第04讲 复数 （高效培优讲义）（全国通用）2026年高考数学一轮复习高效培优系列

第04讲 复数 目录 考情探究 2 知识梳理 3 探究核心考点 5 考点一 复数的四则运算 5 考点二 求复数的实部与虚部 7 考点三 复数相等 8 考点四 复数的分类及纯虚数概念考查 9 考点五 复数的几何意义 11 考点六 复数的模长及与模相关的轨迹问题 12 考点七 复数的三角形式 14 考点八 欧拉公式 14 考点九 复数多选题综合探究 16 三阶突破训练 18 基础过关 18 能力提升 21 真题感知 25 一、5年真题考点分布 5年考情 考题示例 考点分析 关联考点 2025年全国一卷，第1题,5分 求复数的实部与虚部 复数代数形式的乘法运算 无 2025年全国二卷，第2题,5分 复数的除法运算 无 2024年新I卷，第2题，5分 复数的四则运算 无 2024年新Ⅱ卷，第1题，5分 复数的模 无 2023年新I卷，第2题，5分 复数的四则运算、共轭复数 无 2023年新Ⅱ卷，第1题，5分 复数的四则运算、复数的几何意义 无 2022年新I卷，第2题，5分 复数的四则运算、共轭复数 无 2022年新Ⅱ卷，第2题，5分 复数的四则运算 无 2021年新I卷，第2题，5分 复数的四则运算、共轭复数 无 2021年新Ⅱ卷，第1题，5分 复数的四则运算、复数的几何意义 无 二、命题规律及备考策略 【命题规律】本节内容是新高考的必考内容，设题稳定，难度较低，分值为5分 【备考策略】1.理解、掌握复数的代数形式，能够掌握数集分类及复数分类，需要关注复数的实部、虚部、及纯虚数 2.能正确计算复数的四则运算及模长等问题，理解并掌握共轭复数 3.熟练掌握复数的几何意义即复数与复平面上点的对应关系 【命题预测】本节内容是新高考卷的必考内容，一般考查复数的四则运算、共轭复数、模长运算、几何意义，题型较为简单。 知识点1 复数的定义 复数：一般地，当a与b都是实数时，称为 复数 ，复数一般用小写字母z表示，即，其中a称为z的 实部 ，b称为z的 虚部 . 任意一个复数都由它的实部与虚部唯一确定。 知识点2 虚数单位与周期 i叫做虚数单位，规定 -1 ；虚数单位可以与实数进行 四则运算 特别地， ， ， 1 ，其中． 知识点3 复数的分类 对于复数， 复数，为实数 ；为虚数 ；为纯虚数 ；为非纯虚数数 ． 即复数 知识点4 复数相等 如果，，，都是实数，那么 且 ．特别地，当，都是实数时， 的充要条件是且． 知识点5 共轭复数及其性质 如果两个复数的实部 相等 ，而虚部 互为相反数 时，则称这两个复数互为共轭复数．复数z的共轭复数用表示，即如果，那么 ． 共轭复数的性质 设的共轭复数为，则 （1） ． （2）． （3）． 知识点6 复平面及复数的几何意义 复平面： 在平面上建立直角坐标系，以坐标为的点表示复数 ，就可在平面上的点的集合与复数集合之间建立一个一一对应，这样用来表示复数的平面 叫做复平面，这里的轴叫做 实轴 ，轴叫做 虚轴 . 注意：（1）表示实数的点都在实轴上，表示纯虚数的点都在虚轴上，原点表示实数0. （2）每一个复数，在复平面内有唯一的点和它对应；反过来，复平面内的每一个点，都有唯一的一个复数和它对应，即复数集中的元素和复平面内所有的点所组成的集合是一一对应的. 复平面上两点P，Q关于轴对称它们所对应的复数相互 共轭 ． 知识点7 复数的向量表示 复平面内的点表示复数（a、），连接，向量由点Z唯一确定；反过来，点Z也可以由向量唯一确定.这样，复数集中的元素和复平面上以原点为起始点的向量也是 一一 对应的（实数0与零向量对应）. 知识点8 复数的模 复数（a、）在复平面上所对应的点到原点的距离 叫做复数z的模（或绝对值），记作，由模的定义可知 . 复数的模与该复数所对应的向量的模是 一致 的，复数的模为该复数在复平面上所对应点到 原点 的距离. 知识点9 复数的加、减、乘、除运算法则 设， ，则 （1）加法： ． （2）减法： ． （3）乘法： ． （4）除法：． 知识点10 复数乘法的运算律 （1）对任意复数，，，有 交换律 结合律 乘法对加法的分配律 （2）个相同的复数相乘时，仍称为的次方（或次幂），并记作，即 ．可以验证，当，均为正整数时， ， ， ． 知识点11 复数的三角形式 定义：任何一个复数都可以表示成 的形式．其中，是复数的模；是以轴的非负半轴为始边，向量所在射线（射线OZ）为终边的角，叫做复数的 辐角 ． 叫做复数的三角表示式，简称三角形式． 乘法运算法则 设，，则 ． 这就是说，两个复数相乘，积的模等于各复数的模的 积 ，积的辐角等于各复数的辐角的 和 ． 除法运算法则 设，，且，则 ． 这就是说，两个复数相除，商的模等于被除数的模除以除数的模所得的 商 ，商的辐角等于被除数的辐角减去除数的辐角所得的 差 ． 知识点12 一元二次方程的根及韦达定理 实系数一元二次方程（a、b、，）中的为根的判别式，那么 （1）方程有两个不相等的实根； （2）方程有两个相等的实根（二重根）； （3）方程有一对共轭虚根． 在（3）的情况下，方程的根与系数的关系（韦达定理）仍然成立，即 ． 考点一 复数的四则运算 典例1．（2025·浙江宁波·模拟预测）若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先根据复数的乘法求复数，再根据共轭复数的概念求. 【详解】因为， 所以. 故选：A. 典例2．（2025·湖南娄底·模拟预测）若复数满足，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用复数的除法运算化简即可. 【详解】因为，所以. 故选：A. 跟踪训练1．（2025·海南儋州·模拟预测）（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】应用复数的乘法化简，即可得. 【详解】. 故选：D 跟踪训练2．（2025·浙江杭州·模拟预测）设为虚数单位，若复数，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用复数的除法化简复数即可. 【详解】. 故选：A. 考点二 求复数的实部与虚部 典例1．（2025·广西柳州·模拟预测）复数的虚部为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用复数的除法结合复数的概念求解即可. 【详解】因为复数满足， 因此，复数的虚部为. 故选:D. 典例2．（2025·河北·模拟预测）设，则的实部和虚部分别为（    ） A．1， B．1， C．， D．1，3 【答案】D 【分析】利用复数的除法及加减运算求解，再根据共轭复数概念作答. 【详解】由题意得，，得， 所以，故的实部和虚部分别为1，3. 故选：D. 跟踪训练1．（2025·江西新余·模拟预测）若，则的虚部为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据等式利用复数的乘法和除法，求出复数，从而确定复数的虚部. 【详解】依题意，， 故的虚部为. 故选：C. 跟踪训练2．（2025·内蒙古包头·模拟预测）已知复数满足（i为虚数单位），则的实部与虚部和为（   ） A．0 B． C． D．2 【答案】C 【分析】由复数的乘方运算和除法运算，以及实部和虚部的概念可得结果. 【详解】由，可得， 所以的实部为，虚部为，则实部与虚部和为. 故选：C. 考点三 复数相等 典例1．（2025·内蒙古包头·模拟预测）已知复数满足（i为虚数单位），则的实部与虚部和为（   ） A．0 B． C． D．2 【答案】C 【分析】由复数的乘方运算和除法运算，以及实部和虚部的概念可得结果. 【详解】由，可得， 所以的实部为，虚部为，则实部与虚部和为. 故选：C. 典例2．（2025·湖北荆州·模拟预测）已知，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用复数的乘法运算以及复数相等的概念即可求出，再逐一判断. 【详解】因，则， 则，，解得或， 若，则AB错误，D正确；若，则C错误，D正确； 故选：D 跟踪训练1．（2025·湖南·三模）若（a，，i为虚数单位），则的值为（    ） A．2 B．1 C． D． 【答案】A 【分析】先根据复数的乘法计算结合复数相等得出参数即可求解. 【详解】因为，所以， 所以，，得，，所以． 故选：A． 跟踪训练2．（2025·安徽·模拟预测）若复数，实数满足，则（    ） A． B． C．1 D．4 【答案】D 【分析】法一：利用复数运算法则得到，从而得到方程组，求出，得到答案； 法二：变形得到，是的根，故是方程的另一个根，由韦达定理得到，求出答案. 【详解】法一：因为， 所以， 所以，解得，故； 法二：，故， 因为是的根，故是方程的另一个根， 由韦达定理得，， 故，所以. 故选：D 考点四 复数的分类及纯虚数概念考查 典例1．（2025·江西吉安·模拟预测）已知复数为纯虚数，（为虚数单位），则（    ） A．0 B． C． D． 【答案】B 【分析】根据复数类型求出参数，再利用复数的乘方可求. 【详解】， 因为复数为纯虚数，故， 故，故， 故选：B. 典例2．（2025·湖南娄底·模拟预测）设，则“”是“复数为实数”的（    ） A．充分必要条件 B．必要不充分条件 C．充分不必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【分析】由复数为实数求得的值，再根据充分必要条件关系判断. 【详解】若复数为实数，则，即． 又是的真子集，故“”是“复数为实数”的充分不必要条件． 故选：C． 跟踪训练1．（2025·湖南·一模）若复数为实数，则实数a等于（   ） A． B． C．1 D．2 【答案】C 【分析】根据复数的乘、除法运算可得，集合复数的有关概念计算即可求解. 【详解】， 又为实数，所以，解得. 故选：C 跟踪训练2．（2025·黑龙江哈尔滨·三模）已知为纯虚数，其中i为虚数单位，则实数（   ） A． B．2 C．1 D． 【答案】B 【分析】利用待定系数法结合复数乘法、复数相等的充要条件即可求解. 【详解】设，则， 所以，所以，所以． 故选：B． 考点五 复数的几何意义 典例1．（2025·广东东莞·模拟预测）已知复数满足，则复数在复平面对应的点位于（　　） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】A 【分析】先利用复数除法和共轭复数的概念求出，再根据复数对应复平面内点的坐标判断象限即可. 【详解】由题意可得， 所以在复平面对应点，在第一象限， 故选：A 典例2．（2025·海南海口·模拟预测）若复数在复平面内对应的点在第四象限，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先化简复数，利用复数的几何意义得到关于的不等式组，求解即得. 【详解】因在复平面内所对应的点在第四象限， 所以，解得，故a的取值范围是． 故选：B． 跟踪训练1．（2025·河南·三模）已知复数，在复平面内对应的点分别为A，B，则“A在第二象限”是“B在第三象限”的（    ） A．充要条件 B．必要不充分条件 C．