专题08 直线与方程重点题型全归纳（压轴题8大类型专项训练）高二数学人教A版2019选择性必修第一册

专题08 直线与方程重点题型全归纳 目录（Ctrl并单击鼠标可跟踪链接） 典例详解 1 类型一、直线与线段有交点问题 1 类型二、斜率公式的应用（三点共线） 5 类型三、斜率公式的几何意义 6 类型四、两条直线平行与垂直 9 类型五、直线的截距式方程 12 类型六、直线过定点问题 15 类型七、直线的交点坐标 18 类型八、直线中点到点、点到线、线到线的距离公式 21 压轴专练 29 类型一、直线与线段有交点问题 倾斜角与斜率的关系 直线的情况 平行于轴 由左向右上升 垂直于轴 由左向右下降 的大小 的取值范围 不存在 的增减性 — 随的增大而增大 — 随的增大而减增大 一、单选题 1．（24-25高二上·黑龙江哈尔滨·期末）已知点，经过点P作直线l，若直线l与连接，两点的线段（含端点）总有公共点，则直线l的斜率k的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题意作图，利用斜率的计算公式，可得答案. 【详解】由题意作图如下： 设直线的斜率为，直线的斜率为，直线的斜率为， 由图可知， 由，，，则，， 所以. 故选：B. 2．（23-24高二上·福建厦门·期中）已知两点，，过点的直线l与线段AB（含端点）有交点，则直线l的斜率的取值范围为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】求出直线 、 的斜率后即可求直线/的斜率的范围. 【详解】如图所示： ，而， 故直线的取值范围为. 故选：A. 3．（24-25高二上·广东阳江·月考）已知点.若直线与线段相交，则的范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先求直线恒过的定点，再应用两点式求斜率，根据斜率范围求参即可. 【详解】直线恒过定点，又， 直线的斜率为，要使直线与线段有公共点，，解得. 故选：A. 4．（24-25高二上·云南曲靖·月考）已知直线：，若直线与连接，两点的线段总有公共点，则的倾斜角范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先求出直线所过定点的坐标，数形结合可求出直线的斜率的取值范围，即可得出直线的倾斜角的取值范围． 【详解】直线的方程可化为，由，可得， 所以，直线过定点， 设直线的斜率为，直线的倾斜角为，则 因为直线的斜率为，直线的斜率为， 因为直线经过点，且与线段总有公共点， 将代入方程： 可得：不成立，不在直线上， 所以，即， 因为所以或 故直线的倾斜角的取值范围是． 故选：D． 二、填空题 5．（25-26高二上·全国·课后作业）经过点作直线，若直线与连接点，的线段没有公共点，则直线的倾斜角的取值范围是 ． 【答案】 【分析】根据直线与线段无交点，应用数形结合求倾斜角的范围. 【详解】如图所示，直线与线段没有公共点，若为直线的倾斜角，    直线可从直线逆时针旋转到直线的位置，注意包含直线倾斜角为的情况， ，， 直线的区域包含倾斜角为的情况， 斜率或，从而或， 又，结合正切曲线可得． 故答案为： 类型二、斜率公式的应用（三点共线） 解决三点共线的步骤 第一步：先判断两个点的横坐标是否相等，若其中有两个点横坐标相等，那么第三点的横坐标与其相等时，三点共线；若横坐标均不相等，则继续第二步； 第二步：计算三点中任意两个点确定的直线的斜率，若斜率相等，则三点共线． 一、单选题 1．（24-25高二下·广东深圳·开学考试）若三点在同一条直线上，则实数（    ） A． B． C．2 D．4 【答案】C 【分析】由三点共线得到，再由两点表示出直线的斜率求解即可； 【详解】由题意可得，即，解得. 故选：C. 2．（24-25高二上·浙江台州·期末）台州学子黄雨婷夺得巴黎奥运会10米气步枪比赛1金1银两块奖牌后，10米气步枪射击项目引起了大家的关注.在10米气步枪比赛中，瞄准目标并不是直接用眼睛对准靶心，而是通过觇孔式瞄具来实现.这种瞄具有前后两个觇孔（觇孔的中心分别记为点），运动员需要确保靶纸上的黑色圆心（记为点）与这两个觇孔的中心对齐，以达到三圆同心的状态.若某次射击达到三圆同心，且点，点，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题意三点共线，结合两点式斜率公式，利用斜率相等列式求解即可. 【详解】由题意三点共线，设，因为，， 所以，解得，所以. 故选：B 二、填空题 3．（24-25高二上·河南周口·月考）已知，平面内三点共线，则 ． 【答案】 【分析】由求解即可. 【详解】解：因为三点共线， 所以， 又因为， 所以， 整理得：， 即， 又因为， 解得. 故答案为： 类型三、斜率公式的几何意义 利用直线的斜率的几何意义求最值（或取值范围）两点注意 1、直线的斜率反映了直线的倾斜程度，且（，是直线上横坐标不等的两点）； 2、在求形如的式子的最值时，可以将看作动点与定点所确定的直线的斜率，数形结合求出最值（或取值范围），即将代数问题转化为几何问题来处理． 一、填空题 1．若，则的取值范围为 . 【答案】 【分析】作出不等式组所表示的平面区域，设，结合斜率公式，即可求解. 【详解】作出不等式组所表示的平面区域，图中阴影部分， 设，即，表示可行域内点与原点连线的斜率， 当取点时，可得，即的最大值为； 当取点时，可得，即的最小值为， 即的取值范围是. 故答案为：. 2．（23-24高二上·广东广州·期中）已知实数x、y满足方程，当时，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】将的范围转化为线段上的点与构成的直线的斜率的范围，然后求斜率即可. 【详解】 方程，令，则，令，则， 设点，， 所以可以表示线段上的点与构成的直线的斜率， ，， 所以的取值范围为. 故答案为：. 3．（25-26高二上·全国·课后作业）已知实数满足，则的最大值为 ． 【答案】8 【分析】根据斜率的两点式确定目标式的几何意义，再应用数形结合求目标式的最大值. 【详解】由的几何意义是图象上的点与点连线的斜率． 如图所示，直线的倾斜角始终为锐角，结合正切函数在上单调递增， 当直线过点时斜率最大，将代入，得最大值为8． 故答案为：8 类型四、两条直线平行与垂直 1、对两直线平行与斜率的关系要注意以下几点 (1)成立的前提条件是： ①两条直线的斜率都存在； ②与不重合． (2)当两条直线不重合且斜率都不存在时，与的倾斜角都是，则. (3)两条不重合直线平行的判定的一般结论是： 或，斜率都不存在. 