11.3实际问题与一元一次方程（七大题型专练）数学人教版2024五四制七年级上册

11.3实际问题与一元一次方程 题型一 行程问题 1．（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）一艘船从甲码头到乙码头顺水而行，用了；从乙码头返回甲码头逆水而行，用了．已知水流的速度是． 求： (1)船在静水中的平均速度； (2)甲、乙两地之间的距离． 2．（24-25七年级上·贵州遵义·开学考试）有一周长600米的环形跑道，甲、乙二人同时、同地、同向而行，甲每分钟跑300米，乙每分钟跑400米，经过几分钟二人第一次相遇？ 3．（23-24七年级上·江苏宿迁·期末）受第24届北京冬季奥林匹克运动会的影响，小勇爱上了雪上运动．一天，小勇在滑雪场训练滑雪，第一次他从滑雪道A端以平均的速度滑到B端，用了；第二次他从滑雪道A端以平均的速度滑到B端，用了，求的值． 4．（23-24七年级上·云南红河·期末）年国产大型客机首航成功，这标志着正式投入商业运营，也标志着我国从此有了属于自己的国产大型客机．某机场一架飞机顺风从甲机场飞到乙机场要用小时，它逆风飞行同样的航线要用小时．已知在风速为千米时的条件下，求无风时这架飞机在这一航线的平均速度． 题型二 配套问题 1．（23-24七年级上·山西大同·阶段练习）某工厂需要生产一批太空漫步器（如图），每套设备由一个支架和两套脚踏板组装而成；工厂现共有45名工人，每人每天平均生产60个支架或96套脚踏板，应如何分配工人才能使每天生产的支架和脚踏板恰好配套？ 2．（23-24七年级上·吉林·阶段练习）某工厂车间有60名工人生产A零件和B零件，每人每天可生产A零件15个或B零件20个（每人每天只能生产一种零件），1个A零件配2个B零件，且每天生产的A零件和B零件恰好配套．求该工厂每天有多少名工人生产A零件？ 3．（23-24七年级上·福建福州·期末）某车间32名工人生产桌子和椅子，每人每天平均生产15张桌子或50张椅子，一张桌子要配两张椅子，当每天安排多少名工人生产桌子时，生产的桌子和椅子刚好配套？ 4．（23-24七年级上·吉林松原·期末）制作一个桌子要用1个桌面和4条桌腿，木料可制作15个桌面，或者制作300条桌腿，现有木料，应如何计划使用木料才能制作尽可能多的课桌？ 题型三 工程问题 1．（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·期中）萧红中学社团活动开展的如火如荼，七年级无人机小组两名同学小汐和小岑，准备利用周日时间，制作一架无人机．小汐单独做3小时完成，小岑单独做5小时完成．为了不影响休息，所以两人准备一起先完成前的工作量，求两位同学应该合作几小时？ 2．（24-25七年级上·安徽合肥·期中）一项工程，由甲、乙两个工程队合作完成．已知甲工程队单独完成需要4天，乙工程队单独完成需要6天． (1)甲、乙合作需要______天完成； (2)若先由乙工程队单独做1天，再由甲、乙两队合作完成．问还需几天可以完成这项工程？ 3．（24-25七年级上·贵州遵义·开学考试）加工一批零件，甲、乙两人合作需要8天完成，如果由乙独做需12天完成，两人开始合作一段时间后，乙离开另有任务，余下的工作由甲来完成，又用了3天，两人合作几天？ 4．（24-25七年级上·河南·开学考试）一项工程，由甲队承租，需工期80天，工程费用100万元，由乙队承担，需工期100天，工程费用80万元．为了节省工期和工程费用，实际施工时，甲乙两队合做若干天后撤出一个队，由另一个队继续做到工程完成．结算时，共支出工程费用86.5万元，那么甲乙两队合做了多少天？ 题型四 销售问题 1．（23-24七年级上·辽宁沈阳·期末）平价商场经销甲、乙两种商品，甲种商品每件售价80元，利润率为； 乙种商品每件进价40元，售价60元． (1)甲种商品每件的进价为_______元，乙种商品每件的利润率为_______． (2)若该商场同时购进甲、乙两种商品共50件，恰好总进价用去2100元，求购进甲种商品多少件？ (3)在“元旦”期间，该商场对甲、乙两种商品进行如下的优惠促销活动： 打折前一次性购物总金额 优惠措施 不超过380元 不优惠 超过380元，但不超过500元 售价打九折 超过500元 售价打八折 按上述优惠条件，若小明第一天只购买了甲种商品，实际付款432元，第二天只购买了乙种商品，实际付款378元，求小明这两天在该商场购买甲、乙两种商品一共多少件？ 2．（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·期中）某超市第一次用元购进甲、乙两种商品，其中甲商品的件数是乙商品件数的2倍，甲、乙两种商品的进价和售价如表：（注：获利售价进价） 甲 乙 进价/（元/件） 售价/（元/件） (1)该超市将第一次购进的甲、乙两种商品各多少件？ (2)该超市第二次以第一次的进价又购进甲、乙两种商品，其中甲商品的件数不变，乙商品的件数是第一次的3倍．甲商品按原价销售，乙商品降价销售，第二次两种商品都售完以后获得的总利润比第一次获得的总利润多元，求第二次乙商品的售价是多少？ 3．（22-23七年级上·山东青岛·期末）某商场用36000元购进了A、B两种型号的家用净水器共160台，这两种净水器的进价、标价如下表所示： A型 B型 进价（元/台） 150 350 标价（元/台） 400 600 (1)这两种净水器各购进多少台？ (2)若A型净水器按标价的8折出售，B型净水器按标价的9折出售，将这批净水器全部出售完后，商场共获利多少元？ 4．（23-24七年级上·广东深圳·期末）世界杯期间某文具店用14400元购进了甲、乙两款足球，一共200个．两款足球的进价和标价如下表： 类别 甲款足球 乙款足球 进价/（元/个） 标价/（元/个） (1)求该文具店的甲、乙两款足球分别购进多少个？ (2)该文具店为了加快销售，回笼资金，决定对甲款足球打8折销售，乙款足球打9折销售，若所购的足球全部售出，则该文具店能获利多少元？ 题型五 比赛积分问题 1．（2024·河北邯郸·二模）某校数学小组的一次知识竞赛活动，共准备了25道题，评分标准如下：答对1题得4分，答错1题得分，不答得0分． (1)若小明答对18道题，答错3道题，则小明得了多少分？ (2)小亮所有题都答了，他说他正好得了69分，请列方程分析小亮的说法是否正确． 2．（23-24七年级上·江西上饶·阶段练习）如图，这是某飞镖游戏的磁性靶盘．珍珍玩了两局，每局投次飞镖，若投到边界则不计入次数，需重新投，计分规则如下． 投中位置 A区 B区 脱靶 一次计分/分 3 1    在第一局中，珍珍投中A区5次，投中B区2次，脱靶3次． (1)求珍珍第一局的得分； (2)第二局，珍珍投中A区k次，投中B区3次，其余全部脱靶．