单元检测(二) 一元二次函数、方程和不等式-【衡水真题密卷】2025年高考数学单元过关检测（A版）

·数学· 则M只有1个元素，所以M有2个子集，即a=2. (2)证明：①充分性：由(1)得a=2, 所以b3+c2-2(b十c)=bc一4可化为b2+c2 a(b+c)=bc-a*, 即a3+b2+c=ab+ac+bc,所以2a8+2b2+ 2c*=2ab++2ac+2bc, 则(a-b)2+(b-c)2+(a-c)2=0, 所以a一b=b-c=a一c=0,即a=b=c, △ABC为等边三角形， 充分性得证 ②必要性：因为△ABC为等边三角形，所以a= b=c 由(1)得a=2,所以a=b=c=2, 则b2+c2-2(b+c)=0,bc-4=0, 所以b2十c2一2(b十c)=bc一4，必要性得证 故△ABC为等边三角形的充要条件是b?十c2一 2(b+c)=bc-4. 第(2)问中充分性的证明： [方法二：因为b2十c2-2(b+c)=bc-4, 所以6+e)r-26+e)=欢-4长3·生）'-4， 所以(b十c)2-8(b十c)+16≤0，即(b+c-4)2≤0， 所以b十c=4, 当且仅当b=c=2时，等号成立，即a=b=c, △ABC为等边三角形， 充分性得证. 方法三：因为b2十c2-2(b十c)=bc一4，所以 2b2+2c2-4b-4c-2bc+8=0, 则(b一2)2+(c-2)2+(b一c)=0 所以b=c=2,即a=b=c,△ABC为等边三角 2024一2025学年度单元过关检测（二） 一、选择题 1.1 1.D【解析】因为a<b<0,所以。>石，故A 错误： 图为a<b<0,所以|a|>|b|,所以a2>b2,故B 错误； 国为a<6<0,所以号>1，故C错误： 图为a<b<0,所以a2>ab,故D正确. 2.B【解析】若a=一1，则方程ax2+2x-1=0 为-x2+2x-1=0, 即一(x一1)2=0→x=1,则其只有一个解： 参考答案及解析 形，充分性得证.门] 19.解：(1)由题意，集合A:={x|x=|a-k|,a∈ A},且A={1,2,3,4}, 当k-1时，可得A1={xx-|a-1l,a∈A} {0,1,2,3}: 当k=2时，可得A2=(xlx=|a-2l,a∈A}= {0,1,2}: 当k=3时，可得A,=《xx=|a-3|,a∈A}= {0,1,2}. (2)由题意，集合A.={xx=a一是l,a∈A》, 对于|1一1,12-k1,13一k,,|n一1，其 中n∈N”, 当|1一k|=n一k|时，此时A。中的元索个数 最少， 若m为奇数，则长-”士时，A,中的元素个数 最少： 若m为偶数，则k=2或=空十1时，A,中的 元素个数最少. (3)若p=1,可得A={xx=m,m∈N},此 时N二(AUA),且k≥0，所以k=0; 若力=2，可得A={xx=2m,m∈N),要使 得N二(AUA.)且k≥0， 则k=1,即A.={xx=|2m-1|,m∈N). 若p≥3，此时A={x|x=pm,m∈N}, 显然AUA,中有很多自然数空缺，所以不 成立 综上可得，k=0,p=1或k=1,p=2. 数学·一元二次函数、方程和不等式 若方程ax2十2x一1=0只有一个解，则a=0或 a≠0， 所以a=0或a=一1， 4=22+4a=0, 所以“a=-1”是“方程ax2十2x一1=0只有一个 解”的充分不必要条件. 3.B【解析】因为关于x的不等式x2-2ax-8a2< 0(a>0)的解集为(x1,x2), 所以x1和x2是方程x2-2ax-8a2=0(a>0) 的两根 fx1+x:=2a, 则 x1·x2=-8a2. A 衡水真题密卷 又因为x1十x=20,x十x=(x1十x2)2-2x1x2, 所以(2a)2-2(-8a2)=20,解得a=士1. 