2、对两直线垂直与斜率的关系要注意以下几点 (1)成立的前提条件是：①两条直线的斜率都存在；②且. (2)两条直线中，一条直线的斜率不存在，同时另一条直线的斜率等于零，则两条直线垂直． (3)判定两条直线垂直的一般结论为： 或一条直线的斜率不存在，同时另一条直线的斜率等于零． 3、一般式方程下的平行与垂直 （1）平行与垂直的系数关系 已知直线的方程分别是（不同时为0）， （不同时为0） ①若 ②若 （2）平行与垂直的直线系方程 ①平行直线系：与直线垂直的直线方程可设为 ②垂直直线系：与直线垂直的直线方程可设为 一、单选题 1．（24-25高二下·河南南阳·期末）已知直线与直线垂直，则实数的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据直线垂直的充要条件可求解. 【详解】因为直线与直线垂直， 所以，解得. 故选：B. 2．（24-25高二下·广西南宁·期末）若，直线，直线，则“”的充分不必要条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由题可得的充要条件，据此可得答案. 【详解】因，则或. 当，，，两直线平行，满足题意； 当，，，满足题意. 则的充要条件为或. 则“”的充分不必要条件可以是，也可以是. 故选：A 3．（24-25高二上·福建龙岩·期末）若直线：与直线：平行，则实数为（   ） A．-3 B．3 C．3或-3 D．1或-1 【答案】B 【分析】由直线平行的判定，列出等式求解并验证即可； 【详解】由题意可得：， 解得：， 当时，直线：与直线：平行， 当时，直线：即，与直线：，重合，舍去， 故， 故选：B 4．（24-25高二上·湖南衡阳·期末）已知，直线，，若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由可得，进而可得，进而可得. 【详解】由可得， 化简得，解得或（舍去） 又，得， 故选：B 二、解答题 5．（24-25高二上·广东江门·期中）已知直线和点. (1)求经过点，且与直线平行的直线的方程； (2)求经过点，且与直线垂直的直线的方程： 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设所求直线的方程为，将点的坐标代入所求直线方程，求出的值，即可得出所求直线的方程； （2）设所求直线方程为，将点的坐标代入所求直线方程，求出的值，即可得出所求直线的方程. 【详解】（1）因为直线和点， 因为所求直线与直线平行，设所求直线的方程为， 将点的坐标代入所求直线的方程，可得，解得， 故所求直线的方程为. （2）因为所求直线与直线垂直，设所求直线的方程为， 将点的坐标代入所求直线的方程，可得，解得， 故所求直线的方程为. 类型五、直线的截距式方程 1、截距式方程应用的注意事项 （1）问题中涉及直线与坐标轴相交，则可考虑截距式方程，用待定系数法确定其系数即可； （2）选用截距式方程时，必须首先考虑直线能否过原点以及能否与两坐标轴垂直； （3）要注意截距式方程的逆向应用． 2、点斜式、斜截式、两点式、一般式的选择 （1）若给出直线经过一个点，经常考虑用点斜式写直线方程，需要注意的是平行于轴的直线的斜率为0，垂直于轴的直线的斜率不存在． （2）若已知直线的斜率，通常用斜截式． （3）若给出两个点，常考虑利用两点式，但要注意两点连线是否与坐标轴平行或重合． （4）若给出的条件与面积相关，一般选用截距式，也可以选用点斜式或斜截式，注意直线方程各种形式的互化． 一、单选题 1．（24-25高二上·浙江·月考）在平面直角坐标系中，直线，则直线过（   ） A．一、二、三象限 B．一、二、四象限 C．二、三、四象限 D．一、三、四象限 【答案】D 【分析】求出直线l在x轴和y轴上的截距，即可判断直线所过象限，从而得解 【详解】解：直线在x轴上截距为2，y轴上截距为－3， 所以直线l过一、三、四象限． 故选：D. 2．（24-25高二上·四川眉山·期中）已知直线在轴上的截距是轴上截距的倍，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】依题意可得，分和两种情况讨论即可，求出直线在两坐标轴上的截距，结合题意可得出关于实数的等式，解之即可. 【详解】依题意可得， 当时，直线为，此时横纵截距都等于，满足题意； 当时，将直线的方程化为截距式方程可得， 直线在轴上的截距为，在轴上截距， 则，得或（舍去）. 综上所述，的值为或． 故选：C. 3．（24-25高二下·湖南·月考）已知直线经过点，与两坐标轴的正半轴分别交于、两点，为坐标原点，则的面积的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】不妨设直线分别交、轴于点、，则，，可得出直线的截距式方程为，结合已知条件可得出，利用基本不等式可求得面积的最小值. 【详解】不妨设直线分别交、轴于点、，则，， 所以，直线的截距式方程为，因为点在直线上，则， 由基本不等式可得，可得，则， 当且仅当时，即当时，等号成立， 故的面积的最小值为. 故选：C. 二、填空题 4．（24-25高二上·江苏淮安·期中）已知直线l过点，且与两条坐标轴的正半轴围成一个等腰直角三角形，则直线l的方程为 ． 【答案】 【分析】设出截距式方程，代入已知点坐标求解． 【详解】由题意设直线方程为，且， 又直线过点，则，， 所以直线方程为，即． 故答案为：． 5．（24-25高二上·上海·月考）过点，且在x轴、y轴上的截距互为相反数的直线方程为 ． 【答案】和 【分析】根据截距是否为0，由待定系数法即可求解. 【详解】当在x轴、y轴上的截距为0时，设直线方程为，代入，可得 ，故，此时直线方程为， 当截距均不为0时，设直线方程为，将代入可得，解得， 故直线方程为，即， 综上可得满足条件的直线方程有：和， 故答案为：和 类型六、直线过定点问题 直线方程过定点问题常用的三种方法 （1）直接法：将方程化为点斜式，其中为参数，求得直线恒过定点． （2）分离参数法（方程法）：将方程变形，把作为参数的系数，即有参数的放在一起，没参数的放在一起，因为此式子对任意的参数的值都成立，故需系数为零，解方程组可得的值，即直线过的定点的坐标． （3）赋值法（特殊法）：因为参数取任意实数，所以给参数任取两次值，得到关于的二元一次方程组，解方程组可得的值，即为直线过的定点的坐标． 一、单选题 1．（25-26高二上·全国·课后作业）不论为何实数，直线过定点（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】法一：直线方程可化为，解方程组即可求解； 法二：直线方程可化为，解方程组即可求解. 