第一章《勾股定理》单元练习 -2025-2026学年北师大版八年级数学上册

第1章 勾股定理 课后综合练习（2） 考试时间:120分钟 满分150分 一、选择题（本大题共10小题，总分40分） 1．在Rt△ABC中，若∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，则AB＝（　　） A．3 B．4 C．5 D． 2．下列各组数中，以a，b，c为边的三角形不是直角三角形的是（　　） A．a＝1.5，b＝2，c＝3 B．a＝7，b＝24，c＝25 C．a＝6，b＝8，c＝10 D．a＝3，b＝4，c＝5 3．下列几组数中，勾股数有（　　） 4，5，6；8，12，15；9，15，17；10，24，26． A．1组 B．2组 C．3组 D．4组 4．如图，一架长2.5m的梯子AB靠在一竖直的墙上，这时梯子的底端A到墙根O的距离为0.7m，如果梯子的顶端B下滑0.4m至B'，那么梯子底端将滑动（　　） A．0.6m B．0.7m C．0.8m D．0.9m 5．“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲．如图所示的“赵爽弦图”由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形．直角三角形的两直角边长分别是a、b（a＞b）．如果大正方形的面积是25，且（a+b）2＝49，则小正方形的面积为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 6．如图，已知长方体的长为2cm、宽为1cm、高为4cm，一只蚂蚁如果沿长方体的表面从A点爬到B′点，最短的路程是（　　） A． B．5cm C．cm D．cm 7．如图，用面积分别为1，4和S的三个正方形围成Rt△ABC（∠ABC＝90°），则S的值为（　　） A．5 B．4 C．3 D．1 8．如图，在单位长度为1的4×4的网格中，P，A，B，C，D各点都在格点上，其中长度为5的线段是（　　） A．PA B．PB C．PC D．PD 9．已知，如图长方形ABCD中，AB＝3cm，AD＝9cm，将此长方形折叠，使点B与点D重合，折痕为EF，则△ABE的面积为（　　） A．3cm2 B．4cm2 C．6cm2 D．12cm2 10．如图，△ABC与△ACD均为直角三角形，且∠ACB＝∠CAD＝90°，AD＝2BC＝6，AB：BC＝5：3，点E是BD的中点，则AE的长为（　　） A． B． C．2 D．3 二、填空题（本大题共5小题，总分20分） 11．若Rt△ABC的两条直角边AC，BC的长分别为3，5，则斜边AB的长为　 　 ． 12．若三角形三边长之比为2：：，则这个三角形中的最大角的度数是　 　 ． 13．如图，将一根长为18cm的牙刷放置在底面直径为5cm，高为12cm的圆柱形牙刷筒中，则牙刷露在筒外的长度最小值为 　 　 cm． 14．古希腊的哲学家柏拉图曾指出，如果m表示大于1的整数，a＝2m，b＝m2﹣1，c＝m2+1，那么a，b，c为勾股数．请你利用这个结论得出一组勾股数是　 　 ． 15．如图是3世纪我国汉代的赵爽在注解《周髀算经》时给出的图案，又被称为“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形和中间一个小正方形拼成的一个大正方形，能够通过对图形的切割、拼接，巧妙地利用面积关系证明勾股定理，表现了我国古人对数学的钻研精神和聪明才智，是我国古代数学的骄傲．因此这个图案被选为2002年在北京召开的国际数学大会的会徽．现已知小正方形的面积为8，每个直角三角形的面积都比小正方形的面积小1，则每个小直角三角形的周长为　 　 ． 三、解答题（本大题共10小题，总分90分） 16．在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝2，BC＝5，求AC的长． 17．如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D，AB＝17，BD＝15，DC＝6，求AC的值． 18．如图，在3×3网格中，每个小正方形的边长都为1，△ABC的顶点均在网格的格点（网格线的交点）上． （1）填空：AC＝　 　 ，AB＝　 　 ，BC＝　 　 ． （2）△ABC是直角三角形吗？请作出判断，并说明理由． 19．一块田地的形状如图所示，已知AB＝13m，BC＝12m，CD＝3m，AD＝4m，∠ADC＝90°，求该田地的面积． 20．如图，每个小正方形的边长都为1． （1）求四边形的面积与周长； （2）试判断△BCD的形状． 21．文昌宝塔位于湖南祁阳市的湘江东岸万卷书岩上，始建于明万历元年，后被毁，清朝乾隆九年重修．砖石结构，共七级，每级共8门，台边缘堞垛翅角，并望有石龙，口含铜铃，石阶曲折，门楣及各处神龛均有浮雕．数学兴趣小组的同学们想利用测角仪（高度可忽略不计）和卷尺求文昌塔的高度．点B（塔底部中心）、C、D在同一条直线上，当测角仪放在C处时测得塔顶部A的仰角为60°，测角仪往前移动42.4米到达点D，在D处测得顶部A的仰角为30°．求文昌塔AB的高度（结果精确到0.01米，参考数据：）． 22．如图，在四边形ABCD中，∠DAB＝∠BCD＝90°，分别以四边形ABCD的四条边为边向外作四个正方形，面积分别为a，b，c，d．若a+d＝12，求b+c的值． 23．“中华人民共和国道路交通管理条例”规定：小汽车在城街路上行驶速度不得超过70km/h．如图，一辆小汽车在一条城市街路上直道行驶，某一时刻刚好行驶到路对面车速检测仪A处的正前方30m的C处，过了2s后，测得小汽车与车速检测仪间距离为50m，这辆小汽车超速了吗？（参考数据转换：1m/s＝3.6km/h） 24．如图，在△ABC中，AC＝6，BC＝8，AB＝10，D，E分别为边AB，BC上的点，连接CD，DE，AE，且满足AE垂直平分CD，垂足为F． （1）判断△ADE的形状？并说明理由； （2）求BE的长． 25．（1）如图①，四个全等的直角三角形拼成一个大正方形，中间空白部分也是正方形．已知直角三角形的两直角边长分别为a，b，斜边长为c．课堂上，老师结合图形，用不同的方式表示大正方形的面积，证明了勾股定理．请证明a2+b2＝c2． （2）现将图①中的两个直角三角形向内翻折，得到图②．若a＝6，b＝8，则空白部分的面积为　 　 ； （3）如图③，四个全等的直角三角形拼成一个大正方形，中间空白部分也是正方形，直角三角形的直角边分别是3和2.5，小贤将四个直角三角形中边长为3的直角边分别向外延长一倍，得到图③所示的“数学风车”，则这个风车的外围周长是　 　 ； （4）如图④，分别以Rt△ABC的三条边为边向外作三个正方形ABED和正方形ACHI，并将得到的图形放入矩形，点D，E，F，G，H，I都在矩形KLMJ的边上，若矩形KLMJ的面积为4，BC＝1，则△ABC的面积为　 　 ． 参考答案 一、选择题（本大题共10小题，总分40分） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C A A C A B A D C B 二、填空题（本大题共5小题，总分20分） 11．． 12．90°． 13．5． 14．4，3，5（答案不唯一）． 15．14． 三、解答题（本大题共10小题，总分90分） 16．解：在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝2，BC＝5，如图， ∴AC2＝BC2+AB2， 即AC2＝52+22， 解得：AC． 17．解：在Rt△ABD中，AD8， 在Rt△ADC中，AC10． 18．解：（1）由网格得，，，， 故答案为：，，； （2）△ABC是直角三角形，理由如下： 由（1）知，AC，AB＝2，BC， ∵，， ∴AC2+AB2＝BC2， ∴△ABC是直角三角形． 19．解：连接AC， 在Rt△ACD中，根据勾股定理，可得（m）， ∵AC2+BC2＝52+122＝169，AB2＝132＝169， ∴AC2+BC2＝AB2， ∴△ABC是直角三角形， ∴∠ACB＝90°， ∴该田地的面积＝△ABC的面积﹣△ACD的面积 AC•BCAD•CD 5×124×3 ＝30﹣6 ＝24（m2）， 答：该田地的面积是24m2． 20．解：（1）根据勾股定理得AB，AD，CD，BC2， 故四边形ABCD的周长为23， 面积为5×51×51×4﹣11×22×4＝14.5； （2）连接BD， ∵BC＝2，CD，BD5， ∴BC2+CD2＝BD2， ∴∠BCD＝90°， ∴△BCD是直角三角形． 21．解：∵∠ACB＝60°，∠ADB＝30°，CD＝42.4米， ∴∠CAD＝∠ACB﹣∠ADB＝30°， ∴∠CAD＝∠ADB， ∴AC＝CD＝42.4米， 在Rt△ABC中，∠ACB＝60°， ∴∠BAC＝30°， ∴（米）． ∴21.2×1.73＝36.676≈36.68（米）， 答：文昌塔AB的高度约为36.68米． 22．解：在四边形ABCD中，∠DAB＝∠BCD＝90°，四个正方形，面积分别为a，b，c，d．如图，连接BD， 由题意可知：a＝AB2，b＝BC2，c＝CD2，d＝AD2． 在直角△ABD和△BCD中，由勾股定理得：BD2＝AD2+AB2＝CD2+BC2， 即a+d＝b+c， ∵a+d＝12， ∴b+c＝12． 23．解：在Rt△ABC中，AC＝30m，AB＝50m； 根据勾股定理可得： （m） ∴小汽车的速度为v20（m/s）＝20×3.6（km/h）＝72（km/h）； ∵72（km/h）＞70（km/h）； ∴这辆小汽车超速行驶． 答：这辆小汽车超速了． 24．解：（1）△ADE是直角三角形， 理由：△ABC中，AC＝6，BC＝8，AB＝10， ∵62+82＝102， ∴AC2+BC2＝AB2， ∴△ABC是直角三角形，且∠ACB＝90°， ∵AE垂直平分CD， ∴AC＝AD，CE＝DE， 在△ACE和△ADE中， ， ∴△ACE≌△ADE（SSS）， ∴∠ADE＝∠ACB＝90°， ∴△ADE是直角三角形； （2）由（1）知AD＝AC＝6，CE＝DE，∠ADE＝90°， ∴BD＝AB﹣AD＝10﹣6＝4，DE＝8﹣BE，∠BDE＝90°， ∵BD2+DE2＝BE2，即42+（8﹣BE）2＝BE2， 解得BE＝5， ∴BE的长为5． 25．（1）证明：∵大的正方形的面积可以表示为（a+b）2，大的正方形的面积又可以表示为c2+4ab， ∴c2+2ab＝a2+b2+2ab， ∴a2+b2＝c2； （2）解：则空白部分的面积＝边长为c的正方形的面积﹣2个直角三角形的面积＝c2﹣2ab， ∵a＝6，b＝8， ∴空白部分的面积＝62+82﹣26×8＝52， 故答案为：52； （3）解：如图③，由题意知，外延的4部分全等，且AD＝AC＝3， ∴CD＝6， ∴BD6.5， ∴这个风车的外围周长是4×（BD+AD）＝4×（6.5+3）＝38， 故答案为：38； （4）如图，延长AB交KF于点O，延长AC交GM于点P， 则四边形AOLP是正方形， 设AB＝a， ∵∠BAC＝90°，BC＝1， ∴AC， ∴AO＝AB+AC＝a， ∴KL＝2a，LM＝2AC+AB＝2a ∴矩形KLMJ的面积＝KL•ML＝（2a）（2a）＝4， ∴a或， ∴AB或， 当AB时，AC，当AB时，AC， ∴S△ABC， 故答案为：． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $$