第十三章 三角形 课后综合练习（2）-2025-2026学年人教版八年级数学上册

第十三章 三角形 课后综合练习（2） 考试时间:120分钟 满分120分 一、选择题（本大题共10小题，总分30分） 1．适当进行有氧运动，可以增强人体的心肺功能，改善血液循环，有效降低血压、改善血糖．如图，双人漫步机是一种有氧健身器材，其中的三角形支架应用的几何原理是（　　） A．三角形的稳定性 B．两点之间，线段最短 C．两点确定一条直线 D．垂线段最短 2．将一根长度为10（单位：m）的铁丝按下面的长度剪开，剪得的三段铁丝可以首尾顺次相接围成三角形的是（　　） A．6，2，2 B．5，3，2 C．5，4，1 D．4，3，3 3．如图，△ABC，点D是边BC延长线上的点，．则∠A的度数为（　　） A．72° B．64° C．48° D．36° 4．如图，将三角尺按图示摆放，∠1＝30°，∠2＝45°，则∠3的度数是（　　） A．30° B．45° C．60° D．75° 5．如图，在△ABC中，M，N分别是边AB，BC上的点，将△BMN沿MN折叠；使点B落在点B'处，若∠B＝35°，∠BNM＝28°，则∠AMB'的度数为（　　） A．30° B．37° C．54° D．63° 6．如图，D为△ABC内一点，CD平分∠ACB，BD⊥CD，∠A＝∠ABD，若∠BCD＝36°，则∠A的度数为（　　） A．36° B．44° C．27° D．54° 7．如图，△ABC中，∠ABC＝3∠C，点D，E分别在边BC，AC上，∠EDC＝20°，∠ADE＝3∠AED，∠ABC的平分线与∠ADE的平分线交于点F，则∠F的度数是（　　） A．50° B．55° C．60° D．65° 8．为估计池塘两岸A、B间的距离，如图，小明在池塘一侧选取了一点O，测得OA＝12m，OB＝10m，那么AB的距离不可能是（　　） A．30m B．20m C．15m D．5m 9．如图，将一副三角尺按不同位置摆放，摆放方式中∠α≠∠β的图形有（　　） A． B． C． D． 10．如图，∠ABC＝∠ACB，AD、BD、CD分别平分△ABC的外角∠EAC、内角∠ABC、外角∠ACF，以下结论：①AD∥BC，②∠ACB＝∠ADB，③∠ADC+∠ABD＝90°，④∠ADB＝45°﹣∠CDB，其中正确的结论有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 二、填空题（本大题共6小题，总分18分） 11．在△ABC中，AB＝2，AC＝4，若BC的长为整数，则BC的长可能是　 　 ．（写出一个即可） 12．已知AD为△ABC的高，若BC＝10，BD＝4，则CD＝ 　 　 ． 13．如图，BD是△ABC的中线，AB＝8，BC＝5，△ABD和△BCD的周长的差是 　 　 ． 14．如图△ABC中，CD是高，CE是角平分线，∠ACB＝64°，∠A＝40°，则∠DCE的度数为 　 　 °． 15．如图，在△ABC中，AD是△ABC的高线，AE是△ABC的角平分线，∠BAC＝102°，∠C＝28°，则∠DAE的度数为　 　 °． 16．如图，将△ABC纸片沿DE折叠，使点A落在点A′处，且BA′平分∠ABC，CA′平分∠ACB，若∠BA′C＝115°，则∠1+∠2的度数为 　 　 ． 三、解答题（本大题共9小题，总分72分） 17．如图线段AD、BC交于点O，连接AB、CD，则∠A+∠B＝∠C+∠D． 18．如图，在△ABC中，∠B＝40°，AE是∠BAC的平分线，∠ACD＝120°，求∠AEC的度数． 19．用两种方法证明“三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和”． 如图，∠DAB是△ABC的一个外角． 求证：∠DAB＝∠B+∠C． 