【详解】法一：直线方程可化为， 令，解得，即定点坐标为. 法二：直线方程可化为， 则，解得，即定点坐标为. 故选：B. 2．（25-26高二上·全国·课前预习）已知直线恒过点P，则过点P并与直线垂直的直线方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据恒过定点化简直线方程求出，再根据垂直关系求出所求直线的斜率，列点斜式方程化简即可. 【详解】由，得， 直线恒过点． 因为的斜率为， 所以所求直线的斜率为，其方程为，即， 故选：A． 3．已知直线过定点，直线过定点与的交点为，则面积的最大值为(   ) A． B． C．5 D．10 【答案】C 【分析】先求定点，然后判断两个直线的位置关系，然后计算面积，利用基本不等式判断即可. 【详解】由题可知，,直线， 所以,， 所以， 所以的面积为， 当且仅当时等号成立. 故选：C 二、填空题 4．（24-25高二上·福建泉州·月考）当点到直线的距离最大时，此时的直线方程为 . 【答案】 【分析】确定直线过定点，再结合结合直线垂直的斜率公式，即可求解. 【详解】 可得：， 令可得：， 所以直线过定点， 当时，两点间的距离即为最大值， 又,所以， 所以直线方程为，即. 故答案为： 5．（24-25高二上·湖南常德·月考）已知直线，当变化时，点到直线的距离的取值范围是 . 【答案】 【分析】求出直线所过定点，分析出距离的最值，结合斜率存在，得到取值范围. 【详解】由题意知直线过定点，且不与轴垂直， 当直线经过点时，，点到直线的距离最小为0， 当过点的直线垂直于x轴时，点到该直线的距离最大，最大值为3， 如图： 由于的斜率存在，故点到直线的距离小于3， 即点到直线的距离的取值范围是. 故答案为： 类型七、直线的交点坐标 过两条直线交点的直线系方程 设两条不平行的直线方程分别为（不同时为0），（不同时为0），则我们将直线方程（其中为参数，且）称为经过直线与交点的直线系方程．当时，此方程即为直线的方程；当时，此方程即为直线的方程． 一、单选题 1．若既是的中点，又是直线与直线的交点，则线段AB的垂直平分线的方程是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】首先根据条件求，再根据两点确定一条直线，求直线方程，根据垂直关系，即可求中垂线方程. 【详解】由条件可知，，， 且，两式相加得， 即，得， 点是直线和的交点，所以， 所以点满足直线，即直线方程为， ，与直线垂直的直线方程的斜率为， 所以中垂线方程为，整理为. 故选：A 二、填空题 2．（23-24高二上·湖北武汉·月考）过两直线和的交点且过原点的直线方程为 ． 【答案】 【分析】根据直线相交设所求直线为，结合直线过原点求参数，即可得方程. 【详解】令所求直线为， 又直线过原点，则， 所以所求直线为. 故答案为： 3．（23-24高二上·上海·期末）已知直线，，，三条直线围成，则当面积取得最大时的值为 . 【答案】1 【分析】首先判断直线和的定点，判断的形状，再求直线与直线的交点，利用点到直线的距离表示边长，再求解三角形的面积，并利用基本不等式求最值. 【详解】直线，即，恒过定点， 直线，即，也恒过定点， 所以直线与相交于定点， 由，解得，可知直线与直线相交于点， 又因为直线与直线相互垂直，所以是为直角的直角三角形， 因为点到的距离， 点到,的距离， 所以的面积， 时，的面积不可能取到最大值； 时，，当且仅当时，等号成立． 因此，当时，的面积有最大值． 故答案为：1 三、解答题 4．已知直线，直线过与的交点且过点，求的方程． 【答案】 【分析】点坐标代入方程可得答案. 【详解】由题意可设的方程为． 因为过点， 所以，解得， 所以的方程为， 即． 类型八、直线中点到点、点到线、线到线的距离公式 1、平面上两点间的距离公式的应用 平面内两点，间的距离公式为：. 【注意】公式中和位置没有先后之分，也可以表示为：． （1）已知所求点的相关信息及该点到某点的距离满足某些条件时，设出所求点的坐标，利用两点间距离公式建立关于所求点的坐标的方程或方程组求解． （2）利用两点间距离公式可以判断三角形的形状．从三边长入手，如果有边长相等，则可能是等腰或等边三角形；如果满足勾股定理，则是直角三角形． 2、点到直线距离公式的应用 点到直线的距离 （1）求点到直线的距离时，若给出的直线方程不是一般式，只需把直线方程化为一般式，直接应用点到直线的距离公式求解即可． （2）若已知点到直线的距离求参数或直线方程时，只需根据点到直线的距离公式列方程求解参数即可． （3）点到直线的距离是直线上的点与直线外一点求的连线的最短距离，某些距离的最值问题可以转化为点到直线的距离问题来求解． （4）因为角平分线上任意一点到角两边的距离相等，因此可用点到直线的距离公式解决有关角平分线的问题． 3、 平行线间距离公式的应用 两条平行直线，， 它们之间的距离为： 【注意】在使用公式时，两直线方程为一般式，且和的系数对应相等． （1）两条平行直线间的距离公式是由在一条直线上任取一点到另一条直线的距离推导出来的，所以求平行直线间的距离的方法有两种，一种是直接利用推导出的公式求解，另一种是在其中一条直线上取一个特殊的点，转化点到直线的距离求解． （2）如果两条平行直线的方程用斜截式方程表示为，，那么两条平行直线间的距离． 一、单选题 1．（2025高二·全国·专题练习）到直线的距离为1的直线方程为（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【分析】设出直线方程，根据点到直线距离公式得到方程，求出答案. 【详解】设所求直线方程为．由题意知，解得或， 即所求直线方程为或． 故选：D． 2．（25-26高二上·全国·单元测试）已知，两点到直线l：的距离相等，则a的值为（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】法一：由点线距离公式列方程求参数值；法二：两点到直线的距离相等，则直线与两定点所在直线平行，或直线过以两定点为端点的线段的中点，列方程求参数值. 【详解】法一：因为点，到直线l：的距离相等， 所以，即， 化简得，解得或； 法二：若，由，，得直线AB的斜率为，又直线l的斜率为，故； 若在两侧，线段AB的中点，代入直线l：，得，则． 经检验，或均符合题意. 故选：C 3．（25-26高二上·全国·课前预习）已知直线和的交点为，则点到直线的距离的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】联立直线方程求得点的坐标，对的取值分情况讨论，并结合点到直线的距离公式，进而求得点到直线的距离的取值范围. 