专题9 圆中辅助线的添加方法-【绿卡初中创新题】2025-2026学年九年级上册数学习题课件(冀教版)河北专版

第二十八章　圆 专题9　圆中辅助线的添加方法 1 类型1　构造同弧所对的圆周角或圆心角进行推理 1. （石家庄桥西期末）如图，A，B，C是⊙O上的三点，连接AB，BC，AC. 若∠C=30°，AB=4，则⊙O的半径为（　　） A. 2 B. 4 C. 8 D. 2 B 目 录 导 航 2 3 4 5 6 7 8 1 9 10 11 12 14 15 13 2 2. 如图，已知点A，B，C，D，E均在⊙O上，∠A=30°，∠O=48°，则∠E=________. 54° 目 录 导 航 2 3 4 5 6 7 8 1 9 10 11 12 14 15 13 3 类型2　利用直径构造直角三角形 3. （唐山路北期末）如图，AB为⊙O的直径，C，D为⊙O上两点. 若∠BCD=42°，则∠ABD的度数为（　　） A. 68° B. 58° C. 48° D. 21° C 目 录 导 航 2 3 4 5 6 7 8 1 9 10 11 12 14 15 13 4 4. 如图，△ABC内接于⊙O，连接OA，OC. 若⊙O的半径为3，且sin B= ，则弦AC的长为________. 5 目 录 导 航 2 3 4 5 6 7 8 1 9 10 11 12 14 15 13 5 【解析】如图，延长AO交⊙O于点E，连接EC，则∠AEC=∠B， ∴sin ∠AEC=sin B=. ∵AE是⊙O的直径，∴∠ACE=90°.  在Rt△ACE中，sin ∠AEC==. ∵AO=3，∴AE=6，∴AC=5.  目 录 导 航 2 3 4 5 6 7 8 1 9 10 11 12 14 15 13 5. 如图，已知AB是⊙O的直径，若∠E=25°，∠CAD=45°，求∠CDA的度数. 解：如图，连接BC.  ∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB=90°，∴∠CAB+∠ABC=90°.  ∵∠CAB=∠CAD+∠BAD，∠ABC=∠BCD+∠E，∠BAD=∠BCD， ∴∠CAB+∠ABC=∠CAD+∠BAD+∠BAD+∠E=45°+2∠BAD+25°=70°+2∠BAD=90°， ∴∠BAD=10°，∴∠CDA=∠BAD+∠E=10°+25°=35°.  目 录 导 航 2 3 4 5 6 7 8 1 9 10 11 12 14 15 13 7 6. （邯郸复兴期末）如图，在△ABC中，CA=CB，以BC为直径的半圆O与AB交于点D，与AC交于点E，连接DE. （1）求证：D为AB的中点； （2）求证：AD=DE. 目 录 导 航 2 3 4 5 6 7 8 1 9 10 11 12 14 15 13 8 证明：（1）如图，连接CD.  ∵BC为直径，∴∠BDC=90°，∴CD⊥AB.  ∵CA=CB，∴AD=BD，∴D为AB的中点.  （2）∵四边形BCED为⊙O的内接四边形，∴∠B+∠DEC=180°.  ∵∠AED+∠DEC=180°，∴∠AED=∠B.  ∵CA=CB，∴∠A=∠B，  ∴∠A=∠AED，∴AD=DE.  目 录 导 航 2 3 4 5 6 7 8 1 9 10 11 12 14 15 13 类型3　遇直径垂直于弦，作过弦端点的半径 7. 如图，CD为⊙O的直径，弦AB⊥CD于点E，OE=12，AB=10，那么⊙O的半径为（　　） A. 5 B. 10 C. 12 D. 13 D 目 录 导 航 2 3 4 5 6 7 8 1 9 10 11 12 14 15 13 10 8. 如图，⊙O的直径AB=12，CD是☉O的弦，CD⊥AB，垂足为P，且BP∶AP=1∶5，则CD的长为（　　） A. 2 B. 4 C. 4 D. 8 B 目 录 导 航 2 3 4 5 6 7 8 1 9 10 11 12 14 15 13 11 9. （邢台襄都期末）如图是一个隧道的横截面，它的形状是以点O为圆心的圆的一部分. 如果C是⊙O中弦AB的中点，CD经过圆心O交⊙O于点D，并且AB=8 m，CD=8 m，那么⊙O的半径长为________m. 5 目 录 导 航 2 3 4 5 6 7 8 1 9 10 11 12 14 15 13 12 10. （唐山迁安期末）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为E，连接AD. 若AB=10，CD=6，求弦AD的长. 解：如图，连接OD.  ∵CD⊥AB，∴∠AED=90°，CE=DE=CD=3.  ∵AB=10，∴OD=OA=5.  在Rt△ODE中，OE===4， ∴AE=OA+OE=5+4=9.  在Rt△ADE中，AD===3. 目 录 导 航 2 3 4 5 6 7 8 1 9 10 11 12 14 15 13 13 类型3　遇弦，作弦的垂线和半径 11. 如图，⊙O的半径为10，弦AB=16，M是弦AB上的动点，则OM不可能为（　　） A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 A 目 录 导 航 2 3 4 5 6 7 8 1 9 10 11 12 14 15 13 14 【解析】如图，过点O作OC⊥ AB于点C，连接OB.  ∵OC⊥AB，∴AC=BC=AB=8. 在Rt△OBC中，OC===6. ∵垂线段最短，∴当点M与点C重合时，OM取得最小值6；当点M与点A或B重合时，OM取得最大值10，∴6≤OM≤10. ∴OM不可能为5.  目 录 导 航 2 3 4 5 6 7 8 1 9 10 11 12 14 15 13 12. （新趋势  探究性问题）如图，在⊙O中，动弦AB与直径CD相交于点E，且总有∠BED=45°，则AE2+BE2的值（　　） A. 随着OE的增大而增大 B. 随着OE的增大而减小 C. 随着OE的增大先增大后减小 D. 保持不变 D 目 录 导 航 2 3 4 5 6 7 8 1 9 10 11 12 14 15 13 【解析】如图，作OH⊥AB于点H，连接OA，OB，则AH=BH.  设⊙O的半径为R，∵∠OEH=∠BED=45°， ∴OH=HE，∴AE2+BE2=（AH+HE）2+（BH-HE）2= AH2+HE2+2AH·HE+BH2+HE2-2BH·HE=R2+R2+2HE（AH-BH）=2R2， ∴AE2+BE2的值保持不变.  目 录 导 航 2 3 4 5 6 7 8 1 9 10 11 12 14 15 13 13. （石家庄裕华期末）如图，⊙O的半径为5，M是圆外一点. 若MO=6，∠OMA=30°，则弦AB的长为________. 8 目 录 导 航 2 3 4 5 6 7 8 1 9 10 11 12 14 15 13 14. 如图，已知AB为⊙O的弦，点C在AB上，AC=4，BC=2，CD⊥OC交⊙O于点D，求CD的长. 解：如图，过点O作OE⊥AB于点E，连接OA，OD.  ∵AC=4，BC=2，∴AB=6.  ∵OE⊥AB，∴AE=BE=3，∴CE=3-2=1.  设OE=x，在Rt△OAE中，OA2=x2+9， 在Rt△OCE中，OC2=x2+1.  ∵CD⊥OC，  ∴CD2=OD2-OC2=x2+9-（x2+1）=8，∴CD=2. 目 录 导 航 2 3 4 5 6 7 8 1 9 10 11 12 14 15 13 15. （上海中考）如图，在⊙O中，弦AB的长为8，点C在BO的延长线上，且cos ∠ABC=，OC=OB. （1）求⊙O的半径； （2）求∠BAC的正切值. 目 录 导 航 2 3 4 5 6 7 8 1 9 10 11 12 14 15 13 解：（1）如图，过点O作OD⊥AB，垂足为D.  ∵AB=8，∴AD=BD=AB=4.  在Rt△OBD中，∵cos ∠ABC==5， ∴OB===5，∴⊙O的半径为5.  （2）如图，过点C作CE⊥AB，垂足为E.  目 录 导 航 2 3 4 5 6 7 8 1 9 10 11 12 14 15 13 ∵OC=OB，OB=5，∴BCOB=7.5.  ∵OD⊥AB，∴OD∥CE，∴=，即=， ∴BE=6， ∴AE=AB-BE=8-6=2.  在Rt△BCE中，CE==4.5.  在Rt△ACE中，tan ∠BAC===. 目 录 导 航 2 3 4 5 6 7 8 1 9 10 11 12 14 15 13 23 $$