又因为a>0, 所以a=1. 故选B. 4C【解析】因为画数y一k红+红十的定义拔 为R, 所以kx”十kx十1对Hx∈R恒不为零， 当k=0时，kx2十kx+1=1≠0成立： 当k≠0时，需△=k2一4k<0,解得0<k<4」 综上，实数k的取值范国为0≤k<4, 5.C【解析】不等式2x2+m.x一3m2<0, 即(x-m)(2x+3m)<0. 当m>0时，不等式的解集为一乞m<x<m. 若不等式的解集中恰好有3个整数，这3个整数 必为一1,0,1， 1<m≤2， 则有 -2-m<-1, ,解得1m<号 6.D【解析】因为x>0,y>0,2x+8y一xy=0, 所以子+-1x+3=(x+)号+） +8+2+82>≥2 2,2×8y+10=18,当且 y 仅当2红8 ,即x=12,y=6时等号成立， y x 所以异品- 7.A【解析】设直角三角形的两直角边长分别为 a,b(a>0,b>0),则a2+b2=36, 可得(a+b)2≤2(a+b2)=72, 当且仅当a=b=3V2时，等号成立， 则a+b≤6√2，所以这个直角三角形周长的最大 值为62+6. 8.D【解析】因为x>y>1>z>0, 所以1<1<1， xy2x-y>0x-x>0y->0. +1y-1=(x-+2>0, a-b=x+:-y-I 所以a>b. A 单元过关检测 、a-c=z+1-x-1 =(x-)+y二>0. y 所以a>c. 11 c-b=x十y一y- 1=(e一y)+二之，符号不 y yr 能确定， 所以b,c的大小不能确定， 所以a>b且a>c. 二、选择题 AD【解标】由后<名<0可得6<a<0,则 b2>a2, A正确，B错误； 而a十b<0,ab>0,所以a十b<ab,C错误： b.=2,D 正确 因此AD正确. (a.x十b)(x-c)≥0， 10.ACD【解析】原不等式等价于 x一c≠0， 因为其解集为(-∞，-2]U(1,十∞)， 所以a>0且c=1,-2a十b=0,故A正确： 因为a>0,b=2a>0,则点(a,b)在第一象限， 故B错误： 由6=2a>0可得，2a+方=2a+2a 1 1 22a·2a =2,当且仅当 2a-2a a>0, 1 即a=2时，等号成立， 1 所以2a十6的最小值为2，故C正确： 由b=2a>0可得， 不等式ax2十ax-b≥0即为ax+ax-2a≥0， 化简可得x2十x-2≥0→(x十2)(x-1)≥0， 则其解集为（一∞，一2]U[1,+∞），故D正确. 1l.ACD【解析】对于A,因为a+b=ab≥2√/ab, 所以ab≥4，当且仅当a=b=2时，等号成立，A 正确： 对于B,因为a+6=a6≤告)，所以a+6≥ 4,当且仅当a=b=2时，等号成立，B错误； ·数学· 对子c品+ 1 侣+》 2 2,当且仅当4 b=2时取等号，C正确. 对于D,因为日+，月)'<日+)=2 所以日+ ≤2，当且仅当a=b=2时，等 号成立，D正确 三、填空题 12.0≤a<1【解析】当a=0时，1>0，成立： 当a≠0时，一元二次不等式ax2-2ax十1>0 对一切实数x都成立， a>0, a>0, 则有 解得 △=4a2-4×a×1<0, 0<a<1, 即0<a<1.综上所迷，a的取值范国是0≤ a<1. 13.(0,2)【解析】图为关于x的不等式 x2-2√2x十a<0的解集为(m,n), 所以m,n是方程x2一2√2x十a=0的两个不同 实根， 所以m+n=2,2,所以△=8一4a>0,a<2, mn=a>0, 所以mn的取值范围为(0,2). 14.6: 27 【解析】设矩形的相尔两边长为xcm, y cm. 1 1 则x+y=2x+2x+y=9, 设圈柱的底面间的半径为r,以长度为ycm的 边为圆柱的高， 则2xr=x,所以r= 2x1 则圆柱的体积V=π· x 2 ·y1.1 2x·y 24+2*+y 27 ≤元· (cm3), 3 1 当且仅当2=2x=y,即x=6,y=3时取 等号， 所以当矩形的长是6cm时，國柱的体积最大， 参考答案及解析 为是m 四、解答题 15.解：(1)当a=1时， B={xlx2-4x十3<0}={x|1<x<3}, CmB={xx≤1或x≥3}，而A={x|2<x≤4}， 所以(CRB)∩A={x3≤x≤4. (2)当a>0时，B={x|a<x<3a},由p是g 的充分不必要条件，得AB, 0<a≤2， 于是 3a>4, 得a<2。 所以实数a的取值范围是等<a<2。 16.解：(1)由题意得 1 21246+>0, △=(4k+1)2-4(4k2+1)>0, 部得>昌。 所以长的取值范围为k>}。 3 (2)由(1)知，当>8时，方程有两个不相等的 实数根， 4k+1 可知x十x:=4软+行x2=+ 于是+十4= (x1十x)2 +2= T1 xix1 462+1+2=6+8é-3 (4k十1)2 48+1' 由>得p00导0 即要使器的直为整数：则≥， 则有42+1≤8k一3，化简得（一1）2≤0， 则k=1, 令表与1，比时张1为整数则k=1满足题意 故使得1+2+4的值为整数的k的值为1， 17.解：(1)因为f(x)=ax2-(a+4)x+4= (ax-4)(x-1), 当a=0时，不等式f(x)<0的解集 为(xx>1). A 衡水真题密卷 当a≠0时，f(x)=(ax-4)(x一1)=0的两根 为x1=a1 当a<0时，有年<1，不等式f(x)<0的解集 为(-∞，)u1,+o). 当a>0时，若。-1，即a=4时，不等式f(x)< 0的解集为☑： 若。<1，即a>4时，不等式fx)<0的解集 为停： 若合>1，即0<a<4时，不等式f)<0的解 集为1，)月 综上，当a=0时，不等式f(x)<0的解集 为{xx>1}: 当a<0时，不等式∫(x)<0的解集为 (-a,u,+o): 当a=4时，不等式f(x)<0的解集为☑： 当a>4时，不等式fx)<0的解集为信，1小： 当0<a<4时，不等式f(x)<0的解集 为，) (2)由题意，关于x的方程a.x一4x十4=0有两 个不等的正根， 4=16-16a>0, 由根与系数的关系知m十n-4>0, 解得 mm=4>0 a 0<a<1, 则m十=m,即上+1-1， 所以m+n=(4m+)(+)-5+ ”≥5+2 Am.”=9, Nn m 4m=n, 3 当且仅当nm’即m= 2’时，等号成 m十n=mn,n=3 单元过关检测 立，此时a= 8∈(0,1)，符合条件. 8 综上，当且仅当a=g时，4m十n取得最小值9. 18.解：(1)依题意，生产x(x>0)万部手机，成本 是(50+20x)万元， 故利润y=x·R(x)-(50十20.x), 400-5x,0x<40, 而R(x)=900040000 x x3x≥40， (400-5x)·x-(50+20x),0x<40, 故y 900040000 ·x一(50十20.x),x≥40， -5.x2+380x-50,0<x<40, 整理得y= 40000 -20x+8950,x≥40. (2)当0<x<40时，y=-5x2+380x-50= 一5(x一38)2+7170，在x=38时，利润最大值 为yma=7170: 当x≥40时，y= 40000 -20x+8950= -(000+20x)+8950, x 其中h(x)= 4000 +20r=20(20+小 在[40,205)上单调递减，在(20√5，+c∞)上单 调递增，因为44<205<45，h(45)=40000 45 +20×45<h(44)=40000 20×44，故当x= 44 45时，h(x)= 40000 十20x取得最小值， x 故y= 40000 +20.x+8950在x=45时取 40000 得最大值ym.= 45 -900+8950=8050- 8000∠7170， 9 故年销售量为38万部时，利润最大，最大利润 为7170万元. 19.解：(1)由题意，得(2x一0)2<(x+1一0)2， 即4x2<x2+2x+1, 整理得3x-2红-1<0，解得一号<<1. 所以工的取值范围是（子，小 (2)“x比y更接近m”等价于(x一m)2<(y ·数学· 参考答案及解析 m)产台(x一m十y-m)(x-m-y十m)<0台 1 =0, x+y-2m<0, 2+1 x-y 即2-y<x一√2 所以十y一2m<一1”是“x比y更接近m”的 即(x一√2)>(y一√2)”，此时y更接近2： x-y 充分不必要条件。 ②当0<x<2时，y>√2， (3y-2=+2-1-2x+22 x+1 1 此时g一2)-62-)=-22+1+x十z中有 x+1 g++ 又)-1+十中在(0②)上是增函数， 1 ①当x>√2时，y<2, 即(y-√2)-(2-x)<-22+1+2+ 此时W2-y)-(x-2)=22-1-x一x+1 1 1 -=0, 2+1 2i-1-(+》 所以y-√2<2-x, 即(x-√2)>(y-√2)2，此时y更接近2. 又y=x十十在(E,+o)上是增函数， 综上，y比x更接近2. 所以（√2-y)-(x-√2）<2√2-1-√2- 2024一2025学年度单元过关检测（三）数学·函数的概念与性质 一、选择题 1.A【解析】由题意得 2x-10解得x≥-2 x+2≥>0， 所以函数f(x)=2x一1十V工十2的定义城为 [2.2u(分+∞) 因为f(x)在(0，a)上单调递增，由图可知，f(x) 2.C【解析】f(3)=-2×3=-6. 在[0,2]上单调递增. 3.C【解析】由函数f(x)=ax3+bx(a≠0)， 所以实数a的取值范国是(0,2] 可得函数定义域为R,关于原点对称， 5.C【解析】令f(x)=x,显然不是偶函数， 又f(-x)=a(-x)3+b(-x)=-(a.x3+ 但y=∫（一x)十f(x)=0是偶函数， bx)=-f(x), 所以“y=f(x)十f(一x)为偶函数”不是“f(x) 所以函数f(x)=ax3十bx(a≠0)为奇函数. 为偶函数”的充分条件： 因为f(-3)=3, 若f(x)为偶函数，则有f(一x)=f(x), 所以f(3)=-f(-3)=-3. 令F(x)=(x)+f(-x)=2f(x), x2-1,x<1, 则F(-x)=2f(-x)=2f(x), 4,D【解析】绘制出函数f(x)= -x2+4x-3, 所以F(x)为偶函数，即y=∫(x)十f(一x)为偶 x≥1 函数， 的图象如下， 所以“y=f(x)十f(一x)为偶函数”是“f(x)为 偶函数”的必要条件 综上所述，“y=f(x)+f(一x)为偏函数” 是“f(x)为偶函数"”的必要不充分条件. 6B【解折】当0<x<1时，fx)-x+子此 ·7 A2024一2025学年度单元过关检测（二） 数学·一元二次函数、方程和不等式 《考时间120分钟，惑分150分)习 一、选择题{本盟共常小量，每小题5分，共和分，在每小盟给出的四个选项中，只有一项是 符合整日要求的】 题号 答案 1.如果“<0，那么下列式子中一定成之的是 B,a<5 D.gb 2.“a=一1”是方程x2+2x一1物0只有一个解"的 A.充分条件 B充分不必要条件 C,必要不充分条件 D底不充分也不必要条料 3,若关于x的不等式x2-2a:-8a<0(a>0)的解集为x13),且xf+r3=20,则a=《 A.2 B.1 C2万 Dw1而 .函数y行十好+的定文城为喇实数的收值放国为 A.止<0或>4 且4成0 C.0k1 D.0<CI 5.