【详解】联立，解得，即点的坐标为， 点到直线的距离， 当时，， 当时，，恒有，于是， 综上，点到直线的距离的取值范围是. 故选：C. 4．函数的最小值为（   ） A．5 B． C． D． 【答案】B 【分析】由，则可以看作是x轴上的动点分别与两点，的距离之和，结合图形分析即可求解. 【详解】由题可得的定义域为，又，所以可以看作是x轴上的动点分别与两点，的距离之和，如图，点关于x轴对称的点为，则当与，三点共线时，距离之和最小，则． 故选：B 5．（25-26高二上·全国·单元测试）若动点，分别在直线与上移动，则的中点到原点的距离的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据动点满足的关系式，结合中点公式可得中点满足的方程，利用点到直线的距离求解. 【详解】设的中点的坐标为，则有， 又，分别在直线与上， ∴联立得，两式相加得， ∴，即， 即的中点在直线上移动， ∴到原点距离的最小值即原点到直线的距离． 故选：A. 二、填空题 6．（2025高二上·全国·专题练习）已知直线l经过点，且原点到直线l的距离等于2，则直线l的方程为 ． 【答案】或 【分析】本题利用定点到定直线的距离为求直线方程，只需待定系数法列出等式进行求解. 【详解】当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为，符合原点到直线l的距离等于2； 当直线l的斜率存在时，设所求直线l的方程为，即， 由， 得，即直线l的方程为． 综上，直线l的方程为或． 7．（25-26高二上·全国·课后作业）已知的三个顶点，，，则的形状为 ． 【答案】等腰直角 【分析】解法一：先利用两点距离距离公式求出，，，再根据边长关系得，且，即可得是等腰直角三角形． 解法二：结合两点斜率公式及判断，利用两点距离公式求得，即可得是等腰直角三角形． 解法三：利用向量坐标运算判断和，即可得是等腰直角三角形． 【详解】方法一：如图， 因为，，，所以，且， 所以是等腰直角三角形． 解法二：因为，，所以， 所以． 又，， 所以，所以是等腰直角三角形． 解法三：，， 则，且， 所以且，所以是等腰直角三角形． 故答案为：等腰直角 8．（25-26高二上·全国·期中）若两条平行直线：与：之间的距离是，则直线在x轴上的截距为 ． 【答案】或13 【分析】由两直线平行可得n，再利用平行直线间的距离公式计算可得m，即可得到答案． 【详解】由题意，，因为，所以，解得，所以：，即， 由两平行直线间的距离公式得，解得或． 在中，令，得，故直线在x轴上的截距为或13. 故答案为：或13. 9．两平行线，分别过点与．设与之间距离是，求的取值范围为 ． 【答案】 【分析】由过定点的两条平行直线可得，极限思想可得出其最小要大于重合时的距离，最大时为与直线垂直时. 【详解】由极限思想可得，两直线的距离， 而当平行线，与直线垂直时，两平行线的距离最大，即， 所以，． 故答案为： 10．（24-25高二下·上海·期中）已知直线经过点，且与轴、轴分别交于点、点，当取最小值时，直线的方程为 ． 【答案】或， 【分析】表达出，得到，，由基本不等式得到的最小值，得到，即可得到直线方程. 【详解】因为直线与轴、轴分别交于点、点， 所以直线的斜率存在，可设直线的方程为， 所以，，所以，， 所以， 当且仅当时取等号，此时， 此时直线的方程为或， 故答案为：或， 11．已知，，则的最小值为 . 【答案】 【分析】利用平面上两点间线段最短和两点间距离公式的几何意义即可求解. 【详解】 . 记点、点、点和点， 因为，， 所以的几何意义为：表示正方形内的点到点、点、点和点四点的距离之和. 因为的几何意义为：正方形内的点到点和点的距离之和. 所以当点在线段（不包含点和点）上时，点到点和点的距离之和最小，即取得最小值，为. 因为的几何意义为：正方形内的点到点和点的距离之和. 所以当点在线段（不包含点和点）上时，点到点和点的距离之和最小，即取得最小值，为. 综上可得：当点是线段与的交点时，和同时取得最小值，均为. 所以的最小值为. 故答案为：. 三、解答题 12．（25-26高二上·全国·课后作业）设直线，，其中实数，满足． (1)证明直线与相交； (2)证明直线与的交点到原点的距离为定值． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）借助反证法证明即可得； （2）联立两直线可解出交点坐标，再借助两点间距离公式计算即可得证. 【详解】（1）假设直线与不相交，则直线与平行或重合，有， 又，得，此时无实数解，从而，即直线与相交； （2）设直线与的交点为点， 解方程组，得，则点， 设原点为， 则， 即直线与的交点到原点的距离为定值1． 一、单选题 1．（24-25高二上·福建莆田·期末）已知三点，，在同一条直线上，则的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据给定的条件，利用列式计算即得. 【详解】由，，三点共线，得，即，解得． 故选：B 2．（23-24高二下·上海·月考）已知直线的方程是，则对任意的实数，直线一定经过（    ）. A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】A 【分析】首先求直线所过定点，再判断选项. 【详解】， ，得，定点在第一象限，则直线一定经过第一象限 故选：A 3．（24-25高二下·湖南株洲·开学考试）已知直线与直线，则“”是“”（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 【答案】A 【分析】当时，可得出，当时，得到或，再利用充分条件与必要条件的判断方法，即可求解. 【详解】当时，，，此时，所以可以推出， 若，由，解得或， 当，，，显然有，所以推不出， 所以“”是“”的充分不必要条件， 故选：A. 4．（24-25高二上·广东惠州·期中）已知点，过点的直线与线段（含端点）有公共点，则直线的斜率的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】求出，再结合图形求出斜率的取值范围即可. 【详解】解：因为P，， 所以， 因为直线与线段AB（含端点）有公共点， 则或 故直线的斜率的范围为. 故选：D. 5．（24-25高二上·陕西西安·月考）过点作直线，若直线与连接，两点的线段总有公共点，则直线的倾斜角范围为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题知直线的斜率，再根据斜率范围求解倾斜角的范围即可. 