精品解析：甘肃省武威市凉州区武威十七中、十二中2025-2026学年九年级上学期开学数学试题

2025-2026学年第一学期九年级开学考试数学试卷 一、选择题（共30分） 1. 当时，下列二次根式有意义的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列运算中错误的是（ ） A B. C. D. 3. 在中，，若，则的面积为（　　） A 6 B. 1 C. 2 D. 2 4. 如图，在平行四边形中，已知，，平分交于点，则线段的长为（ ） A. B. C. D. 5. 如图，在矩形中，O为对角线BD的中点，，E为边上一点，且，连接，取的中点F，连接，则的长度为（ ） A. 2 B. C. 3 D. 6. 下列图象中，不能表示y是x的函数的是（ ） A. B. C. D. 7. 对于函数，下列结论正确的是（ ） A. 它的图象必经过点 B. 它的图象经过第一、二、三象限 C. 当时， D. 的值随值的增大而增大 8. 某班四个小组的人数如下：10，10，x，8，已知这组数据的中位数与平均数相等，则x的值可能为（ ） A. 6 B. 7 C. 8 D. 9 9. 某团队对甲．乙两种水稻进行产量稳定试验，各选取了8块条件相同的试验田，同时播种并核定亩产，结果甲、乙两种水稻的平均产量均为1200千克/亩，方差为为保证产量稳定，适合推广的品种为 （ ） A. 甲 B. 乙 C. 甲、乙均可 D. 无法确定 10. 下列方程中是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（共24分） 11. 若一个长方形的面积是，它的长是，那么这个长方形的宽是________． 12. 若三角形的三边长、、满足，则这个三角形是__________三角形． 13. 如图，在平行四边形中，若，则的大小为_______． 14. 如图，在中，，，，点D是的中点，将沿翻折得到，连接，则的长为___________． 15. 一次函数的图像不经过第三象限，则的取值范围是___________． 16. 小明家月的电费（单位：元）分别为：137，140，140，117，104．该组数据的中位数是_______． 17. 若一组数据，，，，，的极差为，则的值为___________ 18. 若是关于x的一元二次方程，则a可以为_____． 三、解答题（共66分） 19. 计算： （1）； （2）． 20 已知一次函数，当时，． （1）求这个函数的表达式； （2）画出这个函数的图象． 21. 已知，，求下列代数式的值： （1）； （2）． 22. 如图，，，E是上一点，且，． （1）求证：； （2）若，，求的面积． 23. 如图，四边形中，，是上两点，，．若，求证：四边形是平行四边形． 24. 如图，在平行四边形中，过点作交边于点，点在边上，且． （1）求证：四边形矩形； （2）若平分，且，求线段的长． 25. 如图，直线交两坐标轴于点，． （1）求直线的解析式； （2）点C的坐标为，连接．证明：且线段． 26. 为了解某校舞蹈队队员的年龄情况，进行了一次年龄调查，根据队员的年龄（单位：岁）绘制出如下的统计图①和图②，请根据相关信息解答下列问题： （1）本次接受调查的人数为 人，中位数是 岁； （2）求这支舞蹈队队员年龄的众数和平均数． 27. 如图，在中，O是对角线的中点，过点O的直线分别与，交于点E，F，将四边形沿折叠得到四边形，点M在上方，交线段于点H，连接． （1）求证：； （2）求证：； （3）如图2，若，，，，求的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025-2026学年第一学期九年级开学考试数学试卷 一、选择题（共30分） 1. 当时，下列二次根式有意义的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】主要考查了二次根式的意义和性质．概念：式子叫做二次根式．性质：二次根式中的被开方数必须是非负数，否则二次根式无意义．根据二次根式的定义逐项判断即可． 【详解】解：A中，当时，，被开方数小于0，二次根式无意义，故选项不符合题意； B中，当时，，被开方数小于0，二次根式无意义，故选项不符合题意； C中，当时，，被开方数小于0，二次根式无意义，故选项不符合题意； D中，当时，，被开方数大于0，二次根式有意义，故选项符合题意； 故选：D． 2. 下列运算中错误的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】试题分析：根据二次根式的运算法则分别判断即可： A、和不是同类根式，不可合并，故此选项运算错误，符合题意； B、，故此选项运算正确，不合题意； C、，故此选项运算故此选项运算正确，不合题意； D、，故此选项运算正确，不合题意． 故选A． 考点：二次根式的运算. 3. 在中，，若，则的面积为（　　） A. 6 B. 1 C. 2 D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了完全平方公式的变形，勾股定理．利用完全平方公式可得，再由勾股定理可得即可求解． 【详解】解：， ， ， ， ， 则的面积为． 故选：A 4. 如图，在平行四边形中，已知，，平分交于点，则线段的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了角平分线的性质、平行四边形的性质及等腰三角形的性质．根据角平分线、得到角间关系求出的长，是解决本题的关键． 由平分，得，又因为，得、、间的关系，利用等腰三角形的性质，得到的长，通过边的和差关系求出，即可求解． 【详解】解：平分， ， 四边形是平行四边形， ，， ， ， ， ． 故选：B． 5. 如图，在矩形中，O为对角线BD的中点，，E为边上一点，且，连接，取的中点F，连接，则的长度为（ ） A. 2 B. C. 3 D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查三角形中位线，构造出三角形的中位线是解决问题的关键．取中点，连接和，可得分别为和中位线，利用中位线定理可证三点共线，求出后，组合计算即可． 【详解】解：取中点，连接和， ∵在矩形中， ， ， ∵O为对角线的中点，F为的中点，为中点， ∴分别为和中位线， ∴，且， 三点共线， ． 故选：C． 6. 下列图象中，不能表示y是x的函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查函数的定义和函数图象，根据“自变量的每一个值，因变量有唯一的值与之对应”判定即可． 【详解】解：从A、C、D选项中的图象可知，每一个，都有唯一的值与之对应，因此能表示y是x的函数，不符合题意； B选项中，当时，每一个，都有两个值与之对应，因此不能表示y是x的函数，符合题意； 故选：B． 7. 对于函数，下列结论正确的是（ ） A. 它的图象必经过点 B. 它的图象经过第一、二、三象限 C. 当时， D. 的值随值的增大而增大 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，一次函数的图象与性质，掌握一次函数的性质是解题的关键．根据一次函数的图象与性质及一次函数图象上点的坐标特点对各选项进行逐一分析即可． 【详解】解：A、把代入函数得，，故点不在此函数图象上，故本选项错误，不符合题意； B、函数中，，，则该函数图象经过第一、二、四象限，故本选项错误，不符合题意； C、当时，，由，得该函数图象的值随着值的增大而减小，则当时，，故本选项正确，符合题意； D、函数中，，则该函数的值随着值的增大而减小，故本选项错误，不符合题意． 故选：C． 8. 某班四个小组的人数如下：10，10，x，8，已知这组数据的中位数与平均数相等，则x的值可能为（ ） A. 6 B. 7 C. 8 D. 9 【答案】C 【解析】 【分析】题目主要考查中位数及平均数的计算方法，理解题意，进行分类讨论是解题关键． 分三种情况进行分析：当时，当时，当时，然后根据中位数及平均数的计算方法求解即可． 【详解】解：当时，这组数据按从小到大顺序排列为x，8，10，10 由题意得， 则； 当时，这组数据按从小到大顺序排列为8，x，10，10 由题意得， 则（不合题意，舍）； 当时，这组数据按从小到大顺序排列为8，10，10，x 由题意得， 则； 综上所述：或12，符合的只有选项C． 故选：C． 9. 某团队对甲．乙两种水稻进行产量稳定试验，各选取了8块条件相同的试验田，同时播种并核定亩产，结果甲、乙两种水稻的平均产量均为1200千克/亩，方差为为保证产量稳定，适合推广的品种为 （ ） A 甲 B. 乙 C. 甲、乙均可 D. 无法确定 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查方差，方差是反映一组数据的波动大小的一个量．方差越大，则平均值的离散程度越大，稳定性也越差；反之，则它与其平均值的离散程度越小，稳定性越好． 根据方差的意义，方差越小数据越稳定求解即可． 【详解】解：，， ， 乙水稻产量稳定， 故选：B． 10. 下列方程中是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据一元二次方程的定义依次判定即可．本题考查一元二次方程的知识，解题的关键是掌握一元二次方程的定义：只含一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程． 【详解】解：A. 是一元一次方程，不符合题意； B. 是二元二次方程，不符合题意； C. 是一元二次方程，符合题意； D. 是分式方程，不符合题意． 故选：C． 二、填空题（共24分） 11. 若一个长方形的面积是，它的长是，那么这个长方形的宽是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式的除法的应用，根据二次根式的除法运算，即可求解． 【详解】解：， 故答案为：． 12. 若三角形的三边长、、满足，则这个三角形是__________三角形． 【答案】直角 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理．先根据完全平方公式对已知等式进行化简，再根据勾股定理的逆定理即可判定三角形是直角三角形． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴三角形是直角三角形， 故答案为：直角． 13. 如图，在平行四边形中，若，则的大小为_______． 【答案】##144度 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的性质，掌握平行四边形的性质是关键；由平行四边形的性质得，则有；再把代入即可求解． 【详解】解：在平行四边形中，， ∴； ∵， ∴， 解得：， ∴， 故答案为：． 14. 如图，在中，，，，点D是的中点，将沿翻折得到，连接，则的长为___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查翻折变换、直角三角形的斜边中线的性质、勾股定理、中位线的性质等知识，解题的关键是学会利用面积法求高．连接交于，作于．首先证明垂直平分线段，△是直角三角形，求出、，在中，利用勾股定理即可解决问题． 【详解】解：如图，连接交于，作于． 在中，，，， ， ∵点D是的中点， ， ， ，即：， ， ，， 垂直平分线段， ∴，， ∴， ∴， ，， ， ， 在中，， 故答案为：． 15. 一次函数的图像不经过第三象限，则的取值范围是___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的图像与性质，熟练掌握一次函数的图像是解决本题的关键． 由一次函数的图像不经过第三象限，则可得该函数与y轴非负半轴相交，即可求解． 【详解】解：∵一次函数的图像不经过第三象限， ∴可知该函数与y轴非负半轴相交， ∴， 则的取值范围是． 故答案为： ． 16. 小明家月的电费（单位：元）分别为：137，140，140，117，104．该组数据的中位数是_______． 【答案】137 【解析】 【分析】本题考查中位数，按顺序排列的一组数据中居于中间位置的数为中位数，由此可得答案． 【详解】解：将该组数据从小到大排列为：104，117，137，140，140．其中位于中间位置的数为137， 所以该组数据的中位数是137， 故答案为：137． 17. 若一组数据，，，，，的极差为，则的值为___________ 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查极差，熟练掌握计算法则是解题关键．根据极差的定义求解．分两种情况：为最大值或最小值 【详解】解：一组数据，，，，，的极差为， 当为最大值时，，； 当是最小值时，，解得：． 故答案为：或． 18. 若是关于x的一元二次方程，则a可以为_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的定义，理解定义是解题的关键．一元二次方程的一般形式：，据此进行求解即可． 【详解】解：∵是关于x的一元二次方程， ∴， 解得：， 故答案为：． 三、解答题（共66分） 19. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查二次根式的性质，二次根式的混合运算，掌握二次根式的性质，混合运算法则是解题的关键． （1）先根据二次根式的性质化简二次根式，再根据二次根式的加减运算法则即可求解； （2）根据二次根式的混合运算即可求解； 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 20. 已知一次函数，当时，． （1）求这个函数的表达式； （2）画出这个函数的图象． 【答案】（1） （2）见解答 【解析】 【分析】本题考查了待定系数法求一次函数的解析式，熟练掌握待定系数法是解题的关键． （1）将x与y的值代入中求出a的值，即可确定出一次函数解析式； （2）作出函数图象即可． 【小问1详解】 解：依题意得：， 解得：， ∴这个函数的表达式为； 【小问2详解】 解：把代入得：， 把代入得：， 解得：， ∴直线与x轴的交点为，与y轴的交点为， 画函数的图象，如图： 21. 已知，，求下列代数式值： （1）； （2）． 【答案】（1）； （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式的化简求值以及代数式求值．熟练掌握二次根式的运算法则以及通过合理的方法（如直接代入或先求部分和与积再代入）进行代数式求值是解题的关键． （1）将的值代入，先计算，再计算与的和，最后减去，从而得出该代数式的值． （2）先根据和的值求出与的值，再将变形为，最后将与的值代入变形后的式子进行计算． 小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： 22. 如图，，，E是上的一点，且，． （1）求证：； （2）若，，求的面积． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理，证明是本题的关键． （1）由“”可证，根据全等三角形的性质得到； （2）根据全等三角形的性质得到，由余角的性质可得，由勾股定理可求的长，根据三角形的面积公式可求解． 【小问1详解】 证明：∵，， ， 在与中， ， ， ； 【小问2详解】 解：由（1）可知， ∴， ∵， ， ，而， 为等腰直角三角形； 又，， ， ， 的面积． 23. 如图，四边形中，，是上两点，，．若，求证：四边形是平行四边形． 【答案】见解析 【解析】 【分析】本题考查的是平行四边形的性质和判定、三角形的全等，解题的关键在于熟练掌握判定三角形全等的方法以及相关平行四边形的性质．根据平行四边形的性质推出对应的边和角相等，即可证明，从而推出相应的边和角相等，即可证明四边形为平行四边形． 【详解】证明：， ， ，， 四边形是平行四边形， ， 又， ， ，， ， 四边形是平行四边形． 24. 如图，平行四边形中，过点作交边于点，点在边上，且． （1）求证：四边形是矩形； （2）若平分，且，求线段的长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查平行四边形的性质、矩形的判定和性质、勾股定理、等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题； （1）首先证明，，推出四边形是平行四边形，再证明即可解决问题； （2）分别在，中，利用勾股定理求出、即可． 【小问1详解】 证明：四边形是平行四边形， ，， ， ， 四边形是平行四边形， ， ， 四边形是矩形； 【小问2详解】 解：平分，， ， ， ，， ， ， ， 在中，，即的长是． 25. 如图，直线交两坐标轴于点，． （1）求直线的解析式； （2）点C的坐标为，连接．证明：且线段． 【答案】（1） （2）见解析 【解析】 【分析】本题考查了一次函数解析式的求解，勾股定理的应用以及全等三角形的判定与性质，构造辅助线：是解决本题的关键． （1）将点，代入函数解析式，求解关于k和b的二元一次方程组即可求解解析式． （2）过点C作轴于E，根据点A，B，C三点的坐标，可得，，根据勾股定理可求解与的边长，再由三角形全等得到即可证明垂直． 【小问1详解】 解：直线线经过点，， ，解得， 直线的解析式为． 【小问2详解】 证明：过点C作轴于E，如图1， 则与都是直角三角形，， ，，， ，， ，， ， 在与中， 由， ∴≌， ， ，即， ． 26. 为了解某校舞蹈队队员的年龄情况，进行了一次年龄调查，根据队员的年龄（单位：岁）绘制出如下的统计图①和图②，请根据相关信息解答下列问题： （1）本次接受调查的人数为 人，中位数是 岁； （2）求这支舞蹈队队员年龄的众数和平均数． 【答案】（1）， （2）众数为岁，平均数为岁 【解析】 【分析】本题考查条形统计图、扇形统计图、用样本估计总体，掌握相关知识是解决问题的关键． （1）根据频数所占百分比样本容量，求出本次接受调查的队员人数；根据中位数定义求出中位数即可； （2）根据平均数和众数定义求解即可． 【小问1详解】 解：本次接受调查的人数为： 人， 按大小顺序排列，中间两个数都为岁，则中位数为岁， 故答案为：， 【小问2详解】 岁出现了次，次数最多，所以众数为岁， 这支舞蹈队队员年龄的平均数是：岁． 27. 如图，在中，O是对角线的中点，过点O的直线分别与，交于点E，F，将四边形沿折叠得到四边形，点M在上方，交线段于点H，连接． （1）求证：； （2）求证：； （3）如图2，若，，，，求的长． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）由平行四边形的性质可得，由平行线的性质可得，证明，得出，由折叠的性质可得，即可得证； （2）延长交的延长线于，延长交的延长线于，由平行四边形的性质可得，，由平行线的性质可得，由折叠的性质可得，，，证明，得出，，由（1）可得，由全等三角形的性质可得，从而得出，即可得证； （3）过点作交的延长线于，过点作于，连接，求出，，从而即可得出，由直角三角形的性质可得，由勾股定理可得，求出，证明是等腰直角三角形，得出，，再求出，最后由直角三角形的性质即可得解． 【小问1详解】 证明：∵是对角线的中点， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 由折叠的性质可得：， ∴； 【小问2详解】 证明：如图，延长交的延长线于，延长交的延长线于， ， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， 由折叠的性质可得：，，， ∴，， ∴，即， 同理可得：， ∵， ∴， ∴，， 由（1）可得：， ∴， ∴，即， ∴； 【小问3详解】 解：如图，过点作交的延长线于，过点作于，连接， ， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 作于，则，， ∵， ∴， 由折叠的性质可得：， ∴， 在中，∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴的长为． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质、折叠的性质、全等三角形的判定与性质、直角三角形的性质、勾股定理、等腰直角三角形的判定与性质等知识点，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$