充分不必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】由共轭复数的概念、复数的几何意义即可求解. 【详解】设，则. 若A在第二象限，则，，则，，所以B在第三象限. 反之亦成立，所以“A在第二象限”是“B在第三象限”的充要条件. 故选：A. 跟踪训练2．（2025·河北秦皇岛·模拟预测）已知复数满足（为虚数单位），则复数在复平面上不可能位于（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】C 【分析】设，由已知得在复平面的轨迹是以为圆心，为半径的圆，由图即可判断. 【详解】设，由得， 可得在复平面上对应的点的轨迹是以为圆心，为半径的圆，（如图）. 由图知圆显然不经过第三象限，故复数在复平面上不可能位于第三象限. 故选：C. 考点六 复数的模长及与模相关的轨迹问题 典例1．（2025·江苏泰州·模拟预测）若，其中i是虚数单位，则复数z的共轭复数的模为（   ） A． B．2 C． D．4 【答案】B 【分析】先求出复数z，再根据共轭复数和模的定义求解. 【详解】, 所以，且. 故选：B 典例2．（2025·江西新余·模拟预测）已知复数z满足，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先设复数，再根据模长得出，再结合两点间距离公式转化为圆心到点的距离减半径计算求解. 【详解】设，故； 而， 故的最小值为， 故选:C． 跟踪训练1．（2025·山东泰安·模拟预测）若复数满足，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设，根据复数代数形式的运算及复数相等的充要条件得到方程，即可求出，再计算其模. 【详解】设， 则左边， 右边，， ，解得，， 故. 故选：A. 跟踪训练2．（2025·广东·模拟预测）若复数z满足，那么的最大值是（    ） A．1 B． C．2 D． 【答案】B 【分析】利用复数模的几何意义转化复数z满足的限制条件，进而求得的最大值. 【详解】设复数、在复平面内对应的点分别为， 复数在复平面对应的点为：， 由可知：复数z在复平面内对应的点到两点的距离之和为2， 而，所以点在线段上，故， 则， 当时，的最大值为. 故选：B. 考点七 复数的三角形式 典例1．（2025·海南·模拟预测）已知复数（为虚数单位），则等于（   ） A．1 B． C． D． 【答案】C 【分析】根据复数的三角形式的运算法则，准确运算，即可求解. 【详解】因为复数， 根据复数的运算法则，可得. 故选：C. 跟踪训练1．棣莫弗公式（为虚数单位）是由法国数学家棣莫弗（1667－1754）发现的，根据棣莫弗公式可知，已知复数，则的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用棣莫弗公式及三角函数的特殊值，结合三角函数的诱导公式即可求解. 【详解】依题意知，， 由棣莫弗公式，得， 所以. 故选：C. 考点八 欧拉公式 典例1．（2025·陕西·模拟预测）欧拉公式（其中为虚数单位）是由瑞士数学家欧拉发现的．若复数，则在复平面内对应的点位于（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】C 【分析】根据欧拉公式写出复数的代数形式，再由复数的除法运算，进而确定对应点，即可得答案. 【详解】由题可得， 所以 所以在复平面内对应的点为，位于第三象限， 故选：C 跟踪训练1．欧拉公式建立起了复数、三角函数和指数函数的桥梁，在解析几何中具有重大意义，在复变函数论中占有重要的地位．根据欧拉公式，以下命题正确的个数是（    ） 命题1：                   命题2： 命题3：的共轭复数为          命题4：为实数 A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】利用欧拉公式，分别代入计算并根据复数的相关概念可得命题2和命题3正确，可得结论. 【详解】易知，因此命题1错误； ，即可得，所以命题2正确， 又，所以的共轭复数为，即命题3正确； 显然，为纯虚数，即命题4错误； 因此正确的个数为2个. 故选：B 考点九 复数多选题综合探究 典例1．（2025·江苏南通·模拟预测）设为复数，则（    ） A． B． C． D． 【答案】AD 【分析】设，，根据复数的乘法及复数模的定义计算判断A，取特殊值判断B，根据复数的加减法运算及模与共轭的概念运算判断C，根据复数的模及共轭运算判断D. 【详解】设，. 对于A选项，， 所以， ，A对； 对于B选项，取，，则， ，则，即，B错； 对于C选项，，， ，， ，所以C错误； 对于D选项，， ，， 所以，故D正确. 故选：AD 典例2．（2025·江西·三模）在复数范围内关于x的实系数一元二次方程的两根为，，其中，则下列选项正确的是（） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】根据实系数一元二次方程中韦达定理可求出判断A，再由韦达定理判断B，根据复数的乘法运算判断C，再由复数除法及周求判断D． 【详解】对于A，因为且实系数一元二次方程的两根为， 所以，可得，因为，故A正确； 对于B，又，所以，故B错误； 对于C，，故C正确； 对于D，，所以，故D正确． 故选：ACD 跟踪训练1．（2025·湖北黄冈·三模）已知复数，下列等式恒成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】AD 【分析】设出，，，结合共轭复数及模长定义与复数运算法则逐项判断. 