第五章 平面向量与复数（高效培优综合训练）（全国通用）2026年高考数学一轮复习高效培优系列

第五章 平面向量与复数（高效培优综合训练）（全国通用） （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知复数，则复数的共轭复数为（   ） A． B． C． D． 2．已知向量，，若与平行，则实数的值为（   ） A． B． C． D． 3．已知向量，则向量在向量上的投影向量为（    ） A． B．2 C． D． 4．已知向量在向量上的投影向量为，且，则的值为（   ） A． B． C． D． 5．在平行四边形中，是的中点，与交于点，则（    ） A． B． C． D． 6．，，命题，命题与夹角为钝角，则是的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 7．如图，边长为的等边，动点在以为直径的半圆上.若，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 8．如图，在中，分别为的中点，为上一点，且满足，则（    ） A． B．1 C． D． 2、 选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．设，均为模是1的复数，则（    ） A． B． C． D．的最大值为5 10．已知非零向量，则下列结论正确的是（    ） A．若，则 B．若则 C．若，则 D．向量与向量垂直 11．已知向量，，满足，，，，则（   ） A． B．的最大值为 C．的最小值为 D．的最大值为 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．已知复数在复平面内对应的点位于第四象限，则实数m的取值范围是 ． 13．已知，，且，则 ． 14．已知中，点，分别是知的重心和外心，且，，则边的长为 . 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分） 已知复数，，其中i为虚数单位，且满足，且为纯虚数. (1)若复数，在复平面内对应点在第一象限，求复数z； (2)求； (3)若在（1）中条件下的复数z是关于x的方程的一个根，求实数m，n的值. 16．（15分） 已知平面向量，且与的夹角等于与的夹角. (1)求的值； (2)设，且，若在方向上的投影向量为，求的值. 17．（15分） 如图，扇形的面积为，且. (1)求. (2)若，且，求，的值. (3)在弧上是否存在点（不与重合），使得.若存在，求的值；若不存在，请说出理由. 18．（17分） 如图，等腰中，为边的中点，为边上靠近点三等分点，为线段的一点，且过点的直线与边分别交于点，已知，. (1)求的值； (2)若，求的值. 19．（17分） 定义向量，. (1)求； (2)若与共线，求； (3)证明：当且仅当时，对任意恒成立. 2 / 11 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第五章 平面向量与复数（高效培优综合训练）（全国通用） （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知复数，则复数的共轭复数为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用复数的乘方、乘法运算求出，进而求出其共轭复数. 【详解】，则， 所以. 故选：A 2．已知向量，，若与平行，则实数的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据向量共线的坐标关系即可求解. 【详解】，， 根据与平行，可得，解得. 故选：A 3．已知向量，则向量在向量上的投影向量为（    ） A． B．2 C． D． 【答案】D 【分析】求得未知向量的坐标，根据投影向量的计算公式，可得答案. 【详解】由，则， 所以向量在向量上的投影向量. 故选：D. 4．已知向量在向量上的投影向量为，且，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设向量与向量的夹角为，根据投影向量的定义求出的值，然后利用平面向量数量积的运算性质可求得的值. 【详解】设向量与向量的夹角为，因为， 所以向量在向量上的投影向量为，则， 所以 . 故选：D. 5．在平行四边形中，是的中点，与交于点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用相似三角形的性质以及向量的加法运算来表示即可. 【详解】因为在平行四边形中，，所以， 因为是的中点，所以，即，， 根据向量的加法法则，， 故选：B. 6．，，命题，命题与夹角为钝角，则是的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】设两向量的夹角为，根据计算出的取值范围即可求解. 【详解】设、夹角为，， 若，则有，则， 则有，所以与夹角为钝角或平角， 所以是的必要不充分条件. 故选：B 7．如图，边长为的等边，动点在以为直径的半圆上.若，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】建立平面直角坐标系，可得半圆弧的方程为：，设，根据向量的坐标运算法则算出关于的式子，利用三角换元与正弦函数的性质求解即可． 【详解】由题意，以所在直线为轴，的垂直平分线为轴，建立平面直角坐标系，如图所示： 结合已知得，，， 半圆弧的方程为：， 设，则，，， 由得：， 解得：， 所以， 因为在上，所以， 又， 则可设，，， 将，代入整理得： 由得， 所以，， 故的取值范围是. 故选：D. 8．如图，在中，分别为的中点，为上一点，且满足，则（    ） A． B．1 C． D． 【答案】B 【分析】过点作，用表示线段长，结合给定图形借助向量加法、数量积的运算律及定义计算即得. 【详解】过点作于，令，由，得， ，由分别为的中点，得，， 所以. 故选：B 2、 选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．设，均为模是1的复数，则（    ） A． B． C． D．的最大值为5 【答案】BC 【分析】根据题设，复数和均为模是1的复数，意味着它们在复平面上表示的点位于单位圆上，利用这一性质，可以对各选项进行分析，从而找出正确的选项． 【详解】对于A，设，，则，，故A错误； 对于B，，故B正确； 对于C，设，， 则， 所以，， ，所以，故C正确； 对于D，的几何意义为复平面内以为圆心的单位圆上的点到的距离， 因为圆心到点的距离为5，则最大值为6，故D错误． 故选：BC． 10．已知非零向量，则下列结论正确的是（    ） A．若，则 B．若则 C．若，则 D．向量与向量垂直 【答案】ABD 【分析】对A，根据条件，利用数乘向量的定义得到，即可判断；对B，根据条件，利用数量积的运算律及模的定义，即可判断；对C，根据条件，利用数量积的定义，得到，即可判断；对D，根据条件，结合数量积的运算律，得到，即可求解. 【详解】对于A，因为为非零向量，若，则，故，故A正确； 对于B，若， 则，故，故В正确； 对于C，若，则， 得到，不能确定，故C错误； 对于D，， 所以，故D正确. 故选：ABD. 11．已知向量，，满足，，，，则（   ） A． B．的最大值为 C．的最小值为 D．的最大值为 【答案】BC 【分析】根据向量的模长及夹角，不妨设，，，通过，可求出是以原点为起点，终点在以为圆心，为半径的圆上的向量.根据向量模长的坐标运算可判断项；根据圆上一点到圆上一点距离的最大值为直径可判断项，根据圆内一点到圆上一点距离的范围为可判断，项. 【详解】根据题意不妨设，，， 则， ，所以， 化简得，记为圆，即是以原点为起点，终点在以为圆心，为半径的圆上的向量. 对于，，所以，故错误； 对于，表示原点到圆上一点的距离， 因为原点在圆上，所以的最大值为圆的直径，即，故正确； 对于，，表示点到圆上一点的距离， 因为点在圆内，所以的最小值为, 的最大值为，故正确，错误. 故选：. 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．已知复数在复平面内对应的点位于第四象限，则实数m的取值范围是 ． 【答案】 【分析】整理得到不等式组，解出即可. 【详解】由于， 故点位于第四象限，因此，解得， 即的取值范围是. 故答案为：. 13．已知，，且，则 ． 【答案】 【分析】通过向量垂直的条件得出等式，再利用向量模长和数量积的关系求解即可. 【详解】由题意得，，即， 又、，，即， 解得． 故答案为：. 14．已知中，点，分别是知的重心和外心，且，，则边的长为 . 【答案】 【分析】延长交于点，过点作于点，作于点.