【详解】   设直线的倾斜角为，， 当直线的斜率不存在时，，符合， 当直线的斜率存在时，设直线的斜率为， 因为点， ，，则，， 因为直线经过点，且与线段总有公共点，所以， 因为，又，所以， 所以直线的倾斜角范围为. 故选：B. 6．（23-24高二上·江苏盐城·月考）图1是中国古代建筑中的举架结构，是桁，相邻桁的水平距离称为步，垂直距离称为举，图2是某古代建筑屋顶截面的示意图.其中是举，是相等的步，相邻桁的举步之比分别为.已知，且直线的斜率为0.9，则（    ）    A．1.1 B．1.0 C．0.9 D．0.8 【答案】A 【分析】不妨设，根据以及斜率公式，建立方程，可得答案. 【详解】因为，所以， 不妨设，则． 由题意，知，即． 解得． 故选：A． 7．（24-25高二上·山东临沂·期中）点到直线的距离最大时，其最大值以及此时的直线的方程分别为（      ） A．； B．； C．； D．； 【答案】B 【分析】求出直线所过的定点，再确定最大值条件即可求解. 【详解】将直线变形得， 由，解得，因此直线过定点， 当时，点到直线的距离最大， 最大值为，又直线的斜率， 所以直线的方程为，即. 故选：B 8．（24-25高二上·山西大同·期中）已知实数满足， ， 则的最小值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】根据题意，结合两平行直线距离公式，代入计算，即可得到结果. 【详解】由题意可得，是直线上的点， 是直线上的点，则两直线平行， 的最小值是平行直线之间的距离的平方， 可得最小值为. 故选：D 9．（25-26高二上·全国·单元测试）已知直线与直线，在上任取一点，在上任取一点，连接AB，取AB的靠近点的四等分点，过点作的平行线，则与之间的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】方法1，由题可得与平行，则与之间的距离为与之间距离的，据此可得答案；方法2，注意到A，B 的选取对直线方程无影响，为此取，可得方程，据此可得答案. 【详解】方法1，直线的方程可化为，又，故直线与平行． 如图，过A作于点，交直线于点，则为所求直线与的距离． 因为，，所以．    方法2，由方法1，直线与平行，则A，B 的选取对直线方程无影响， 不妨设，因为为AB上靠近点的四等分点，则， 设，则. 设直线的方程为，将点的坐标代入，得， 则，故直线与之间的距离． 故选：B 10．已知、，则的最小值是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】记点、、、，，可得出，数形结合可得出所求代数式的最小值. 【详解】记点、、、，，如下图所示： 易知四边形是边长为的正方形， 所以，，，， 所以， 当且仅当点在线段上时，等号成立， ， 当且仅当点在线段上时，等号成立， 所以 ， 当且仅当点为线段、的交点时，等号成立， 故的最小值为. 故选：C. 二、多选题 11．（24-25高二上·全国·课后作业）直线经过点，在轴上的截距的取值范围是，则其斜率的取值范围可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】BD 【分析】根据题意，分别求得直线过点以及点的斜率，再结合图像，即可得到结果. 【详解】 设直线的斜率为， 如图，过定点的直线经过点时，直线在轴上的截距为3，此时； 过定点的直线经过点时，直线在轴的截距为，此时， 满足条件的直线的斜率范围是． 故选：BD 三、填空题 12．（2025高二·全国·专题练习）已知两直线，，则，则 . 【答案】或 【分析】根据一般式方程两直线垂直的充要条件得到方程，解得即可. 【详解】因为，，且 所以，解得或. 故答案为：或 13．（24-25高二上·重庆·月考）过直线的定点，且与直线垂直的直线的一般式方程为 . 【答案】 【分析】求出点的坐标，再利用垂直关系设出直线方程，利用待定系数法求出方程. 【详解】直线，即，由得点， 设与直线垂直的直线方程为，则，解得， 所以所求直线方程为. 故答案为： 14．（24-25高二下·上海普陀·期中）若直线与直线之间的距离为，则实数的值为 ； 【答案】或 【分析】根据给定条件，利用平行线间距离公式列式求出值. 【详解】直线，即与直线之间的距离为， 则，解得或，经验证，符合题意， 所以实数的值为或. 故答案为：或 15．（24-25高二下·上海·月考）直线过且在两坐标轴上截距相等，则直线的方程为 . 【答案】或 【分析】可用截距式设直线方程，代入点即可得到答案（注意讨论截距等于0的情况）. 【详解】设直线的截距为a， 情况一：截距非零（) 此时直线方程为截距式：，代入点 ： 因此直线方程为：； 情况二：截距为零（) 此时直线过原点，设方程为：， 代入点 ：， 因此直线方程为. 故答案为： 或 . 16．（25-26高二上·全国·课后作业）已知，，，不能构成三角形，则 ． 【答案】/ 【分析】根据已知分析出三点共线且斜率存在，应用斜率两点式列方程得，整理变形即可得. 【详解】三点不能构成三角形的情况，即三点共线， 因为斜率存在，所以，即，即, 因为，所以，即. 故答案为： 17．（24-25高二上·上海·月考）直线过点，且原点与距离为5，则直线的方程为 . 【答案】 【分析】对直线的斜率分类讨论，利用点斜式设出直线的方程，利用点到直线的距离公式求解即可. 【详解】当直线的斜率不存在时，直线方程为,则原点到其距离为4，不成立； 当直线的斜率存在时，设为，则直线的方程为，即， 根据点到直线的距离公式，直线到点的距离为： ， 依题意，，即，，， 解得，因此直线的方程为，即. 故答案为：. 18．（25-26高二上·全国·课后作业）若点到直线的距离不大于，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】利用点到直线距离公式计算. 【详解】点到直线的距离， 整理可得，解得． 故答案为：. 19．（24-25高二上·福建龙岩·期中）已知，若过定点A的动直线和过定点的动直线交于点（与A，不重合），则的值为 . 【答案】1 【分析】根据题意直线方程可得，，分析可知，即可得结果. 【详解】因为动直线过定点，动直线过定点， 且，可知，即， 所以. 故答案为：1. 20．（23-24高二上·重庆·期中）已知在直线上，则的最小值为 ． 【答案】3 【分析】根据，即表示直线上的点到原点距离，由点到直线的距离公式计算，即可得结果. 【详解】因为表示点到原点的距离，而点在直线上， 所以的最小值即为原点到直线的距离，. 所以的最小值为3. 