专题8 反比例函数与一次函数、几何图形的综合应用-【绿卡初中创新题】2025-2026学年九年级上册数学习题课件(冀教版)河北专版

第二十七章　反比例函数 专题8　反比例函数与一次函数、 几何图形的综合应用 1 类型1　反比例函数与一次函数的综合应用 典例1　如图，一次函数y=x+1的图像与反比例函数y=的图像的一个交点为A（2，m），则不等式>3的解集是（　　） A. x>2 B. 0<x<2 C. x>0 D. x<-3或0<x<2 B 目 录 导 航 1 2 3 4 典例1 5 6 8 9 典例2 7 2 变式训练 1. 若ab<0，则反比例函数y=与一次函数y=ax+b在同一坐标系中的大致图像可能是（　　） D 目 录 导 航 1 2 3 4 典例1 5 6 8 9 典例2 7 2. （山东东营中考）如图，一次函数y1=k1x+b的图像与反比例函数y=的图像相交于A，B两点，点A的横坐标为2，点B的横坐标为-1，则不等式k1x+b<的解集是（　　） A. -1<x<0或x>2 B. x<-1或0<x<2 C. x<-1或x>2 D. -1<x<2 A 目 录 导 航 1 2 3 4 典例1 5 6 8 9 典例2 7 4 3. （衡水桃城期末）已知直线y=kx（k>0）与双曲线y=交于A（x1，y1），B（x2，y2）两点，则x1y2+x2y1的值为________. -6 【解析】由题意知A（x1，y1），B（x2，y2）关于原点对称，∴x2=-x1，y2=-y1. 把A（x1，y1）代入y=，得x1y1=3， ∴x1y2+x2y1=-x1y1-x1y1=-3-3=-6.  目 录 导 航 1 2 3 4 典例1 5 6 8 9 典例2 7 5 4. 如图，已知直线y=（x>0）与反比例函数y=（x>0）的图像交于点A（a，1）. （1）k=________； （2）过点A作AB⊥y轴于点B，以AB为边向下作 正方形ABCD，BC与y轴重合，则OA2-OC2=________. 5 8 【解析】（1）把点A（a，1）代入y=x，得a=1，解得a=5，故k=5×1=5.  （2）由（1）知A（5，1），又知AB⊥y轴，四边形ABCD是正方形，∴AB=BC=5，OB=1，∴OC=BC-OB=5-1=4，OA2=AB2+OB2=52+12=26， ∴OA2-OC2=26-16=10. 目 录 导 航 1 2 3 4 典例1 5 6 8 9 典例2 7 6 5. （辽宁鞍山中考）如图，在平面直角坐标系中，一次函数y=x+2的图像与反比例函数y=（x>0）的图像交于点A（1，m），与x轴交于点C. （1）求点A的坐标和反比例函数的表达式； （2）点B是反比例函数图像上的一点，且纵坐标是1， 连接AB，CB，求△ABC的面积. 目 录 导 航 1 2 3 4 典例1 5 6 8 9 典例2 7 7 解：（1）∵一次函数y=x+2的图像过点A（1，m）， ∴m=1+2=3，∴A（1，3）.   ∵点A在反比例函数y=（x>0）的图像上，∴k=1×3=3， ∴反比例函数的表达式为y=. （2）∵点B是反比例函数图像上一点，且纵坐标是1，∴B（3，1）. 如图，过点B作BD∥x轴，交直线AC于点D， 则点D的纵坐标为1. 把y=1代入y=x+2，得1=x+2， 解得x=-1， ∴D（-1，1）， ∴BD=3+1=4， ∴S△ABC=×4×3=6. 目 录 导 航 1 2 3 4 典例1 5 6 8 9 典例2 7 类型2　反比例函数与几何图形的综合应用 典例2　（石家庄新华期末）如图，点A在直线y=x上，AB⊥x轴于点B，点C在线段AB上，以AC为边作正方形ACDE，点D恰好在反比例函数y=（k≠0）第一象限的图像上，连接AD. 若OA2-AD2=20，则k的值为________. 10 目 录 导 航 1 2 3 4 典例1 5 6 8 9 典例2 7 9 【解析】设正方形的边长为a，A（t，t），则OB=AB=t，AC=CD=a，∴C（t，t-a），D（t+a，t-a），OA= t，AD= a. ∵OA2-AD2=20，∴（ t）2-（ a）2=20， ∴t2-a2=10.  ∵点D在反比例函数y=的图像上， ∴k=（t+a）（t-a）=t2-a2=10.  目 录 导 航 1 2 3 4 典例1 5 6 8 9 典例2 7 变式训练 6. （新趋势  多模块综合）如图，点A（a，1），B（-1，b）都在双曲线y=-（x<0）上，点P，Q分别是x轴、y轴上的动点. 当四边形PABQ的周长取最小值时，PQ所在直线的表达式是（　　） A. y=x B. y=x+1 C. y=x+2 D. y=x+3 C 目 录 导 航 1 2 3 4 典例1 5 6 8 9 典例2 7 11 7. 如图，直线AB过原点，且交反比例函数y=的图像于点A，B，过点A作AC⊥x轴，垂足为C，则△ABC的面积为________. 6 目 录 导 航 1 2 3 4 典例1 5 6 8 9 典例2 7 12 8. 如图，已知矩形ABCD的对角线BD经过坐标原点O，矩形ABCD的边分别平行于坐标轴，点C在反比例函数y=的图像上. 若点A的坐标为（-2，-2），则k的值为________. 目 录 导 航 1 2 3 4 典例1 5 6 8 9 典例2 7 【解析】∵点A的坐标为（-2，-2），∴可设D（a，-2），B（-2，b），则C（a，b）. ∵BD经过坐标原点O，∴设直线BD的表达式为y=mx（m≠0）. 把D（a，-2），B（-2，b）分别代入y=mx，得am=-2，-2m=b， ∴a=-，∴ab=-·（-2m）=4. ∵点C（a，b）在反比例函数y=的图像上， ∴2k+1=ab=4，解得k=. 目 录 导 航 1 2 3 4 典例1 5 6 8 9 典例2 7 9. （湖北仙桃中考）如图，在平面直角坐标系中，菱形ABCD的顶点D在y轴上，A，C两点的坐标分别为（2，0），（2，m），直线CD：y1=ax+b与双曲线：y2=交于C，P（-4，-1）两点. （1）求双曲线y2的函数表达式及m的值； （2）判断点B是否在双曲线上，并说明理由； （3）当y1>y2时，请直接写出x的取值范围. 目 录 导 航 1 2 3 4 典例1 5 6 8 9 典例2 7 解：（1）∵点P（-4，-1）在双曲线y2=上，∴k=4，∴y2=. ∵点C（2，m）在双曲线y2=上，∴m==2. （2）点B在双曲线上. 理由如下： 由（1）知，C（2，2）， 又∵P（-4，-1），∴解得则y1=x+1. 当x=0时，y1=×0+1=1，∴D（0，1）.   ∵菱形ABCD中，A（2，0），C（2，2），D（0，1）， ∴B（4，1）.  ∵4×1=4，∴点B在双曲线y2=上. （3）-4<x<0或x>2. 目 录 导 航 1 2 3 4 典例1 5 6 8 9 典例2 7 17 $$