将用表示，根据向量数量积的几何意义化简已知式，推得，再由利用向量数量积的运算律求得，最后利用和已得结论求即可. 【详解】 如图，延长交于点，过点作于点，作于点. 因点，分别是知的重心和外心，则，, 则，则 ， 即得， 又由和，可得， 整理得，解得， 因， 则， 即边的长为. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分） 已知复数，，其中i为虚数单位，且满足，且为纯虚数. (1)若复数，在复平面内对应点在第一象限，求复数z； (2)求； (3)若在（1）中条件下的复数z是关于x的方程的一个根，求实数m，n的值. 【答案】(1) (2)答案见解析 (3)， 【分析】（1）由为纯虚数，求得，再由，且在复平面内对应点在第一象限，可求得结果， （2）将分别代入计算化简即可， （3）法一：将代入化简，再利用复数相等的条件可求得实数m，n的值，法二：由题意可得和为方程的根，然后利用根与系数的关系可求得结果. 【详解】（1）因为复数，，所以， 又为纯虚数，所以， 又，所以， 又因为复数z在复平面内对应点在第一象限， 所以，故. （2）由（1）可知 当时，， 当时，. （3）法一：由（1）可知是关于x的方程的一个根， 所以把，代入得， 化简得， 即，解得：， 法二：由（1）可知是关于x的方程的一个根， 所以此方程的另一根为：，则， 解得：， 16．（15分） 已知平面向量，且与的夹角等于与的夹角. (1)求的值； (2)设，且，若在方向上的投影向量为，求的值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据向量加法坐标运算和两向量的夹角坐标公式计算参数的值； （2）先根据向量加法和数量积坐标运算得，再根据投影向量的坐标运算计算参数值； 【详解】（1）∵向量， 又∵与的夹角等于与的夹角， ∴，∴， ∴＝，解得 （2）根据(1)知，， 因为，得，解得，则， ，在方向上的投影向量为， 所以，则，解得. 17．（15分） 如图，扇形的面积为，且. (1)求. (2)若，且，求，的值. (3)在弧上是否存在点（不与重合），使得.若存在，求的值；若不存在，请说出理由. 【答案】(1) (2)， (3)存在，，理由见解析； 【分析】（1）利用扇形的面积公式即可； （2）利用向量的线性运算将化简为，即可列方程组求解； （3）以为原点建系，设，再通过关系式得出与的关系式，利用即可求得的值，再结合的范围即可. 【详解】（1）由题意可得，，则. （2）因，则，则， 因，则， 解得，. （3）设存在， 以为原点，所在直线为轴，和垂直的直线为轴，建立平面直角坐标系， 则， 设， 则由，可得，即 则， 即，得或， 因，则，则，则， 故存在，使得. 18．（17分） 如图，等腰中，为边的中点，为边上靠近点三等分点，为线段的一点，且过点的直线与边分别交于点，已知，. (1)求的值； (2)若，求的值. 【答案】(1)7 (2) 【分析】（1）利用向量共线定理以及向量的线性运算来建立等式关系，通过对比系数得到关于和的方程组，最后消去参数得出的值. （2）先根据三角形面积关系得出与的关系，再联立已知等式求解和的值，进而求出线段长度，然后利用余弦定理求出和，最后通过向量运算求出的值. 【详解】（1）因为三点共线， 所以存在使得， 又， 因为不共线，所以 两式消去得. （2）由得，所以， 由（1）得，联立解得. 所以， 在中，由余弦定理得， 所以在中，由余弦定理得， 因为为边的中点，所以， 所以. 又， 所以 . 19．（17分） 定义向量，. (1)求； (2)若与共线，求； (3)证明：当且仅当时，对任意恒成立. 【答案】(1) (2) (3)证明见解析 【分析】（1）按题目所给定义带入相应值求解； （2）根据两共线向量的坐标关系列出等式，再利用同角三角函数商的关系、二倍角的正切公式进行计算即可. （3）按题目所给定义将不等式化简为证明，当时，不等式对成立，当时方法一与方法二均为取特值说明不等式不恒成立. 【详解】（1）因为，， 所以. （2）因为与共线，所以， 因为，所以，，所以， 所以. （3）因为， ， 要证，只要证. 方法1：①当时，对成立， ②当时，取，，解得， 取，，所以，，即，， 又因为，，所以不存在使原不等式成立. 综上所述，当且仅当时，. 方法2：令，，则， ①当时，成立， ②当时，取，，，而， 所以. ③当时，取，，，而， 所以. ④当时，取，，，而，所以. 综上所述，当且仅当时，. 2 / 11 学科网（北京）股份有限公司 $$