若关于x的不等式2x十mx一3m<0(糊>0)的解集中恰好有3个整数，媒实数m的 取植范围为 ah》 a c 4 m.13 6.若正实数ry调是2红十6y一y一0， ,子龄最大值为 L号 c 7,在中，周铸时期的窥高现出了“勾三最四兹五”的勾设定理的特例.在卤方，最早提出 井证明此定理的为公元前6世纪古希精的毕达哥拉斯学徽，他们用就语法证明了直角 三角形斜边平方等于两直角边平方之和若一个直角三角形的斜边长等于，则这个直 角三角感周长的极大值为 A.62+6 12 C.52+5 D.6,5+6 单元垃关检测【二】数学第1页{残8页) 衡水直 8已短>y>De>01+严b-1+型e-1中，则秘有 y A.a>之>b Bb>c且a>c C.b>r≥>g D.a>b且ad 二，进狮置（本共3小题，每小题6分，共18分.在每小最给出的选项中，有备项符合置日 要求.全部选对的得6分，留分选对的得留分分，有站量的得0分引 题号 10 11 答案 石<0下列结论正商的是 A.@>b 且a>6 C,a+5>e6 16已知类于工的不等式兰0的新第刻(-，一U山，十的，嘴 A.t=1 B.点（每，h)在第二象限 C,2+。的最小值为2 D.关于x的不等式x+证一b0的解集为（一0o,一2]U[1,十四） 11.已知a之0，b20,a+6=ab,期 A.@5的量小直为4 五.a十b的最大值为4 c+的最小位为号 三，填空题（本题共3小题.每小题5分，共15分！ ]3,不等式x'一2x+1>0对一切实数x花我立，第实数。的眼值范国是 13,已知年>0，且关于x的不等式x一22x十g<0的解集为(m,),则丙的最值意图 为 1北将基本不等式，画<士中e>06>0#广可得正瑞第论≤十>0> 8 0,>0),当且仅当a一6=时，等号暖立.利用此结论解决问惑：已知一个矩形的屑长 为18©m,等其卷度一个图柱，当矩形的长是©m时，图柱的体积最大，其最大 值是 em'. 题花鞋 单元过关检测（二）数学第2页（共8夏！ 西、解答题（本愿共5小题，共T7分，解若皮写出文字说明、证明过醒或演算步骤引 16,(15分)已知11是一元二次方程{4b+1)x'一4h十1)x十1=（∈R》的两个不 15.1a分已知集合A-x|2<x64,B=ax=4ar+a<0j. 相等的实数根 《1》若a=1,R(【.#)几A: (们)若两眼同号，求的取直范围： 《2)若a>0,最P,x∈A,0主∈B,已加P是g约凳外不必要条件，求实数a的取值 (2)求便兰+之+4的值为整数的的值. 范围， A 单元垃关粉湖[二】做第3面具8或) 衡水直题密蓉 氧元过关检测二)数学第4页（共8面} 17,(15分)已知函数fa)=r-(a+4》x十4 18,(17分)某品牌手机公可的年国是成本为50万元，母生产1万留下机需增加投人20万 《1)解关于x的不等式/(x)<0: 元，该公司一年内生产(x>0)万富乎机并余富销售完.当年饰售量￥低于0万常时， 《2》若关于至的不等式f(x)十ax<0的解集为(m,n》(w>0,>0),求4w十n的最 每销售1万都下机的收人为N(x)回400一5x(万元)：当年销售量x不低手40万部时，每 小植. 的售1万部手机的收人为R红-的四无。 (1)写扁年利阁，（万元）关于年销售量（万部）的函数解析式： ()若x∈N,当x的值为多少时，料圆最大了并求出最大利陶。 单元垃关粉湖[二】：做第5面具8或) 衡水直题密蓉 氧元过关检测二)数学第5页（其8面} 1马，(17分)设实数=，h,m∈民，若澜足〈知一m)于<（一m,期释a比6更接近那， (《1)设2z比工十1更接近0，求上的取值范围1 《2刺断-中二2"<一1”是上比y要接近m的什么条件，井说明理由： 设2>0且x正，y一-达判断上与)厚-个更孩近万 A 单元垃关检测[二】数学第T页{具8页) 衡水真题密参 单元过关检测{二)数学第8页（其8互！