若本局得分比第一局提高了8分，求k的值． 3．（23-24七年级上·江苏泰州·期末）某校七年级组织数学知识竞赛，共设道选择题，各题分值相同，每题必答．下表记录了3个参赛者的得分情况． 参赛者 答对题数 答错题数 得分 A 0 B 1 C 2 (1)观察表格数据并填空，参赛者答对1道题_________分，答错1道题得_________分； (2)参赛者D得分， 他答对了几道题？ (3)参赛者E说他得了分，你认为可能吗？为什么？ 4．（23-24七年级上·湖南长沙·期末）某企业对应聘人员进行英语考试，试题由50道选择题组成，评分标准规定：每道题的答案选对得3分，不选得0分，选错倒扣1分．已知某人有5道题未作，得了103分． (1)这个人选错了多少道题？ (2)若这个人未做的那5道题全部作对，其余条件不变，一共得了多少分？ 题型六 费用问题 1．（23-24七年级上·河南郑州·开学考试）分段计费某地居民生活用电基本价格是每千瓦时a元，若每月用电量超过120千瓦时，则超出部分按每千瓦时b元计费．小明家8月份用电115千瓦时，交电费69元；9月份用电140千瓦时，交电费94元． (1)求a、b的值． (2)若小明家12月份所交付的电费为83元，问：他家12月份的用电量为多少千瓦时？ 2．（23-24七年级上·云南昭通·期末）某通信公司为迎接元旦推出了“亲情卡”和“校园卡”．两种电话卡的收费方式如下表： 种类 月租费 本地通话费 亲情卡 18元/月 0.1元/分钟 校园卡 0元/月 0.3元/分钟 (1)若一个月本地通话时间为x分钟，则用“亲情卡”要收费______元，用“校园卡”要收费____元（用含x的式子表示）； (2)当一个月本地通话时间为多少分钟时，两种收费方式的收费一样？ 3．（23-24七年级上·云南昆明·阶段练习）为了加强公民的节水意识，合理利用水资源某市采用阶梯价格调控手段达到节水目的，价目表如图． 价目表 每月用水量 价格 不超出6的部分 2元/ 超过6，不超过10的部分 4元/ 超出10的部分 8元/ (1)某户居民1月份用水，试求1月份的水费为多少元？ (2)若某户居民某月用水，则用含x的代数式表示该月所用的水费； (3)若某户居民5月份共交水费22元，则该户居民5月份实际用水多少立方米？ 4．（23-24七年级上·湖北武汉·阶段练习）武汉市中心城区居民生活用天然气执行阶梯价格，具体如下表： 月用气量（单位；立方米）统计整数 价格（单位：元/立方米） 30及以内 31—50（含31、50） 3 50以上 为计算方便，数据进行了处理 (1)若月用气量为30立方米，应交气费________元；若用气量为50立方米，应交气费________元． (2)若居民小尚家10月份交了93元的气费，请计算他家10月份用了多少立方米的天然气？ (3)若居民小智家11月份缴纳的气费，经过测算，平均每立方米3.1元，请计算他家11月份用了多少立方米的天然气？ 题型七 方案选择问题 1．（22-23七年级上·山东济宁·期末）小红家去电器商场购买冰箱，商场出售两种容量相同冰箱：型常规冰箱每台售价元，日耗电量为千瓦时；型节能冰箱每台售价比型冰箱高出，但日耗电量仅为千瓦时，现在型冰箱可打折出售．每年按天计算，电价为每千瓦时元． (1)请分别计算出两种冰箱一年的用电费用； (2)冰箱使用多少年时，两种冰箱用去的总费用相同总费用买冰箱的费用总用电费用？ (3)若两种冰箱的使用期都为年，那么型冰箱需要打几折才能使购买两种冰箱的总费用一样． 2．（22-23七年级上·浙江台州·期末）甲、乙两家商场以相同的价格出售同品牌的新电动车，为吸引顾客，各自推出不同的优惠方案：甲商场规定用旧车置换，可在原价基础上优惠元，剩下的部分打折销售；若无旧车置换，则按原价折销售．乙商场规定用旧车置换，可在原价基础上优惠元，剩下的部分打折销售；若无旧车置换，则按原价七五折销售．李老师要去同一商场购买两辆该品牌新电动车，他只有一辆旧电动车可置换，设两商场的新电动车原价都是元． (1)用含的式子表示甲、乙商场购买新电动车李老师应付款额分别是多少元？ (2)若李老师在两家商场应付款额相等，求的值． 3．（23-24七年级上·山东济宁·阶段练习）某儿童游乐场为了有稳定的客源，决定开办会员业务，每张会员证30元，只限本人使用，有效期为一年，凭证入场每人次收费2元，不凭证入场每人次收费3元． (1)一年内在这个游乐场玩多少次，办理会员证和不办理会员证花钱一样多？ (2)2023年，小明计划每月到游乐场玩4次，请你为他推荐一种经济省钱的方案． 4．（23-24七年级上·河南新乡·期末）某文具店的某种毛笔每支售价元，书法练习本每本售价元．该店为了促销该种毛笔和书法练习本，推出了两种优惠方案． 方案一：买一支毛笔赠送一本书法练习本； 方案二：按购买金额的九折付款． 某校欲为校书法兴趣小组购买这种毛笔支，书法练习本本． (1)若该校按方案一购买，则需付款 元，若该校按方案二购买，则需付款 元(用含的式子表示)． (2)若该校购买本书法练习本，使用哪种方案更优惠？ (3)该校购买多少本书法练习本时，两种优惠方案的实际付款数一样？ 1．（24-25七年级上·广东深圳·期中）数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴可以将数与形完美地结合，如图，数轴上的点A，B对应的数分别是a和b，且满足，P，Q是数轴上的动点． (1)a的值为______，b的值为______，A，B两点之间距离为______； (2)若点P从点A出发，以2个单位长度/秒的速度向右运动，设运动时间为t秒，是否存在某个时刻t，恰好使得点P到点A的距离是点P到点B的距离的3倍？若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由； (3)若点P从A出发，以每秒2个单位的速度沿数轴在A，B之间向右运动，同时动点Q从B出发，以每秒4个单位的速度沿数轴在A，B之间往返运动，当点P运动到B时，P和Q两点停止运动．设运动时间为t秒，是否存在t值，使得？若存在，请写出t值；若不存在，请说明理由． 2．（24-25七年级上·北京·期中）在数轴上，O为原点，点A、B、C分别表示数a，b，c，且满足，多项式是五次四项式． (1)的值为________； (2)若数轴上有三个动点M、N、P，分别从点A、B、C开始同时出发在数轴上运动，速度分别为每秒1个单位长度、7个单位长度和3个单位长度． ①若点P向左运动，点M向右运动，点N先向左运动，遇到点M后回头再向右运动，遇到点P后又回头再向左运动，……，这样直到点P遇到点M时三点都停止运动，求点N所走的路程； ②若点M、N向右运动，点P向左运动，点Q为线段的中点，设运动的时间为t秒，在运动过程中，是否存在常数k，使得不论t为何值；的值不变，若存在，求k的值，若不存在，请说明理由． 3．（24-25七年级上·福建厦门·期中）已知：是关于x的二次三项式，且a、b、c满足．a、b、c所对应的点分别为A、B、C． (1)则________，________． (2)若点A、B、C开始在数轴上运动，若点A以每秒1个单位长度的速度向左运动，同时，点B和点C分别以每秒2个单位长度和5个单位长度的速度向右运动，若点B与点C之间的距离表示为，点A与点B之间的距离表示为．设运动时间为t秒，请问：的值是否随着时间t的变化而改变？若变化，请说明理由；若不变，请求其值． (3)如图，若将一条数轴在原点O和点B处各折一下，得到一条“折线数轴”．我们把在折线数轴上线段、、三段距离的和称为A，C两点间的路程．动点P从点A出发，以2个单位长度/秒的速度沿着“折线数轴”向右运动，在上坡段运动期间速度变为原来的一半．点P从点A出发的同时，点Q从点C出发，以1个单位长度/秒的速度沿着“折线数轴”向左运动，在下坡段运动期间速度变为原来的2倍，之后在段又以1个单位长度/秒的速度运动．当点P到达点B时，点P，Q均停止运动．设运动的时间为t秒．在某一时刻，P、Q两点在“折线数轴”上的路程为8个单位．求出此时t的值． 4．（24-25七年级上·江苏无锡·期中）我们知道，有理数包括整数、有限小数和无限循环小数，事实上，所有的有理数都可以化为分数形式（整数可看作分母为1的分数），那么无限循环小数如何表示为分数形式呢？请看以下示例： 例：将0.4化为分数形式． 由于， 设，① 则，② 得，解得，于是． 同理可得：． 根据以上阅读，回答下列问题：（以下计算结果均用最简分数表示） 【基础训练】 （1）_______，________； （2）将化为分数形式，写出推导过程； 【能力提升】 （3）______，_______；（注：） 【探索发现】 （4）①试比较与1的大小：_______1（填“>”“<”或“=”）； ②若已知，则_______．（注：） 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 11.3实际问题与一元一次方程 题型一 行程问题 1．（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）一艘船从甲码头到乙码头顺水而行，用了；从乙码头返回甲码头逆水而行，用了．已知水流的速度是． 求： (1)船在静水中的平均速度； (2)甲、乙两地之间的距离． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了一元一次方程的实际应用，熟练掌握航行问题的基本等量关系及找准题目中的等量关系进行列式求解是解决本题的关键． （1）根据题意以甲码头到乙码头的路程是一定的为等量关系，设船在静水中的速度为，进而列方程求解即可． （2）运用速度乘上时间等于距离列式计算，即可作答． 【详解】（1）解：设船在静水中的速度为，依题意得： ， 解得， ∴船在静水中的平均速度为； （2）解：依题意，船在静水中的平均速度为， ∴甲乙两码头之间的距离为， ∴甲乙两码头之间的距离． 2．（24-25七年级上·贵州遵义·开学考试）有一周长600米的环形跑道，甲、乙二人同时、同地、同向而行，甲每分钟跑300米，乙每分钟跑400米，经过几分钟二人第一次相遇？ 【答案】经过6分钟二人第一次相遇． 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，根据题意找到等量关系列出方程是解题的关键．设经过分钟后，二人第一次相遇，由于乙的速度比甲快，因此当两人第一次相遇时，乙比甲多跑了一圈，此时乙跑的路程减去甲跑的路程等于环形跑道的周长，由此列式求解即可． 【详解】解：设经过分钟后，二人第一次相遇， 由题意得，， 即， 解得（分） 答：经过6分钟二人第一次相遇． 3．（23-24七年级上·江苏宿迁·期末）受第24届北京冬季奥林匹克运动会的影响，小勇爱上了雪上运动．一天，小勇在滑雪场训练滑雪，第一次他从滑雪道A端以平均的速度滑到B端，用了；第二次他从滑雪道A端以平均的速度滑到B端，用了，求的值． 【答案】3 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，依据题意，根据两次滑雪路程相等，列出一元一次方程，解方程即可． 【详解】解：根据题意可知：， 整理得：， 解得：． 4．（23-24七年级上·云南红河·期末）年国产大型客机首航成功，这标志着正式投入商业运营，也标志着我国从此有了属于自己的国产大型客机．某机场一架飞机顺风从甲机场飞到乙机场要用小时，它逆风飞行同样的航线要用小时．已知在风速为千米时的条件下，求无风时这架飞机在这一航线的平均速度． 【答案】无风时这架飞机在这一航线的平均速度为千米时． 【分析】此题考查一元一次方程的应用，设无风时这架飞机在这一航线的平均速度为千米时，列出关于的一元一次方程，再解方程即可，解题的关键读懂题意，找准等量关系，正确列出一元一次方程． 【详解】解：设无风时这架飞机在这一航线的平均速度为千米时， 由题意得，， 解得：， 答：无风时这架飞机在这一航线的平均速度为千米时． 题型二 配套问题 1．（23-24七年级上·山西大同·阶段练习）某工厂需要生产一批太空漫步器（如图），每套设备由一个支架和两套脚踏板组装而成；工厂现共有45名工人，每人每天平均生产60个支架或96套脚踏板，应如何分配工人才能使每天生产的支架和脚踏板恰好配套？ 【答案】安排20人生产支架，25人生产脚踏板正好配套， 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用．设安排x人生产支架，则安排人生产脚踏板，根据“每人每天平均生产60个支架或96套脚踏板”，即可求解． 【详解】解：设安排x人生产支架，则安排人生产脚踏板， 由题意，得， 解得， （人）． 答：安排20人生产支架，25人生产脚踏板正好配套， 2．（23-24七年级上·吉林·阶段练习）某工厂车间有60名工人生产A零件和B零件，每人每天可生产A零件15个或B零件20个（每人每天只能生产一种零件），1个A零件配2个B零件，且每天生产的A零件和B零件恰好配套．求该工厂每天有多少名工人生产A零件？ 【答案】该工厂每天有24名工人生产零件 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．设该工厂有名工人生产零件，则每天生产零件的工人有名，1个A零件配2个B零件，且每天生产的A零件和B零件恰好配套，即可得出关于的一元一次方程，解之即可得出结论． 【详解】解：设该工厂有名工人生产零件，则每天生产零件的工人有名，根据题意，得， 解得． 答：该工厂每天有24名工人生产零件． 3．（23-24七年级上·福建福州·期末）某车间32名工人生产桌子和椅子，每人每天平均生产15张桌子或50张椅子，一张桌子要配两张椅子，当每天安排多少名工人生产桌子时，生产的桌子和椅子刚好配套？ 【答案】每天安排20名工人生产桌子时，生产的桌子和椅子刚好配套． 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，设当每天安排x名工人生产桌子时，生产的桌子和椅子刚好配套，根据题意列出关于x的一元一次方程求解即可． 【详解】解：设当每天安排x名工人生产桌子时，生产的桌子和椅子刚好配套， 依题意得：， 解得： 答：当每天安排20名工人生产桌子时，生产的桌子和椅子刚好配套． 4．（23-24七年级上·吉林松原·期末）制作一个桌子要用1个桌面和4条桌腿，木料可制作15个桌面，或者制作300条桌腿，现有木料，应如何计划使用木料才能制作尽可能多的课桌？ 【答案】应计划使用木料制作桌面，使用木料制作桌腿 【分析】本题主要考查了一元一次方程实际应用问题中的配套问题，解题的关键是找到配套的部分之间的比例关系． 设应计划使用木料制作桌面，则使用木料制作桌腿，用表示出来生产的桌面与桌腿数，使其比例为，解出方程即是所求． 【详解】解：设应计划使用木料制作桌面，则使用木料制作桌腿，依题意，得，解方程得． ∴应计划使用木料制作桌面，使用木料制作桌腿． 题型三 工程问题 1．（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·期中）萧红中学社团活动开展的如火如荼，七年级无人机小组两名同学小汐和小岑，准备利用周日时间，制作一架无人机．小汐单独做3小时完成，小岑单独做5小时完成．为了不影响休息，所以两人准备一起先完成前的工作量，求两位同学应该合作几小时？ 【答案】1.5小时 【分析】本题考查了工程问题的数量关系的运用，根据工作效率×工资时间=工作总量列方程求解即可． 【详解】解：设两位同学应该合作x小时， 根据题意，得， 解得， 答：两位同学应该合作1.5小时． 2．（24-25七年级上·安徽合肥·期中）一项工程，由甲、乙两个工程队合作完成．已知甲工程队单独完成需要4天，乙工程队单独完成需要6天． (1)甲、乙合作需要______天完成； (2)若先由乙工程队单独做1天，再由甲、乙两队合作完成．问还需几天可以完成这项工程？ 【答案】(1) (2)天 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，涉及工作总量、工作时间、工作效率等知识内容，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）设甲乙合作需要x天完成，因为甲工程队单独完成需要4天，乙工程队单独完成需要6天，则，解出即可作答． （2）依题意，设还需要y天，因为乙工程队单独做1天，再由甲、乙两队合作完成，所以，解出即可作答． 【详解】（1）解：设甲乙合作需要x天完成， 依题意：， 解得 ， 所以需要天； （2）解：设还需要y天： 依题意，， 解得， 故还需要2天． 3．（24-25七年级上·贵州遵义·开学考试）加工一批零件，甲、乙两人合作需要8天完成，如果由乙独做需12天完成，两人开始合作一段时间后，乙离开另有任务，余下的工作由甲来完成，又用了3天，两人合作几天？ 【答案】7天 【分析】本题考查了一元一次方程的实际应用问题，根据题意找到等量关系是解题的关键．由题意可知甲、乙二人合作的工作效率为，乙的工作效率为，总工作量看做单位“1”，设两人合作天，由题意列方程求解即可． 【详解】解：设两人合作天，由题意列方程得： ， 即， 解得天． 答：两人合作了7天． 4．（24-25七年级上·河南·开学考试）一项工程，由甲队承租，需工期80天，工程费用100万元，由乙队承担，需工期100天，工程费用80万元．为了节省工期和工程费用，实际施工时，甲乙两队合做若干天后撤出一个队，由另一个队继续做到工程完成．结算时，共支出工程费用86.5万元，那么甲乙两队合做了多少天？ 【答案】甲、乙两队合作了26天 【分析】此题考查的是一元一次方程的应用，找准等量关系列出方程是解决此题的关键． 甲队工作天完成的工作量甲队完成整个工程需要的费用乙队整个工期完成的工作量乙队完成整个工程需要的费用． 【详解】解：设甲队工作天，则甲队完成的工作量为，乙队完成的工作量为， 由题意得，， 解这个方程可得：． 乙队工作的天数：（天）， ∵， ∴撤出的一个队是甲队， 则甲队工作的天数就是甲、乙两队合作的天数， 答：甲、乙两队合作了26天． 题型四 销售问题 1．（23-24七年级上·辽宁沈阳·期末）平价商场经销甲、乙两种商品，甲种商品每件售价80元，利润率为； 乙种商品每件进价40元，售价60元． (1)甲种商品每件的进价为_______元，乙种商品每件的利润率为_______． (2)若该商场同时购进甲、乙两种商品共50件，恰好总进价用去2100元，求购进甲种商品多少件？ (3)在“元旦”期间，该商场对甲、乙两种商品进行如下的优惠促销活动： 打折前一次性购物总金额 优惠措施 不超过380元 不优惠 超过380元，但不超过500元 售价打九折 超过500元 售价打八折 按上述优惠条件，若小明第一天只购买了甲种商品，实际付款432元，第二天只购买了乙种商品，实际付款378元，求小明这两天在该商场购买甲、乙两种商品一共多少件？ 【答案】(1)， (2)购进甲种商品件． (3)小明这两天在该商场购买甲、乙两种商品一共多少件件． 【分析】本题主要考查一元一次方程与实际问题： （1）根据利润率的定义求解即可． （2）设购进甲商品件，根据题意可得． （3）设打折前应付款为元，购进甲商品时，分两种情况：当时，得，当时，得；同理，购进乙商品时，分三种情况． 【详解】（1）(元) 故答案为：，． （2）设购进甲商品件． 根据题意可得 ． 解得 ． 答：购进甲种商品件． （3）设打折前应付款为元． 第一天，购买甲商品： 当时，由，得，商品件数为(件)，舍去．   当时，由，得，商品件数为(件) ．   第二天，购买乙商品： 当时，由，得(元)，舍去． 当时，由，得，商品件数为(件) ．   当时，商品件数为(件) ，舍去． 两天一共购买的商品件数为(件) ． 答：小明这两天在该商场购买甲、乙两种商品一共多少件件． 2．（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·期中）某超市第一次用元购进甲、乙两种商品，其中甲商品的件数是乙商品件数的2倍，甲、乙两种商品的进价和售价如表：（注：获利售价进价） 甲 乙 进价/（元/件） 售价/（元/件） (1)该超市将第一次购进的甲、乙两种商品各多少件？ (2)该超市第二次以第一次的进价又购进甲、乙两种商品，其中甲商品的件数不变，乙商品的件数是第一次的3倍．甲商品按原价销售，乙商品降价销售，第二次两种商品都售完以后获得的总利润比第一次获得的总利润多元，求第二次乙商品的售价是多少？ 【答案】(1)购进甲商品件，购进乙商品件 (2)第二次乙商品的售价为元 【分析】本题考查的是一元一次方程的应用，商品的打折销售问题，掌握利用一元一次方程解决商品的打折销售问题是解题的关键． （1）设第一次购进甲种商品x件，则购进乙种商品件，利用第一次购进甲、乙两种商品的总价为元，可得，再解方程可得结论； （2）设第二次购进乙种商品是按原价打y折销售，可得：，解方程后可得答案． 【详解】（1）设购进甲商品x件，则购进乙商品件， ， 解得：， ∴， ∴购进甲商品件，购进乙商品件． （2）第二次购进甲商品件， 第二次购进乙商品（件）， 第一次利润为（元） 设第二次乙商品售价为y元， ， 解得： 第二次乙商品的售价为元． 3．（22-23七年级上·山东青岛·期末）某商场用36000元购进了A、B两种型号的家用净水器共160台，这两种净水器的进价、标价如下表所示： A型 B型 进价（元/台） 150 350 标价（元/台） 400 600 (1)这两种净水器各购进多少台？ (2)若A型净水器按标价的8折出售，B型净水器按标价的9折出售，将这批净水器全部出售完后，商场共获利多少元？ 【答案】(1)A种净水器购进100台，B种净水机购进60台 (2)商场共获利28400元 【分析】此题考查了一元一次方程的应用，是利用方程求解实际问题的题目，解题的关键是找到等量关系． （1）设A种净水器购进x台，B种净水机购进台，根据总金额36000元，列方程即可求解； （2）根据题意列出算式进行解答即可． 【详解】（1）解：设A种净水器购进x台，B种净水机购进台， 依题意可得：， 解得：， ． 答：A种净水器购进100台，B种净水机购进60台； （2）解：（元）． 答：商场共获利28400元． 4．（23-24七年级上·广东深圳·期末）世界杯期间某文具店用14400元购进了甲、乙两款足球，一共200个．两款足球的进价和标价如下表： 类别 甲款足球 乙款足球 进价/（元/个） 标价/（元/个） (1)求该文具店的甲、乙两款足球分别购进多少个？ (2)该文具店为了加快销售，回笼资金，决定对甲款足球打8折销售，乙款足球打9折销售，若所购的足球全部售出，则该文具店能获利多少元？ 【答案】(1)该文具店甲款足球购进120个，乙款足球购进80个 (2)所购的足球全部售出，则该文具店能获利3600元 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用和有理数混合运算的应用，解题的关键是根据题意列出算式或方程，准确计算． （1）设甲款足球购进了x个，则乙款足球购进了个，根据两种足球总共花费为14400元，列出方程，解方程即可； （2）根据题意列出算式，进行计算即可． 【详解】（1）解：设甲款足球购进了x个，则乙款足球购进了个， 根据题意得：， 解得：， 则（个）， 答：该文具店甲款足球购进120个，乙款足球购进80个． （2）解：（元）， 答：所购的足球全部售出，则该文具店能获利3600元． 题型五 比赛积分问题 1．（2024·河北邯郸·二模）某校数学小组的一次知识竞赛活动，共准备了25道题，评分标准如下：答对1题得4分，答错1题得分，不答得0分． (1)若小明答对18道题，答错3道题，则小明得了多少分？ (2)小亮所有题都答了，他说他正好得了69分，请列方程分析小亮的说法是否正确． 【答案】(1)小明得分 (2)小亮的说法不正确，理由见解析 【分析】本题考查了有理数四则运算的实际应用，一元一次方程的应用，正确理解题意列出方程是解题关键， （1）根据题意列出算式解决即可； （2）正确理解题意，列出方程并解方程，根据解的情况说明答案． 【详解】（1）解：答对1题得4分，答错1题得分，不答得0分，小明答对18道题，答错3道题， 则小明得分； （2）解：设小亮答对x道题，则答错道题， ， 解得：（不合题意）， 小亮的说法不正确． 2．（23-24七年级上·江西上饶·阶段练习）如图，这是某飞镖游戏的磁性靶盘．珍珍玩了两局，每局投次飞镖，若投到边界则不计入次数，需重新投，计分规则如下． 投中位置 A区 B区 脱靶 一次计分/分 3 1    在第一局中，珍珍投中A区5次，投中B区2次，脱靶3次． (1)求珍珍第一局的得分； (2)第二局，珍珍投中A区k次，投中B区3次，其余全部脱靶．若本局得分比第一局提高了8分，求k的值． 【答案】(1)； (2)； 【分析】此题考查了有理数的混合运算和一元一次方程的实际应用，解题的关键是熟练掌握正确列出算式和方程． （1）根据计分规则用数量乘以分数求和即可得到答案； （2）根据规则列出分数，根据分数列方程求解即可得到答案； 【详解】（1）解：由题意可得， 第一局的得分：（分）， 答：珍珍第一局的得分分； （2）解：由题意可得， 第二次的分数为：， ∵本局得分比第一局提高了8分， ∴， 解得：． 3．（23-24七年级上·江苏泰州·期末）某校七年级组织数学知识竞赛，共设道选择题，各题分值相同，每题必答．下表记录了3个参赛者的得分情况． 参赛者 答对题数 答错题数 得分 A 0 B 1 C 2 (1)观察表格数据并填空，参赛者答对1道题_________分，答错1道题得_________分； (2)参赛者D得分， 他答对了几道题？ (3)参赛者E说他得了分，你认为可能吗？为什么？ 【答案】(1)6，； (2)他答对了道题； (3)不可能，理由见解析． 【分析】本题考查了一元一次方程的实际应用，正确理解题意是解题关键. （1）根据参赛者A和B的得分情况即可求解； （2）设答对道题，列方程或即可求解； （3）解方程，即可判断； 【详解】（1）解：由参赛者A的得分情况可知：参赛者答对1道题得：（分）； 参赛者B的得分情况可知：参赛者答错1道题得：（分）； 故答案为：6，； （2）解：设答对道题，根据题意得： 或 答：他答对了道题 （3）解：不可能，理由如下： 不是整数 他不可能得分 4．（23-24七年级上·湖南长沙·期末）某企业对应聘人员进行英语考试，试题由50道选择题组成，评分标准规定：每道题的答案选对得3分，不选得0分，选错倒扣1分．已知某人有5道题未作，得了103分． (1)这个人选错了多少道题？ (2)若这个人未做的那5道题全部作对，其余条件不变，一共得了多少分？ 【答案】(1)这个人选错了8道题； (2)一共得了118分． 【分析】本题考查一元一次方程的应用，有理数混合运算的应用，关键设出做错的题目数，表示出做对的题目数，以所得分数做为等量关系列方程求解． （1）设这个人选错了x道题，则选对了道题，根据题意列方程求解即可； （2）根据题意列式求解即可． 【详解】（1）设这个人选错了x道题，则选对了道题， 根据题意得，， 解得， ∴这个人选错了8道题； （2）∵这个人未做的那5道题全部作对， ∴， ∴一共得了118分． 题型六 费用问题 1．（23-24七年级上·河南郑州·开学考试）分段计费某地居民生活用电基本价格是每千瓦时a元，若每月用电量超过120千瓦时，则超出部分按每千瓦时b元计费．小明家8月份用电115千瓦时，交电费69元；9月份用电140千瓦时，交电费94元． (1)求a、b的值． (2)若小明家12月份所交付的电费为83元，问：他家12月份的用电量为多少千瓦时？ 【答案】(1)， (2)130千瓦时 【分析】此题考查一元一次方程的应用，解题的关键是仔细审题，根据等量关系得出方程，难度一般． （1）根据8、9月份的用电量及所交电费可得出一元一次方程，解出即可； （2）先判断出是否超过千瓦时，然后列方程计算即可． 【详解】（1）解：由题意得，，解得： ，解得：． （2）用电量为120度时需要交电费72元，， 设该用户7月份用电量为x千瓦时，则， 由题意得，， 解得：， 答：若12月份所交付的电费为83元，该用户用电量为130千瓦时． 2．（23-24七年级上·云南昭通·期末）某通信公司为迎接元旦推出了“亲情卡”和“校园卡”．两种电话卡的收费方式如下表： 种类 月租费 本地通话费 亲情卡 18元/月 0.1元/分钟 校园卡 0元/月 0.3元/分钟 (1)若一个月本地通话时间为x分钟，则用“亲情卡”要收费______元，用“校园卡”要收费____元（用含x的式子表示）； (2)当一个月本地通话时间为多少分钟时，两种收费方式的收费一样？ 【答案】(1)； (2)当一个月本地通话时间为90分钟时，两种收费方式的收费一样 【分析】题目主要考查一元一次方程的应用及列代数式，理解题意，列出代数式是解题关键． （1）根据题意列出代数式即可； （2）根据题意建立方程求解即可． 【详解】（1）解：根据题意得用“亲情卡”要收费元；用“校园卡”要收费元， 故答案为：； （2）根据题意得： 解得： 答：当一个月本地通话时间为90分钟时，两种收费方式的收费一样． 3．（23-24七年级上·云南昆明·阶段练习）为了加强公民的节水意识，合理利用水资源某市采用阶梯价格调控手段达到节水目的，价目表如图． 价目表 每月用水量 价格 不超出6的部分 2元/ 超过6，不超过10的部分 4元/ 超出10的部分 8元/ (1)某户居民1月份用水，试求1月份的水费为多少元？ (2)若某户居民某月用水，则用含x的代数式表示该月所用的水费； (3)若某户居民5月份共交水费22元，则该户居民5月份实际用水多少立方米？ 【答案】(1)1月份的水费为11元 (2)当时，该月所用的水费为元；当时，该月所用的水费为元；当时，该月所用的水费为元； (3)该户居民5月份实际用水立方米 【分析】本题考查了有理数的乘法，列代数式，一元一次方程的实际应用． （1）根据题目所给收费标准进行计算即可； （2）根据题目所给收费标准，进行分类讨论：当时，当时，当时； （3）根据（2）中得出的结论，分别进行计算即可． 【详解】（1）解：（元）， 答：1月份的水费为11元． （2）解：当时，该月所用的水费为元； 当时，该月所用的水费为元； 当时，该月所用的水费为元； （3）解：当时，， 解得：，不符合题意，舍去； 当时， ， 解得：； 当时，该月所用的水费为 解得：，不符合题意，舍去； 答：该户居民5月份实际用水立方米． 4．（23-24七年级上·湖北武汉·阶段练习）武汉市中心城区居民生活用天然气执行阶梯价格，具体如下表： 月用气量（单位；立方米）统计整数 价格（单位：元/立方米） 30及以内 31—50（含31、50） 3 50以上 为计算方便，数据进行了处理 (1)若月用气量为30立方米，应交气费________元；若用气量为50立方米，应交气费________元． (2)若居民小尚家10月份交了93元的气费，请计算他家10月份用了多少立方米的天然气？ (3)若居民小智家11月份缴纳的气费，经过测算，平均每立方米3.1元，请计算他家11月份用了多少立方米的天然气？ 【答案】(1)75，135 (2)36立方米 (3)90立方米 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，有理数四则混合运算的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键． （1）根据总价单价数量，即可求出结论； （2）设小强家10月份用了x立方米的天然气，根据应交费用超出30立方米的部分，即可得出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论； （3）设小强家11月份用了y立方米的天然气，由均价为元/立方米可得出小强家11月用气量在第三档，根据应交费用超出50立方米的部分均价数量，即可得出关于y的一元一次方程，解之即可得出结论． 【详解】（1）解：（元）， （元）． 故答案为：75；135． （2）解：设小强家10月份用了x立方米的天然气， ∵， ∴小强家10月用气量在第二档． 依题意，得：， 解得：． 答：小强家10月份用了36立方米的天然气． （3）解：设小强家11月份用了y立方米的天然气， ∵， ∴小强家11月用气量在第三档， 依题意，得：， 解得：． 答：小强家11月份用了90立方米的天然气． 题型七 方案选择问题 1．（22-23七年级上·山东济宁·期末）小红家去电器商场购买冰箱，商场出售两种容量相同冰箱：型常规冰箱每台售价元，日耗电量为千瓦时；型节能冰箱每台售价比型冰箱高出，但日耗电量仅为千瓦时，现在型冰箱可打折出售．每年按天计算，电价为每千瓦时元． (1)请分别计算出两种冰箱一年的用电费用； (2)冰箱使用多少年时，两种冰箱用去的总费用相同总费用买冰箱的费用总用电费用？ (3)若两种冰箱的使用期都为年，那么型冰箱需要打几折才能使购买两种冰箱的总费用一样． 【答案】(1)元，元 (2)年 (3)折 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用： （1）根据题意计算出两种冰箱一年的用电费用即可； （2）设使用x年时，两种冰箱用去的总费用相同，根据题意列出方程，求出方程的解即可得到结果； （3）设需要打y折才能使购买两种冰箱的总费用一样，根据题意列出方程，求出方程的解即可得到结果． 