江苏省南京市金陵中学2025-2026学年高三上学期8月月考数学试题

2026 届阶段测验 数学试卷 一、单项选择题:本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分．在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的． 1．已知集合 A ＝{x|x2＋x－a≥0} ，B ＝{x|lgx ＝0}，若 B≤A，则实数 a 的取值范围是( ) A ．(-∞ , 3] B ．(-∞ , 2] C ．[3，+∞) D ．[2，+∞) 【答案】B 【解析】由题干知 lgx ＝0，所以 x ＝1，所以 B ＝{1}，因为 B≤A，所以 1∈A， 则 1＋1－a≥0，即 a≤2，所以实数 a 的取值范围是(-∞ , 2]． 故选：B． 2．“a＞b＋2”是“ea＞eb”的( )条件． A ．充分不必要 B ．必要不充分 C ．既不充分又不必要 D ．充要 【答案】A 【解析】由指数函数的单调性得 ea＞eba＞b，由 a＞b＋2 能推出 a＞b ， 反之，由 a＞b 推不出a＞b＋2，例如 a ＝2＞b ＝1，但 a ＝2＜b＋2 ＝1＋2， 故“a＞b＋2”是“ea＞eb”的充分不必要条件． 故选：A． 3．已知向量 m ，n 满足 m＋n ＝(－2，－3) ，m－n ＝(4，－1)，则|m|2－|n|2 ＝( ) A ．5 B ．－5 C ．－11 D ．11 【答案】B 【解析】因为 m＋n ＝(－2，－3) ，m－n ＝(4，－1)， 所以 2m ＝(2，－4)，即 m ＝(1，－2) ，2n ＝(－6，－2)，即 n ＝(－3，－1)， 所以|m|2－|n|2 ＝1＋4－(9＋1)＝－5．(直接乘即可) 另解：|m|2－|n|2 ＝(m＋n)·(m－n)=－5． 故选：B． 1 学科网（北京）股份有限公司 4．已知 则 cos的值为( ) 2 学科网（北京）股份有限公司 ( 3 )C . 5 ( 4 )D . 5 【答案】B 【解析】依题意 因为知 α , β∈(0 ，)，所以 α+ β∈(0 ，π)，所以 cos(α+β)＜0 ，所以 cos(α 故选：B． 5．已知 Sn 为等差数列{an }的前 n 项和，若 a3＋S3 ＝2 ，a4＋S4 ＝6，则 S9 ＝( ) A ．28 B ．32 C ．36 D ．40 【答案】C 【解析】设等差数列{an }的公差为 d，因为 a3＋S3 ＝2 ，a4＋S4 ＝6，故两式作差可得： a4－a3＋S4－S3 ＝4 ，即 d＋a4 ＝4 ，a5 ＝4 ，又 故 S9 ＝36． 故选：C． 6． 设 a∈R，若(x2 ＋9 与(x＋),9 的二项展开式中的常数项相等，则 a 的值为( ) A ．－4 B ． －2 C ． 2 D ． 4 【答案】D 【出处】暑假作业 【解析】(x2 ＋ 9 的通项公式为 k ＝C9 (k) x18－2k·2kx－k ＝C9 (k) ·2kx18－3k， 由 18－3k＝0，得 k＝6 ，即常数项为 9 的通项公式为 Tr＋1 由 9－3r ＝0 ，得 r ＝3 ，即常数项为 T3＋1 = C9 (3) ·a3 ＝84a3 ．因为两个二项展开式中的常数项相等，所以 84a3 ＝84×64，所以 a3 ＝64，即 a ＝4，故选 D． 7． 若点A 在直线y＝x 上，点 B 在曲线y ＝ln x 上，则 AB 的最小值为( ) B ． 1 C ． D ． 2 【出处】暑假作业 【解析】设平行于直线y＝x 的直线y＝x＋b 与曲线y ＝ln x 相切，则两平行线间的距离即 为 AB 的最小值．设直线y＝x＋b 与曲线y ＝ln x 的切点为(m ，ln m)，则由切点也在直线y =x＋b 上，得 ln m ＝m＋b，由切线斜率等于切点处的导数值可得 联立解得 m = 1 ，b＝－ 1，由平行线间的距离公式可得AB 的最小值为 ． 8．双曲线 b＞0)的左、右焦点分别为 F1 ，F2 ，以右焦点 F2 为焦点的抛物 线y2 ＝2px(p＞0)与双曲线交于第一象限的点 P，若|PF1 |＋|PF2 | ＝3|F1F2|，则双曲线的离心 率的值为( ) A ．2 B ．5 C． D． 【答案】A 【解析】根据题意可设 F2( ，0)，双曲线的半焦距为 c ，P(x0，y0)，则 p ＝2c， 过 F1 作 x 轴的垂线 l，过 P 作 l 的垂线，垂足为 A，显然直线AF1 为抛物线的准线， 则|PA| ＝|PF2 |， 由双曲线的定义及已知条件可知 ||PF (PF)1 (1)|| ||PF (PF)2 (2)|| 6c (2a)，则 |PF1 | ＝3c＋a |PF2 | ＝3c－a ＝|PA|， 由勾股定理可知|AF1 |2＝y0 (2) ＝|PF1 |2－|PA|2 ＝12ac， 易知 所以 x0 ＝3a ，即 整理得 2c2－3ac－2a2 ＝0 ＝(2c＋a)(c－2a)，所以 c ＝2a，即离心率为 2． 故选： 【答案】A 3 学科网（北京）股份有限公司 二、多项选择题:本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分．在每小题给出的选项中，有多项符 合题目要求，全部选对的得 6 分，有选错的得 0 分，部分选对的得部分分． 9．已知 a＜b＜0＜c，下列不等式正确的是( ) A ． B ．a2＜c2 C ．2a＜2c D ．logc(－a)＜logc(－b) 【答案】AC 【解析】对于选项A：因为 a＜b＜0 ，可得 故 A 正确； 对于选项 B：例如 a＝－ 1 ，c ＝1 满足 a＜b＜0＜c，但 a2 ＝c2 ＝1，故 B 错误； 对于选项 C：因为y ＝2x 在 R 上单调递增，且 a＜c，所以 2a＜2c，故 C 正确； 对于选项 D：例如 a＝－2 ，b＝－ 1 ，c ＝2 满足 a＜b＜0＜c， 但 logc(－a) ＝log22 ＝1 ，logc(－b) ＝log21 ＝0，即 logc(－a)＞logc(－b)，故 D 错误； 故选：AC． 10． 已知函数f(x) ＝2cos(ωx+φ)的部分图象如图所示，则( ) A．f(x)的最小正周期为π 在 上单调递增 C．f(x)的图象可由 g(x) ＝2sin2x 的图象向左平移个单位长度得到 D ．函数 的最小值为- 【答案】ABD 【解析】由图可得：A ＝2， 4 学科网（北京）股份有限公司 又因为 所以 T= π , 又 所以 ω =2 ，所以y ＝2cos 将代入y ＝2cos得 即 即 所以 对于A ，最小正周期 故正确； 对于 B，令 2kπ-π≤2x- ≤2kπ , k∈Z，解得 kπ- ≤x≤kπ+ , k∈Z， 可得f(x)的单调递增区间为[kπ- , kπ+] ，k∈Z，当 k＝0 时，单调递增区间为[- , ]，故 B 正确； 对于 C，函数y ＝2sin2x 的图象向左平移个单位长度，所得到的函数解析式为：y ＝2sin2(x + ) ＝2sin(2x＋) ＝2cos(2x＋)≠f(x)，故 C 不正确； 对于 令 t ＝cosx＋sinx = ·、sin(x＋)∈[- ·、i2 ，·、i2]，所以 F(x) = ·、i2(cosx＋sinx)＋4sinxcosx = ·、i2t+ 故最小值为－ ，D 正确， 故选：ABD 11．若 a＞1 ，b＞1，且 a(lnb＋2) ＝(b＋1)(lna＋1)，则( ) A ．a＞b B ．a＜b C ．a2＞b D ．a2＜b 【答案】BC 【解析】令y ＝lnx＋1－x 且 x＞1，则 y'＝－1 ＝＜0 恒成立， 所以y ＝lnx＋1－x 在(1，+∞)上单调递减，则y＜ln1＋1－1 ＝0，即 lnx＋1＜x(x＞1)， 5 学科网（北京）股份有限公司 因为 ＝且 a＞1 ，b＞1， 所以 设 所以f在单调递减， 由·、＜a＜b，则 b＞a＞＞，所以 b2＞a2＞b＞a． 故选：BC 三、填空题:本大题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分． 12．小张连续 9 天去快递店拿快递的个数依次为 3 ，1 ，5 ，2 ，3 ，4 ，1 ，4 ，6.若从这组数 据中随机删除 1 个数后，得到一组新数据，则这组新数据的中位数与原数据的中位数相等 的概率为________． 【答案】 【解析】将这组数据按照从小到大的顺序排列为 1 ，1 ，2 ，3 ，3 ，4 ，4 ，5 ，6，则这组数 据的中位数为 3， 若删除的数字是 4 或 5 或 6，所得新数据的中位数也是 3， 若删除的数字是 1 或 2 或 3，所得新数据的中位数是 3.5， 故所求概率为． 13． 已知三棱锥 D－ABC 的体积为 2 ，△ABC 是等腰直角三角形，其斜边AC＝2，且三棱 锥 D－ABC 的外接球的球心 O 恰好是AD 的中点，则球 O 的体积为________． 【答案】 【出处】暑假作业 【解析】取 AC 的中点 E，连接 OE，因为 O 为 AD 的中点，所以 OE∥CD ．因为AC 为等腰 直角三角形 ABC 的斜边，所以点 E 为△ABC 外接圆圆心，且 O 为三棱锥 D ABC 外接球 的球心，所以 OE⊥平面 ABC，所以 CD⊥平面ABC．因为△ABC 是等腰直角三角形，且 AC 6 学科网（北京）股份有限公司 =2，所以AB＝BC= ·、i2 ，则△ABC 的面积为 S△ 所以 S△ 所以 CD ＝6 ，所以 则球 O 的半径 为 因此球 O 的体积为 π . 14．已知 8a－8b ＝2，则 2a－b 的最小值为 ． 【答案】1 【解析】令 t ＝8a ＝2＋8b ，t＞2，则 a ＝log8t，b ＝log8(t－2)， 所以 当且仅当 ，即 t ＝4 时等号成立．[或令 z ＝t－2，则 所以 即 故 2a－b 的最小值为 1． 故答案为：1 四、解答题:本大题共 5 小题，共 77 分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15．在一次购物活动中，假设某 10 张券中有一等奖券 1 张，可获价值 50 元的奖品；有二 等奖券 3 张，每张可获价值 10 元的奖品；其余 6 张没有奖．某顾客从这 10 张中任取 2 张，求： (1)该顾客中奖的概率； (2)该顾客获得的奖品总价值X(单位：元)的期望． 即顾客中奖的概率为；........................................... 5 分 (2)X 的可能取值为 0 ，10 ，20 ，50 ，60， 分 则 ． ................................................... 13 分 7 学科网（北京）股份有限公司 16．已知数列{an }满足 a1 ＝3 ，a2 ＝5，且 2an＋2 ＝3an＋1－an ，n∈N*． (1)设 bn ＝an＋1－an ，求证：数列{bn }是等比数列； (2)若数列{an }满足 an≤m(n∈N*)，求实数 m 的取值范围． 解：(1)因为 2an＋2 ＝3an＋1－an， 所以 2(an＋2－an＋1) ＝3an＋1－an ，即 2bn＋1 ＝bn ， 3 分 又 b1 ＝a2－a1 ＝2≠0，所以 bn≠0， 所以，所以数列{bn }是首项为 2，公比为的等比数列． ......................................... 6 分 由知 当 n≥2 时， an ＝(an－an－1)＋(an－1－an－2)+ … +(a2－a1)＋a1 ＝2×[()n－1＋()n－2+ … +()0]＋3 分 又 a1 ＝3 满足上式，所以 分 所以 an＜7． 由 an≤m(n∈N*)得 m≥7， 所以实数 m 的取值范围为[7，+∞) ． 15 分 8 学科网（北京）股份有限公司 17．如图，在四棱锥 P－ABCD 中，平面 PAD⊥平面ABCD ，PA＝PD＝AD ＝2AB ＝2， <BAD ＝60° , O 为AD 的中点，AB∥平面 POC． (1)证明：PC⊥BD； (2)若 BD＝BC，求二面角 B－PC－D 的正弦值． 【解析】(1)因为<BAD ＝60° ,所以 BD =·\ = ·\， 因为AB2＋BD2＝AD2 ，所以 AB⊥BD． 因为AB//平面 POC，ABC平面ABCD，且平面 POC∩平面 ABCD ＝OC， 所以AB//OC，所以 OC⊥BD ． 3 分 因为 O 为 AD 的中点，PA＝PD＝AD，所以 PO⊥AD， 又因为平面 PAD⊥平面 ABCD，平面 PAD∩平面ABCD＝AD，POC平面 PAD， 所以 PO⊥平面 ABCD ， 5 分 又 BDC平面 ABCD，所以 PO⊥BD， 又 OC∩OP ＝O ，OC，OPC平面 POC，所以 BD⊥平面 POC， PCC平面 POC，所以 BD⊥PC． 7 分 (2)连接 OB ，Rt△ABD 中，O 为AD 的中点，则 OB ＝OD， 又 OC⊥BD，所以<BOC＝<DOC， OC 为公共边，得△BOC△DOC，则 BC ＝CD，则△BCD 是等边三角形， 由(1)知<ADB ＝30° ,则<ADC＝<ADB＋<BDC＝90° ,即 CD⊥AD ． ... 9 分 (方法一)以O 为坐标原点，垂直于 OD 的直线为 x 轴，OD ，OP 所在直线分别为y 轴、x 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则 P(0 ，0 ，) ，D(0 ，1 ，0) ，B(，－ ，0) ， C( ，1 ，0) ，C ＝(、 ，1 ，- ·、i3) ， ，0) ，C ＝( ，0 ，0) ． 11 分 设平面 PBC 的法向量为 n ＝(x，y ，z)， 则 即 令y＝－1 ，则 设平面 PCD 的法向量为 m ＝(a ，b ，c)， 9 学科网（北京）股份有限公司 则 即 i3a＋c ＝0 ，令 c ＝1，则 m ＝(0 ，i3 ，1)． |cos<n ，m>| ＝＝，故二面角 B－PC－D 的正弦值为 ．..................................... 15 分 (方法二)易得 PB＝PD ＝2，又 BC＝CD ，PC 为公共边，则△PBC△PDC，又 CD⊥AD， 所以 CD⊥平面 PAD，则 CD⊥PD，易得 PC = ·\ ． 11 分 在直角△PDC 中，作 DE⊥PC，垂足为 E，连接 BE，易知BE⊥PC， 则∠DEB 为二面角B－PC－D 的平面角． 在直角△PDC 中，由等面积法易求得 则在△BDE 中， 故二面角 B－PC－D 的正弦值为 ． 15 分 18．已知椭圆 过点 M 离心率为 ．不过原点的直线 l：y = kx＋m 交椭圆 C 于 A ，B 两点，记直线 MA 的斜率为 k1 ，直线 MB 的斜率为 k2，且 k1k2 = 1 4． (1)求椭圆 C 的方程； (2)证明：直线 l 的斜率 k 为定值； (3)求△MAB 面积的最大值． 【解析】(1)依题意 解得 a2 ＝8 ，b2 ＝2， 所以椭圆的标准方程为 3 分 (2)设直线 l 方程为y ＝kx＋m ，m≠0，A(x1，y1) ，B(x2，y2)， 10 学科网（北京）股份有限公司 [|y ＝kx＋m ( |l 8 ＋ 2 ＝ 1 ， )由{x2 y2 得(4k2＋1)x2＋8kmx＋4m2－8 ＝0 Δ = 16(8k2＋2－m2)＞0 ，x1＋x2 ＝，x1x2＝ ， 6 分 y1－1 y2－1 (kx1＋m－1)(kx2＋m－1) k1k2＝x1－2 ·x2－2 ＝ (x1－2)(x2－2) ( k 2 x 1 x 2 ＋ k ( m － 1)( x 1 ＋ x 2 ) ＋ ( m － 1) 2 4 k 2 ＋ 1 4 k 2 ＋ 1 = = )k2 ·4m2－8＋k(m－1) · -8km＋(m－1)2 ( x 1 x 2 － 2( x 1 ＋ x 2 ) ＋ 4 4 m 2 － 8 16 km )4k2＋1 ＋4k2＋1＋4 -4k2＋(m－1)2 m－1－2k 1 = = = 4(m2－1＋4mk＋4k2) 4(m＋1＋2k) 4， 解得 k＝－ ． 10 分 (3)由(2)得y＝－ x＋m ，m≠0，x2－2mx＋2m2－4 ＝0， Δ = 16－4m2＞0 ，m2＜4，－2＜m＜2 ，m≠0， |AB|＝.、i1＋k2 |x1－x2 |＝ ，h＝ ＝ (2－m)， 所以△MAB 的面积 S＝|AB|h ＝(2－m)v4－m2 ＝v(2－m)3(2＋m) ， . 13 分 f(m) ＝(2－m)3(2＋m)， f'(m)＝－3(2－m)2(2＋m)＋(2－m)3 ＝(2－m)2(－4－4m)， 令f'(m)＞0，解得－2＜m＜－1，即f(m)在(－2，－1)上单调递增， 令f'(m)＜0，解得－1＜m＜0 或 0＜m＜2，即f(m)在(－1 ，0)和(0 ，2)上单调递减， 所以当 m＝－ 1 时，取到最大值f(－1) ＝27， △MAB 的面积 Smax ＝3\ ． 17 分 19．已知函数f(x) ＝ex－ax－1 ，a∈R． (1)讨论f(x)的单调性； (2)当 x∈(0，+∞)时，f(x)≥xlnx 恒成立，求 a 的取值范围； (3)当 a ＝1 时，设 g(x)＝f(x)－x2，证明：g(x)在(0，+∞)上存在唯一的极小值点 x0 且 g(x0) 11 学科网（北京）股份有限公司 >- . 参考数据：e3≈20.09． 【解析】(1)因为f(x) ＝ex－ax－1，其中 x∈R，f'(x) ＝ex－a． ①当 a≤0 时，f'(x) ＝ex－a＞0 恒成立，f(x)的增区间为(-∞,+∞)，无减区间； 2 分 ②当 a＞0 时，令f'(x) ＝0，得 x ＝lna， 由f'(x)＜0 可得 x＜lna；由f'(x)＞0 可得 x＞lna． 此时，函数f(x)的减区间为(-∞ , lna)，增区间为(lna，+∞)． 综上所述：当 a≤0 时，f(x)的增区间为(-∞,+∞)，无减区间； 当 a＞0 时，函数f(x)的减区间为(-∞ , lna)，增区间为(lna，+∞) ． 5 分 (2)当 x∈(0，+∞)时，ex－ax－1≥xlnx 恒成立，即 恒成立． 令 0 ，................................................ 7 分 由 h'(x)＜0 可得 0＜x＜1；由 h'(x)＞0 可得 x＞1． 所以，函数 h(x)的减区间为(0 ，1)，增区间为(1，+∞)． 所以 h(x)min ＝h(1) ＝e－1，即 a≤e－1，故 a 的取值范围是(-∞ , e－1] ． 9 分 (3)当 a ＝1 时，g(x) ＝ex－x－1－x2 ，g'(x) ＝ex－2x－1， 令 m(x) ＝ex－2x－1，则 m'(x) ＝ex－2． 当 x∈(0 ，ln2)时，m'(x)＜0 ，m(x)单调递减； 当 x∈(ln2，+∞)时，m'(x)＞0 ，m(x)单调递增， ... 11 分 ( 3 )又因为 m(ln2) ＝eln2－2ln2－1 ＝1－2ln2＜0 ，m(0) ＝0 且 m() ＝e2－4＞0， 所以存在唯一的 x0∈(ln2 ，)，使得 m(x0) ＝0，即 ex0－2x0－1 ＝0．① .................................. 13 分 当 x∈(0，x0)时，m(x)＜0，即 g'(x)＜0，g(x)单调递减， 当 x∈(x0 ，+∞)时，m(x)＞0，即 g'(x)＞0 ，g(x)单调递增， 所以 x0 是 g(x)在(0，+∞)上唯一的极小值点． 15 分 则 g(x0) ＝ex0－x0－1－x0 (2)，由①可知 g(x0)＝－x0 (2)＋x0＞－()2 ＋＝－ ． 17 分 12 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2026届8月阶段测验 数学试卷 一、单项选择题:本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分．在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的． 1．已知集合 A ＝{x|x2＋x－a≥0} ，B ＝{x|lgx ＝0}，若 B≤A，则实数 a 的取值范围是( ) A ．(-∞ , 3] B ．(-∞ , 2] C ．[3，+∞) D ．[2，+∞) 2．“a＞b＋2”是“ea＞eb”的( )条件． A ．充分不必要 B ．必要不充分 C ．既不充分又不必要 D ．充要 3．已知向量 m ，n 满足 m＋n ＝(－2，－3) ，m－n ＝(4，－1)，则|m|2－|n|2 ＝( ) A ．5 B ．－5 C ．－11 D ．11 4． 已知 则 cos的值为( ) A -0.6 B -0.8 C 0.6 D 0.8 5．已知 Sn 为等差数列{an }的前 n 项和，若 a3＋S3 ＝2 ，a4＋S4 ＝6，则 S9 ＝( ) A ．28 B ．32 C ．36 D ．40 6． 设 a∈R，若(x2 ＋9 与(x＋),9 的二项展开式中的常数项相等，则 a 的值为( ) A ．－4 B ． －2 C ． 2 D ． 4 7． 若点A 在直线y＝x 上，点 B 在曲线y ＝ln x 上，则 AB 的最小值为( ) B ． 1 C ． D ． 2 8．双曲线 b＞0)的左、右焦点分别为 F1 ，F2 ，以右焦点 F2 为焦点的抛物 线y2 ＝2px(p＞0)与双曲线交于第一象限的点 P，若|PF1 |＋|PF2 | ＝3|F1F2|，则双曲线的离心 率的值为( ) A ．2 B ．5 C． D． 二、多项选择题:本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分．在每小题给出的选项中，有多项符 合题目要求，全部选对的得 6 分，有选错的得 0 分，部分选对的得部分分． 9．已知 a＜b＜0＜c，下列不等式正确的是( ) A ． B ．a2＜c2 C ．2a＜2c D ．logc(－a)＜logc(－b) 10． 已知函数f(x) ＝2cos(ωx+φ)的部分图象如图所示，则( ) A．f(x)的最小正周期为π 在 上单调递增 C．f(x)的图象可由 g(x) ＝2sin2x 的图象向左平移个单位长度得到 D ．函数 的最小值为- 11．若 a＞1 ，b＞1，且 a(lnb＋2) ＝(b＋1)(lna＋1)，则( ) A ．a＞b B ．a＜b C ．a2＞b D ．a2＜b 三、填空题:本大题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分． 12．小张连续 9 天去快递店拿快递的个数依次为 3 ，1 ，5 ，2 ，3 ，4 ，1 ，4 ，6.若从这组数 据中随机删除 1 个数后，得到一组新数据，则这组新数据的中位数与原数据的中位数相等 的概率为________． 13． 已知三棱锥 D－ABC 的体积为 2 ，△ABC 是等腰直角三角形，其斜边AC＝2，且三棱 锥 D－ABC 的外接球的球心 O 恰好是AD 的中点，则球 O 的体积为________． 14．已知 8a－8b ＝2，则 2a－b 的最小值为 ． 四、解答题:本大题共 5 小题，共 77 分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15．在一次购物活动中，假设某 10 张券中有一等奖券 1 张，可获价值 50 元的奖品；有二 等奖券 3 张，每张可获价值 10 元的奖品；其余 6 张没有奖．某顾客从这 10 张中任取 2 张，求： (1)该顾客中奖的概率； (2)该顾客获得的奖品总价值X(单位：元)的期望． 16．已知数列{an }满足 a1 ＝3 ，a2 ＝5，且 2an＋2 ＝3an＋1－an ，n∈N*． (1)设 bn ＝an＋1－an ，求证：数列{bn }是等比数列； (2)若数列{an }满足 an≤m(n∈N*)，求实数 m 的取值范围 17．如图，在四棱锥 P－ABCD 中，平面 PAD⊥平面ABCD ，PA＝PD＝AD ＝2AB ＝2， <BAD ＝60° , O 为AD 的中点，AB∥平面 POC． (1)证明：PC⊥BD； (2)若 BD＝BC，求二面角 B－PC－D 的正弦值． 18．已知椭圆 过点 M 离心率为 ．不过原点的直线 l：y = kx＋m 交椭圆 C 于 A ，B 两点，记直线 MA 的斜率为 k1 ，直线 MB 的斜率为 k2，且 k1k2 = 1 4． (1)求椭圆 C 的方程； (2)证明：直线 l 的斜率 k 为定值； (3)求△MAB 面积的最大值． 19．已知函数f(x) ＝ex－ax－1 ，a∈R． (1)讨论f(x)的单调性； (2)当 x∈(0，+∞)时，f(x)≥xlnx 恒成立，求 a 的取值范围； (3)当 a ＝1 时，设 g(x)＝f(x)－x2，证明：g(x)在(0，+∞)上存在唯一的极小值点 x0 且 g(x0) 11 学科网（北京）股份有限公司 $$