故答案为：. 21．（23-24高二上·辽宁沈阳·期末）对任意的实数，原点到直线的距离的取值范围为 ． 【答案】 【分析】根据直线系方程先求解出直线所过的定点，然后考虑直线经过点、与定点的连线垂直直线，由此确定出的取值范围. 【详解】直线的方程可化为， 令，解得，所以直线过定点， 当直线经过时，此时，即，故， 当直线与垂直时，此时取最大值，下面证明： 当与直线垂直时，记直线为， 当不与直线垂直且直线不经过时，记直线为， 过作交于点，如下图所示， 由图可知：为直角三角形且为斜边，所以， 所以取最大值时，与直线垂直，故， 但此时的方程为，即为， 此时无论取何值都无法满足要求，故取不到， 所以， 故答案为：. 22．已知函数，则的最小值为 ． 【答案】5 【分析】整理函数解析式，可转化为到点的距离之和，结合图象，可得答案. 【详解】， 转化为x轴上的动点到两定点，的距离之和最小， 由图可知，距离之和的最小值为5． 故答案为：. 四、解答题 23．求经过点和两直线和的交点的直线方程． 【答案】 【分析】解法1：设过点的直线方程为，代入点坐标可得答案；解法2：解方程组求出点坐标，由直线两点式方程可得答案． 【详解】解法1：设过点的直线方程为， ，解得， 则，即． 又点不在上，直线不合题意． 故所求直线方程为． 解法2：由，得，即． 所求直线过与， 由得， 故所求直线方程为． 24．（23-24高二上·湖南长沙·期末）已知直线与直线的交点为． (1)求过点且与直线垂直的直线方程； (2)求过点且与直线平行的直线方程． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先求出交点，后依据垂直求出所求直线的斜率，再求方程即可. （2）结合求出的交点，后依据平行求出所求直线的斜率，再求方程即可. 【详解】（1）联立方程与，解得，，故， 而的斜率为，故所求直线斜率为， 则所求直线方程为，化简得. （2）易知的斜率为，故所求直线斜率为， 则所求直线方程为，化简得. 25．（2024高二·全国·专题练习）已知实数x，y满足，且． (1)求的取值范围； (2)求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由题意画出图形，再由的几何意义为线段上的点与定点连线的斜率，即可求出的取值范围； （2）由题意画出图形，再由的几何意义为线段上的点与定点连线的斜率，即可求出的取值范围. 【详解】（1） 如图，由于点满足关系式，且， 所以点在线段上移动，且两点的坐标分别为，． 由于的几何意义是直线的斜率，且，， 所以的取值范围是． （2） 因为的几何意义是过，两点的直线的斜率， 由题意可知点在线段上移动，且两点的坐标分别为，． 则，，所以． 所以的取值范围为． 26．（25-26高二上·全国·单元测试）已知直线的方程为． (1)证明：直线过定点，并求定点到直线的距离； (2)当为何值时，点到直线的距离最大？最大距离是多少？ 【答案】(1)证明见解析， (2)， 【分析】（1）将直线的方程整理得，令，解出即可定点，由点到直线的距离公式即可求解； （2）由（1）可得直线过定点，设定点为，当时，点到直线的距离最大，且最大距离，由两点间的距离公式即可求最大距离，又由斜率公式即可求. 【详解】（1）将直线的方程整理得， 令，解得所以直线恒过点． 则定点到直线的距离为． （2）由（1）可得直线过定点，设定点为． 当时，点到直线的距离最大，且最大距离， 即点到直线的最大距离为． 此时，而直线的斜率， 所以，解得． 27．（23-24高二上·山东·月考）直线方程为． (1)证明：无论为何值，直线过定点； (2)已知是坐标原点，若直线分别与轴正半轴、轴正半轴交于A，两点，当的面积最小时，求的周长及此时直线的方程． 【答案】(1)证明见详解 (2)的周长为，直线的方程 【分析】（1）将直线的方程变形为，令，解得即可； （2）首先求出直线在、轴上的截距，即可求出的范围，再由面积公式及基本不等式求出面积最小值及此时的值，从而求出直线的方程及三角形的周长. 【详解】（1）因为直线的方程，即， 令，解得， 所以直线恒过定点； （2）因为直线的方程，依题意，即， 令，得到；令，得到； 令，解得， 可得， 令，则， 当且仅当，即时，等号成立 此时直线的方程为， 且，，，    所以当的面积最小时，的周长为，直线的方程. 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题08 直线与方程重点题型全归纳 目录（Ctrl并单击鼠标可跟踪链接） 典例详解 1 类型一、直线与线段有交点问题 1 类型二、斜率公式的应用（三点共线） 2 类型三、斜率公式的几何意义 3 类型四、两条直线平行与垂直 4 类型五、直线的截距式方程 6 类型六、直线过定点问题 7 类型七、直线的交点坐标 8 类型八、直线中点到点、点到线、线到线的距离公式 9 压轴专练 11 类型一、直线与线段有交点问题 倾斜角与斜率的关系 直线的情况 平行于轴 由左向右上升 垂直于轴 由左向右下降 的大小 的取值范围 不存在 的增减性 — 随的增大而增大 — 随的增大而减增大 一、单选题 1．（24-25高二上·黑龙江哈尔滨·期末）已知点，经过点P作直线l，若直线l与连接，两点的线段（含端点）总有公共点，则直线l的斜率k的取值范围为（   ） A． B． C． D． 2．（23-24高二上·福建厦门·期中）已知两点，，过点的直线l与线段AB（含端点）有交点，则直线l的斜率的取值范围为（ ） A． B． C． D． 3．（24-25高二上·广东阳江·月考）已知点.若直线与线段相交，则的范围是（    ） A． B． C． D． 4．（24-25高二上·云南曲靖·月考）已知直线：，若直线与连接，两点的线段总有公共点，则的倾斜角范围为（   ） A． B． C． D． 二、填空题 5．（25-26高二上·全国·课后作业）经过点作直线，若直线与连接点，的线段没有公共点，则直线的倾斜角的取值范围是 ． 类型二、斜率公式的应用（三点共线） 解决三点共线的步骤 第一步：先判断两个点的横坐标是否相等，若其中有两个点横坐标相等，那么第三点的横坐标与其相等时，三点共线；若横坐标均不相等，则继续第二步； 第二步：计算三点中任意两个点确定的直线的斜率，若斜率相等，则三点共线． 一、单选题 1．（24-25高二下·广东深圳·开学考试）若三点在同一条直线上，则实数（    ） A． B． C．2 D．4 2．（24-25高二上·浙江台州·期末）台州学子黄雨婷夺得巴黎奥运会10米气步枪比赛1金1银两块奖牌后，10米气步枪射击项目引起了大家的关注.在10米气步枪比赛中，瞄准目标并不是直接用眼睛对准靶心，而是通过觇孔式瞄具来实现.这种瞄具有前后两个觇孔（觇孔的中心分别记为点），运动员需要确保靶纸上的黑色圆心（记为点）与这两个觇孔的中心对齐，以达到三圆同心的状态.若某次射击达到三圆同心，且点，点，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 二、填空题 3．（24-25高二上·河南周口·月考）已知，平面内三点共线，则 ． 类型三、斜率公式的几何意义 利用直线的斜率的几何意义求最值（或取值范围）两点注意 1、直线的斜率反映了直线的倾斜程度，且（，是直线上横坐标不等的两点）； 2、在求形如的式子的最值时，可以将看作动点与定点所确定的直线的斜率，数形结合求出最值（或取值范围），即将代数问题转化为几何问题来处理． 一、填空题 1．若，则的取值范围为 . 2．（23-24高二上·广东广州·期中）已知实数x、y满足方程，当时，则的取值范围是 ． 3．（25-26高二上·全国·课后作业）已知实数满足，则的最大值为 ． 类型四、两条直线平行与垂直 1、对两直线平行与斜率的关系要注意以下几点 (1)成立的前提条件是： ①两条直线的斜率都存在； ②与不重合． (2)当两条直线不重合且斜率都不存在时，与的倾斜角都是，则. (3)两条不重合直线平行的判定的一般结论是： 或，斜率都不存在. 2、对两直线垂直与斜率的关系要注意以下几点 (1)成立的前提条件是：①两条直线的斜率都存在；②且. (2)两条直线中，一条直线的斜率不存在，同时另一条直线的斜率等于零，则两条直线垂直． (3)判定两条直线垂直的一般结论为： 或一条直线的斜率不存在，同时另一条直线的斜率等于零． 3、一般式方程下的平行与垂直 （1）平行与垂直的系数关系 已知直线的方程分别是（不同时为0）， （不同时为0） ①若 ②若 （2）平行与垂直的直线系方程 ①平行直线系：与直线垂直的直线方程可设为 ②垂直直线系：与直线垂直的直线方程可设为 一、单选题 1．（24-25高二下·河南南阳·期末）已知直线与直线垂直，则实数的值为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高二下·广西南宁·期末）若，直线，直线，则“”的充分不必要条件是（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高二上·福建龙岩·期末）若直线：与直线：平行，则实数为（   ） A．-3 B．3 C．3或-3 D．1或-1 4．（24-25高二上·湖南衡阳·期末）已知，直线，，若，则（   ） A． B． C． D． 二、解答题 5．（24-25高二上·广东江门·期中）已知直线和点. (1)求经过点，且与直线平行的直线的方程； (2)求经过点，且与直线垂直的直线的方程： 类型五、直线的截距式方程 1、截距式方程应用的注意事项 （1）问题中涉及直线与坐标轴相交，则可考虑截距式方程，用待定系数法确定其系数即可； （2）选用截距式方程时，必须首先考虑直线能否过原点以及能否与两坐标轴垂直； （3）要注意截距式方程的逆向应用． 2、点斜式、斜截式、两点式、一般式的选择 （1）若给出直线经过一个点，经常考虑用点斜式写直线方程，需要注意的是平行于轴的直线的斜率为0，垂直于轴的直线的斜率不存在． （2）若已知直线的斜率，通常用斜截式． （3）若给出两个点，常考虑利用两点式，但要注意两点连线是否与坐标轴平行或重合． （4）若给出的条件与面积相关，一般选用截距式，也可以选用点斜式或斜截式，注意直线方程各种形式的互化． 一、单选题 1．（24-25高二上·浙江·月考）在平面直角坐标系中，直线，则直线过（   ） A．一、二、三象限 B．一、二、四象限 C．二、三、四象限 D．一、三、四象限 2．（24-25高二上·四川眉山·期中）已知直线在轴上的截距是轴上截距的倍，则的值为（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高二下·湖南·月考）已知直线经过点，与两坐标轴的正半轴分别交于、两点，为坐标原点，则的面积的最小值为（    ） A． B． C． D． 二、填空题 4．（24-25高二上·江苏淮安·期中）已知直线l过点，且与两条坐标轴的正半轴围成一个等腰直角三角形，则直线l的方程为 ． 5．（24-25高二上·上海·月考）过点，且在x轴、y轴上的截距互为相反数的直线方程为 ． 类型六、直线过定点问题 直线方程过定点问题常用的三种方法 （1）直接法：将方程化为点斜式，其中为参数，求得直线恒过定点． （2）分离参数法（方程法）：将方程变形，把作为参数的系数，即有参数的放在一起，没参数的放在一起，因为此式子对任意的参数的值都成立，故需系数为零，解方程组可得的值，即直线过的定点的坐标． （3）赋值法（特殊法）：因为参数取任意实数，所以给参数任取两次值，得到关于的二元一次方程组，解方程组可得的值，即为直线过的定点的坐标． 一、单选题 1．（25-26高二上·全国·课后作业）不论为何实数，直线过定点（    ） A． B． C． D． 2．（25-26高二上·全国·课前预习）已知直线恒过点P，则过点P并与直线垂直的直线方程为（   ） A． B． C． D． 3．已知直线过定点，直线过定点与的交点为，则面积的最大值为(   ) A． B． C．5 D．10 二、填空题 4．（24-25高二上·福建泉州·月考）当点到直线的距离最大时，此时的直线方程为 . 5．（24-25高二上·湖南常德·月考）已知直线，当变化时，点到直线的距离的取值范围是 . 类型七、直线的交点坐标 过两条直线交点的直线系方程 设两条不平行的直线方程分别为（不同时为0），（不同时为0），则我们将直线方程（其中为参数，且）称为经过直线与交点的直线系方程．当时，此方程即为直线的方程；当时，此方程即为直线的方程． 一、单选题 1．若既是的中点，又是直线与直线的交点，则线段AB的垂直平分线的方程是（   ） A． B． C． D． 二、填空题 2．（23-24高二上·湖北武汉·月考）过两直线和的交点且过原点的直线方程为 ． 3．（23-24高二上·上海·期末）已知直线，，，三条直线围成，则当面积取得最大时的值为 . 三、解答题 4．已知直线，直线过与的交点且过点，求的方程． 类型八、直线中点到点、点到线、线到线的距离公式 1、平面上两点间的距离公式的应用 平面内两点，间的距离公式为：. 【注意】公式中和位置没有先后之分，也可以表示为：． （1）已知所求点的相关信息及该点到某点的距离满足某些条件时，设出所求点的坐标，利用两点间距离公式建立关于所求点的坐标的方程或方程组求解． （2）利用两点间距离公式可以判断三角形的形状．从三边长入手，如果有边长相等，则可能是等腰或等边三角形；如果满足勾股定理，则是直角三角形． 2、点到直线距离公式的应用 点到直线的距离 （1）求点到直线的距离时，若给出的直线方程不是一般式，只需把直线方程化为一般式，直接应用点到直线的距离公式求解即可． （2）若已知点到直线的距离求参数或直线方程时，只需根据点到直线的距离公式列方程求解参数即可． （3）点到直线的距离是直线上的点与直线外一点求的连线的最短距离，某些距离的最值问题可以转化为点到直线的距离问题来求解． （4）因为角平分线上任意一点到角两边的距离相等，因此可用点到直线的距离公式解决有关角平分线的问题． 3、 平行线间距离公式的应用 两条平行直线，， 它们之间的距离为： 【注意】在使用公式时，两直线方程为一般式，且和的系数对应相等． （1）两条平行直线间的距离公式是由在一条直线上任取一点到另一条直线的距离推导出来的，所以求平行直线间的距离的方法有两种，一种是直接利用推导出的公式求解，另一种是在其中一条直线上取一个特殊的点，转化点到直线的距离求解． （2）如果两条平行直线的方程用斜截式方程表示为，，那么两条平行直线间的距离． 一、单选题 1．（2025高二·全国·专题练习）到直线的距离为1的直线方程为（    ） A． B． C．或 D．或 2．（25-26高二上·全国·单元测试）已知，两点到直线l：的距离相等，则a的值为（    ） A． B． C．或 D．或 3．（25-26高二上·全国·课前预习）已知直线和的交点为，则点到直线的距离的取值范围是（   ） A． B． C． D． 4．函数的最小值为（   ） A．5 B． C． D． 5．（25-26高二上·全国·单元测试）若动点，分别在直线与上移动，则的中点到原点的距离的最小值为（    ） A． B． C． D． 二、填空题 6．（2025高二上·全国·专题练习）已知直线l经过点，且原点到直线l的距离等于2，则直线l的方程为 ． 7．（25-26高二上·全国·课后作业）已知的三个顶点，，，则的形状为 ． 8．（25-26高二上·全国·期中）若两条平行直线：与：之间的距离是，则直线在x轴上的截距为 ． 9．两平行线，分别过点与．设与之间距离是，求的取值范围为 ． 10．（24-25高二下·上海·期中）已知直线经过点，且与轴、轴分别交于点、点，当取最小值时，直线的方程为 ． 11．已知，，则的最小值为 . 三、解答题 12．（25-26高二上·全国·课后作业）设直线，，其中实数，满足． (1)证明直线与相交； (2)证明直线与的交点到原点的距离为定值． 一、单选题 1．（24-25高二上·福建莆田·期末）已知三点，，在同一条直线上，则的值为（     ） A． B． C． D． 2．（23-24高二下·上海·月考）已知直线的方程是，则对任意的实数，直线一定经过（    ）. A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 3．（24-25高二下·湖南株洲·开学考试）已知直线与直线，则“”是“”（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 4．（24-25高二上·广东惠州·期中）已知点，过点的直线与线段（含端点）有公共点，则直线的斜率的取值范围为（    ） A． B． C． D． 5．（24-25高二上·陕西西安·月考）过点作直线，若直线与连接，两点的线段总有公共点，则直线的倾斜角范围为（ ） A． B． C． D． 6．（23-24高二上·江苏盐城·月考）图1是中国古代建筑中的举架结构，是桁，相邻桁的水平距离称为步，垂直距离称为举，图2是某古代建筑屋顶截面的示意图.其中是举，是相等的步，相邻桁的举步之比分别为.已知，且直线的斜率为0.9，则（    ）    A．1.1 B．1.0 C．0.9 D．0.8 7．（24-25高二上·山东临沂·期中）点到直线的距离最大时，其最大值以及此时的直线的方程分别为（      ） A．； B．； C．； D．； 8．（24-25高二上·山西大同·期中）已知实数满足， ， 则的最小值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 9．（25-26高二上·全国·单元测试）已知直线与直线，在上任取一点，在上任取一点，连接AB，取AB的靠近点的四等分点，过点作的平行线，则与之间的距离为（    ） A． B． C． D． 10．已知、，则的最小值是（   ） A． B． C． D． 二、多选题 11．（24-25高二上·全国·课后作业）直线经过点，在轴上的截距的取值范围是，则其斜率的取值范围可以是（    ） A． B． C． D． 三、填空题 12．（2025高二·全国·专题练习）已知两直线，，则，则 . 13．（24-25高二上·重庆·月考）过直线的定点，且与直线垂直的直线的一般式方程为 . 14．（24-25高二下·上海普陀·期中）若直线与直线之间的距离为，则实数的值为 ； 15．（24-25高二下·上海·月考）直线过且在两坐标轴上截距相等，则直线的方程为 . 16．（25-26高二上·全国·课后作业）已知，，，不能构成三角形，则 ． 17．（24-25高二上·上海·月考）直线过点，且原点与距离为5，则直线的方程为 . 18．（25-26高二上·全国·课后作业）若点到直线的距离不大于，则的取值范围是 ． 19．（24-25高二上·福建龙岩·期中）已知，若过定点A的动直线和过定点的动直线交于点（与A，不重合），则的值为 . 20．（23-24高二上·重庆·期中）已知在直线上，则的最小值为 ． 21．（23-24高二上·辽宁沈阳·期末）对任意的实数，原点到直线的距离的取值范围为 ． 22．已知函数，则的最小值为 ． 四、解答题 23．求经过点和两直线和的交点的直线方程． 24．（23-24高二上·湖南长沙·期末）已知直线与直线的交点为． (1)求过点且与直线垂直的直线方程； (2)求过点且与直线平行的直线方程． 25．（2024高二·全国·专题练习）已知实数x，y满足，且． (1)求的取值范围； (2)求的取值范围． 26．（25-26高二上·全国·单元测试）已知直线的方程为． (1)证明：直线过定点，并求定点到直线的距离； (2)当为何值时，点到直线的距离最大？最大距离是多少？ 27．（23-24高二上·山东·月考）直线方程为． (1)证明：无论为何值，直线过定点； (2)已知是坐标原点，若直线分别与轴正半轴、轴正半轴交于A，两点，当的面积最小时，求的周长及此时直线的方程． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $$