专题02 与实数有关的八大题型（高效培优专项训练）数学华东师大版2024八年级上册

专题02 与实数有关的八大题型 题型一：涉及无理数与实数概念理解题型 题型二：实数的估算与实数的大小比较 题型三：与无理数整数部分有关的运算 题型四：实数的四则混合运算的计算题 题型五：涉及实数的运算的定义和程序题型 题型六：实数的分类和实数与数轴结合问题 题型七：与实数运算相关的规律题型 题型八：涉及实数运算的实际应用题型 题型一：涉及无理数与实数概念理解题型 1．在实数（两个5之间依次增加一个0）中，无理数的个数是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 2．在下列实数中无理数有（　　） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 3．数3.14，，，0.2020002000002…（相邻两个2之间0的个数逐次加2），中，实数有（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 4．下列说法：①在实数范围内，一个数如果不是有理数，则一定是无理数；②无限小数都是无理数；③无理数都是无限小数；④最小的实数是0；⑤带根号的数都是无理数．其中错误的共有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 5．在，，，，，，这些数中，无理数有 个． 6．的相反数是 ，的倒数是 ， ． 题型二：实数的估算与实数的大小比较 7．若，且x是整数，则满足条件的x值有（   ） A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 8．满足的整数m的值可能是（   ） A．3 B．2 C．1 D．0 9．由下表可得精确到百分位的近似值是（    ） … … A．2.64 B．2.65 C．2.7 D．2.646 10．在0，，，这四个数中，最小的数是（    ） A．0 B． C． D． 11．若是实数，且，则下列关系式成立的是（ ） A． B． C． D． 12．正整数、分别满足、，则 ． 13．规定：用符号表示不大于实数的最大整数．例如：， （1）填空 （2） ； （3）若，则的取值范围是 ． 14．如图，在数轴上标有字母的各点中，与实数对应的可能是点 ． 15．比较大小： 1.5（填“＞”“＜”或“=”）． 16．通过估算，比较下面各组数的大小： (1)，2.5． (2)，3． (3) 题型三：与无理数整数部分有关的运算 17．若的小数部分为a，的小数部分为b，则的值为（   ） A．0 B．1 C． D．2 18．设的整数部分为a，的小数部分为b，求的值． 19．设是的整数部分，，求的值． 20．无理数像一篇读不完的长诗，既不循环，也不枯竭，无穷无尽．设面积为的圆的半径为x，回答下列问题： (1)x是_______（填“有理数”或“无理数”）． (2)x的整数部分是几？ (3)将x精确到十分位的值是多少？ 21．已知实数的整数部分为，小数部分是；实数的整数部分为，小数部分是． (1)直接写出，，，的值； (2)求的值的平方根； (3)求的值． 22．在学习《实数》内容时，我们通过“逐步逼近”的方法可以计算出近似值，得出．利用“逐步逼近”法，请回答下列问题： (1)介于连续的两个整数和之间，且，那么　　　，　　　． (2)是的小数部分，是的整数部分，求　　　，　　　． (3)在（2）的基础上，求的平方根． 23．材料：2.5的整数部分是2，小数部分是0.5，小数部分可以看成是得来的，类比来看，对于来说，因为，所以的整数部分是1，于是可用来表示的小数部分．根据以上材料，完成下列问题： (1)的整数部分是______，小数部分是______； (2)也是夹在两个相邻整数之间的，可以表示为，求的平方根． (3)若，其中x是整数，且，请直接写出的值． 题型四：实数的四则混合运算的计算题 24．已知实数a，b满足关系式，则的值是（    ） A． B． C． D． 25．计算： ． 26．计算：的结果是 ． 27．已知：，那么 ． 28．设，，且，则 29．计算： (1)； (2)． 30．计算：． 31．计算 (1) (2) 32．计算： (1)； (2)； 33．计算： (1)； (2)． 题型五：涉及实数的运算的定义和程序题型 34．按如图所示的程序计算，若开始输入的值为9，则最后输出的y值是（   ） A． B． C．3 D． 35．按如图所示的程序计算，若开始输入的的值是64，则输出的的值是（   ） A． B． C．2 D．3 36．对于任意两个实数a，b，定义两种新运算：，，并且定义新运算的运算顺序仍然是先算括号内的，例如：，，，那么等于（    ） A．2 B．3 C． D．6 37．定义运算“@”的运算法则为：，则 ． 38．用※定义一种新运算：对于任意实数m和n，规定．如：，则值为 ． 39．（定义新运算）高斯被认为是历史上最杰出的数学家之一，享有“数学王子”之称，现有一种高斯定义的计算式，已知[x]表示不超过的最大整数，例如，，现定义，例如，则 ． 40．若一个四位正整数各个数位上的数字均不为零，千位数字比百位数字的2倍多1，且个位数字、十位数字、百位数字的和为12，我们称这样的四位正整数为“缤纷数”．对于“缤纷数”A，任意去掉一个数位上的数字得到四个三位数，这四个三位数的和记为F（A）．如四位正整数5246，因为，，所以5246是“缤纷数”，5246去掉任意一个数位上的数字，得到四个新的三位数是524，546，526，246，．若A是最大的“缤纷数”，则F（A）的值是 ；对于“缤纷数”M，满足为整数，则M的最小值是 ． 41．有一个数值转换器原理如图． (1)当时，y是多少？ (2)输入的x能是任何实数吗？为什么？ (3)是否存在这样的x的值，输入计算后始终在进行循环计算而输不出y的值？如果存在，请写出所有x的值；如果不存在，请说明理由； (4)若输出的y是，试判断输入的x值是否唯一？若不唯一，请写出其中的两个． 42．阅读以下材料： 对于三个数a．b．c．用表示这三个数的平均数，用表示这三个数中最小的数．例如：；；． 请解答下列问题： (1) ； (2)若，求x的范围； (3)如果，求x的值． 43．已知“”表示运算，“”表示运算，求的值． 题型六：实数的分类和实数与数轴结合问题 44．下列说法正确的是（   ） A．正实数和负实数统称实数 B．正数、0和负数统称有理数 C．正有理数和负有理数统称有理数 D．无理数和有理数统称实数 45．下列说法错误的是（    ） A．0的算术平方根是0 B．实数包括正实数，0，负实数 C．的相反数是 D．所有有理数都可以用数轴上的点表示，反过来，数轴上所有的点都表示有理数 46．下列说法正确的是（   ） A．实数是负数 B．实数的相反数是a C．实数的绝对值是a D．一定是正数 47．数轴上A，B两点表示的数分别是2和，点B关于点A的对称点为点C，则点C所表示的数是（    ） A． B． C． D． 48．点A、B、C在同一条数轴上，其中点A、B表示的数分别为、．若B、C两点之间的距离为，则A、C两点之间的距离为（　　） A．或 B．或 C．或 D．或 49．把下列各数的序号填在相应的大括号内： ①0，②，③，④，⑤，⑥，⑦， 1.020 220 222 0…（每两个0之间依次多1个2）． 整数：{             }； 负分数：{            }； 无理数：{            }． 50．把下列各数填在相应的集合内． ，，，，（相邻两个之间依次多1个），，，，，． 正分数集合{                            }； 非负整数集合{                             }； 无理数集合{                              }； 有理数集合{                             }． 51．如图，数轴上点表示的数是，是数轴上一动点． (1)在数轴上，把点向左平移4个单位长度得到点，求点表示的数； (2)若点表示的数是所表示数的相反数，求点表示的数； (3)若点从点向点以每秒3个单位长度运动，到达点后又向运动，到达后再向运动，如此往复运动．问当点运动2026秒时，点与点的位置有什么关系？请说明理由． 题型七：与实数运算相关的规律题型 52．规律探究设，，，…，则的值为（   ） A． B． C． D． 53．如图，通过画边长为1的正方形，就能准确的把表示在数轴上点处，记右侧最近的整数点为，以点为圆心，半径画半圆，交数轴于点，记右侧最近的整数点为，以点为圆心，为半径画半圆，交数轴于点，如此继续，则的长为（   ） A． B． C． D． 54．观察下列算式：，，，…，它有一定的规律性，把第个算式的结果记为，则的值是（     ） A． B． C． D． 55．已知整数满足下列条件：，，，， 依此类推，则的值为 ． 56．若记表示任意实数的整数部分，例如：，，…， 则（其中“”“”依次相间）的值为 ． 57．先观察下列等式，再回答问题： ①； ②； ③； (1)根据上面三个等式，请猜想的结果（直接写出结果） (2)根据上述规律，解答问题： 设+···+，求不超过m的最大整数是多少？ 58．观察下列等式． 第1个：； 第2个：； 第3个：； …… 根据以上规律，解决下列问题： (1)___________； (2)写出第个等式：___________；（用含的式子表示，为正整数） (3)计算：． 59．先观察下列等式，再回答问题： ①； ②； ③ (1)根据上面三个等式提供的信息，请你猜想_______ (2)请按照上面各等式反映的规律，试写第n个等式：_______ (3)对任何实数a，表示不超过a的最大整数，如， 计算： 题型八：涉及实数运算的实际应用题型 60．在一次“冒险活动”中，玩家小明和小美正在共同探索神秘“宝藏”．他们一路披荆斩棘，终于来到了“宝藏”所在的“神秘洞穴”．然而，他们遇到了一个难题，“宝藏”的位置由实数x决定，且满足方程． 小明兴奋地说：“我觉得x的值应该是；” 小美思考片刻后说道：“不对，我觉得还有可能是另一个值．” 那么小美所说的另一个值是（    ） A． B． C． D．以上都不对 61．某高速公路规定汽车的行驶速度不得超过千米/时，当发生交通事故时，交通警察通常根据刹车后车轮滑过的距离估计车辆的行驶速度，所用的经验公式是，其中v表示车速（单位：千米/时，d表示刹车后车轮滑过的距离（单位：米），f表示摩擦系数．在一次交通事故中，经测量米，，请你通过计算判断汽车此时的行驶速度v 100千米/时．（填“”、“”或“”） 62．哪吒在镇压妖兽时，用“混天绫”围成一个面积为 的正方形“封妖阵”，后因妖兽反噬，须将“封妖阵”调整为面积为的长方形，且长与宽之比为． (1)“混天绫”的总长度是多少米？ (2)哪吒的“混天绫”长度是否足够完成新阵法？请通过计算说明理由． 63．如图，在面积为2平方米的正方形ABCD的木料中，挖去以边BC为直径的半圆，则剩下的木料的面积为多少平方米？（，结果精确到 ） 64．我们知道，任意一个有理数与无理数的和为无理数，任意一个不为零的有理数与一个无理数的积为无理数，而零与无理数的积为零．由此可得：如果，其中、为有理数，为无理数；那么必然有，且，据此，解决下列问题． (1)如果，其中、为有理数，则___________，___________； (2)如果，其中、为有理数，求的平方根． 65．请阅读下面材料，并完成相应的任务． 设是有理数，且满足，求的值． 解：由题意，得． 因为都是有理数， 所以也是有理数． 因为是无理数， 所以，即， 所以． 根据阅读材料，解决问题： 设都是有理数，且满足，求的值． 66．某高速公路规定汽车的行驶速度不得超过100千米/时，当发生交通事故时，交通警察通常根据刹车后车轮滑过的距离估计车辆的行驶速度，所用的经验公式是v＝16，其中v表示车速（单位：千米/时，d表示刹车后车轮滑过的距离（单位：米），f表示摩擦系数．在一次交通事故中，经测量d＝32米，f＝2，请你判断一下，肇事汽车当时是否超速了． 2 / 11 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题02 与实数有关的八大题型 题型一：涉及无理数与实数概念理解题型 题型二：实数的估算与实数的大小比较 题型三：与无理数整数部分有关的运算 题型四：实数的四则混合运算的计算题 题型五：涉及实数的运算的定义和程序题型 题型六：实数的分类和实数与数轴结合问题 题型七：与实数运算相关的规律题型 题型八：涉及实数运算的实际应用题型 题型一：涉及无理数与实数概念理解题型 1．在实数（两个5之间依次增加一个0）中，无理数的个数是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】本题考查了无理数的定义，算术平方根，根据无理数的定义（无限不循环小数），逐一判断各数是否为无理数． 【详解】解：是分数，属于有理数； 是整数，属于有理数； ，是整数，属于有理数； 是无限不循环小数，属于无理数； （两个5之间依次增加一个0）的规律不循环，属于无限不循环小数，故为无理数． 综上，无理数有2个， 故选：B． 2．在下列实数中无理数有（　　） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 【答案】A 【分析】本题主要考查了无理数的定义，根据无理数是无限不循环的小数进行判断即可． 【详解】解：， 无理数为：，，， 故选：A． 3．数3.14，，，0.2020002000002…（相邻两个2之间0的个数逐次加2），中，实数有（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】D 【分析】本题考查的是实数的定义，根据实数分为有理数和无理数进行解答． 【详解】解：3.14，，，0.2020002000002…（相邻两个2之间0的个数逐次加2），都是实数，共5个． 故选：D． 4．下列说法：①在实数范围内，一个数如果不是有理数，则一定是无理数；②无限小数都是无理数；③无理数都是无限小数；④最小的实数是0；⑤带根号的数都是无理数．其中错误的共有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题主要考查实数，熟练掌握无理数的定义是解题的关键． 根据无理数和实数的定义来判断正误即可． 【详解】解：①在实数范围内，一个数如果不是有理数，则一定是无理数，该选项说法正确，不符合题意； ②无限不循环小数是无理数，该选项说法错误，符合题意； ③无理数都是无限小数，该选项说法正确，不符合题意； ④没有最小的实数，该选项说法错误，符合题意； ⑤带根号的数不一定是无理数，比如，该选项说法错误，符合题意； 错误选项有：②④⑤， 故选：C． 5．在，，，，，，这些数中，无理数有 个． 【答案】 【分析】本题考查无理数，解题的关键是正确理解无理数的概念． 根据无理数的概念，对所给的数进行分类即可． 【详解】解：，，是有理数， ，，，是无理数， ∴无理数有个， 故答案为：． 6．的相反数是 ，的倒数是 ， ． 【答案】 / 【分析】本题主要考查了实数的概念，相反数，倒数的定义，化简绝对值，根据相反数，倒数的定义，化 ：的相反数是，的倒数是，， 故答案为：，，． 题型二：实数的估算与实数的大小比较 7．若，且x是整数，则满足条件的x值有（   ） A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 【答案】B 【分析】此题考查实数的大小比较． 先估算出、的大小，再找出的大小，然后找出符合条件的数即可． 【详解】解：∵， ∴． ∴． ∴符合条件的x的值为：，共4个． 故选：B． 8．满足的整数m的值可能是（   ） A．3 B．2 C．1 D．0 【答案】A 【分析】本题考查估算无理数的大小．先估算无理数的大小，进而得到的大小即可． 【详解】解：∵，即， ∴， 而， ∴的整数m的值可以是3，不可能是2，1，0， 故选：A． 9．由下表可得精确到百分位的近似值是（    ） … … A．2.64 B．2.65 C．2.7 D．2.646 【答案】B 【分析】此题主要考查估算无理数大小以及近似数和有效数字，小数的近似数取值，关键要看清精确到的位数．精确到百分位，即保留小数点后面第二位，看小数点后面第三位，利用“四舍五入”法解答即可． 【详解】， 精确到百分位的近似值是2.65． 故选：B． 10．在0，，，这四个数中，最小的数是（    ） A．0 B． C． D． 【答案】C 【分析】此题主要考查实数的比较大小，熟练掌握实数比较大小的规则即可．正数大于，负数小于，正数大于一切负数，两个负数，绝对值大的反而小． 【详解】解：∵， ∴最小的数是：． 故选：C． 11．若是实数，且，则下列关系式成立的是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据算术平方根、绝对值、立方根的意义，分别对四个选项作出分析，再判断． 【详解】解：∵是实数，且， A. 当时，故该选项不正确，不符合题意； B. 当时，故该选项不正确，不符合题意； C. 由得，故该选项正确，符合题意； D. 当时，故该选项不正确，不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题考查了实数的大小比较，算术平方根，绝对值，立方根，解题关键是实数的大小比较的方法． 12．正整数、分别满足、，则 ． 【答案】 【分析】本题考查无理数的估算、代数式求值，熟练掌握无理数的估算方法，正确得到值是解答的关键．根据立方根和算术平方根的概念进行估算，从而代入求解． 【详解】解：∵，，，， 又∵，是正整数， ∴，， ∴， 故答案为：． 13．规定：用符号表示不大于实数的最大整数．例如：， （1）填空 （2） ； （3）若，则的取值范围是 ． 【答案】 1 【分析】本题主要考查了新定义运算、估算无理数大小，正确理解题意是解题关键． （1）结合，得，即有，根据题意即可获得答案； （2）首先根据估算无理数大小的方法确定，进而可知，根据题意即可获得答案； （3）根据符号的定义可知，进而可得，即可获得答案． 【详解】解：（1）∵， ∴，即， ∴； （2）∵， ∴，即， ∴， ∴； （3）∵， ∴， ∴， ∴． 故答案为：（1）1；（2）；（3）． 14．如图，在数轴上标有字母的各点中，与实数对应的可能是点 ． 【答案】D 【分析】本题主要考查了实数与数轴，无理数的估算，熟练掌握无理数的估算方法是解题的关键． 先根据无理数的估算方法确定的取值范围，再观察数轴即可求解． 【详解】解：， 观察数轴可得，实数对应的可能是点， 故答案为：． 15．比较大小： 1.5（填“＞”“＜”或“=”）． 【答案】 【分析】本题考查比较实数的大小，无理数的估算．根据作差法和无理数的估算即可求解． 【详解】解：， ∵，即， ∴， ∴， ∴； 故答案为：． 16．通过估算，比较下面各组数的大小： (1)，2.5． (2)，3． (3) 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查了实数大小的比较，无理数的估算，熟练掌握实数大小的比较方法是解题的关键． （1）算出两个数的平方，比较两个数平方的大小，即可得出结果； （2）算出两个数的立方，比较两个数立方的大小，即可得出结果； （3）由得到，进而求解即可． 【详解】（1）因为， 所以； （2）因为，且， 所以； （3）因为， 所以， 所以， 所以． 题型三：与无理数整数部分有关的运算 17．若的小数部分为a，的小数部分为b，则的值为（   ） A．0 B．1 C． D．2 【答案】A 【分析】本题考查了无理数的估算，估算出，从而可得，，即可得出，，代入所求式子计算即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：∵， ∴，即， ∴，， ∵的小数部分为a，的小数部分为b， ∴，， ∴， 故选：A． 18．设的整数部分为a，的小数部分为b，求的值． 【答案】 【分析】本题考查了无理数的整数部分与小数部分的确定以及代数式求值，解题的关键是先确定与的整数部分和小数部分． 先估算的范围，进而确定与的整数部分和小数部分，得到、的值，再代入代数式计算． 【详解】解：， ， ， ， ， 的整数部分为a， ， ， ， ， ， 的整数部分为3， 的小数部分为b， 原式 ． 19．设是的整数部分，，求的值． 【答案】4 【分析】本题考查的是无理数的整数部分的含义，算术平方根的含义，求解一个数的立方根，掌握“无理数的估算方法，算术平方根与立方根的含义”是解本题的关键；由可得m的值，再利用算术平方根的含义求解n，再求解的立方根即可． 【详解】解：，即， 的整数部分为5， 即， 又， ， ． 20．无理数像一篇读不完的长诗，既不循环，也不枯竭，无穷无尽．设面积为的圆的半径为x，回答下列问题： (1)x是_______（填“有理数”或“无理数”）． (2)x的整数部分是几？ (3)将x精确到十分位的值是多少？ 【答案】(1)无理数 (2)的整数部分是3 (3)将精确到十分位的值是 【分析】本题考查了算术平方根以及无理数的大小估算，是基础题，熟记概念是解题的关键． （1）根据圆的面积公式列式，再利用算术平方根的定义解答； （2）根据无理数的大小估算计算即可得解； （3）根据无理数的大小估算计算即可得解. 【详解】（1）解：依题意， ∴． ∴（负值已舍去）是无理数． （2）解：由题意，得， ∴． ∵， 即 即的整数部分是3． （3）解：∵， ∴． 又∵， ∴， 即将精确到十分位的值是． 21．已知实数的整数部分为，小数部分是；实数的整数部分为，小数部分是． (1)直接写出，，，的值； (2)求的值的平方根； (3)求的值． 【答案】(1)，，， (2) (3) 【分析】本题考查了无理数的估算、平方根、立方根，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）估算得出，从而可得，，结合题意即可得解； （2）将（1）中，，，代入所求式子进行计算，再结合平方根的定义计算即可得解； （3）将（1）中，，，代入所求式子进行计算，再结合立方根的定义计算即可得解． 【详解】（1）解：∵， ∴，即， ∴，， ∵实数的整数部分为，小数部分是，实数的整数部分为，小数部分是， ∴，，，； （2）解：由（1）可得：，，，， ， ∴的值的平方根为； （3）解： ． 22．在学习《实数》内容时，我们通过“逐步逼近”的方法可以计算出近似值，得出．利用“逐步逼近”法，请回答下列问题： (1)介于连续的两个整数和之间，且，那么　　　，　　　． (2)是的小数部分，是的整数部分，求　　　，　　　． (3)在（2）的基础上，求的平方根． 【答案】(1)， (2)， (3) 【分析】本题主要考查了平方和平方根估算无理数大小应用，正确的估计无理数的取值范围是解题的关键． （1）估算出的取值范围即可解答； （2）根据(1)的结论，得到，即可解答； （3）将（2）的结论代入计算即可解答． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵， ∴， 故答案为：4，5； （2）解：由(1)知， ∴，， ∵是的小数部分， ∴； ∵是的整数部分， ∴； （3）解：由（2）知， ∴， ∵， ∴4的平方根是， 即的平方根是． 23．材料：2.5的整数部分是2，小数部分是0.5，小数部分可以看成是得来的，类比来看，对于来说，因为，所以的整数部分是1，于是可用来表示的小数部分．根据以上材料，完成下列问题： (1)的整数部分是______，小数部分是______； (2)也是夹在两个相邻整数之间的，可以表示为，求的平方根． (3)若，其中x是整数，且，请直接写出的值． 【答案】(1)4， (2) (3) 【分析】本题考查无理数的估算，实数的混合运算，熟练掌握夹逼法进行无理数的估算，是解题的关键： （1）利用夹逼法求出的范围，进而求出整数部分和小数部分即可； （2）求出的范围，进而求出的范围，求出的值，进而求出的平方根即可； （3）夹逼法求出的值，再进行计算即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴的整数部分是4，小数部分是； （2）∵， ∴， ∴， ∴； ∴的平方根为； （3）， ∴， ∴， ∴， ∴． 题型四：实数的四则混合运算的计算题 24．已知实数a，b满足关系式，则的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了平方和绝对值的非负性以及求一个数的平方．根据非负数的性质，每个非负数都必须为0，从而求出和的值，然后计算的次方即可． 【详解】解：由题意得，， 解得，， ∴， 故选：C． 25．计算： ． 【答案】3 【分析】此题主要考查了实数的运算，利用乘方及立方根的运算法则求解即可． 【详解】解： ． 故答案为：3． 26．计算：的结果是 ． 【答案】 【分析】本题考查实数的加减，根据同类项的合并方法来计算即可． 【详解】解：． 故答案为：． 27．已知：，那么 ． 【答案】1 【分析】设，则，则，，得到，代入化简解答即可． 本题考查了立方和多项式乘法的应用，熟练掌握多项式是解题的关键． 【详解】解：设，则， 则，， 故， 故 ． 28．设，，且，则 【答案】1 【分析】此题主要考查了分式的加减，充分利用这个关系，对中的a、b都用c进行替换即可求解． 【详解】解：∵，， ∴，则，，均为正数， ∴ ， ， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：1． 29．计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了实数的混合运算，熟练掌握实数的混合运算是解题的关键． （1）先计算立方根、算术平方根和乘方运算，再求和即可； （2）先计算乘方运算，立方根，算术平方根和化简绝对值，再进行加减运算即可． 【详解】（1）解：原式； （2）解：原式 ． 30．计算：． 【答案】 【分析】本题考查的是实数的混合运算，先计算绝对值，乘方运算，立方根，算术平方根，再合并即可． 【详解】解： ． 31．计算 (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了实数的运算，解题的关键是： （1）根据算术平方根、立方根的定义，绝对值的意义等计算即可； （2）根据算术平方根、立方根的定义，绝对值的意义等计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 32．计算： (1)； (2)； 【答案】(1)； (2)． 【分析】本题考查实数的混合运算，熟练掌握相关运算法则是解题的关键； （1）先根据算术平方根和立方根化简各数，再计算即可； （2）先根据算术平方根和立方根化简各数，再计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； 33．计算： (1)； (2)． 【答案】(1)7 (2) 【分析】本题考查实数的运算，熟练掌握算术平方根及立方根的定义是解题的关键． （1）先算术平方根，立方根，再加减即可； （2）先算术平方根，立方根，绝对值，再加减即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 题型五：涉及实数的运算的定义和程序题型 34．按如图所示的程序计算，若开始输入的值为9，则最后输出的y值是（   ） A． B． C．3 D． 【答案】A 【分析】本题考查实数的分类及运算，判断每步计算结果是否为无理数是解题的关键．根据已知判断每一步输出结果即可得到答案． 【详解】解：由所示的程序可得：9的算术平方根是3，3是有理数，取3的算术平方根，是无理数，则输出， ∴开始输入的x值为9，则最后输出的y值是． 故选：A． 35．按如图所示的程序计算，若开始输入的的值是64，则输出的的值是（   ） A． B． C．2 D．3 【答案】A 【分析】本题考查了无理数、算术平方根、立方根及计算程序的应用，正确理解计算程序图的计算步骤，会正确计算数的算术平方根及立方根，能正确判断有理数及无理数是解题的关键．根据题意，利用算术平方根及立方根的定义计算，直至结果为无理数即可，理解题干中的运算程序并进行正确的计算是解题的关键． 【详解】解：的算术平方根是， ∵是有理数， ∴取立方根为， ∵是有理数， ∴取算术平方根为， ∵是无理数， ∴． 故选：A． 36．对于任意两个实数a，b，定义两种新运算：，，并且定义新运算的运算顺序仍然是先算括号内的，例如：，，，那么等于（    ） A．2 B．3 C． D．6 【答案】C 【分析】本题考查了新定义实数的运算，无理数估算，求立方根，先估算出的范围，再结合新定义运算规则进行计算即可得解，熟练掌握实数的运算法则是解此题的关键． 【详解】解：∵， ∴，即， ∴， 故选：C． 37．定义运算“@”的运算法则为：，则 ． 【答案】6 【分析】此题考查了实数的运算，弄清题中的新定义是解本题的关键．根据题中的新定义化简所求式子，计算即可得到结果． 【详解】解：∵， ， 故答案为：6． 38．用※定义一种新运算：对于任意实数m和n，规定．如：，则值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了实数的混合运算，理解定义的新运算是解题的关键． 根据定义的新运算可得，然后进行计算即可得出答案． 【详解】解：由题意得， ， 值为， 故答案为：． 39．（定义新运算）高斯被认为是历史上最杰出的数学家之一，享有“数学王子”之称，现有一种高斯定义的计算式，已知[x]表示不超过的最大整数，例如，，现定义，例如，则 ． 【答案】3.8 【分析】本题主要考查了新定义，有理数的加减计算，熟练掌握新定义是解题的关键． 先根据新定义求出，，据此代入计算即可． 【详解】解：∵，， ∴ 故答案为：3.8 40．若一个四位正整数各个数位上的数字均不为零，千位数字比百位数字的2倍多1，且个位数字、十位数字、百位数字的和为12，我们称这样的四位正整数为“缤纷数”．对于“缤纷数”A，任意去掉一个数位上的数字得到四个三位数，这四个三位数的和记为F（A）．如四位正整数5246，因为，，所以5246是“缤纷数”，5246去掉任意一个数位上的数字，得到四个新的三位数是524，546，526，246，．若A是最大的“缤纷数”，则F（A）的值是 ；对于“缤纷数”M，满足为整数，则M的最小值是 ． 【答案】 3330 3138 【分析】本题考查了新定义、列代数式、整式加减运算． 设A的百位数字为x，个位数字为y，十位数字为z，则千位数字为，根据，且、x均为正整数，由A是最大的“缤纷数”，求得，，进而由求得，即可；设M的百位数字为a，个位数字为b，则，则，再根据为整数，求得能被4整除，根据M为最小整数，且各个数位上的数字均不为零，即可确定a取最小，即，从而千位数字为3，又能被4整除，则能被2整除，b为偶数，可确定b可取，当b取最大时，十位数最小，可确定，十位数为，即可求解． 