【详解】设，，且，则，，； 对A：， ，故A正确；` 对B：， ` ， 所以不能恒成立，B错误. 对C：， ，故C错误； 对D： ，故，故D正确. 故选：AD. 跟踪训练2．（2025·广东茂名·二模）已知为关于的方程在复数范围内的一个根，则（   ） A． B． C．为纯虚数 D．为关于的方程的另一个根 【答案】ABD 【分析】根据复数乘法、除法运算法则及模长公式，可确定AC选项，再利用复数范围内的求根公式可知复数是方程的根，则也是方程的根可确定D选项，再利用韦达定理确定B选项. 【详解】对A，，，故A正确； 对C，，故C错误； 对D，又为关于的方程，所以也是方程的根，故D正确； 对B，，故B正确； 故选：ABD 单选题 1．（2025·重庆·三模）已知为虚数单位，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据复数的除法运算法则求出，再求模即可. 【详解】因为， 所以. 故选：B. 2．（2025·河南·模拟预测）已知复数满足，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据复数的除法运算计算即可得解. 【详解】，则. 故选：A. 3．（2025·湖北武汉·模拟预测）已知复数，则（   ） A． B． C．3 D．4 【答案】A 【分析】先求，代入后，再利用复数模的公式求解即可. 【详解】因为复数，所以 所以， 故选：A. 4．（2025·吉林长春·模拟预测）（    ） A．－i B．i C．1+i D．－1+i 【答案】B 【分析】由可将分式化为，再按复数的除法法则进行运算即可. 【详解】. 故选：B 5．（2025·江苏宿迁·模拟预测）在复平面内，复数满足(i为虚数单位)，则=（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用复数的除法法则求得复数，可求. 【详解】由，可得， 所以. 故选：A. 6．（2025·黑龙江大庆·模拟预测）若复数满足，则的虚部为（   ） A． B． C．1 D． 【答案】A 【分析】先计算等号右边模长，再由复数的乘法运算和虚部的概念求解可得. 【详解】，所以，则，即， 所以的虚部为. 故选：A. 7．（2025·河北秦皇岛·一模）已知复数在复平面内对应的点为，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据模长公式即可求解. 【详解】由题意可知，故， 故选：A 8．（2025·全国·模拟预测）已知复数，其共轭复数为，则（   ） A．2 B． C． D．1 【答案】B 【分析】利用共轭复数的模相等，利用复数的除法法则计算即可. 【详解】． 故选：B． 9．（2025·重庆九龙坡·三模）已知复数 ，则 （   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先求复数的共轭复数，利用复数的乘法运算即可求解. 【详解】由题意有，所以， 故选：C. 10．（2025·湖北·模拟预测）复数在复平面内对应的点在第二象限，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】将复数化简，再根据复平面内第二象限点的特征列出不等式组，进而求解的取值范围. 【详解】 因为复数在复平面内的对应的点在第二象限， 所以.， 解得，即的取值范围是. 故选：B. 一、单选题 11．（2025·河北秦皇岛·模拟预测）若复数为纯虚数，i为虚数单位，则的虚部为（    ） A．1 B． C． D． 【答案】A 【分析】利用除法运算求出，根据复数的类型求出参数的值后可求. 【详解】由题意得，是纯虚数， 所以，，所以，所以，所以，则的虚部为1. 故选：A. 12．（2025·河南·模拟预测）在复平面内，复数z对应的点与对应的点关于实轴对称，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先化简复数，再利用复数的几何意义求解. 【详解】， 所以． 故选：B 13．（2025·云南·模拟预测）在复平面内，复数与复数对应的点关于实轴对称，则（   ） A．1 B． C． D．2 【答案】B 【分析】首先根据复平面内关于实轴对称的点的坐标特征求出复数，然后再根据复数模的计算公式求出. 【详解】，其在复平面内对应的点为. 因为复数与复数对应的点关于实轴对称，在平面直角坐标系中，关于实轴对称的点横坐标不变，纵坐标互为相反数.所以对应的点为，那么复数. 由，其中，，将其代入模的计算公式可得： . 故选：B. 14．（2025·广西南宁·模拟预测）已知i为虚数单位，复数，复数z的共轭复数为，则的虚部为（   ） A． B．3 C． D． 【答案】A 【分析】方法一、设代入化简，即可求得复数z； 方法二、利用为实数可得，即可得出的虚部. 【详解】方法一、设，， 所以， ，，所以的虚部为， 故选：A． 方法二、，得，则有， 所以的虚部为， 故选：A． 15．（24-25高一下·云南大理·阶段练习）若是关于的方程的一个根，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用韦达定理可得答案. 【详解】由题意可得关于的方程的另一个根为， 则，解得． 故选：D. 16．（2025·浙江绍兴·二模）已知虚数数列，则其前4n项和为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据数列通项得到、、，观察法有，最后应用等比数列的前n项和即可得. 