证法1：∵∠BAC+∠B+∠C＝180°，（ 　 　 ） ∠BAC+∠DAB＝180°，（ 　 　 ） ∴∠BAC+∠B+∠C＝∠BAC+∠DAB，（ 　 　 ） ∴∠DAB＝∠B+∠C．（ 　 　 ） 请把证法1的依据补充完整，并用不同的方法进行证明． 20．已知：△ABC的三边长分别为a，b，c． （1）化简：|a+b+c|﹣|a+b﹣c|+|a﹣b﹣c|﹣|﹣a﹣b+c|； （2）若a，b，c满足|b﹣c|+（a﹣c）2＝0，试判断△ABC的形状． 21．已知：如图，在△ABC中，∠A＝∠ABC，直线EF分别交△ABC的边AB、AC和CB的延长线于点D、E、F．求证：∠F+∠FEC＝2∠A． 22．如图，点P是△ABC内一点，连接BP，并延长交AC于点D． （1）试探究线段AB+BC+CA与线段2BD的大小关系； （2）试探究AB+AC与PB+PC的大小关系． 23．在△ABC中： （1）如图，若∠A＝60°，AB，AC边上的高CE，BD交于点O．求∠BOC的度数； （2）若∠A为钝角，AB，AC边上的高CE，BD所在直线交于点O，画出图形，并用量角器量一量，可知∠BAC+∠BOC＝　 　 ，用你已学过的数学知识加以说明； （3）由（1）（2）可以得到什么结论，尝试写出来． 24．如图，在△ABC中，E，G分别是AB，AC上的点，F，D是BC上的点，连接EF，AD，DG，AB∥DG，∠1+∠2＝180°． （1）求证：AD∥EF； （2）若DG是∠ADC的平分线，∠2＝140°，求∠B的度数． 25．如图，AB⊥CD，垂足为O，点P、Q分别在射线OC、OA上运动（点P、Q都不与点O重合），QE是∠AQP的平分线． （1）如图1，在点P、Q的运动过程中，若直线QE交∠DPQ的平分线于点H． ①当∠PQB＝60°时，∠PHE＝　 　 °； ②随着点P、Q分别在OC、OA的运动，∠PHE的大小是否是定值？如果是定值，请求出∠PHE的度数；如果不是定值，请说明理由； （2）如图2，若QE所在直线交∠QPC的平分线于点E时，将△EFG沿FG折叠，使点E落在四边形PFGQ内点E′的位置，猜测∠PFE′与∠QGE′之间的数量关系，并说明理由． 参考答案 一、选择题（本大题共10小题，总分30分） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 A D A D C C A A D B 二、填空题（本大题共6小题，总分18分） 11．3（答案不唯一）． 12．6或14． 13．3． 14．18． 15．11． 16．100°． 三、解答题（本大题共9小题，总分72分） 17．证明：∵∠A+∠B＝180°﹣∠AOB，∠C+∠D＝180°﹣∠COD，∠AOB＝∠COD ∴∠A+∠B＝∠C+∠D 18．解：∵∠ACD是△ABC的外角，∠B＝40°，∠ACD＝120°， ∴∠BAC＝∠ACD﹣∠B＝120°﹣40°＝80°， ∵AE是∠BAC的平分线， ∴∠BAE∠BAC80°＝40°． 又∵∠AEC是△ABE的外角， ∴∠AEC＝∠B+∠BAE＝40°+40°＝80°． 19．解：已知，∠DAB是△ABC的一个外角． 求证：∠DAB＝∠B+∠C． 证法1：∵∠BAC+∠B+∠C＝180° （三角形内角和定理）， ∠BAC+∠DAB＝180°（平角的定义）， ∴∠BAC+∠B+∠C＝∠BAC+∠DAB（等量代换）， ∴∠DAB＝∠B+∠C（等式基本性质1）． 故答案为：三角形内角和定理，等量代换，等式基本性质1． 方法2：过A作AE∥BC， ∴∠DAE＝∠C，∠B＝∠EAB， ∴∠DAB＝∠DAE+∠BAE＝∠B+∠C． 20．