【详解】解：设A的百位数字为x，个位数字为y，十位数字为z，则千位数字为， ∵一个四位正整数各个数位上的数字均不为零 ∴，且、x均为正整数， ∴且x为正整数 ∵A是最大的“缤纷数”， ∴， ∴ ∵个位数字、十位数字、百位数字的和为12 ∴ ∴ ∵A是最大的“缤纷数”， ，，且y、z均为正整数， ∴，， ∴最大的“缤纷数”9471， ∴， 设M的百位数字为a，个位数字为b，则 ∴ 为整数， ∴， ∴能被12整除， 即能被4整除， ∵M为最小整数，且各个数位上的数字均不为零， ∴a取最小，即， 当时，千位数字最小为3， ∴能被4整除， ∴能被2整除，b为偶数， ∴b可取， ∴当b取最大时，十位数最小， ∴，十位数为， M的最小值是3138． 故答案为：3330；3138． 41．有一个数值转换器原理如图． (1)当时，y是多少？ (2)输入的x能是任何实数吗？为什么？ (3)是否存在这样的x的值，输入计算后始终在进行循环计算而输不出y的值？如果存在，请写出所有x的值；如果不存在，请说明理由； (4)若输出的y是，试判断输入的x值是否唯一？若不唯一，请写出其中的两个． 【答案】(1) (2)输入的x不能是任何实数，理由见解析 (3)或时始终在进行循环计算而输不出y的值 (4)若输出的y是，则输入的x值不唯一；如：、． 【分析】本题主要考查了算术平方根、代数式求值、无理数等知识点，掌握无理数的定义成为解题的关键． （1）把代入程序中计算即可确定出y的值； （2）根据算术平方根的有意义的条件即可解答； （3）根据程序确定出x的值即可； （4）举反例即可解答； 【详解】（1）解：当时，， ，4不是无理数不能输出 ，2不是无理数不能输出 是无理数，输出． 所以输出y是． （2）解：输入的x不能是任何实数，理由如下： 当x是正数时，x与的乘积为负数，负数没有算术平方根，所以输入的x不能是任何实数． （3）解：存在x的值输入计算后始终在进行循环计算而输不出y的值； ∵0和1的算术平方根是0和1 ∴当或，即或时始终在进行循环计算而输不出y的值． （4）解：若输出的y是，则输入的x值不唯一；如：，，3再次输出为；，，，3再次输出为；所以输入x值不唯一． 42．阅读以下材料： 对于三个数a．b．c．用表示这三个数的平均数，用表示这三个数中最小的数．例如：；；． 请解答下列问题： (1) ； (2)若，求x的范围； (3)如果，求x的值． 【答案】(1) (2) (3)x的值为1 【分析】本题考查了新定义、实数的大小比较、求不等式组的解集，理解新定义是解题的关键． （1）先比较的大小关系，再根据新定义即可求解； （2）根据，可得，求解不等式组即可得出答案； （3）根据新定义可得，则，得出关于的不等式组，求解不等式组即可得出答案． 【详解】（1）解：∵， ∴； 故答案为：； （2）解：∵， ∴， 解得：， ∴x的范围为； （3）解：， ∵， ∴， ∴， 解得：， ∴x的值为1． 43．已知“”表示运算，“”表示运算，求的值． 【答案】 【分析】本题主要考查了有理数的混合运算，理解新运算列出算式是解题的关键． 根据新运算列出算式，再根据有理数的混合运算法则计算即可． 【详解】解：由题意可知，原式 ． 题型六：实数的分类和实数与数轴结合问题 44．下列说法正确的是（   ） A．正实数和负实数统称实数 B．正数、0和负数统称有理数 C．正有理数和负有理数统称有理数 D．无理数和有理数统称实数 【答案】D 【分析】此题主要考查实数的定义和分类，解题的关键是熟知实数的定义．根据实数的定义判断即可． 【详解】解：A. 正实数、零和负实数统称实数，原说法错误； B. 正有理数、0和负有理数统称有理数，原说法错误； C. 正有理数、零和负有理数统称有理数，原说法错误； D. 无理数和有理数统称实数，说法正确； 故选：D． 45．下列说法错误的是（    ） A．0的算术平方根是0 B．实数包括正实数，0，负实数 C．的相反数是 D．所有有理数都可以用数轴上的点表示，反过来，数轴上所有的点都表示有理数 【答案】D 【分析】本题考查了算术平方根、实数的分类、实数与数轴、相反数的定义，根据相关知识逐项判断即可． 【详解】解：A、0的算术平方根是0，正确，不符合题意； B、实数包括正实数，0，负实数，正确，不符合题意； C、的相反数是，正确，不符合题意； D、所有有理数都可以用数轴上的点表示，反过来，数轴上所有的点都表示实数，不一定是有理数，原说法错误，符合题意， 故选：D． 46．下列说法正确的是（   ） A．实数是负数 B．实数的相反数是a C．实数的绝对值是a D．一定是正数 【答案】B 【分析】本题考查绝对值，相反数和负数，根据绝对值，相反数和负数的定义逐项判断解答即可． 【详解】解：A. 当时，实数是正数，原说法错误； B. 实数的相反数是a，说法正确； C. 当时，实数的绝对值是，原说法错误； D. 一定是非负数，原说法错误； 故选：B． 47．数轴上A，B两点表示的数分别是2和，点B关于点A的对称点为点C，则点C所表示的数是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查了数轴上两点之间的距离公式，数轴上对称点表示的数的关系，实数的运算，正确掌握数轴上对称点表示的数的计算方法是解题的关键．先计算的长，再根据对称的性质得到，即可求得点C表示的数． 【详解】解：∵数轴上A，B两点表示的数分别是2和， ∴， ∵点B关于点A的对称点为点C， ∴， ∴点C表示的数是， 故选：B． 48．点A、B、C在同一条数轴上，其中点A、B表示的数分别为、．若B、C两点之间的距离为，则A、C两点之间的距离为（　　） A．或 B．或 C．或 D．或 【答案】D 【分析】此题主要考查了数轴上两点间的距离，先得到点C表示的数，然后分情况求出长解答即可． 【详解】解：由题意可知点C表示的数为或， 或．   故选：D． 49．把下列各数的序号填在相应的大括号内： ①0，②，③，④，⑤，⑥，⑦， 1.020 220 222 0…（每两个0之间依次多1个2）． 整数：{             }； 负分数：{            }； 无理数：{            }． 【答案】见解析 【分析】本题考查了实数的分类、求算术平方根、绝对值，先根据算术平方根、绝对值进行计算，再根据实数的分类求解即可，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：，， 故整数：{ ①④⑥}； 负分数：{ ②⑤}； 无理数：{}． 50．把下列各数填在相应的集合内． ，，，，（相邻两个之间依次多1个），，，，，． 正分数集合{                            }； 非负整数集合{                             }； 无理数集合{                              }； 有理数集合{                             }． 【答案】，，，；，；，（相邻两个之间依次多一个）；，，，，，，，． 【分析】本题考查了正分数、非负整数、无理数、有理数的定义，根据定义直接求解即可，解题的关键是熟悉正分数、非负整数、无理数、有理数的定义，熟练掌握此题的特点并能熟练运用． 【详解】解：正分数集合{，，，，}； 非负整数集合{ ，，}； 无理数集合{，（相邻两个之间依次多一个），}； 有理数集合{，，，，，，，，}； 故答案为：，，，；，；，（相邻两个之间依次多一个）；，，，，，，，． 51．如图，数轴上点表示的数是，是数轴上一动点． (1)在数轴上，把点向左平移4个单位长度得到点，求点表示的数； (2)若点表示的数是所表示数的相反数，求点表示的数； (3)若点从点向点以每秒3个单位长度运动，到达点后又向运动，到达后再向运动，如此往复运动．问当点运动2026秒时，点与点的位置有什么关系？请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)在点的左侧，理由见解析 【分析】本题考查了实数与数轴，实数的大小比较，实数的加减运算，数形结合是解题的关键． （1）根据数轴上两点距离即可求解； （2）根据相反数的定义即可求解； （3）根据题意，得出运动 2026秒时，在点左侧 2 个单位长度，即表示的数为，进而判断所表示的数的大小，进而即可求解． 【详解】（1）解：∵数轴上点表示的数是，把点向左平移 4 个单位长度得到点， ∴B点表示的数为； （2）解：∵C点表示的数是所表示数的相反数， ∴C点表示的数为； （3）解：， ， ∴P运动 2026秒时，在点左侧个单位长度，即表示的数为． 因为表示的数是， ， ， ，即， ∴ P在点的左侧． 题型七：与实数运算相关的规律题型 52．规律探究设，，，…，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是算术平方根及算式的变化规律，观察式子的结果，得出一般规律． 【详解】解：由题意得：， ， ， ， ， ， ， 故选：C． 53．如图，通过画边长为1的正方形，就能准确的把表示在数轴上点处，记右侧最近的整数点为，以点为圆心，半径画半圆，交数轴于点，记右侧最近的整数点为，以点为圆心，为半径画半圆，交数轴于点，如此继续，则的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了实数与数轴、估算无理数的大小以及探索规律，通过估算无理数的大小，找到图形变化规律是解题的关键．利用表示的数，根据实数与数轴的关系，逐一计算各点所对应的数，在计算1、，得出规律即可解决． 【详解】解：由题意可得表示的数是， ∵右侧最近的整数点为， ∴表示的数是2， ∴， ∴表示的数是，表示的数是3， ∴， 同理可得表示的数是，表示的数是4，， 表示的数是，表示的数是5，， 可知以，两个数一环出现， ∵， ∴， 故选：A． 54．观察下列算式：，，，…，它有一定的规律性，把第个算式的结果记为，则的值是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了与实数有关的规律探索，通过观察可知，据此可得，再把所求式子裂项相消即可得到答案． 【详解】解：， ， ， ……， 以此类推可知，， ∴， ∴， ∴原式 ， 故选：C． 55．已知整数满足下列条件：，，，， 依此类推，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了数字的变化规律；根据条件求出前几个数的值，再分情况，当是奇数时，结果等于 ；是偶数时，结果等于；然后把的值代入进行计算即可得解． 【详解】解：由题意可得：时， ， ， ， 通过观察前面计算出的项， 可以发现：当 为偶数时，， 当为奇数时，， ∵是奇数， ∴； 故答案为：． 56．若记表示任意实数的整数部分，例如：，，…， 则（其中“”“”依次相间）的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了实数的新定义运算，解题的关键是正确运用估算思想，确定整数部分中的运算规律．按照整数是1，整数是2，…整数是44，确定算术平方根的个数，运用估算思想，列式，寻找规律计算． 【详解】解：，即时，，此时， ； ，即时，，此时， ； ，即时，，此时， ； 由此发现如下规律，整数部分是1的算术平方根的整数和是1，且奇数为正整数，偶数位为负整数；整数部分是2的算术平方根的整数和是，整数部分是3的算术平方根的整数和是3， ， ，即时，， ， ， 故答案为：． 57．先观察下列等式，再回答问题： ①； ②； ③； (1)根据上面三个等式，请猜想的结果（直接写出结果） (2)根据上述规律，解答问题： 设+···+，求不超过m的最大整数是多少？ 【答案】(1) (2)2025 【分析】本题考查了实数的运算，实数大小比较，数字的变化类，掌握实数的运算法则是关键． （1）根据题干列举的等式，即可得出答案； （2）先总结规律可得，再利用规律进行计算即可． 【详解】（1）解： （2）+···+， ， ， ， ∴不超过m的最大整数是2025． 58．观察下列等式． 第1个：； 第2个：； 第3个：； …… 根据以上规律，解决下列问题： (1)___________； (2)写出第个等式：___________；（用含的式子表示，为正整数） (3)计算：． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了数字类规律探索，理解题意，正确得出规律是解此题的关键． （1）根据题干所给式子进行计算即可得解； （2）根据题干所给式子得出规律即可； （3）利用（2）中得出的规律，计算即可得解． 【详解】（1）解：∵第1个：； 第2个：； 第3个：； …… ∴； （2）解：由（1）可得第个等式为：； （3）解： ． 59．先观察下列等式，再回答问题： ①； ②； ③ (1)根据上面三个等式提供的信息，请你猜想_______ (2)请按照上面各等式反映的规律，试写第n个等式：_______ (3)对任何实数a，表示不超过a的最大整数，如， 计算： 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查的是实数的运算规律的探究与运用，掌握“探究的方法以及灵活运用”是解本题的关键． （1）根据题干例举的等式，即可答案； （2）根据题干例举的等式，总结规律可得答案； （3）先总结规律可得，再利用规律进行计算即可． 【详解】（1）解：根据题意：； （2）解：； （3）解：原式 ． 题型八：涉及实数运算的实际应用题型 60．在一次“冒险活动”中，玩家小明和小美正在共同探索神秘“宝藏”．他们一路披荆斩棘，终于来到了“宝藏”所在的“神秘洞穴”．然而，他们遇到了一个难题，“宝藏”的位置由实数x决定，且满足方程． 小明兴奋地说：“我觉得x的值应该是；” 小美思考片刻后说道：“不对，我觉得还有可能是另一个值．” 那么小美所说的另一个值是（    ） A． B． C． D．以上都不对 【答案】A 【分析】此题考查了实数的运算，化简绝对值，根据绝对值的性质求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴或， ∴小美所说的另一个值是． 故选：A． 61．某高速公路规定汽车的行驶速度不得超过千米/时，当发生交通事故时，交通警察通常根据刹车后车轮滑过的距离估计车辆的行驶速度，所用的经验公式是，其中v表示车速（单位：千米/时，d表示刹车后车轮滑过的距离（单位：米），f表示摩擦系数．在一次交通事故中，经测量米，，请你通过计算判断汽车此时的行驶速度v 100千米/时．（填“”、“”或“”） 【答案】 【分析】本题考查了实数运算的应用，根据题意代入计算即可得出答案． 【详解】解：千米/时， ∴ 故答案为：>． 62．哪吒在镇压妖兽时，用“混天绫”围成一个面积为 的正方形“封妖阵”，后因妖兽反噬，须将“封妖阵”调整为面积为的长方形，且长与宽之比为． (1)“混天绫”的总长度是多少米？ (2)哪吒的“混天绫”长度是否足够完成新阵法？请通过计算说明理由． 【答案】(1) (2)能；理由见解析 【分析】本题考查了平方根的应用，无理数的估算，正确理解题意是解题的关键． （1）根据平方根的意义即可求解； （2）根据题意列方程，求出长方形的长与宽，可得长方形的周长，再经过估算即得答案． 【详解】（1）解： “混天绫”围成一个面积为 的正方形， 正方形的边长为， “混天绫”的总长度． 答：“混天绫”的总长度． （2）解：能，理由如下： 设长方形的长为米，宽为米， 依题意得 ， 解得或， ， ， 长方形的长为米，宽为米， 长方形的周长为， ， ， 能够完成新阵法． 63．如图，在面积为2平方米的正方形ABCD的木料中，挖去以边BC为直径的半圆，则剩下的木料的面积为多少平方米？（，结果精确到 ） 【答案】1.2平方米 【分析】根据题意，剩下的木料的面积等于正方形面积减去半圆面积。 【详解】解：由题意得，正方形的边长为米，则半圆的半径为米，则 剩下的木料的面积， ， ， ， （平方米） 答：剩下的木料的面积约为平方米． 【点睛】此题考查了实际问题中的实数的运算：正方形和圆形结合的阴影面积的求法，解题的关键是掌握图形面积之间的关系． 64．我们知道，任意一个有理数与无理数的和为无理数，任意一个不为零的有理数与一个无理数的积为无理数，而零与无理数的积为零．由此可得：如果，其中、为有理数，为无理数；那么必然有，且，据此，解决下列问题． (1)如果，其中、为有理数，则___________，___________； (2)如果，其中、为有理数，求的平方根． 【答案】(1)3，2 (2) 【分析】此题考查了实数的运算，平方根，本题是阅读型题目，正确理解题干中的信息并熟练运用是解题的关键． （1）根据，为有理数，由已知等式求出与 的值即可； （2）已知等式右边化为0，根据，为有理数，求出与 的值，即可确定出的值，再求平方根即可． 【详解】（1）解：，其中，为有理数，为无理数， ∴， ∴； （2）解：∵，，为有理数，为无理数， ∴， 解之，得． 则． ∴的平方根是． 65．请阅读下面材料，并完成相应的任务． 设是有理数，且满足，求的值． 解：由题意，得． 因为都是有理数， 所以也是有理数． 因为是无理数， 所以，即， 所以． 根据阅读材料，解决问题： 设都是有理数，且满足，求的值． 【答案】的值为7或 【分析】本题主要考查实数运算，二次根式的运算，根据提供的方法，先变形为，从而得出，求出，最后代入求值即可． 【详解】解：因为， 所以， 所以． 因为都是有理数， 所以也是有理数． 因为是无理数， 所以， 解得， 当时，， 当时，． 综上所述，的值为7或． 66．某高速公路规定汽车的行驶速度不得超过100千米/时，当发生交通事故时，交通警察通常根据刹车后车轮滑过的距离估计车辆的行驶速度，所用的经验公式是v＝16，其中v表示车速（单位：千米/时，d表示刹车后车轮滑过的距离（单位：米），f表示摩擦系数．在一次交通事故中，经测量d＝32米，f＝2，请你判断一下，肇事汽车当时是否超速了． 【答案】肇事汽车当时的速度超出了规定的速度． 【分析】先把d=32米，f=2分别代入v=16，求出当时汽车的速度再和100千米/时比较即可解答． 【详解】解：把d=32，f=2代入v=16， v=16=128（km/h）， ∵128＞100， ∴肇事汽车当时的速度超出了规定的速度． 【点睛】本题考查了实数运算的应用，读懂题意是解题的关键，另外要熟悉实数的相关运算． 2 / 11 学科网（北京）股份有限公司 $$