【详解】（1）解：根据题意得：型冰箱：元， 型冰箱：元； （2）解：设使用年时，两种冰箱用去的总费用相同， 根据题意得：， 解得：， 答：使用年时，两种冰箱用去的总费用相同； （3）解：设需要打折才能使购买两种冰箱的总费用一样． 根据题意得：， 解得：， 答：需要打折． 2．（22-23七年级上·浙江台州·期末）甲、乙两家商场以相同的价格出售同品牌的新电动车，为吸引顾客，各自推出不同的优惠方案：甲商场规定用旧车置换，可在原价基础上优惠元，剩下的部分打折销售；若无旧车置换，则按原价折销售．乙商场规定用旧车置换，可在原价基础上优惠元，剩下的部分打折销售；若无旧车置换，则按原价七五折销售．李老师要去同一商场购买两辆该品牌新电动车，他只有一辆旧电动车可置换，设两商场的新电动车原价都是元． (1)用含的式子表示甲、乙商场购买新电动车李老师应付款额分别是多少元？ (2)若李老师在两家商场应付款额相等，求的值． 【答案】(1)甲商场付款元；乙商场付款元 (2) 【分析】本题主要考查一元一次方程的实际应用、代数式和整式的加减，理解题意是解决问题的关键． （1）根据题目要求即可写出算式，根据整式的加减运算法则化简即可； （2）可得到关于的一元一次方程，解方程即可求得答案． 【详解】（1）甲商场付款：元． 乙商场付款：元． （2）由题意，得 解得 ． 3．（23-24七年级上·山东济宁·阶段练习）某儿童游乐场为了有稳定的客源，决定开办会员业务，每张会员证30元，只限本人使用，有效期为一年，凭证入场每人次收费2元，不凭证入场每人次收费3元． (1)一年内在这个游乐场玩多少次，办理会员证和不办理会员证花钱一样多？ (2)2023年，小明计划每月到游乐场玩4次，请你为他推荐一种经济省钱的方案． 【答案】(1)30次 (2)办理会员证省钱一些 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，此类问题一般都有一个值使两种方法的消费一样，找到这个值尤为重要． （1）一年内在这个游乐场玩x次，利用会员证钱数=入场券钱数列出方程求解即可； （2）分别求得办理会员证和不办理会员证所需的费用，然后做一下比较即可得到答案． 【详解】（1）解：设一年内在这个游乐场玩x次，办理会员证和不办理会员证花钱一样多． 依题意得： 解得， ∴当一年内在这个游乐场玩30次，办理会员证和不办理会员证花钱一样多． （2）解：小明每月到游乐场玩4次，办理会员证所需的费用：（元） 不办理会员证所需的费用：（元） 因为， 所以，办理会员证省钱一些． 4．（23-24七年级上·河南新乡·期末）某文具店的某种毛笔每支售价元，书法练习本每本售价元．该店为了促销该种毛笔和书法练习本，推出了两种优惠方案． 方案一：买一支毛笔赠送一本书法练习本； 方案二：按购买金额的九折付款． 某校欲为校书法兴趣小组购买这种毛笔支，书法练习本本． (1)若该校按方案一购买，则需付款 元，若该校按方案二购买，则需付款 元(用含的式子表示)． (2)若该校购买本书法练习本，使用哪种方案更优惠？ (3)该校购买多少本书法练习本时，两种优惠方案的实际付款数一样？ 【答案】(1)， (2)方案一 (3)本 【分析】本题考查了一元一次方程的应用、列代数式以及代数式求值； （1）利用总价单价数量，结合文具店推出的两种优惠方案，即可用含的代数式分别表示出该校按方案一购买及该校按方案二购买所需金额； （2）代入，求出该校按方案一购买及该校按方案二购买所需金额，比较后即可得出结论； （3）根据两种优惠方案的实际付款数一样，可列出关于x的一元一次方程，解之即可求出结论． 【详解】（1）解：根据题意得：若该校按方案一购买，则需付款元； 若该校按方案二购买，则需付款元． 故答案为：，； （2）解：当时，（元）； （元）． ， 方案一更优惠； （3）解：根据题意得：， 解得：． 答：该校购买本书法练习本时，两种优惠方案的实际付款数一样． 1．（24-25七年级上·广东深圳·期中）数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴可以将数与形完美地结合，如图，数轴上的点A，B对应的数分别是a和b，且满足，P，Q是数轴上的动点． (1)a的值为______，b的值为______，A，B两点之间距离为______； (2)若点P从点A出发，以2个单位长度/秒的速度向右运动，设运动时间为t秒，是否存在某个时刻t，恰好使得点P到点A的距离是点P到点B的距离的3倍？若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由； (3)若点P从A出发，以每秒2个单位的速度沿数轴在A，B之间向右运动，同时动点Q从B出发，以每秒4个单位的速度沿数轴在A，B之间往返运动，当点P运动到B时，P和Q两点停止运动．设运动时间为t秒，是否存在t值，使得？若存在，请写出t值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)；12；22 (2)存在，秒或秒 (3)存在值，使得，值为1秒或秒或秒或秒． 【分析】（1）根据非负数的性质求出a、 b的值，再根据数轴上两点距离公式求解； （2）分两种情况：当点P在点A、点B之间，即点P在点B左侧时；当点P在点B右侧时．分别求解即可； （3）分四种情况：当点P与点Q在第一次相遇之前，点Q未到达点O时；当点P与点Q在第一次相遇时；当点Q在第一次返回，还未追上点P时；当点Q在第一次返回中，追上点P时．分别求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴，， 解得：，， ∵数轴上的点A，B对应的数分别是a和b， ∴A，B两点之间距离为：． 故答案为：；12；22． （2）解：存在， 当点P在点A、点B之间，即点P在点B左侧时，则 解得：， 当点P在点B右侧时，则， 解得：， 综上，存在，t的值为秒或秒． （3）解：存在值， 当点P与点Q在第一次相遇之前，点Q未到达点O时，如图， ∵， ∴， 解得：； 当点P与点Q第一次相遇时，如图， ∵， ∴， 解得：； 当点Q在第一次返回，还未追上点P时，如图， ∵， ∴， 解得：； 当点Q在第一次返回中，追上点P时，如图， ∵， ∴， 解得：． 综上，存在值，使得，值为1秒或秒或秒或秒． 【点睛】本题考查数轴上动点问题，非负和的性质，数轴上的点表示有理数，数轴上两点间的距离，一元一次方程的应用，熟练掌握数轴上两点的距离和绝对值的非负解题的关键．注意分类讨论． 2．（24-25七年级上·北京·期中）在数轴上，O为原点，点A、B、C分别表示数a，b，c，且满足，多项式是五次四项式． (1)的值为________； (2)若数轴上有三个动点M、N、P，分别从点A、B、C开始同时出发在数轴上运动，速度分别为每秒1个单位长度、7个单位长度和3个单位长度． ①若点P向左运动，点M向右运动，点N先向左运动，遇到点M后回头再向右运动，遇到点P后又回头再向左运动，……，这样直到点P遇到点M时三点都停止运动，求点N所走的路程； ②若点M、N向右运动，点P向左运动，点Q为线段的中点，设运动的时间为t秒，在运动过程中，是否存在常数k，使得不论t为何值；的值不变，若存在，求k的值，若不存在，请说明理由． 【答案】(1)16 (2)①52.5个单位长度；②存在， 【分析】（1）利用绝对值和平方的非负数的性质求出b与c的值，根据多项式为五次四项式求出a的值，即可求得代数式的值； （2）①由题意求出点P遇到点M的时间，也就是点N的运动时间，首先求出的距离，设相遇时间为t，分别表示出两点行驶的距离，建立方程解决问题即可； ②设运动的时间为t秒，则，用含t的式子分别表示出点N和点P，进而表示出点Q，则进一步得到，结合题意列出关系式求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴，解得， ∵是五次四项式， ∴，解得； 则， 故答案为：16； （2）解：①点P，M相遇时间秒， ∴N点所走路程：（单位长度）； ②存在K，使得的值不发生变化；理由如下： 设运动的时间为t秒，则， ∵动点M、N、P，分别从点A、B、C开始同时出发在数轴上运动，B、C在数轴上表示的数分别为，24， ∴运动t秒时点N、P分别位于数轴上的位置， ∴中点Q位于： ∴ ∴， ∵不论t为何值；的值不变， ∴，解得， 即当时，不论t为何值；的值不变， 【点睛】本题主要考查了方程、多项式、动点在数轴上的表示的数、解一元一次方程及线段长之间的关系等问题，掌握数轴上两点之间距离的计算方法，行程问题的数量关系是解题的关键． 3．（24-25七年级上·福建厦门·期中）已知：是关于x的二次三项式，且a、b、c满足．a、b、c所对应的点分别为A、B、C． (1)则________，________． (2)若点A、B、C开始在数轴上运动，若点A以每秒1个单位长度的速度向左运动，同时，点B和点C分别以每秒2个单位长度和5个单位长度的速度向右运动，若点B与点C之间的距离表示为，点A与点B之间的距离表示为．设运动时间为t秒，请问：的值是否随着时间t的变化而改变？若变化，请说明理由；若不变，请求其值． (3)如图，若将一条数轴在原点O和点B处各折一下，得到一条“折线数轴”．我们把在折线数轴上线段、、三段距离的和称为A，C两点间的路程．动点P从点A出发，以2个单位长度/秒的速度沿着“折线数轴”向右运动，在上坡段运动期间速度变为原来的一半．点P从点A出发的同时，点Q从点C出发，以1个单位长度/秒的速度沿着“折线数轴”向左运动，在下坡段运动期间速度变为原来的2倍，之后在段又以1个单位长度/秒的速度运动．当点P到达点B时，点P，Q均停止运动．设运动的时间为t秒．在某一时刻，P、Q两点在“折线数轴”上的路程为8个单位．求出此时t的值． 【答案】(1)，； (2)的值不会随着时间t的变化而改变，理由见解析； (3)当或时，P、Q两点在“折线数轴”上的路程为8个单位． 【分析】（1）根据多项式的定义求得，再根据非负数的性质即可求得； （2）根据数轴表示数的意义，用含有的代数式表示，再根据数轴上两点距离的计算方法进行计算即可； （3）设点运动的路程为，根据题意得：当时，，此时点表示的数为，当时，，此时点表示的数为，设点运动的路程为，根据题意得：当时，，此时点表示的数为，当时，，此时点表示的数为，当时，，此时点表示的数为，分两种情况讨论求解即可． 【详解】（1）解：∵是关于x的二次三项式， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴，， 故答案为：，； （2）解：由（1）可得： ， ， 设运动时间为秒，由题意可得：秒后， ， ， ∴， ∴的值不会随着时间t的变化而改变； （3）解：由（1）可知，，，， ∴， 设点运动的路程为，根据题意得： 当时，，此时点表示的数为， 当时，，此时点表示的数为， 设点运动的路程为，根据题意得： 当时，，此时点表示的数为， 当时，，此时点表示的数为， 当时，，此时点表示的数为， ∵P、Q两点在“折线数轴”上的路程为8个单位， 当点与点相遇前，即点在点的左侧， 时，，，则， 时，，，则， ∴， ∴， 整理得：， 解得：， 当点与点相遇后，即点在点的右侧， 当时，， 整理得：， 解得：， 当时，，即， ∴此种情况不存在， 综上，当或时，P、Q两点在“折线数轴”上的路程为8个单位． 【点睛】本题综合考查了多项式的定义，非负数的性质，数轴与有理数的关系，一元一次方程在数轴上的应用，路程、速度、时间三者的关系等相关知识点，掌握相关知识是解题的关键． 4．（24-25七年级上·江苏无锡·期中）我们知道，有理数包括整数、有限小数和无限循环小数，事实上，所有的有理数都可以化为分数形式（整数可看作分母为1的分数），那么无限循环小数如何表示为分数形式呢？请看以下示例： 例：将0.4化为分数形式． 由于， 设，① 则，② 得，解得，于是． 同理可得：． 根据以上阅读，回答下列问题：（以下计算结果均用最简分数表示） 【基础训练】 （1）_______，________； （2）将化为分数形式，写出推导过程； 【能力提升】 （3）______，_______；（注：） 【探索发现】 （4）①试比较与1的大小：_______1（填“>”“<”或“=”）； ②若已知，则_______．（注：） 【答案】（1）  （2）  （3）   （4）①  ② 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，理解新方法是解题的关键. （1）根据题中的方法求解； （2）根据题中的方法求解； （3）根据题中的方法求解； （4）①根据题中的方法求出的值，再比较大小；②根据题中的方法求解. 【详解】（1）解：由于， 设① 则②， ②①得，解得， 于是， 同理：， 故答案为：； （2）由于，设① 则② ②①得， 解得：， ； 故答案为：； （3）设①则， ②①得，解得：； 同理：， 故答案为： ； (4)①设则 ， 解得： 故答案为：； ②， 设， 则 ， 故答案为：． 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$