解：（1）∵a，b，c是△ABC的三边长， ∴根据三角形的三边关系列不等式得，a+b+c＞0，a+b﹣c＞0，a﹣b﹣c＜0，﹣a﹣b+c＜0， ∴|a+b+c|﹣|a+b﹣c|+|a﹣b﹣c|﹣|﹣a﹣b+c| ＝a+b+c﹣（a+b﹣c）﹣（a﹣b﹣c）+（﹣a﹣b+c） ＝a+b+c﹣a﹣b+c﹣a+b+c﹣a﹣b+c ＝﹣2a+4c； （2）∵a，b，c满足|b﹣c|+（a﹣c）2＝0， ∴|b﹣c|≥0，（a﹣c）2≥0， ∴根据非负数的性质得，b﹣c＝0且a﹣c＝0， 解得b＝c且a＝c，即a＝b＝c， 所以△ABC为等边三角形． 21．解：∵∠FEC＝∠A+∠ADE， ∴∠F+∠FEC＝∠F+∠A+∠ADE， ∵∠F+∠BDF＝∠ABC，∠ADE＝∠BDF， ∴∠F+∠FEC＝∠A+∠ABC， ∵∠A＝∠ABC， ∴∠F+∠FEC＝∠A+∠ABC＝2∠A． 22．解：（1）∵根据三角形三边关系可得AB+AD＞BD，BC+CD＞BD， ∴AB+AD+BC+CD＞2BD， ∴AB+BC+CA＞2BD； （2）∵根据三角形三边关系可得AB+AD＞BD，PD+CD＞PC， ∴AB+AD+PD+CD＞BD+PC， ∴AB+AC＞PB+PC． 23．解：（1）∵AB，AC边上的高CE，BD交于点O． ∴∠ADB＝∠BEC＝90°， ∵∠BAD＝60°， ∴∠ABD＝180°﹣∠ADB﹣∠BAD＝180°﹣90°﹣60°＝30°， ∴∠BOC＝∠ABD+∠BEC＝120°； （2）∠BAC+∠BOC＝180°， ∵AB，AC边上的高CE，BD所在直线交于点O， ∴∠ADB＝∠BEO＝90°， ∵∠BOC＝180°﹣∠BEO﹣∠ABD＝180°﹣90°﹣∠ABD＝90°﹣∠ABD，∠BAC＝∠BDC+∠ABD＝90°+∠ABD， ∴∠BAC+∠BOC＝90°+∠ABD+90°﹣∠ABD＝180°， 故答案为：180°； （3）由（1）（2）可以得到结论：无论∠A是锐角还是钝角，总有∠BAC+∠BOC＝180°． 24．（1）证明：∵AB∥DG， ∴∠1＝∠DAE， ∵∠1+∠2＝180°， ∴∠DAE+∠2＝180°， ∴AD∥EF； （2）解：∵AD∥EF，∠2＝140°， ∴∠DAE＝180°﹣∠2＝180°﹣140°＝40°， ∵AB∥DG， ∴∠1＝∠DAE＝40°， ∵DG是∠ADC的平分线， ∴∠ADC＝2∠1＝2×40°＝80°， ∵∠B+∠BAD＝∠ADC， ∴∠B＝∠ADC﹣∠BAD＝80°﹣40°＝40°． 25．解：（1）①∵AB⊥CD， ∴∠POQ＝90°， ∴∠PQO+∠QPO＝90°， ∵∠PQB＝60°， ∴∠QPO＝30°，∠AQP＝120°， ∵EQ平分∠AQP，PH平分∠QPO， ∴，， ∴∠H＝∠EQP﹣∠HPQ＝45°， 故答案为：45； ②∠PHE 是一个定值，∠PHE＝45°，理由如下： ∵AB⊥CD， ∴∠POQ＝90°， ∴∠PQO+∠QPO＝90°， ∴∠QPO＝90°﹣∠PQO，∠AQP＝180°﹣∠PQO， ∵EQ平分∠AQP，PH平分∠QPO， ∴，， ∴∠H＝∠EQP﹣∠HPQ＝45°； （2）∠PFE'+∠QGE'＝90°，理由如下： 如图2所示，连接EE'， ∵AB⊥CD， ∴∠POQ＝90°， ∴∠PQO+∠QPO＝90°， ∵∠CPQ+∠QPO＝180°，∠PQA+∠PQO＝180°， ∴180°﹣∠CPQ+180°﹣∠PQA＝90°， ∴∠CPQ+∠PQA＝270°， ∵QE，PE分别平分∠PQA，∠CPQ， ∴， ∴， ∴∠PEQ＝180°﹣∠EPQ﹣∠EQP＝45°， 由折叠的性质可知∠GE'F＝∠PEQ＝45°， ∵∠FEE'+∠EFE'+∠EE'F＝180°＝∠GEE'+∠EGE'+∠EE'G， ∴∠FEG+∠FE'G+∠EFE'+∠EGE'＝360°， ∴∠EFE'+∠EFE'＝270°， ∵∠EFE'+∠PFE'＝180°＝∠EGE'+∠QGE'， ∴∠PFE'+∠QGE'＝360°﹣∠EFE'﹣∠EFE'＝90°． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $$