(x)+f(一x)为偏函数” 是“f(x)为偶函数”的必要不充分条件. 6B【解折】当0<x<1时，fx)-x+子此 ·7 A 衡水真题密卷 单元过关检测 时f(x)在(0,1)上单调递减， 为{xx≠0}，定义城不同，所以不是同一函数， 当x>1时，f(x)=x+工 1 D错. 10.BCD【解析】由√2∈CmQ,故f(2)=0, 此时f(x)在(1，十∞)上单调递增， 且f(x)的定义域为R,A错误，B正确： 且x>0时，当且仅当x=1时，f(x)=2, 由此可知C,D选项中图象错误； Vx∈R,f(x)=1或0，因为1∈Q,0∈Q, 故f(f(x))=1,C正确； 当x<0时fx)=一x+ 由于正负有理数、无理数在原，点两侧对称分布， 此时f(x)在（一∞，0）上单调递减， 所以对应f(x)的图象关于y轴对称，D正确， 故选项A中图象不合题意， 11.AC【解析】对于A,由图象可得，当1≤x≤4 又f(一1)=0，故B中图象符合题意. 时，f(x)=x一1，所以∫(f(4)=(3)=2,故 故选B. A正确： 7.B【解析】函数f(x)是R上的偶函数， 对于B,f(0)=f(4)=3,且f(x)在[1,4]上单 在(-∞，0]上单调递减，则f(x)在[0，十∞)上 调递增， 单调递增，且f(-1)=f(1)=0, 所以f(2)<f(4)=3,所以f(2)<f(0),故B 不等式/>0化为z0, 错误： fx)f(-)成 对于C,当1≤x≤4时，f(x)=2x一1|-x十1= fx)>f01①，解得-1<x<0或x>1, x>0, 2(x-1)-x+1=x-1,f(1)=0,f(4)=3,满 足图象， 所以不等式G)>0的解桑为(-1,0)U 当0≤x<1时，f(x)=2|x-1|-x+1=2(1 x)-x+1=3一3x,f(0)=3,f(1)=0,满足图 (1,+∞) 象，故C正确： 故选B. 对于D,由图易得x=1满足方程f(x)= 8.C【解析】因为f(z)是定义在R上的奇函数， 所以f(0)=0, f)雨f3)=2=传》： 因为当x<0时，f(x)=x2+2x=(x+1)2-1, 1 所以当x>0时，一x<0,f(x)=一f(-x)= 故x=3和x=3满足方程，即该方程至少有3 -(x8-2x)=-x2+2x=-(x-1)2+1, 个实根，故D错误， 由二次函数的单调性可知，f(x)的单调递增区间 三、填空题 为[-1,1]， 12.20【解析】因为12×4+(18-12)×6=84< 若∫(x)在区间[-1，a-2]上单调递增， 100,所以此户居民本月用水量超过18立方米， 则-1<a-2≤1， 设此户居民本月用水量为x立方米，且x>18, 所以实数a的取值范围是(1,3]. 则12×4+(18-12)×6+8(x-18)=100,解 二、选择题 得x=20. 9.AC【解析】对A,f(x)=x2+1的定义战为 13.[-2,-1)U(1,2]【解析】由-1<x≤2， R,g()=2十1的定义城为R,定义域和解析式 得0<x十1≤3， 相同，两者是同一函数，A对： 所以f(x)的定义城为(0,3]，由0<x2一1≤3， 对B,f(x)=√x十I·√x-I的定义域为{x|x≥ 得-2≤x<-1或1<x≤2. 1,g(x)=Wx-1的定义城为{xx≥1或 x≤一1}，定义域不同，不是同一西数，B错： 1(侵，》【解桥】因为集合A=0,号》B= 对C,f(x)=lx|的定义城为R,g(x)=√x=|x| 的定义城为R,且函数解析式相同，则为同一函 [小画数)- eA. 数，C对： 2(1-x)x∈B, 对Dy=x的定义城为R,y= 工的定义战 所以当∈A时，∫()=，十号 A ·8 ·数学· 参考答案及解析 层-. (1-x)x1+2x:x） ZITE XITE 则fx)=2-(+2】=1-2x (x1一x2)(x1x2-2) TIX2 因为f(f(x)∈A, 其中x1-xa<0,x1x2-2>0,x1x2>0, 所以1-2，∈6，》，解得（行引 所以g(x1)-g(x)<0, 所以g(x1)<g(x:), 又x∈0，》则x∈（层》月 所以g(x)在区间(2，十∞)上单调递增. 四、解答题 17.解：(1)由题意，f(1)f(2)=(-1+a-1)(-4+ 十x,x≥0·的图象 2a-1)>0,即(2a-5)(a-2)>0, 15.解：(1)由题可得f(x)= 2-x,x<0 如图， 解得a>或a<2, 所以实数a的取值范围为(-∞，2U(号，+∞： (2)选①：因为任意x∈(0，十∞)，f(x)=一x2十 a.x一1<0恒成立， 所以任意x∈(0，十0，a<+1-工十上恒成 立，即a<(+） -2-1012￥ -1 当x0,十四)时+>≥2 1 · =2,当 x 因为f(0)=0,f(1)=1+1=2, 且仅当x=1时，等号成立，所以a<2, f(-2)=2-(-2)=4, 所以a的取值范围为（一∞，2）. 由图象可知，函数f(x)在区间[一2,1]上的值 选②：因为存在x∈(0，十∞)，使得∫(x) 域为[0,4]. -x8十ax-1>0, (2)当x∈[1,5]时，g(x)=f(x)+(2m- 1)x+2-x2+2m.x+2, 所以存在x∈(0，+o),使得a>+ =x十 配方得g(x)=(x十m)2十2-m2, 当一m≤3，即m≥一3时， 是即>+》 g(x).=g(5)=27+10m; 当一m>3,即m<一3时， g(x)x=g(1)=3+2m. 当且仅当x=1时，等号成立，所以a>2, 综上，g(x)m= 127+10m,m≥-3， 所以a的取值范围为(2，十o∞). 3+2m,m<-3. 18.解：(1)当a=3时， 16.解：(1)f(2x+1)=4x2+2x+2=(2x+1)2- (2x+1)+2, 3x-m,x≥ 3 所以f(x)=x2-x+2. f(x)=|3x-m|= (2gx)=fa)+=+是，g(x)在区间 x 所以f(x)在 (W2,十c∞)上单调递增. [侣十)上单调递增，在 证明：设2<1<x,g(红)-g()=+名 (-0,号)上单调递减， 因为力为真命题，所以号<1，即m≤3， ·9 衡水真题密卷 单元过关检测 故m的取值范围是（一∞，3]. 所以u(xy)=a(x)r(y). (2)因为a>0, ②若x≠1且y≠1，且存在质数p,使得x或y ax-m,x≥ 的质因数分解中包含p"(r>1),则xy的质因数 f(x)=ar-m 分解中一定也包含p, m -ax+m,x< 所以u(xy)=u(x)r(y)=0. a ③若x≠1且y≠1，且不存在②中的p, 所以f(x)在 侣十)上单调递增，在 可设x=1g“py=q198…q, 其中力1，p2,…,p4,q1q2,…,9,均为质数， (-∞，m)上单调递诚， 则xy=p1pg“p9192“9: 因为x,y互质， 又因为力为假命题，所以>1，即m>a a 所以p1,p2,…,p4919…,9,互不相等， 记满足p为假命题的m的取值集合为A= 所以(xy)=(-1)+=(-1)(-1)= (a,+o∞). u(x)u(y). 因为q为真命题，所以△=m2一4m≥0，解 综上可知r(xy)=μ(x)μ(y). 得m≤0或m≥4. (3)证明：由于n>1且以(n)=1,所以可设n= 记满足q为真命题的m的取值集合为 p1p2…pe,k为偶数， B=(-0∞，0]U[4,+0∞). n的所有因数，除了1之外都是p1,p2,…,p 因为力为假命题是q为真命题的充分不必要条 中的若干个数的乘积，从。个质数中任选i(:= 件，所以集合A是集合B的真子集，则a≥4. 1,2,…,k)个数的乘积一共有C1种结果， 故a的取值范围是[4，十o∞). 所以a(1)十a(a1)十u(ag)十…十u(am)十 19.(1)解：因为78=2×3×13，所以=3,1=2， r(n)=r(1)十[u(p1)十u(p2)十…十u(p.)]+ p2=3,pa=13,r1=1,rg=1,r3=1, [μ(pp:)十μ(pp)十…十u(p-1p:)门十…十 所以4(78)=(-1)3=-1： (m)=1十C4(-1)十C(-1)2+…+C1(-1)-1+ 又375=3×5，因为5的指数3>1， (-1)=(1-1)=0, 所以4(375)=0. 所以u(a1)+u(az)+…十4(am)=0-u(1) (2)证明：①若x=1或y=1,因为μ(1)=1， μ(n)=-2. 2024一2025学年度单元过关检测（四）】 数学·幂函数、指数函数与对数函数 一、选择题 当x<0时，1)= 一x,单调递减.故选A. 1 1B【解析】由题知二=log:5, logx,x≥1， 4.A【解析】因为f(x)= 是 1 (3-a)x-1,x<1 所以m=1og5=log2, 定义在R上的增函数， 所以写+5-产+-5+ 19 5绳2=4+ a>1, 2-2 所以3-a>0,解得2≤a<3, 2.C【解析】由f(x)=1og2(2一x)的值城为 0≥3-a-1, (-∞，1]，得0<2-x≤2， 所以实数a的取值范国是[2,3). 故0≤x<2,即f(x)的定义战为[0,2)， 令0≤2x<2,得0≤x<1, 5B【解折】由题设知(-x)·（千十) 故f(2x)的定义域为[0,1)， 3.A【解析】当x>0时，f(x)=x十， 在x=1 0(品w)-(-(: 1 e 处取得最小值，排除C、D, 所以一 +1一6=e+1+b恒成立，则2b=-1 A *10