【详解】由题设，，，，则， ，，，，则， ，，，，则， ，，，，则， ， 依次类推，， 所以其前4n项和为. 故选：B. 17．（2025·安徽安庆·模拟预测）若复数z满足（为虚数单位），则的最大值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】根据复数的几何意义判断可得出结果. 【详解】设，若满足，即， 所以，即， 则点在以为圆心，1为半径的圆上，易知原点在圆外， 又圆心到坐标原点的距离为，所以的最大值为， 故选： C． 18．（2025·安徽六安·模拟预测）已知复数,，并且，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据复数相等的充要条件消去可将用表示，根据三角函数的有界性结合二次函数的单调性即可得出结果. 【详解】∵，∴，化为， ∴， ∵， ∴当时，取得最小值；当时，取得最大值7， ∴， ∴的取值范围是， 故选：B. 二、多选题 19．（2025·河南·一模）已知为复数，则下列说法正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D． 【答案】AD 【分析】根据复数的概念及运算可得. 【详解】对于A，设，当时，， 得，得，即，故A正确； 对于B，令，可知，故B错误； 对于C，令， 可知，故C错误； 对于D，，故D正确. 故选：AD 20．（24-25高一下·河南郑州·期末）设，在复平面内z对应的点为Z，则下列结论中满足条件的点Z的集合对应的图形正确的是（    ）． A．若，则点Z的集合是圆 B．若，则点Z的集合是两个圆所夹的圆环（包括边界） C．若，则点Z的集合是y轴所在的直线 D．若，则点Z的集合是一、三象限角平分线 【答案】ABC 【分析】根据各项复数模的关系式，确定对应点轨迹，即可得. 【详解】A：表示以原点为圆心，1为半径的圆，对； B：表示以原点为圆心，半径分别为1、2的两个圆所成圆环（含边界），对； C：表示到两点距离相等的点，即为轴所在直线，对； D：表示到两点距离相等的点，即为二、四象限的角平分线，错. 故选：ABC 一、单选题 21．（2025·全国二卷·高考真题）已知，则（   ） A． B． C． D．1 【答案】A 【分析】由复数除法即可求解. 【详解】因为，所以. 故选：A. 22．（2025·北京·高考真题）已知复数z满足，则（   ） A． B． C．4 D．8 【答案】B 【分析】先求出复数，再根据复数模的公式即可求出． 【详解】由可得，，所以， 故选：B. 23．（2025·全国一卷·高考真题）的虚部为（   ） A． B．0 C．1 D．6 【答案】C 【分析】根据复数代数形式的运算法则以及虚部的定义即可求出. 【详解】因为，所以其虚部为1， 故选：C. 24．（2024·北京·高考真题）已知，则（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】直接根据复数乘法即可得到答案. 【详解】由题意得. 故选：C. 25．（2024·全国甲卷·高考真题）设，则（    ） A． B． C． D．2 【答案】D 【分析】先根据共轭复数的定义写出，然后根据复数的乘法计算. 【详解】依题意得，，故. 故选：D 26．（2024·全国甲卷·高考真题）若，则（    ） A． B． C．10 D． 【答案】A 【分析】结合共轭复数与复数的基本运算直接求解. 【详解】由，则. 故选：A 27．（2024·新课标Ⅱ卷·高考真题）已知，则（    ） A．0 B．1 C． D．2 【答案】C 【分析】由复数模的计算公式直接计算即可. 【详解】若，则. 故选：C. 28．（2024·新课标Ⅰ卷·高考真题）若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由复数四则运算法则直接运算即可求解. 【详解】因为，所以. 故选：C. 29．（2023·北京·高考真题）在复平面内，复数对应的点的坐标是，则的共轭复数（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据复数的几何意义先求出复数，然后利用共轭复数的定义计算. 【详解】在复平面对应的点是，根据复数的几何意义，， 由共轭复数的定义可知，. 故选：D 30．（2023·全国乙卷·高考真题）（    ） A．1 B．2 C． D．5 【答案】C 【分析】由题意首先化简，然后计算其模即可. 【详解】由题意可得， 则. 故选：C. 31．（2023·全国甲卷·高考真题）（    ） A． B．1 C． D． 【答案】C 【分析】利用复数的四则运算求解即可. 【详解】 故选：C. 32．（2023·全国甲卷·高考真题）设，则（    ） A．-1 B．0    C．1 D．2 【答案】C 【分析】根据复数的代数运算以及复数相等即可解出． 【详解】因为， 所以，解得：． 故选：C. 33．（2023·全国乙卷·高考真题）设，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题意首先计算复数的值，然后利用共轭复数的定义确定其共轭复数即可. 【详解】由题意可得， 则. 故选：B. 34．（2023·新课标Ⅰ卷·高考真题）已知，则（    ） A． B． C．0 D．1 【答案】A 【分析】根据复数的除法运算求出，再由共轭复数的概念得到，从而解出． 【详解】因为，所以，即． 故选：A． 35．