专题7 解直角三角形实际问题的常见模型-【绿卡初中创新题】2025-2026学年九年级上册数学习题课件(冀教版)河北专版

第二十六章　解直角三角形 专题7　解直角三角形实际问题的常见模型 1 模型1　背对背型（在三角形内部作高） 【方法指导】 　　如图，在△ABC内作高CD，构造出两个直角三角形求 解，其中公共边CD是解题的关键. 　　等量关系：在Rt△ACD和Rt△BCD中，CD为公共边， AD+BD=AB. 模型1 模型2 模型3 训练1 训练2 训练3 训练4 训练5 训练6 训练7 训练8 2 模型1 模型2 模型3 训练1 训练2 训练3 训练4 训练5 训练6 训练7 训练8 3 1. 如图，从一栋二层楼的楼顶点A处看对面的教学楼，探测器显示，看到教学楼底部点B处的俯角为45°，看到教学楼顶部点C处的仰角为60°. 已知两栋楼之间的水平距离为6 m，那么教学楼的高CB为 （　　） A. 12 m B. （6+6）m C. 8 m D. （8+6）m 针对训练 B 模型1 模型2 模型3 训练1 训练2 训练3 训练4 训练5 训练6 训练7 训练8 4 2.（新情境 科技发展）2024年10月30日，神舟十九号载人飞船发射取得圆满成功，3名航天员顺利进驻中国空间站. 如图展示了中国空间站上机械臂的一种工作状态. 当两臂AC=BC=10 m，两臂夹角∠ACB=100°时，A，B两点间的距离为________.（结果精确到0.1 m. 参考数据：sin 50°≈0.766，cos 50°≈0.643，tan 50°≈1.192） 15.3 m 模型1 模型2 模型3 训练1 训练2 训练3 训练4 训练5 训练6 训练7 训练8 5 3. 某公园儿童滑梯的截面示意图如图所示，已知立柱BC，EF垂直于地面AD且高度相同，平台BG平行地面AD，∠BAC=45°，∠GDF=37°. 若AC=2 m，则滑道DG的长约为________m. （结果保留整数. 参考数据：sin 37°≈0.60，cos 37°≈0.80，tan 37°≈0.75） 3 模型1 模型2 模型3 训练1 训练2 训练3 训练4 训练5 训练6 训练7 训练8 6 【方法指导】 　　如图，在△ABC外作高BD，构造出两个直角三角形求解，其中公共边BD是解题的关键. 　　等量关系：在Rt△ABD和Rt△BCD中，BD为公共边，AD-CD=AC. 模型2　母子型（在三角形外部作高） 模型1 模型2 模型3 训练1 训练2 训练3 训练4 训练5 训练6 训练7 训练8 7 模型1 模型2 模型3 训练1 训练2 训练3 训练4 训练5 训练6 训练7 训练8 8 4. 如图，一根3 m长的竹竿AB斜靠在竖直的墙上，沿着墙下滑，点A下滑至点A′，点B移至点B′. 设∠ABC=α，∠A′B′C=β，则AA′= （　　） A. （3sin α-3sin β）m B. （3cos α-3cos β）m C. m D. （3tan α-3tan β）m 针对训练 A 模型1 模型2 模型3 训练1 训练2 训练3 训练4 训练5 训练6 训练7 训练8 9 5.（新情境 生产生活）图1是某种路灯的实物图，图2是该路灯的平面示意图，MN为立柱的一部分，灯臂AC、支架BC与立柱MN分别交于A，B两点，灯臂AC与支架BC交于点C. 已知∠MAC=60°，∠ACB= 15°，AC=40 cm，则支架BC的长为________cm. （结果精确到1 cm. 参考数据：≈1.414，≈ 1.732，≈2.449） 49 模型1 模型2 模型3 训练1 训练2 训练3 训练4 训练5 训练6 训练7 训练8 10 6.（新情境 燕风赵韵）正定是一座历史悠久的古城，它的标志性古建筑南城门，吸引了众多游客的到访. 某校数学社团的同学们使用卷尺和自制的测角仪测量南城门的高度. 如图，他们在地面一条水平步道MP上架设测角仪，先在点M处测得南城门最高点A的仰角为22°，再沿MP方 向前进14 m到达点N处，测得点A的仰角 为45°，测角仪的高度为1 m，求南城门 最高点A距离地面的高度. （结果精确到0.1 m. 参考数据：sin 22°≈0.37，cos 22°≈0.93，tan 22°≈0.40，≈1.41） 模型1 模型2 模型3 训练1 训练2 训练3 训练4 训练5 训练6 训练7 训练8 11 解：如图，过点A作AD⊥PM于 点D，延长BC交AD于点E，则四边形BMNC、四边形BMDE均为矩形， ∴BC=MN=14 m，DE=CN=BM=1 m. ∵∠AEC=90°，∠ACE=45°，∴CE=AE. 设AE=CE=x m，则BE=（14+x）m. ∵∠ABE=22°，∴tan 22°==≈0.40， ∴x≈9.33，∴AD≈9.33+1≈10.3（m）， ∴南城门最高点A距离地面的高度约为10.3 m. 模型1 模型2 模型3 训练1 训练2 训练3 训练4 训练5 训练6 训练7 训练8 12 【方法指导】 　　如图，分别解两个直角三角形，其中公共边BC是解 题的关键. 　　等量关系：在Rt△ABC和Rt△BCD中，BC=BC. 模型3　拥抱型 模型1 模型2 模型3 训练1 训练2 训练3 训练4 训练5 训练6 训练7 训练8 13 模型1 模型2 模型3 训练1 训练2 训练3 训练4 训练5 训练6 训练7 训练8 14 7. 如图，CD是平面镜，光线从A点出发经CD上点O反射后照射到B点，若入射角为α，反射角为β（反射角等于入射角），AC⊥CD于点C，BD⊥CD于点D，且AC=3，BD=6，CD=12，则tan α的值为________. 针对训练 模型1 模型2 模型3 训练1 训练2 训练3 训练4 训练5 训练6 训练7 训练8 15 8.（四川巴中中考）某兴趣小组开展了测量电线塔高度的实践活动. 如图所示，斜坡BE的坡度为1∶，BE=6 m，在B处测得电线塔CD顶部D的仰角为45°，在E处测得电线塔CD顶部D的仰角为60°. （1）求点B离水平地面的高度AB； （2）求电线塔CD的高度（结果保留根号）. 模型1 模型2 模型3 训练1 训练2 训练3 训练4 训练5 训练6 训练7 训练8 16 解：（1）由题意，得BA⊥AE. ∵斜坡BE的坡度为1∶，∴==. 在Rt△ABE中，tan ∠BEA==，∴∠BEA=30°. ∵BE=6 m，∴AB=BE=3 m，AE=AB=3 m， 即点B离水平地面的高度AB为3 m. 模型1 模型2 模型3 训练1 训练2 训练3 训练4 训练5 训练6 训练7 训练8 17 （2）如图，过点B作BF⊥CD，垂足为F. 由题意，得AB=CF=3 m，BF=AC. 设EC=x m. ∵AE=3m，∴BF=AC=AE+CE=（x+3）m. 在Rt△CDE中，tan ∠DEC=，∠DEC=60°， ∴CD=CE·tan 60°=x m. 在Rt△BDF中，tan ∠DBF=，∠DBF=45°， ∴DF=BF·tan 45°=（x+3）m. ∵DF+CF=CD，∴x+3+3=x，解得x=6+3， ∴CD=（6+9）m，即电线塔CD的高度为（6+9）m. 模型1 模型2 模型3 训练1 训练2 训练3 训练4 训练5 训练6 训练7 训练8 18 19 $$