1.4线段垂直平分线与角平分线（2） 教案 2025-2026学年苏科版数学八年级上册

1.4线段垂直平分线与角平分线（2） 【教学目标】 1. 经历探索角的轴对称性的过程，进一步体验轴对称的特性，发展空间观念. 2. 探索并证明角平分线的性质定理及其逆定理. 3. 在“操作-探究-归纳-证明”的过程中，发展合情推理和演绎推理的能力. 【教学重点】 探索并证明角平分线性质定理及其逆定理 【教学难点】 运用角平分线性质定理及其逆定理解决问题 1、 创设情境： 说说你对角的认识. 学生预设：角的定义、表示、大小、对称性...... 2、 探究新知： 活动一 探究角平分线的性质定理 如图，在∠AOB的平分线上任意取一点P，分别画点P到OA和OB的垂线段PC和PD，垂足分别为C，D. PC与PD一定相等吗？如何证明？ 角平分线的性质定理： 角平分线上的点到角两边的距离相等. 活动二：探究角平分线性质定理的逆定理 如图，点Q在∠AOB内，QC⊥OA，QB⊥OB，垂足分别为C，D，且QC=QD. 那么点Q在∠AOB的平分线上吗？如何证明？ 角平分线性质定理的逆定理： 角的内部到角两边距离相等的点在角平分线上. 角平分线是到角两边距离相等的点的集合. 3、 例题精讲： 例1已知：如图，的角平分线相交于点P． 求证：点P在的平分线上． 4、 课堂练习： 1． 如图，在中，，平分，于点，如果，那么等于（    ）    第1题 第2题 第4题 A．4cm B．6cm C．8cm D．10cm 2．如图，在中，点O是内一点，且点O到三边的距离相等，，则（　　） A． B． C． D． 3．到三角形三条边的距离都相等的点是这个三角形的（    ） A．三条中线的交点 B．三条高的交点 C．三条边的垂直平分线的交点 D．三条角平分线的交点 4．如图，在的外角的平分线上任取一点P，作，，垂足分别为点E、F．则与的大小关系为（    ） A． B． C． D．无法确定 5．如图，△ABC的三条角平分线交于点O，若，则（    ） 第5题 第6题 第7题 A． B． C． D． 6．在中，，两个完全一样的三角尺按如图所示摆放，他们一组较短的直角边分别在上，另一组较长的对应边的顶点重合于点交于点，则下列结论不正确的是（    ） A．平分 B． C．垂直平分 D． 7．如图，在中，，于点D，的平分线交于点E，交于点F，连接．以下结论：①；②；③平分；④点E是的中点．其中所有正确结论的序号是（    ） A．①③ B．②④ C．①②③ D．②③④ 8．如图，E是的中点，平分．有下列结论：其中正确的是（  ） 第8题 第9题 第10题 A．②③ B．①②④ C．②③④ D．①②③④ 9．如图，在中，是它的一条角平分线，是它的一条中线，，，，则的长为（   ） A． B． C． D． 10．如图，的外角的平分线，交于点于点于点，下列结论中：①周长为；②；③连接，则垂直平分线段；④的面积为与的面积和；⑤．其中正确的是_______________（填序号） 11．如图，直线，，表示三条公路．现要建造一个中转站P，使P到三条公路的距离都相等，则中转站P可选择的点有 个． 第5题 第6题 第7题 12．如图，是的角平分线，于的面积是，则 ． 13．如图，已知的周长为，与的角平分线相交于点O，于点D，且，则的面积为 ． 14．已知：如图，于点D，于点E，且， 交于点O．求证：平分． 15．如图，，分别为的两个外角的角平分线，于点P，于点Q，于点D，求证：点E在的角平分线上．    16．如图，已知，．的平分线交于点，且是的中点． (1)试判断点在的平分线上吗？并说明理由； (2)猜想与的大小关系，并证明． 17．如图，在中，D是上一点，于点F，连接，垂直平分． (1)求证：是的平分线； (2)若的周长为18，的面积为24，，求的长． 18．问题情境：如图1，，平分，把三角尺的直角顶点落在的任意一点P上，并使三角尺的两条直角边分别与、相交于点E、F，与相等吗？请你给出证明； 变式拓展：如图2，已知，平分，P是上一点，，边与边相交于点E，边与射线的反向延长线相交于点F．试解决下列问题： ①与还相等吗？为什么？ ②试判断、、三条线段之间的数量关系，并说明理由． 19．如图，已知为的平分线，于点E，且． (1)求证：； (2)若，，求线段的长． 20．【教材回顾】 如图1，课本38页例题证明了：三角形三条角平分线交于一点. 【拓展研究】 问题一：如果一个四边形的四条角平分线交于一点，那么这个四边形会具有怎样的性质？ （2）如图2，在四边形中，，，的平分线相交于点O． 求证：①点O在的平分线上： ； 问题二：满足什么条件的四边形的四条角平分线交于一点？ （3）如图3，在四边形中，如果四条边满足_______时，那么它的四条角平分线交于一点（不需证明）．    参考答案 1．B 2．B 3．D 4．B 5．D 6．D 7．C 8．C 9．D 10．B 【分析】本题主要考查了角平分线的性质，全等三角形的判定和性质，线段垂直平分线的判定等内容，解题的关键是掌握以上性质，并且巧妙构造辅助线． 利用角平分线的性质，全等三角形的判定和性质，线段垂直平分线的判定等内容逐项进行判断即可． 【详解】解：①如图所示，过点作，交于于点， 平分，， ， 又∵， ∴， 同理，，， 综上，， ∴， 平分， ∵，，，， ∴， ∴， ∴周长为:， 故①正确，符合题意； ②由和得， ， ∴， 故②正确，符合题意； ③如图所示，连接， 由和得， 垂直平分线段，而非垂直平分线段， 故③错误，不符合题意； ④由和得， 的面积为与的面积和， 故④正确，符合题意； ⑤如图，在上靠近点侧，截取，交于点， ， ∴， ， ， 又， ∴， ∴， 在四边形中，， ∴， 又 ∴， ∵和， ， ∴， ∴， 即， 故⑤正确，符合题意； 综上，①②④⑤正确，符合题意， 故选：B． 11．4 【分析】本题考查了角平分线的性质，根据角平分线上的点到角的两边距离相等，分情况找点P的位置． 【详解】解：①三角形两个内角平分线的交点，共一处； ②三个外角两两平分线的交点，共三处， ∴中转站P可选择的点有共有4个． 故答案为：4． 12． 【分析】本题考查角平分线的性质，过点作，如图所示，由角平分线的性质得到，由等面积法列方程求解即可得到答案，熟记角平分线的性质是解决问题的关键． 【详解】解：过点作，如图所示： 是的角平分线，于， ， 的面积是， ，即，解得， 故答案为：． 13．12 【分析】本题考查了角平分线的性质，割补法，熟记“角平分线上的点到角两边相等”是解题关键．将分割为三个小三角形计算即可． 【详解】解：如图，过点O作于E，于F，连接OB， 分别平分和，， ，（角平分线上的点到角两边相等）， 即， ， 故答案为：12． 14．见解析 【分析】本题考查了全等三角形的性质和判定、角平分线的判定定理，能求出是解此题的关键．利用已知条件证得，根据全等三角形的性质得出，根据角平分线性质得出结论即可． 【详解】证明：∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵，， ∴平分． 15．见解析 【分析】本题考查的是角平分线的性质和判定，角的平分线上的点到角的两边的距离相等、到角的两边的距离相等的点在角的平分线上．先根据角平分线的性质得，，进而可知，再根据角平分线的判定定理证明即可． 【详解】证明：∵，分别为的两个外角平分线，，，， ∴，， ， 又∵，， 点在的平分线上． 16．(1)在，理由见解析 (2)，证明见解析 【分析】本题考查了角平分线：角的平分线上的点到角的两边的距离相等；到角的两边的距离相等的点在这个角的角平分线上．也考查了全等三角形的判定与性质； （1）过点E作，连接，根据角平分线的性质得出，再由等量代换确定，根据角平分线的判定即可证明； （2）利用（1）中结论及直角三角形全等的证明得出，，进行等量代换即可； 解题的关键是找到证明全等所需要的条件． 【详解】（1）解：在，理由如下： 过点E作，连接，    ∵，的平分线交于点， ∴， ∵是的中点， ∴， ∴， ∵，， ∴ ∴点在的平分线上； （2）在和中， ∴， ∴， 在和中， ∴， ∴， ∴． 17．(1)见解析 (2)4 【分析】本题主要考查了垂直平分线的性质，角平分线的判定定理，熟知垂直平分线的性质是解题的关键． （1）根据垂直平分线的性质得到，然后利用角平分线的判定定理即可证明结论； （2）首先求出，然后根据等面积法进行求解即可． 【详解】（1）证明：∵垂直平分， ∴， 又∵，， ∴是的平分线； （2）解：∵的周长为18，， ∴， 又∵， ∴， ∴ ∴． 18．问题情境：相等，理由见解析；变式拓展：①，见解析；②，见解析 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，含度角的直角三角形的性质，角平分线的性质； 问题情境：过点作于，于．根据角平分线的性质定理可得，，从而证得，即可求证； 变式拓展：①过点作于，于．根据角平分线的性质定理可得，，从而证得，即可求解； ②先证得，可得，再由，可得，从而得到，再由直角三角形的性质，即可求解． 【详解】问题情境：证明：如图1，过点作于，于． ∵平分，，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 变式拓展：解：①结论：．理由如下： 如图2，过点作于，于． ∵平分，，， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； ②结论：．理由如下： ∵， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在中，，， ∴， ∴， ∴． 19．(1)见解析 (2) 【分析】此题考查了全等三角形的性质和判定，角平分线的性质定理等知识，解题的关键是掌握以上知识点． （1）过点D作交于点F，首先根据角平分线的性质得到，然后求出，然后证明出，得到； （2）首先证明出，得到，然后证明出，得到，然后根据线段的和差求解即可． 【详解】（1）如图所示，过点D作交于点F ∵为的平分线，于点E， ∴ ∵， ∴ 又∵ ∴ ∴； （2）∵为的平分线 ∴ ∵， ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴． 20．（1）；；；（2）①见解析；②见解析；（3） 【分析】（1）根据角平分线的性质定理，等量代换，角平分线的判定定理解答即可． （2）①过点O作，，，，垂足分别为点E，点F，点G，点H，根据角的平分线性质定理和判定定理解答即可． 根据角的平分线性质定理，三角形全等的判定和性质解答即可； （3）根据前面的证明解答即可． 本题考查了角的平分线的判定和性质，三角形全等的判定和性质，熟练掌握判定和性质是解题的关键． 【详解】（1）证明：过点P作，，，垂足分别为点F，点M，点N， 平分，，， ， 同理． ， 点P在的平分线上， 故答案为：；；． （2）解：①过点O作，，， 垂足分别为点E，点F，点G，点H，    ∵，，的平分线相交于点O． ∴，，， ∴， ∴点O在的平分线上， 故四边形四个内角的角平分线交于一点． 证明：根据前面的证明，得， ∵， ∴， ∴， 同理可证，，，， ∴， ∴． 故四边形的四条边满足对边之和相等时，四边形的四条角平分线交于一点． （3）解：根据四边形的四条边满足对边之和相等时，四边形的四条角平分线交于一点． 故即可． 故答案为： 学科网（北京）股份有限公司 $$