（2023·新课标Ⅱ卷·高考真题）在复平面内，对应的点位于（    ）． A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】A 【分析】根据复数的乘法结合复数的几何意义分析判断. 【详解】因为， 则所求复数对应的点为，位于第一象限. 故选：A. 二、填空题 36．（2025·天津·高考真题）已知i是虚数单位，则 ． 【答案】 【分析】先由复数除法运算化简，再由复数模长公式即可计算求解. 【详解】先由题得，所以. 故答案为： 37．（2025·上海·高考真题）已知复数z满足，则的最小值是 ． 【答案】 【分析】先设，利用复数的乘方运算及概念确定，再根据复数的几何意义数形结合计算即可. 【详解】设， 由题意可知，则， 又，由复数的几何意义知在复平面内对应的点在单位圆内部（含边界）的坐标轴上运动，如图所示即线段上运动， 设，则，由图象可知， 所以. 故答案为： 38．（2024·上海·高考真题）已知虚数，其实部为1，且，则实数为 ． 【答案】2 【分析】设且，直接根据复数的除法运算，再根据复数分类即可得到答案. 【详解】设，且. 则， ，，解得， 故答案为：2. 39．（2024·天津·高考真题）是虚数单位，复数 ． 【答案】 【分析】借助复数的乘法运算法则计算即可得. 【详解】. 故答案为：. 40．（2023·上海·高考真题）已知当，则 ； 【答案】 【分析】直接根据复数的乘法运算以及复数模的定义即可得到答案. 【详解】，. 故答案为：. 41．（2023·天津·高考真题）已知是虚数单位，化简的结果为 ． 【答案】/ 【分析】由题意利用复数的运算法则，分子分母同时乘以，然后计算其运算结果即可. 【详解】由题意可得. 故答案为：. 2 / 11 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第04讲 复数 目录 考情探究 2 知识梳理 3 探究核心考点 5 考点一 复数的四则运算 5 考点二 求复数的实部与虚部 6 考点三 复数相等 6 考点四 复数的分类及纯虚数概念考查 7 考点五 复数的几何意义 7 考点六 复数的模长及与模相关的轨迹问题 8 考点七 复数的三角形式 8 考点八 欧拉公式 9 考点九 复数多选题综合探究 9 三阶突破训练 10 基础过关 10 能力提升 11 真题感知 12 一、5年真题考点分布 5年考情 考题示例 考点分析 关联考点 2025年全国一卷，第1题,5分 求复数的实部与虚部 复数代数形式的乘法运算 无 2025年全国二卷，第2题,5分 复数的除法运算 无 2024年新I卷，第2题，5分 复数的四则运算 无 2024年新Ⅱ卷，第1题，5分 复数的模 无 2023年新I卷，第2题，5分 复数的四则运算、共轭复数 无 2023年新Ⅱ卷，第1题，5分 复数的四则运算、复数的几何意义 无 2022年新I卷，第2题，5分 复数的四则运算、共轭复数 无 2022年新Ⅱ卷，第2题，5分 复数的四则运算 无 2021年新I卷，第2题，5分 复数的四则运算、共轭复数 无 2021年新Ⅱ卷，第1题，5分 复数的四则运算、复数的几何意义 无 二、命题规律及备考策略 【命题规律】本节内容是新高考的必考内容，设题稳定，难度较低，分值为5分 【备考策略】1.理解、掌握复数的代数形式，能够掌握数集分类及复数分类，需要关注复数的实部、虚部、及纯虚数 2.能正确计算复数的四则运算及模长等问题，理解并掌握共轭复数 3.熟练掌握复数的几何意义即复数与复平面上点的对应关系 【命题预测】本节内容是新高考卷的必考内容，一般考查复数的四则运算、共轭复数、模长运算、几何意义，题型较为简单。 知识点1 复数的定义 复数：一般地，当a与b都是实数时，称为 ，复数一般用小写字母z表示，即，其中a称为z的 ，b称为z的 . 任意一个复数都由它的实部与虚部唯一确定。 知识点2 虚数单位与周期 i叫做虚数单位，规定 ；虚数单位可以与实数进行 特别地， ， ， ，其中． 知识点3 复数的分类 对于复数， 复数，为实数 ；为虚数 ；为纯虚数 ；为非纯虚数数 ． 即复数 知识点4 复数相等 如果，，，都是实数，那么 ．特别地，当，都是实数时， 的充要条件是且． 知识点5 共轭复数及其性质 如果两个复数的实部 ，而虚部 时，则称这两个复数互为共轭复数．复数z的共轭复数用表示，即如果，那么 ． 共轭复数的性质 设的共轭复数为，则 （1） ． （2）． （3）． 知识点6 复平面及复数的几何意义 复平面： 叫做复平面，这里的轴叫做 ，轴叫做 . 注意：（1）表示实数的点都在实轴上，表示纯虚数的点都在虚轴上，原点表示实数0. （2）每一个复数，在复平面内有唯一的点和它对应；反过来，复平面内的每一个点，都有唯一的一个复数和它对应，即复数集中的元素和复平面内所有的点所组成的集合是一一对应的. 复平面上两点P，Q关于轴对称它们所对应的复数相互 ． 知识点7 复数的向量表示 复平面内的点表示复数（a、），连接，向量由点Z唯一确定；反过来，点Z也可以由向量唯一确定.这样，复数集中的元素和复平面上以原点为起始点的向量也是 对应的（实数0与零向量对应）. 知识点8 复数的模 复数（a、）在复平面上所对应的点到原点的距离 叫做复数z的模（或绝对值），记作，由模的定义可知 . 复数的模与该复数所对应的向量的模是 的，复数的模为该复数在复平面上所对应点到 的距离. 知识点9 复数的加、减、乘、除运算法则 设， ，则 （1）加法： ． （2）减法： ． （3）乘法： ． （4）除法：． 知识点10 复数乘法的运算律 （1）对任意复数，，，有 交换律 结合律 乘法对加法的分配律 （2）个相同的复数相乘时，仍称为的次方（或次幂），并记作，即 ．可以验证，当，均为正整数时， ， ， ． 知识点11 复数的三角形式 定义：任何一个复数都可以表示成 的形式．其中，是复数的模；是以轴的非负半轴为始边，向量所在射线（射线OZ）为终边的角，叫做复数的 ． 叫做复数的三角表示式，简称三角形式． 乘法运算法则 设，，则 ． 这就是说，两个复数相乘，积的模等于各复数的模的 ，积的辐角等于各复数的辐角的 ． 除法运算法则 设，，且，则 ． 这就是说，两个复数相除，商的模等于被除数的模除以除数的模所得的 ，商的辐角等于被除数的辐角减去除数的辐角所得的 ． 知识点12 一元二次方程的根及韦达定理 实系数一元二次方程（a、b、，）中的为根的判别式，那么 （1）方程有两个不相等的实根； （2）方程有两个相等的实根（二重根）； （3）方程有一对共轭虚根． 在（3）的情况下，方程的根与系数的关系（韦达定理）仍然成立，即 ． 考点一 复数的四则运算 典例1．（2025·浙江宁波·模拟预测）若，则（   ） A． B． C． D． 典例2．（2025·湖南娄底·模拟预测）若复数满足，则（    ） A． B． C． D． 跟踪训练1．（2025·海南儋州·模拟预测）（   ） A． B． C． D． 跟踪训练2．（2025·浙江杭州·模拟预测）设为虚数单位，若复数，则（   ） A． B． C． D． 考点二 求复数的实部与虚部 典例1．（2025·广西柳州·模拟预测）复数的虚部为（   ） A． B． C． D． 典例2．（2025·河北·模拟预测）设，则的实部和虚部分别为（    ） A．1， B．1， C．， D．1，3 跟踪训练1．（2025·江西新余·模拟预测）若，则的虚部为（   ） A． B． C． D． 跟踪训练2．（2025·内蒙古包头·模拟预测）已知复数满足（i为虚数单位），则的实部与虚部和为（   ） A．0 B． C． D．2 考点三 复数相等 典例1．（2025·内蒙古包头·模拟预测）已知复数满足（i为虚数单位），则的实部与虚部和为（   ） A．0 B． C． D．2 典例2．（2025·湖北荆州·模拟预测）已知，且，则（    ） A． B． C． D． 跟踪训练1．（2025·湖南·三模）若（a，，i为虚数单位），则的值为（    ） A．2 B．1 C． D． 跟踪训练2．（2025·安徽·模拟预测）若复数，实数满足，则（    ） A． B． C．1 D．4 考点四 复数的分类及纯虚数概念考查 典例1．（2025·江西吉安·模拟预测）已知复数为纯虚数，（为虚数单位），则（    ） A．0 B． C． D． 典例2．（2025·湖南娄底·模拟预测）设，则“”是“复数为实数”的（    ） A．充分必要条件 B．必要不充分条件 C．充分不必要条件 D．既不充分也不必要条件 跟踪训练1．（2025·湖南·一模）若复数为实数，则实数a等于（   ） A． B． C．1 D．2 跟踪训练2．（2025·黑龙江哈尔滨·三模）已知为纯虚数，其中i为虚数单位，则实数（   ） A． B．2 C．1 D． 考点五 复数的几何意义 典例1．（2025·广东东莞·模拟预测）已知复数满足，则复数在复平面对应的点位于（　　） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 典例2．（2025·海南海口·模拟预测）若复数在复平面内对应的点在第四象限，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 跟踪训练1．（2025·河南·三模）已知复数，在复平面内对应的点分别为A，B，则“A在第二象限”是“B在第三象限”的（    ） A．充要条件 B．必要不充分条件 C．充分不必要条件 D．既不充分也不必要条件 跟踪训练2．（2025·河北秦皇岛·模拟预测）已知复数满足（为虚数单位），则复数在复平面上不可能位于（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 考点六 复数的模长及与模相关的轨迹问题 典例1．（2025·江苏泰州·模拟预测）若，其中i是虚数单位，则复数z的共轭复数的模为（   ） A． B．2 C． D．4 典例2．（2025·江西新余·模拟预测）已知复数z满足，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 跟踪训练1．（2025·山东泰安·模拟预测）若复数满足，则（    ） A． B． C． D． 跟踪训练2．（2025·广东·模拟预测）若复数z满足，那么的最大值是（    ） A．1 B． C．2 D． 考点七 复数的三角形式 典例1．（2025·海南·模拟预测）已知复数（为虚数单位），则等于（   ） A．1 B． C． D． 跟踪训练1．棣莫弗公式（为虚数单位）是由法国数学家棣莫弗（1667－1754）发现的，根据棣莫弗公式可知，已知复数，则的值是（    ） A． B． C． D． 考点八 欧拉公式 典例1．（2025·陕西·模拟预测）欧拉公式（其中为虚数单位）是由瑞士数学家欧拉发现的．若复数，则在复平面内对应的点位于（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 跟踪训练1．欧拉公式建立起了复数、三角函数和指数函数的桥梁，在解析几何中具有重大意义，在复变函数论中占有重要的地位．根据欧拉公式，以下命题正确的个数是（    ） 命题1：                   命题2： 命题3：的共轭复数为          命题4：为实数 A．1 B．2 C．3 D．4 考点九 复数多选题综合探究 典例1．（2025·江苏南通·模拟预测）设为复数，则（    ） A． B． C． D． 典例2．（2025·江西·三模）在复数范围内关于x的实系数一元二次方程的两根为，，其中，则下列选项正确的是（） A． B． C． D． 跟踪训练1．（2025·湖北黄冈·三模）已知复数，下列等式恒成立的是（   ） A． B． C． D． 跟踪训练2．（2025·广东茂名·二模）已知为关于的方程在复数范围内的一个根，则（   ） A． B． C．为纯虚数 D．为关于的方程的另一个根 单选题 1．（2025·重庆·三模）已知为虚数单位，则（    ） A． B． C． D． 2．（2025·河南·模拟预测）已知复数满足，则（   ） A． B． C． D． 3．（2025·湖北武汉·模拟预测）已知复数，则（   ） A． B． C．3 D．4 4．（2025·吉林长春·模拟预测）（    ） A．－i B．i C．1+i D．－1+i 5．（2025·江苏宿迁·模拟预测）在复平面内，复数满足(i为虚数单位)，则=（ ） A． B． C． D． 6．（2025·黑龙江大庆·模拟预测）若复数满足，则的虚部为（   ） A． B． C．1 D． 7．（2025·河北秦皇岛·一模）已知复数在复平面内对应的点为，若，则（    ） A． B． C． D． 8．（2025·全国·模拟预测）已知复数，其共轭复数为，则（   ） A．2 B． C． D．1 9．（2025·重庆九龙坡·三模）已知复数 ，则 （   ） A． B． C． D． 10．（2025·湖北·模拟预测）复数在复平面内对应的点在第二象限，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 一、单选题 11．（2025·河北秦皇岛·模拟预测）若复数为纯虚数，i为虚数单位，则的虚部为（    ） A．1 B． C． D． 12．（2025·河南·模拟预测）在复平面内，复数z对应的点与对应的点关于实轴对称，则（   ） A． B． C． D． 13．（2025·云南·模拟预测）在复平面内，复数与复数对应的点关于实轴对称，则（   ） A．1 B． C． D．2 14．（2025·广西南宁·模拟预测）已知i为虚数单位，复数，复数z的共轭复数为，则的虚部为（   ） A． B．3 C． D． 15．（24-25高一下·云南大理·阶段练习）若是关于的方程的一个根，则（    ） A． B． C． D． 16．（2025·浙江绍兴·二模）已知虚数数列，则其前4n项和为（    ） A． B． C． D． 17．（2025·安徽安庆·模拟预测）若复数z满足（为虚数单位），则的最大值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 18．（2025·安徽六安·模拟预测）已知复数,，并且，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 二、多选题 19．（2025·河南·一模）已知为复数，则下列说法正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D． 20．（24-25高一下·河南郑州·期末）设，在复平面内z对应的点为Z，则下列结论中满足条件的点Z的集合对应的图形正确的是（    ）． A．若，则点Z的集合是圆 B．若，则点Z的集合是两个圆所夹的圆环（包括边界） C．若，则点Z的集合是y轴所在的直线 D．若，则点Z的集合是一、三象限角平分线 一、单选题 21．（2025·全国二卷·高考真题）已知，则（   ） A． B． C． D．1 22．（2025·北京·高考真题）已知复数z满足，则（   ） A． B． C．4 D．8 23．（2025·全国一卷·高考真题）的虚部为（   ） A． B．0 C．1 D．6 24．（2024·北京·高考真题）已知，则（    ）． A． B． C． D． 25．（2024·全国甲卷·高考真题）设，则（    ） A． B． C． D．2 26．（2024·全国甲卷·高考真题）若，则（    ） A． B． C．10 D． 27．（2024·新课标Ⅱ卷·高考真题）已知，则（    ） A．0 B．1 C． D．2 28．（2024·新课标Ⅰ卷·高考真题）若，则（    ） A． B． C． D． 29．（2023·北京·高考真题）在复平面内，复数对应的点的坐标是，则的共轭复数（    ） A． B． C． D． 30．（2023·全国乙卷·高考真题）（    ） A．1 B．2 C． D．5 31．（2023·全国甲卷·高考真题）（    ） A． B．1 C． D． 32．（2023·全国甲卷·高考真题）设，则（    ） A．-1 B．0    C．1 D．2 33．（2023·全国乙卷·高考真题）设，则（    ） A． B． C． D． 34．（2023·新课标Ⅰ卷·高考真题）已知，则（    ） A． B． C．0 D．1 35．（2023·新课标Ⅱ卷·高考真题）在复平面内，对应的点位于（    ）． A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 二、填空题 36．（2025·天津·高考真题）已知i是虚数单位，则 ． 37．（2025·上海·高考真题）已知复数z满足，则的最小值是 ． 38．（2024·上海·高考真题）已知虚数，其实部为1，且，则实数为 ． 39．（2024·天津·高考真题）是虚数单位，复数 ． 40．（2023·上海·高考真题）已知当，则 ； 41．（2023·天津·高考真题）已知是虚数单位，化简的结果为 ． 2 / 11 学科网（北京）股份有限公司 $$