第二十六章 解直角三角形（复习讲义）数学冀教版九年级上册

第二十六章 解直角三角形（复习讲义） 1. 了解锐角三角函数（正弦、余弦、正切）的定义，体会直角三角形边角之间的整体联系。 2. 能熟记30°、45°、60°特殊角的三角函数值，并准确运用。 3. 理解解直角三角形的方法：已知斜边求直边用正、余弦；已知直边求直边用正切；已知两边求边用勾股定理、求角用函数关系；已知锐角求另一锐角用互余关系；已知直边求斜边用正、余弦。 4. 能用三角函数解决实际问题，掌握仰角、俯角、坡度、坡角、方向角（方位角）的含义并用于分析实际情境。 一、锐角三角函数的定义 在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=c，BC=a，AC=b， 正弦：sinA=；余弦：cosA=；正切：tanA=． 根据定义求三角函数值时，一定根据题目图形来理解，严格按照三角函数的定义求解，有时需要通过辅助线来构造直角三角形. 二、特殊角的三角函数值 α sinα cosα tanα 30° 45° 1 60° 三、解直角三角形 1．在直角三角形中，除直角外，一共有五个元素，即三条边和两个锐角，由直角三角形中除直角外的已知元素求出所有未知元素的过程叫做解直角三角形． 2．解直角三角形的常用关系：在Rt△ABC中，∠C=90°，则： （1）三边关系：a2+b2=c2； （2）两锐角关系：∠A+∠B=90°； （3）边与角关系：sinA=cosB=，cosA=sinB=，tanA=； （4）sin2A+cos2A=1． 3．科学选择解直角三角形的方法口诀： 已知斜边求直边，正弦、余弦很方便；已知直边求直边，理所当然用正切； 已知两边求一边，勾股定理最方便；已知两边求一角，函数关系要记牢； 已知锐角求锐角，互余关系不能少；已知直边求斜边，用除还需正余弦. 四、三角函数的应用 1.仰角和俯角 仰角：在视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫做仰角． 俯角：在视线与水平线所成的角中，视线在水平线下方的角叫做俯角． 2.坡度和坡角 坡度：坡面的铅直高度h和水平宽度l的比叫做坡面的坡度（或坡比），记作i=． 坡角：坡面与水平面的夹角叫做坡角，记作α，i=tanα．坡度越大，α角越大，坡面越陡． 3.方向角（或方位角） 指北或指南方向线与目标方向线所成的小于90°的水平角叫做方向角(或方位角)． 题型一 求角的正弦值 1．如图，A，B，C是小正方形的顶点，每个小正方形的边长为1，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了勾股定理和求三角函数值．过点A作于点D，根据，可得，即可求解． 【详解】解：如图，过点A作于点D， 根据题意得：，，， ∵， ∴， 解得：， ∴． 故选：B． 2．如图所示，在中，若，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了勾股定理，锐角三角函数，由勾股定理求出斜边的长，再根据正弦的定义计算即可，掌握正弦的定义是解题的关键． 【详解】解：如图， ∵，，， ∴， ∴． 故选：A． 3．如图，中，，，，则的值为 【答案】/ 【分析】本题考查的是锐角三角函数的定义，锐角的对边与斜边的比叫做的正弦，记作．根据正弦的定义解答即可． 【详解】解：△中，，，， 则， 故答案为：． 4．如下图，在中，于点．若为的中点，求的值． 【答案】 【分析】首先利用勾股定理计算出的长，再根据直角三角形的性质可得，根据等边对等角可得，进而得到. 【详解】解：． ， ． 为的中点，， ， ． 【点睛】本题考查了勾股定理的应用，求角的正弦值，关键是掌握在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半． 题型二 已知正弦值求边长 5．在中，，，，则的值是（ ） A．5 B．9 C．6 D．3 【答案】B 【分析】本题考查了解直角三角形：在直角三角形中，由已知元素求未知元素的过程就是解直角三角形．理解正弦的定义是解题的关键．根据正弦的定义得到，然后代入计算即可． 【详解】解：， ， 故选：B． 6．在中，已知，，，则长为（　　） A．12 B．26 C．24 D．13 【答案】B 【分析】本题考查了解直角三角形，利用正弦的定义即可求出． 【详解】解：∵在中，，，， ∴， 故选：B． 7．如图，在中，，D为边上的一点，，，．则 ． 【答案】 【分析】本题考查解直角三角形，勾股定理．根据正弦函数的定义求出，利用勾股定理求出，再求出，利用勾股定理求出即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为：． 8．如图，已知的三条边，，，满足，且，． (1)求，，的值． (2)求的面积． 【答案】(1)，， (2)84 【分析】本题考查了比例的性质，一元一次方程的解法，解直角三角形，设出未知数并表示出与c是解决本题的关键． （1）设，则依次用x表示与c的值，再由即可求解； （2）作出三角形的高，由即可求解三角形的高，再由三角形面积公式即可求解． 【详解】（1）解：∵ 设， ∴，， ∴，，， ∵， ∴， 解得， ∴， ， ； （2）解：过点C作交于点D，如图， 在中，， 由（1）知，，， ∴，解得， ∴． 题型三 求角的余弦值 9．如图，在中，于，设，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了勾股定理，求角的余弦值，先利用勾股定理求出的长，进而求出的值，再证明即可得到答案． 【详解】解：∵在中，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故选：A． 10．如图，在中，，于点，，，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了勾股定理，锐角三角函数．先由勾股定理求出的长，再由，可得的长，即可求解． 【详解】解：在中，，，， ∴， ∵， ∴， 即， 解得：， ∴． 故选：B 11．如图，在的网格中，每个小正方形的边长为1，点A、B、C均在格点上，则的值是 ． 【答案】/ 【分析】本题主要考查了勾股定理和网格问题，勾股定理的逆定理，三角函数定义，先根据勾股定理求出，，，再证明为直角三角形，，最后根据三角函数定义，求出结果即可． 【详解】解：由勾股定理可得， ， ， ∵，， ∴， ∴为直角三角形，， 在中，． 12．如图，在中，，于点D，，，求与的值． 【答案】 【分析】本题考查了锐角三角函数的定义，勾股定理．根据余角的性质得，根据勾股定理求出的长，然后根据锐角三角函数的定义求解即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴，． 题型四 已知余弦求边长 13．如图，中，，点在上，若，，则的长度为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了勾股定理，余弦，相似三角形的性质和判定， 根据余弦求出，再根据勾股定理求出，然后说明，最后根据相似三角形的对应边成比例得出答案. 【详解】解：，，， ， ， ， ， ， ， . 故选：B． 14．在中，，如果，，那么的长为（　　） A． B． C．8 D．10 【答案】D 【分析】本题考查余弦定义，根据余弦定义求解即可． 【详解】解：∵在中，，，， ∴，即， 解得， 故选：D． 15．如图，在中，，，，点是的中点，则的长为 ． 【答案】3 【分析】本题考查了直角三角形的边角间关系及直角三角形斜边上的中线与斜边的关系．掌握直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，是解决本题的关键． 先根据锐角三角函数的边角间关系，求出的长，再根据直角三角形的斜边中线与斜边的关系得结论． 【详解】  解：在中，   ∵，，   ∴．   ∵M是的中点，   ∴， 故答案为3 16．如图，已知，在中，，，求的值． 【答案】12 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，锐角三角函数等知识；由等腰三角形性质得；由余弦函数可求得的长，即可求得的值． 【详解】解：∵，， ∴，， ∵， ∴， ∴， 即的值为12． 题型五 求角的正切值 17．在中，，如果，那么的值是（   ） A． B．2 C． D． 【答案】A 【分析】本题考查锐角三角函数定义，根据正切的定义即可求得答案． 【详解】解：∵在中，，如果， ∴， 故选：A． 18．直角三角形纸片的两直角边长分别为6，8，现将如图那样折叠，使点与点重合，折痕为，则的值是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了折叠的性质、勾股定理及正切的定义，求出相关线段的长度并能根据定义准确计算是正确解答此题的关键． 由折叠可得，设，则，根据勾股定理建立方程求出的长度，进而根据正切即可求解． 【详解】解： 根据题意得，，设，则． 在中，根据勾股定理得：， 即， 解得， 故， 故选C． 19．在中，于，且，则 ． 【答案】 【分析】此题主要考查的求角的正切值．证明，则． 【详解】解：如图，    ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 20．如图，在中是对角线AC、BD的交点，，，垂足分别为点E、F．若，，求的值． 【答案】 【分析】本题主要考查了利用平行四边形的性质和直角三角形的全等来证明线段相等，并利用三角函数的定义来求解． 根据平行四边形的性质可得，，再根据，，得出，得到，再根据已知条件求出即可得解． 【详解】解：四边形是平行四边形， ，， ，， ， ，， ， ， ，， ， ． 题型六 已知正切值求边长 21．如图，在中，若，，，则（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【分析】本题主要考查了锐角三角函数的定义，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键． 根据锐角三角函数的定义得，再根据，即可得出的长，然后利用勾股定理计算求解． 【详解】解：在中，，， ∵， ∴， ∴． 故选：C． 22．如图，在中，，平分，分别以为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，作直线交于点．连接，则的长为（   ） A． B．6 C． D． 【答案】D 【分析】利用直角三角形的性质，特殊角的三角函数，勾股定理，线段垂直平分线的基本作图，角的平分线的意义解答即可． 【详解】解：∵， ∴，， ∵平分， ∴， ∴， ∴， 根据基本作图，得垂直平分线段， ∴， ∴， ∴． 故选：D． 【点睛】本题考查了直角三角形的性质，特殊角的三角函数，勾股定理，线段垂直平分线的基本作图，角的平分线的意义，熟练掌握性质是解题的关键． 23．如图，在中，，为斜边上不与端点重合的一动点，过点作，垂足为，将沿直线翻折得对应，交于点，若，则线段的长是 ． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理求解边长，相似三角形的判定与性质，图形的翻折变换，锐角三角函数辅助求解问题．由翻折前后的长度相等且的正切值相等求解的长是解决本题的关键． 本题涉及到相似三角形的性质以及勾股定理，首先通过勾股定理求出的长度，再利用相似三角形的对应边成比例关系来建立等式求解． 【详解】解：在中，， ，则， 因为，， 所以， 那么， 设， 因为， 则，， 因为沿直线翻折得对应， 所以， 又因为， 所以，解得， 即， 在与中， ， 即，解得， ，可得， 可得，即， 解得． 故答案为：． 24．如图，在中，点在边上，，，，，求：线段的长．    【答案】9 【分析】本题主要考查了解直角三角形，相似三角形的性质与判定，先解直角三角形得到，再证明得到，由此推出，则． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 题型七 特殊角三角函数值混合运算 25．计算： (1) (2) 【答案】(1)1 (2) 【分析】（1）先计算乘方，零次幂，特殊三角函数值，化去绝对值，再计算加减即可； （2）先计算负整数指数幂，零次幂，特殊三角函数值，再计算乘法，最后计算加减． 【详解】（1）解： ； （2） ． 【点睛】本题考查了求一个数的绝对值，零指数幂，负整数指数幂，特殊角三角函数值的混合运算，解题关键是掌握上述知识点并能运用求解． 26．计算： (1)． (2)． 【答案】(1) (2)2 【分析】本题考查含特殊角的三角函数值的混合运算，熟记特殊角的三角函数值，是解题的关键： （1）将特殊角的三角函数值代入，进行计算即可； （2）先特殊角的三角函数值代入，以及化简负整数指数幂，绝对者，运用二次根式的性质化简，再运算乘法，最后运算加减，即可作答． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 27．计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了特殊角的三角函数值，负整数指数幂，解答本题的关键是掌握几个特殊角的三角函数值． （1）将特殊角的三角函数值代入计算即可求解； （2）分别进行二次根式的化简、特殊角的三角函数值、负整数指数幂等运算，然后合并． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 28．计算： (1)； (2). 【答案】(1) (2)2 【分析】本题主要考查了实数的运算，特殊角三角函数的运算， （1）根据，再计算即可； （2）根据，再计算. 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 . 题型八 根据特殊角三角函数值求角的度数 29．已知，在中，，，则的度数是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了特殊角的三角函数值．记住特殊角的三角函数值是解决此类问题的关键． 利用的三角函数值解决问题． 【详解】解：∵在中，，， ∴， 故选：C． 30．在中，若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了特殊角的三角函数值、绝对值和平方的非负性、三角形内角和定理，根据绝对值和平方的非负性即可求得的度数，根据三角形内角和即可求得的度数. 【详解】解：， 且 . 故选：B. 31．阅读理解题，．． 故猜想：一般地，当是锐角时，有．根据此猜想，的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】理解题意，寻找规律解题. 根据已知条件找出规律，根据此规律及特殊角的三角函数值求解. 【详解】当为锐角时，有， 故选：A. 32．已知，均为锐角，且满足，那么 ． 【答案】/度 【分析】本题主要考查了绝对值和平方数的非负性，特殊角的三角函数值，熟记特殊角的三角函数值是解题关键． 根据绝对值和平方数的非负性，得，，利用特殊角的三角函数值分别求出、的值，代入计算即可求解． 【详解】解：由题意得：，， ，， ，， ． 故答案为：． 题型九 已知角度比较三角函数值的大小 33．三角函数、、之间的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了锐角三角函数的特点．根据三角函数之间的关系，得出，再根据余弦值随着角度的增大而减小进行判断即可． 【详解】解：∵， 又，余弦值随着角度的增大而减小， ∴，故C正确． 故选：C． 34．比较和的大小（   ） A． B． C． D．不确定 【答案】A 【分析】本题考查了锐角三角函数的增减性，将余弦转化为正弦是解题的关键． 将余弦转化为正弦，根据正弦的锐角三角函数的增减性比较大小即可． 【详解】解：∵，正弦的锐角三角函数值随角度的增大而增大， ∴， ∴． 故选：A． 35． （选填“”或“”或“”）． 【答案】 【分析】本题主要考查了正弦与余弦的关系，三角函数比较大小．互余的两个角中，一个角的余弦值等于另一个角的正弦值，且锐角的度数越大正弦值越大，据此可得答案． 【详解】解：∵，且， ∴， 故答案为：． 36．下列结论（其中是锐角）：①；②；③当时，；④．其中正确的有 ． 【答案】③④ 【分析】本题考查了同角三角函数的关系及锐角三角函数的增减性，掌握锐角三角函数的概念是解题的关键． 根据同角三角函数关系及锐角三角函数的增减性进行判断即可． 【详解】解：①∵，， ∴不一定小于等于1，故①错误； ②若，则， ， ∴ ∴，故②错误； ③当时，， ∴越大，对边越大，且越接近斜边， ∴越大， ∴当时，，故③正确； ④∵，，， ∴，故④正确． 故答案为：③④． 题型十 同角三角函数关系 37．已知，是锐角，则的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用锐角三角函数的定义和勾股定理，求出各条边的长，再求出答案． 【详解】解：如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=α， 由于，因此设BC=5k，则AC=12k， 由勾股定理得，， ∴， 故选 C． 【点睛】本题考查锐角三角函数的定义，利用勾股定理求出各条边的长是解决问题的关键． 38．下列等式中成立的有（    ） ①sin30°+sin30°＝sin60°；②若cosA＝sinB，则∠A＝∠B；③若sinA＝cos30°，则锐角A＝60°；④sin60°+sin30°＝2（sin30°+cos30°）． A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】B 【分析】理解锐角三角函数的概念，能够正确理解锐角三角函数的计算；一个角的正弦值等于它的余角的余弦值． 【详解】解：①、锐角三角函数值的加减计算不能单纯地对角相加减，故错误； ②、因为没有锐角这一条件的限制，故错误； ③、根据一个角的正弦值等于它的余角的余弦值，正确； ④、锐角三角函数值的加减计算不能单纯地对角相加减，故错误． 故选：B． 【点睛】本题考查的是同角三角函数的关系，特殊角的三角函数值，一个角的正弦值等于它的余角的余弦值，需要熟练掌握． 39．在中，，若，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，掌握勾股定理和锐角三角函数是解题关键．利用正弦值设．，，再利用勾股定理求出，再利用余弦的定义求解即可． 【详解】解：在中，，， ， 设，， 由勾股定理得：， ， 故答案为：． 40．如图，在中，． (1)求证：． (2)若，求的值． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查锐角三角形函数的知识，解题的关键是掌握正弦，余弦的应用，勾股定理的应用，利用完全平方公式，对式子进行变形，进行解答，即可． （1）根据正弦，余弦，勾股定理，可得，，，通过变形可得，，，再进行计算即可； （2）根据题意，，变形可得，再根据，即可求出． 【详解】（1）解：证明如下： ∵中，， ∴，，， ∴，， ∴． （2）解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 题型十一 解直角三角形的相关计算 41．中， 求的值； 【答案】 【分析】本题考查解直角三角形，作于点，解求出的长，进而求出的长，勾股定理求出的长，再根据正弦的定义，进行计算即可． 【详解】解：作于点， ∵， ∴， ∵， ∴， 在中，由勾股定理，得， ∴． 42．如图，在中，． (1)尺规作图：求作点D，使得；（不写作法，保留痕迹） (2)在（1）的条件下，若，求的长． 【答案】(1)图见解析 (2) 【分析】本题主要考查了解直角三角形，相似三角形的性质与判定，等腰三角形的性质与判定，尺规作图—作与已知角相等的角，熟知相关知识是解题的关键． （1）先作，再作，交于点D，则点D即为所求； （2）设交于点，过点作于点，设，由等边对等角得到， 则，解直角三角形得到，则可求出，证明，得到，设，则，，解得， 可求出，据此可得答案． 【详解】（1）解：如图，点为所作； （2）解：交于点，过点作于点，如图， ， ， ， 在中， ， ， ， ， ，， △△， ， 设，则， △△， ，即， 解得， ． 43．如下图，在Rt中，是边上的一点， (1)的长为__________，的长为__________，的长为__________． (2)求点到的距离． 【答案】(1)8，12， (2) 【分析】（1）通过解Rt得到AD边的长度；然后在该直角三角形中利用勾股定理来求AC的长度；然后通过解Rt可以求得BC的长度，再利用勾股定理求线段AB的长度； （2）过点作于点，在Rt中，通过的正切值得到和关系，再通过勾股定理得到方程，从而求出点到的距离. 【详解】解：（1）在Rt中，，即， 在Rt中，，即 ∴， ． （2）如图，过点作于点． 在Rt中，， ， 解得：， 故点到的距离为． 【点睛】本题考查了解直角三角形，熟练掌握好边角之间的关系是解题的关键． 44．如图，在中，． (1)已知，，求的长． (2)已知，，求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了解直角三角形，特殊角的三角函数值，熟练掌握直角三角形中边角之间的关系是解题关键． （1）根据在中，即可求解； （2）根据在中，求得，通过特殊角的三角函数值即可求解． 【详解】（1）解：在中，， ， ． （2）解：在中，， ． 题型十二 解非直角三角形 45．如图，在中，，，，则的长为（    ）    A． B． C．4 D．5 【答案】D 【分析】作于，根据，，算出和，再根据，算出，最后根据计算即可． 【详解】如下图，作于，    在中，，， ，， 在中，， ， ， ， 故选：D． 【点睛】本题考查了用锐角三角函数解非直角三角形，作垂直构造直角三角形是解题的关键． 46．如图，在中，，，，平分交于点，则线段的长为（    ） A． B．12 C． D．6 【答案】B 【分析】过点作的垂线，垂足分别为，在，中，求得的长，进而证明是等腰三角形，即可求解． 【详解】解：如图，过点作的垂线，垂足分别为， 在中，， 在中，， ∵中，，， ∴， ∵是的角平分线， ∴， ∴， ∴， ∴． 故选:B． 【点睛】本题考查了解直角三角形，等腰三角形的性质与判定，解决问题的关键是将作辅助线，将斜三角形划分为直角三角形． 47．等腰中，，则= 【答案】 【分析】作BC边的高AD，根据勾股定理得出AD，再由已知条件和三角函数的定义求出sinB． 【详解】解：如图，过A点作BC的垂线AD，垂足为D，则∠ADB=90°， 为等腰三角形，AB=AC=5，BC=6， BD=CD=， ， ． 故答案为：． 【点睛】本题考查解直角三角形以及等腰三角形的性质，只要理解直角三角形中边角之间的关系即可求解． 48．如图，在中，，，． (1)求的长； (2)求的面积（结果保留根号）． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了解直角三角形，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． （1）过点A作，垂足为D，在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，从而求出的长； （2）利用锐角三角函数的定义和勾股定理分别求出和的长，从而求出的长，然后利用三角形的面积公式即可求出答案． 【详解】（1）解：过点作于． 在中， ，， ， ∵在中，， ； （2）∵在中，， ， 在中，根据勾股定理， ， 的面积． 题型十三 构造直角三角形求不规则图形的边长或面积 49．如图，在中，，，，则的面积为（ ） A．6 B．12 C．12 D．24 【答案】C 【分析】过A做的高，然后根据的三角函数值求出高，进而求出面积。 【详解】解：过A点作AE⊥BC，垂足为E， ， ∴， 在中， ， ∵， ∴， ∴平行四边形的面积，． 故选C． 【点睛】本题考查了利用三角函数求线段长度，构造直角三角形，并掌握特殊角三角函数值是解题的关键． 50．如图，某小区物业想对小区内的三角形广场进行改造，已知与的夹角为，米，米，请你帮助物业计算出需要改造的广场面积是 平方米.（结果保留根号） 【答案】 【分析】过点作，交的延长线于点，根据解直角三角形的方法即可求解. 【详解】如解图，过点作，交的延长线于点， ∵， ∴. ∵在中，，， ∴. ∵，， ∴（平方米）. 【点睛】此题主要考查三角函数的应用，解题的关键是根据题意作出辅助线进行求解. 51．如图，在△ABC中，sinB＝，，AC＝5，则△ABC的面积为多少？ 【答案】10.5 【分析】作AD⊥BC，根据cosC和AC即可求得AD的值，再根据∠B可以求得AD＝BD，根据AD，BC即可求得S△ABC的值． 【详解】解：过点A作AD⊥BC，垂足为D． 在RtΔACD中，， AC＝5， ∴CD=ACcosC＝5=4． ∴由勾股定理得：AD＝＝3． ∵sinB＝， ∴∠B＝45°． ∴∠BAD＝∠B＝45°． ∴BD＝AD＝3． ∴S△ABC＝BC•AD＝（3+4）×3＝10.5． 【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，解题的关键是掌握特殊角的三角函数值，并能根据题目条件构造直角三角形． 52．如图，等腰直角△ABC的面积为16，点D在斜边AC的延长线上，∠BDC＝30°，则△BDC的面积是 . 【答案】 【分析】作BH⊥AC于H．想办法求出AD．BH即可解决问题． 【详解】解：如图，作BH⊥AC于H． ∵等腰直角△ABC的面积为16, ∴BA=BC=， ∵BA=BC=，∠ABC=90°，BH⊥AC， , 在Rt△BDH中， ∵∠BHD=90°，∠BDC =30°， , , . 【点睛】本题考查等腰直角三角形的性质，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考常考题型． 题型十四 仰角俯角问题 53．如图，小明为了测量旗杆高度，采用如下方案：在点C处测得旗杆顶B的仰角为，从与点C相距的E处测得旗杆顶B的仰角为，若，则旗杆的高度是 （精确到）．（参考数据：） 【答案】 【分析】本题考查解直角三角形的实际应用，熟练掌握该知识点是解题关键． 延长交于G，则，设，根据观测的角度和直角三角形的边角关系用x来表示和，进而表示出，根据点C和点E的距离列出方程并求解可得的长度，再根据和的长度确定的长度，即可求出的长度． 【详解】解：如下图所示，延长交于G，则．设， ∵在点C处测得旗杆顶B的仰角为，从点E处测得旗杆顶B的仰角为， ∴，． ∴， ∵点E与点C相距， ∴， 解得， ∴， ∵， ∴． ∴． 故答案为：． 54．如图，天琪家与阿权家住在同一栋楼的同一单元，他俩想测算出所住楼对面商业大厦的高度，进行了如下操作：他俩在天琪家的窗台B处，测得商业大厦顶部N的仰角的度数，由于楼下植物的遮挡，不能在B处测得商业大厦底部M的俯角的度数．于是，他俩上楼来到阿权家，在窗台C处测得大厦底部M的俯角的度数，竟然发现与恰好相等．已知A，B，C三点共线，，商业大厦的高度 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了解直角三角形的应用，全等三角形的性质和判定，解决本题的关键是构造直角三角形和矩形，得出． 过点C作于点E，过点B作于点F，可得四边形和四边形均为矩形，可以证明，得，进而可得商业大厦的高． 【详解】解：如图，过点C作于点E，过点B作于点F， ∴， ∵， ∴四边形和四边形均为矩形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 答：商业大厦的高为． 故答案为：． 55．麦积山位于甘肃省天水市麦积区，是小陇山中的一座孤峰，因山形酷似麦垛而得名．麦积山石窟始建于年，存有座洞窟、身泥塑石雕、余平方米壁画，以其精美的泥塑艺术闻名世界，被誉为东方雕塑艺术陈列馆．某学习小组把测量本城市麦积山（图②）最高点离地面的高度作为一次课题活动，同学们制定了测量方案，并完成了实地测量，测得结果如下表： 课题 测量麦积山最高点离地面的高度 示意图 说明 如图，麦积山的最高点到地面的高度为，在测点用仪器测得点的仰角为，前进一段距离到达测点，再用该仪器测得点的仰角为，且点均在同一竖直平面内，点在同一条直线上． 测量数据 的度数 的度数 的长度 仪器（）的高度 米 米 请你根据上表中的测量数据，帮助该小组求出麦积山最高点离地面的高度．（参考数据 【答案】米 【分析】本题考查了解直角三角形的应用仰角俯角问题，延长，交于点，由四边形和四边形是矩形可得米，米，设米，分别解和可得米，米，进而由米得到，解方程求出的值即可求解，掌握锐角三角函数的定义是解题的关键． 【详解】解：如图，延长，交于点，则， 由题意可知，四边形和四边形均为矩形， ∴米，米， 设米， 在中，， ∴米， 在中，， ∴米， ∵米， ∴， 解得， ∴米， 答：麦积山最高点离地面的高度为米． 56．“世界桥梁看中国，中国桥梁看贵州”．数学兴趣小组对“北盘江第一桥”主桥墩（如图①）的高度进行测量，如图②是其设计的测量示意图．已知主桥墩底端点B到参照点C的水平距离为97米，该小组从点C沿的斜坡行走80米到达坡顶平台的点D处．再沿平台行走80米到达点E处，在点E处得主桥墩顶端点A的仰角为．已知，垂足分别为B，F，点A，B，C，D，E，F均在同一平面内．（参考数据：，，，） (1)求坡顶平台到地面的距离； (2)求主桥墩的高度（结果精确到1米）． 【答案】(1)40米 (2)269米 【分析】（1）作，垂足为F，根据含30度角的直角三角形的性质即可得出答案； （2）延长交于点G，则，证明四边形为矩形，得出，米，求出的长，根据三角函数求出的长，即可得出答案． 【详解】（1）解：作，垂足为F，如图所示： ∵， ∴（米），（米）， ∴坡顶平台到地面的距离为40米； （2）解：如图，延长交于点G，则， ∵， ∴四边形为矩形． ∴，米， ∴（米）， ∵， ∴， ∴（米）， ∴（米）， ∴桥墩的高度为269米． 【点睛】本题主要考查了解直角三角形的应用，勾股定理，矩形的判定和性质，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握三角函数的定义． 题型十五 方位角问题 57．如图，灯塔在海岛的北偏东方向，某天上午点，一条船从海岛出发，以海里/时的速度由西向东方向航行，时整到达处，此时，测得灯塔在处的北偏东方向． (1)求处到灯塔的距离； (2)已知在以灯塔为中心，周围海里的范围内均有暗礁，若该船继续由西向东航行，是否有触礁的危险？请你说明理由． 【答案】(1)海里 (2)有触礁的危险，理由见解析 【分析】本题考查了含角的直角三角形的性质，等腰三角形的判定和性质，方向角，正确的作出辅助线是解题的关键． （1）根据已知条件得到，求得，根据等腰三角形的性质即可得到结论； （2）过作交的延长线于点，根据直角三角形的性质即可得到结论． 【详解】（1）解：根据题意得，， （海里）， ， ， （海里）， 故处到灯塔的距离为海里； （2）解：有触礁的危险，理由如下： 过作交的延长线于点， （海里），， （海里）， ， 若该船继续由西向东航行会有触礁的危险． 58．如图，在同一平面内，今年国庆，小明和小红两位同学都在某景区游玩，他们决定在游客中心汇合，已知景点位于景点的正北方向，游客中心位于景点的正东方向，景点位于游客中心的西北方向6千米，景点位于点的北偏东方向且在游客中心的正北方向．（参考数据：） (1)求的长度（结果保留一位小数）； (2)小明从景点乘坐索道沿着方向前往游客中心，小红从景点乘坐观光车沿着方向前往游客中心，若小明和小红同时出发，索道和观光车均保持匀速行驶，并且索道的速度是观光车速度的倍，上下车和上下索道的时间忽略不计，在运动过程中，当小明位于小红的北偏东时，小红与游客中心的距离是多少？（结果保留一位小数） 【答案】(1)千米 (2)千米 【分析】本题主要考查了解直角三角形的实际应用，正确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键． （1）过点作于点，则，在中， 可得，在中，可得，即可求解； （2）设，则，可得，在中，可得，从而得到，在中，可得，可求出，即可求解． 【详解】（1）解：如图，过点作于点，则， 在中，， ， 由题可得，， 在中， ， 千米， 即的长度为千米． （2）解：如图，由题意，设，则， ， ， 在中，， ， 在中，， ， 即， 解得：， ∴千米， 即小红与游客中心点的距离是千米． 59．如图，是某动物园入口，、、是入口附近的三个展区，小明和小华相约从入口一起去参观，但由于兴趣不同，两人决定先沿不同的路线参观，再到达展区汇合．如图是路线平面示意图，已知展区在起点的东北方向，小明从起点出发沿正北方向走了900米到展区，在展区参观10分钟，再沿北偏东的方向走一段路即可到达展区．小华从起点出发向正东方向走到展区，在展区参观14分钟，再沿北偏东方向走一段路即可到达展区．（参考数据：） (1)求的长度；（结果保留根号） (2)已知小明的平均速度为90米/分钟，小华的平均速度为100米/分钟，若两人同时出发，请通过计算说明谁会先到达展区？（结果精确到0.1） 【答案】(1)米 (2)小华先到 【分析】本题考查解直角三角形的应用——方位角问题，等腰三角形的性质，直角三角形的性质，作辅助线构造直角三角形是解题的关键． （）过点作于点，则，故有为等腰直角三角形，，从而求出，又米，然后用线段和差即可求解； （）过点作延长线于点，求出，在中，，，则，在中，，，所以，，然后求出所花时间，再比较即可． 【详解】（1）解：过点作于点，则， 由题意得：，米， ∴， ∴为等腰直角三角形，， ∴，即， ∴米， ∴（米）， ∴（米）， 答：的长度约为米； （2）解：如图，过点作延长线于点， 在中，，米， ∴米， 在中，，（米）， ∴（米）， 在中，，（米）， ∴（米），（米）， ∴米， ∴小明所花时间：（分），小华所花时间：（分）， ∵， ∴小华先到达展区． 60．中秋乐游，明月湖畔，月圆人团圆．中秋佳节将至，明月湖公园设置了如图所示A、B、C、D四个打卡点，四个打卡点位于同一平面内，B在A的正东方向，C在B的正北方向，D在A的北偏东方向且在C的北偏西方向，千米，千米． (1)求的长度；（结果保留根号） (2)小南和小开分别从D、A打卡点同时出发，小南以的速度从D打卡点沿方向步行至A打卡点，小开以的速度从A打卡点沿方向跑步至B打卡点，请通过计算说明，小南出发多少千米后恰好与小开相距千米？（结果保留小数点后两位，参考数据：，） 【答案】(1)千米 (2)千米 【分析】本题考查的是解直角三角形的应用，作出辅助线并正确地进行计算是解题关键． （1）如图，过D作于H，过C作于E，证明四边形为矩形，分别求解，，，，可得答案； （2）如图，设出发小时后，小南到达点，小开到达点，他们之间的距离千米，则千米，千米，连接，过点M作于点F，分别用含x的代数式表示出、、，再利用勾股定理列方程求解即可． 【详解】（1）解：过D作于H，过C作于E， ∵， ∴四边形是矩形， ∴千米，， 根据题意得，，，而千米， ∴（千米）， ∴千米，（千米）， ∵， ∴千米， ∴（千米）； （2）解：如图，设出发小时后，小南到达点，小开到达点，他们之间的距离千米，则千米，千米， 连接，过点M作于点F， 由（1）可得千米， ∴千米，在左边， ∵， ∴千米，千米， ∴千米， 在中，， ∴， 解得或（舍去）， ∴千米； 即小南出发千米后恰好与小开相距千米． 题型十六 坡度坡比问题 61．五一期间，王老师读到《行路难》中“闲来垂钓碧溪上，忽复乘舟梦日边．”邀约好友一起在江边垂钓，如图，河堤的坡度为，长为米，钓竿与水平线的夹角是，其长为米，若钓竿与钓鱼线的夹角也是，求浮漂与河堤下端之间的距离？（参考数据：） 【答案】浮漂与河堤下端之间的距离约为米 【分析】本题考查了解直角三角形的应用——坡度坡角问题，勾股定理，等边三角形的判定和性质；掌握坡度坡角的概念、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键．延长交延长线于点，过点作于点，，利用三角函数的概念求出、、，判断为等边三角形，求出，计算即可． 【详解】解：如图，延长交延长线于点，过点作于点，， 则， ∵的坡比为， ∴， 设，， 在中，由勾股定理知，． 解得：（负值舍去）， ∴（米），（米）， 由题意得：米，，， ∴（米），（米）， ∵， ∴是等边三角形， ∴米， ∴（米）， 即浮漂与河堤下端之间的距离约为米． 62．如图，某数学兴趣小组在一次外出登山活动中，发现一棵古树竖直生长在山崖上，为了安全测量古树的高度，采用了如下的方法：先从与古树底端在同一水平线上的点出发，沿斜面坡度为的斜坡前进到达点，再沿水平方向继续前进一段距离后到达点．在点处测得古树的顶端的俯角为，底部的俯角为，求古树的高度．（结果精确到．参考数据：，，，） 【答案】 【分析】过点作于点，延长交于点，在中，设，则，则，求出，设，则， 进而求解． 本题考查解直角三角形的应用坡度坡角问题，构建直角三角形是解题的关键． 【详解】解：过点作于点，延长交于点， 则中，设， 则，则， 解得：， 设，则， 则， 解得：， 则． 63．校内数学兴趣小组组织了一次测量探究活动．如图，大楼的顶部竖有一块广告牌，小明与同学们在山坡的坡脚A处测得广告牌底部D的仰角为，沿坡面向上走到B处测得广告牌顶部C的仰角为，已知山坡的坡度，米，米．（测角器的高度忽略不计，结果精确到米，参考数据：，， ，，） (1)求点B距水平地面的高度； (2)求广告牌的高度． 【答案】(1)6米 (2)米 【分析】本题是解直角三角形的应用，考查了矩形的判定与性质，解直角三角形，关键是理解坡度的含义，构造适当的辅助线便于在直角三角形中求得相关线段． （1）过点B作，垂足分别为M、N，由坡度的含义可求得，由含30度角的直角三角形的性质即可求得结果； （2）先推导出，在中可求得的长，从而可得；再由，可得，进而得的长；在中由三角函数知识可求得，根据即可求得的长． 【详解】（1）解：如图，过点作，，垂足分别为， ∴， ∵， ∴， ∴米， 即点距水平地面的高度为6米； （2）由（1）及题意，得， ∴四边形是矩形， ∴米， （米）， ∴米， ∵， ∴米， ∴米， 在中，，米， ∴（米）， ∴ （米） 答：广告牌的高约8.4米． 64．2024年，元宵节迎春烟花秀在人民广场震撼上演，欢乐、祥和、喜庆、热烈的节日氛围再次拉满，欢欢和喜喜两位同学相约去人民广场看烟花，并测量烟花的燃放高度．如图，欢欢从点出发，沿坡度的山坡走了130米到达坡顶点，喜喜则沿点正东方向到达离点水平距离40米的点观看，此时烟花在与，同一水平线上的点处点燃，一朵朵灿烂的烟花在点的正上方点绽放，欢欢在坡顶处看烟花绽放处的仰角为，喜喜在处测得点的仰角为（点，，，，在同一平面内）．（参考数据：，） (1)求欢欢从斜坡处走到处上升的高度； (2)烟花燃放结束后，欢欢和喜喜两位同学来到烟花燃放地帮忙清理现场的垃圾，他们清理时发现刚才燃放的烟花盒子上的说明书写着烟花的燃放高度为米，请你帮他们计算一下说明书写的烟花燃放的高度（图中DE）是否属实？ 【答案】(1)欢欢从斜坡走到处上升的高度为50米 (2)烟花燃放的高度属实 【分析】本题考查解直角三角形的实际应用： （1）过点作，解即可； （2）过点作于点，设，分别解，进行求解即可． 【详解】（1）解：过点作于G， 由题意，得：， 设，则， ∴， ∴， ∴； 答：高度上升了50米； （2）解：作于，则四边形是矩形， 由（1）知米， 米，米，米， 又， ． ． 在中，，， ∵ ． ．     （米）． ． 答：烟花燃放的高度属实． 题型十七 生活实际问题 65．图①是一辆自行车的实物图，图②是这辆自行车的部分结构几何示意图，车架的长为60cm，且，座杆的长为，点在同一条直线上，．求： (1)车架的长； (2)车座点到车架的距离．（结果精确到1cm，参考数据：，，，，，） 【答案】(1)45cm． (2)63cm． 【分析】（1）在中，利用正切定义即可求解； （2）过点E作于点，由（1）得出的长，进而求出的长，在中，利用正弦的定义即可求解． 【详解】（1）解： ， 即， （cm）， 答：车架的长约为45cm． （2）解：过点作于点，如图． 在中， ， ，得：， 答：车座点到车架的距离约为63cm． 【点睛】本题考查了利用三角函数的实际应用，掌握三角函数定义是解题的关键． 66．如图是某货站传送货物的平面示意图，为了提高传送过程的安全性，工人师傅欲减小传送带与地面的夹角，使其由改为．已知原传送带长为． (1)求新传送带的长度； (2)如果需要在货物着地点C的左侧留出的通道，试判断距离B点的货物是否需要挪走，并说明理由．（结果精确到，已知，，） 【答案】(1) (2)需要挪走，理由见解析 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，正确理解题意是解题的关键． （1）先根据三角函数的定义求出，然后在中，解直角三角形求即可； （2）先求出，的长，即可求得及的长，即可判断答案． 【详解】（1）解：（1）在中，（m）， 在中，， （m）， 答：新传送带的长度约为； （2）解:在中，（m）， 在中，（m）， （m）， ， 货物需要挪走． 67．一场突如其来的病毒，让我们的寒假变得不平凡，在这关键时刻，教育部门决定采取“停课不停学”的网络授课，为了更方便的使用手机听课，有的家长给孩子们购买手机支架．图1是一种手机支架，由托板、支撑板和底座构成，手机放置在托板上，图2是其侧面结构示意图，量得托板长，底座长，托板固定在支撑板顶端点处，托板可绕点转动，支撑板可绕点转动． (1)为了观看舒适，把绕点逆时针旋转，使，如图2，求到直线的距离． (2)在（1）的条件下，再将绕点顺时针旋转，使，求到直线的距离．（结果保留1位小数）（参考数据：） 【答案】(1)到直线的距离为 (2)到直线的距离为 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，解题的关键是通过作高构造直角三角形，利用旋转前后边长不变和角度变化，结合三角函数求解距离． （1）过点 B 作 于点 F，在 中，由已知条件可得 ，利用三角函数关系，代入数据计算得，即点 B 到直线 的距离为 （2）过 作于 M，此时 ，在 中，利用 ，得 ，进一步求得即可． 【详解】（1）解：如图1，过点作于点， ∵， ∴， ∴ 答：到直线的距离为. （2）如图2，过点作于点， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴ ∴ 答：到直线的距离为. 68．如图1是一种折叠式可调节钓鱼竿支架，图2是其示意图，是地插，用来将支架固定在地面上，支架可绕点A转动，用来调节与地面的夹角，支架可绕支点C转动，用来调节与的夹角，支架可伸缩调节长度．已知，，钓鱼竿始终与地面平行． (1)如图2，当支架与地面垂直时，，求的度数； (2)如图3，若保持支架与地面的夹角不变，调节支架与的夹角，使得，求此时支架的长度（结果保留小数点后1位．参考数据：，，）． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了解直角三角形的应用． （1）根据正弦的定义计算，得到答案； （2）设，根据正弦的定义用表示出，根据勾股定理求出，进而求出． 【详解】（1）解：在中，，， ，， ， ， ， ； （2）∵鱼竿始终与地面平行，保持支架与地面的夹角不变 ， 设， 在中，，， 则， 由勾股定理得：，即， 解得：，舍去， ， 答：支架的长度约为． 基础巩固通关测 1．（（25-26九年级上·河北石家庄·阶段练习））若，则锐角的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了特殊角的三角函数值．根据特殊角的三角函数值，当正切值为时，对应的角度为，由此建立方程求解即可． 【详解】解：， ， 解得， 故选：D． 2．（（25-26九年级上·河北秦皇岛·阶段练习））在中，，给出下列式子，①；②；③；④；⑤，其中能成立的个数有（　　） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】B 【分析】本题考查了锐角三角函数的定义，解题的关键是熟记锐角三角函数的定义并能灵活运用． 利用锐角三角函数中正弦、余弦、正切的定义，对每个式子进行推导验证，判断其是否成立． 【详解】解：在中，， 根据锐角三角函数的定义： 正切：； 正弦：； 余弦：， 对式子逐一分析： 因为可得，并非，所以①不成立； 因为，等式两边同乘，可得，所以②成立； 因为，等式两边同乘，得到，所以③成立； 因为，等式两边同乘，有，所以④成立； 因为可得，不是，所以⑤不成立． 综上，②③④成立，能成立的个数有3个． 故选：B． 3．（25-26九年级上·河北保定·阶段练习）若，则是（　　） A．直角三角形 B．等边三角形 C．含有的任意三角形 D．顶角为钝角的等腰三角形 【答案】D 【分析】此题考查了特殊角的三角函数值、三角形内角和定理等知识．根据利用非负数的性质求得，，再利用特殊角的三角函数值求出，，即可得到结论． 【详解】解：∵， ∴，， ∴，， ∴，， ∴，， ∴是顶角为钝角的等腰三角形． 故选：D． 4．（24-25九年级上·河北石家庄·期中）如图，在中，，，，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的知识点是勾股定理解直角三角形，求一个角的余弦值，解题关键是熟练掌握如何求余弦值． 由勾股定理求出，则． 【详解】解：中，，，， ， ． 故选：． 5．（2025·河北石家庄·三模）如图，四边形是平行四边形，连接对角线，将沿所在直线折叠得到，交于点，若，，，则的长度是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题主要考查了平行四边形的性质，翻折的性质，勾股定理的应用，关键是熟练掌握折叠的性质．首先根据平行四边形的性质得，，，，可证出，根据翻折可得，，，进而可得，从而可得，解直角三角形求出，再根据含角的直角三角形的性质求出，根据勾股定理即可得的长． 【详解】解：如图，连接， 四边形是平行四边形， ，，，， ， 将沿翻折至， ，，， ， ， 在中，， ， ，， ， ，， ， 故选：． 6．（2025·河北唐山·三模）如图，由8个全等的菱形组成的网格中，每个小菱形的边长均为1，，其中点、、都在格点上，则的值为（   ） A． B．2 C．3 D． 【答案】A 【分析】本题考查了菱形的性质，直角三角形的特征，勾股定理，正切函数等；延长交于格点，连接，由菱形的性质得 ，，，，由勾股定理得，由正切函数，即可求解；能利用菱形的性质构建直角三角形，并能熟练利用勾股定理，正切函数是解题的关键． 【详解】解：延长交于格点，连接， 由8个全等的菱形组成的网格， 、都在格点上， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ； 故选：A． 7．河堤横断面如图所示，斜坡AB的坡度，，则的长是 【答案】 【分析】本题考查了坡度的定义、锐角三角函数（正切函数）的应用以及直角三角形中角的性质，解题的关键是理解坡度与直角三角形两直角边的比例关系，将坡度转化为正切值求出锐角角度，再利用特殊角的直角三角形性质计算直角边长度． 中，斜坡的坡度，求出，由直角三角形的性质即可得出答案 【详解】解：中，斜坡的坡度， ∴， ∵， 8．（25-26九年级上·河北石家庄·阶段练习）在中，，，，那么长为 ． 【答案】/ 【分析】本题主要考查了锐角三角函数的定义以及勾股定理，熟练掌握正切函数的定义和勾股定理是解题的关键． 先根据正切函数的定义求出的长度，再利用勾股定理求出的长度． 【详解】解：∵ 在中，，，， ∴ ， 解得， ∵ ∴ 故答案为：． 9．（25-26九年级上·河北·阶段练习）如图，在中，，若，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了求正切，正确的添加辅助线构造直角三角形是解题的关键． 过点A作于点E，根据等腰三角形的性质，可得，再由，再结合，即可求解． 【详解】解：如图，过点A作于点E， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为： 10．（25-26九年级上·河北沧州·阶段练习）如图，中，，，的垂直平分线分别交、于、，若，则 ． 【答案】6 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，以及解直角三角形，正确作出辅助线，把求等腰三角形的底边的计算转化成解直角三角形是关键．作于点，根据等腰三角形的性质即可求得的度数，在直角中，利用三角函数即可求得的长，则的长即可求得，然后在直角中求得的长，根据即可求解． 【详解】解：作于点． 等腰中，，， ，， 在直角中，， ， ， 在直角中，， ． 故答案为：6． 11．（25-26九年级上·河北·阶段练习）如图，在中，，，分别以点，为圆心，大于的长为半径作弧，两弧分别相交于点，，连接交边于点，连接．若，则的周长为 ． 【答案】/ 【分析】由作图知是的垂直平分线，则，，角度推导得到，继而求出，再解求出，即可求解． 【详解】解：由作图知是的垂直平分线， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴周长为：， 故答案为：． 【点睛】本题考查了尺规作图，线段垂直平分线的性质，三角形的内角和定理，解直角三角形等知识点，熟练掌握知识点，发现是解题的关键． 12．（24-25九年级上·河北张家口·期中）如图，折叠矩形的一边，使落在边上的处，且．    （1）与是否相似？ （选填“是”或者“否”） （2）若则矩形的面积为 ． 【答案】 是 80 【分析】本题是相似三角形的综合题，考查了翻折变换，矩形的性质，解直角三角形的运用，求出矩形的长宽是求面积的关键． （1）先根据矩形的四个角都是直角可得：，由折叠的性质得：，最后由同角的余角相等和相似三角形的判定可得结论； （2）设，根据三角函数定义和勾股定理可得，先根据相似三角形的性质可得x的值，由矩形的面积公式可解答． 【详解】（1）与相似， 理由如下： 四边形是矩形， ， 由折叠得：， ， ， 故答案为：是； （2），， ， 由勾股定理得：， 由折叠得：； ， ， 即． ， ， ， ，即， ， ， ． 故答案为：80． 13．已知为锐角，且，求的度数． 【答案】或 【分析】本题考查了特殊角的三角函数值，掌握特殊角的三角函数值，解特殊角的三角函数方程是解题的关键． 先根据因式分解法解一元二次方程，再根据特殊角的三角函数值求锐角即可求解． 【详解】解：设，则，即， 解得，即或． 为锐角， 或． 14．（2025·河北承德·二模）一款手机支架的示意图如图所示，底座支架与桌面垂直，，固定连接杆，为固定值，是活动连杆，其可绕点B旋转，使的度数发生变化进而带动手机夹升降． (1)当时，求的度数； (2)求点B到的距离． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查平行线的性质、三角形内角和定理、矩形性质及解直角三角形等知识， （1）当时，过作，如图所示，根据平行线性质找到角的和差关系，列式求解即可得到答案； （2）过点作于点，过点作于点，如图所示，根据矩形性质，再根据三角形内角和定理求出，解直角三角形即可得到答案，熟练掌握平行线性质及解直角三角形方法是解决问题的关键． 【详解】（1）解：当时，过作，则，如图所示： ， ， ∴ （2）过点作于点，过点作于点，如图所示： 在矩形中，， ∵， ∴， ∴． 即点B到的距离为． 15．（2025·河北邯郸·二模）如图是某跨江大桥段抽象出的竖直截面图． 【测量】从点处测得支架顶端的仰角为，从点处测得支架顶端的仰角为，支架的竖直高度为202米． 【计算】求的长． 【应用】通过该桥的限速标准为22米/秒，一辆汽车用时36秒通过路段，通过计算判断这辆汽车是否超速？ （结果精确到1米，参考数据：，） 【答案】计算：米；应用：这辆汽车通过路段时没有超速，理由见解析 【分析】本题主要考查了解直角三角形的应用，理解题意，弄清数量关系是解题关键． （1）首先在和中，利用三角函数解得，的值，然后通过 求解即可； （2）根据“速度距离时间”计算汽车的速度，然后比较即可获得答案． 【详解】解：（1）在中，，，米， 米， 在中，，，米， 米， （米）； （2）该车用时36秒通过路段， 可求其速度为米/秒米/秒 这辆汽车通过路段时没有超速． 16．解答 课题 设计遮阳棚前挡板 模型抽象示意图 德百旅游小镇游客服务中心为了方便旅游高峰期间游客遮阳，在服务窗口外安装了遮阳棚，结果发现旅游高峰期正午时纳凉面积不够，现在为使服务窗口外的纳凉区域增加到宽，计划在遮阳棚前端加装一块前挡板（前挡板垂直于地面），抽象模型如图1，现在要计算所需前挡板的宽度． 测量数据 实地测得相关数据，并画出了侧面示意图，如图2，遮阳棚长为，其与墙面的夹角，其靠墙端离地面高为．通过实地勘察，该服务窗口在每年的旅游高峰期间正午的太阳高度角（太阳光线与地面夹角约为，若加装前挡板后，此时服条窗口前恰好有宽的阴影，如图3． 任务1 求遮阳棚前端到墙面的距离． 任务2 当时，求线段的长度． 结果精确到，参考数据： 【答案】任务1：遮阳棚前端到墙面的距离约为；任务2：线段的长度约为． 【分析】本题主要考查解直角三角形的运用，掌握锐角三角函数的计算是关键． 任务1：过点作，垂足为，在中，，由此即可求解； 任务2：延长交于点，则，在Rt中，，，，，由此即可求解． 【详解】解：任务1：过点作，垂足为， 在中，， ， 遮阳棚前端到墙面的距离约为； 任务2：延长交于点，则， 由题意得：， ， ， 在Rt中，， ， 在Rt中，， ， ， ， ， 线段的长度约为. 17．（2025·河北廊坊·一模）图1是古代数学家杨辉在《详解九章算法》中对“邑的计算”的相关研究．数学兴趣小组也类比进行了如下探究如图②，正八边形游乐城的边长为，南门设立在边的正中央，游乐城南侧有一条东西走向的道路，在上（门宽及门与道路间距离忽略不计），东侧有一条南北走向的道路，处有一座雕塑．在处测得雕塑在北偏东方向上，在处测得雕塑在北偏东方向上．（结果精确到，参考数据：） (1)__________，_________； (2)求点到道路的距离． 【答案】(1)， (2)点到道路的距离约为 【分析】本题主要考查了正多边形的外角，解直角三角形，解题的关键是掌握正多边形外角定理和解直角三角形． （1）求出正八边形的一个外角的度数，再根据角的和差关系进行求解即可； （2）过点作，垂足为，解，求出长度，解，求出即可． 【详解】（1）解：正八边形的一个外角的度数为：， ，； 故答案为：，； （2）解：过点作，垂足为， 在中，，， ， 在中，， ， 所以，点到道路的距离为． 18．（23-24九年级上·河北·期末）汉中龙头山景区为给游客提供更好的游览体验，拟在如图①景区内修建观光索道．设计示意图如图②所示，以山脚A为起点，沿途修建两段长度相等的观光索道，最终到达山顶D处，中途设计了一段与平行的观光平台．索道与的夹角为，与水平线夹角为，点B的垂直高度为，，垂足为点F．（图中所有点都在同一平面内，点A，E，F在同一水平线上．） (1)求索道的长（结果精确到1m）； (2)求山顶点D到水平地面的距离的长（结果精确到）． （参考数据：，，，） 【答案】(1)500m (2)483m 【分析】本题考查直角三角形的实际应用问题． （1）中，利用即可求解； （2）在中，，先求出的高长度，再加的高度即可求解． 【详解】（1）解：在中， 由题意得， （m）； 即索道的长约为m. （2）解：如图，延长交直线于点，易得， 在中， 由题意得， （m） （m） 即山顶点到水平地面的距离的长约为m. 19．（25-26九年级上·河北石家庄·阶段练习）如图，在正方形网格中，点A、B、O都在格点上，那么的值为（    ） A． B． C． D．1 【答案】D 【分析】本题考查了解直角三角形，勾股定理的逆定理，添加辅助线，构造直角三角形是解题的关键．连结，先根据勾股定理的逆定理证明，再根据正切函数的定义求解． 【详解】解：连结， ，，， ， ， ． 故选：D． 20．某区域平面示意图如图，点O在河的一侧，和表示两条互相垂直的公路．甲侦测员在处测得点位于北偏东，乙勘测员在处测得点位于南偏西，测得，，请求出点到的距离（    ）（参考数据，，） A．160 B．330 C．480 D．520 【答案】C 【分析】本题考查的是解直角三角形的应用，掌握锐角三角函数的定义、正确标注方向角是解题的关键．作于，于，设，根据矩形的性质用表示出、，根据正切的定义用表示出，根据题意列式计算即可． 【详解】解：作于，于， 则四边形为矩形， ，， 设，则，， 在中，， ，则， 在中，， 由题意得，， 解得，， 即点到的距离约为， 故选：C． 21．（2024·河北·模拟预测）如图，在菱形中，分别是边的中点，连接，若，则的长为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，解直角三角形，勾股定理，等边三角形的判定和性质．连接，证明为等边三角形，可得，然后在中，求出，在中，利用勾股定理解答即可． 【详解】解：如图，连接， 四边形为菱形， ， ， 为等边三角形． 分别是边的中点，， ， ， 在中，， 在中，． 故选：D 22．如图，在平面直角坐标系中，点O为原点，点A位于第一象限内，，并且点A到x轴的距离为6，点B对应的坐标为．若为钝角三角形，则a的取值范围是（   ） A． B． C．且，或 D．且，或 【答案】D 【分析】本题考查平面直角坐标系，三角形的性质，点到坐标轴的距离，锐角三角函数等知识；正确分类是解题的关键； 根据题意，分为直角，为直角，两种情况分别求出的长即可得到答案； 【详解】解：如图1，当垂直于x轴时，为直角，此时，，即． 当时，为钝角，是钝角三角形， 当时，为钝角，也是钝角三角形． 当点B和点O重合时，围不成三角形，所以． 如图2，当为直角时，过点A作x轴的垂线，垂足为H， 已知，点到轴的距离为，则， 则， ∴， ∴， 当时，为钝角，为钝角三角形． 综上所述，当为钝角三角形时，且或， 故选：D． 23．（2025·河北邯郸·二模）在正六边形中，点是的中点，连接，，若图中阴影部分的面积为，如下结论： 结论一：． 结论二：． 下列判断正确的是（    ） A．结论一正确，结论二不正确 B．结论一不正确，结论二正确 C．结论一正确，结论二正确 D．结论一不正确，结论二不正确 【答案】D 【分析】本题考查了正多边形，解直角三角形，勾股定理，设正六边形的中心为点，连接，，，过点作于，求得的长，利用勾股定理求得，利用三角形面积公式可得的长，解直角三角形即可求得的正弦值，即可解答，正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】解：如图，设正六边形的中心为点，连接，，，过点作于， 设正六边形的边长为， 可得， 多边形是正六边形， ，，， ， ， ，， ，， ， ． ，， ． ， ， 的面积的面积， （负值舍去）， ， ，故结论二不正确． 如图，过点作于点，连接， 同上述原理可得,， ，， ， ， ， ， ， ，， 故结论一不正确． 故选：D． 24．在等腰中，，点D在上，点E在上且，连接，将沿翻折到的内部，得到，连接．则（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设，则，利用勾股定理可得，再连接，交于点，过点作于点，根据折叠的性质可得垂直平分，利用三角形的面积公式可得的长，从而可得的长，利用勾股定理可得的长，然后利用三角形的面积公式可得的长，利用勾股定理可得的长，从而可得的长，最后根据正切的定义计算即可得． 【详解】解：∵在等腰 中，， ， 设， ， ， ， ， 如图，连接，交于点，过点作于点， 由折叠的性质得：垂直平分， ， ， ， ， 又， ， ， ， ∴在中，， 故选：C． 【点睛】本题考查了等腰三角形的定义、折叠的性质、解直角三角形、勾股定理等知识，熟练掌握折叠的性质和解直角三角形的方法是解题关键． 能力提升进阶练 25．（2025·河北·模拟预测）如图， 点A、B、C 都在正方形网格的格点上， 则的值是 ． 【答案】/ 【分析】本题主要考查了求角的正切值，勾股定理与网格问题，正确作出辅助线是解答本题的关键，取格点，连接．证明三点共线，再证明是直角三角形，，根据，最后求出． 【详解】解：如图，取格点，连接． 由网格的特特征可知，， ∴， ∴三点共线， 由格点三角形可知：，， ∴ ∴是直角三角形，， ∵， ∴． 故答案为：． 26．如图，在中，，则 【答案】 【分析】本题考查了解直角三角形，勾股定理等知识，作于点E，设，则，，根据解直角三角形得到，根据勾股定理得到，求得的值，再根据勾股定理即可求解，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：作于点E，设，则，， 由题可得： ， ， 在中，由勾股定理可得： 解得：， ∴， ∴， ∴，或（舍去）， ∴， 故答案为：． 27．如图，在正方形纸片中，点E是边的中点．将该纸片的右下角向上翻折，使点C与点E重合，边翻折至的位置，与交于点P，那么的值是 ． 【答案】2 【分析】此题重点考查正方形的性质、直角三角形的两个锐角互余、同角的余角相等、勾股定理、解直角三角形等知识，推导出是解题的关键． 设，因为四边形是正方形，点E是边的中点，所以，， 由翻折得，，可证明，由勾股定理得， 求得，则，求得，则，所以，于是得到问题的答案． 【详解】解：由题意可得如图所示： 设， ∵四边形是正方形，点E是边的中点， ∴，，， 由翻折得，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：2． 28．在中，为线段上一点，且，则的值为 【答案】/ 【分析】本题考查了解直角三角形、勾股定理等知识，根据题意画出图形并作于点，根据勾股定理求出的长，进而可得的长，再根据三角函数求出的长，从而求的值，解题的关键是构造适当的辅助线． 【详解】解：如图，作于点， 中，，， ∴， 在中，，， ∴， ∴， ∵， 即， ∴， ， 故答案为：． 29．如图，某地政府为解决当地农户网络销售农产品物流不畅问题，计划打通一条东西方向的隧道，无人机从处的正上方处，沿正东方向以的速度飞行到达处，此时测得A处的俯角为，然后以同样的速度沿正东方向又飞行到达处，此时测得处的俯角为．由以上测量数据，计算得隧道的长度为 m．（结果精确到；参考数据：，，） 【答案】242 【分析】本题考查了解直角三角形的应用—仰角俯角问题，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． 过点作，垂足为，在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，再在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，从而求出的长，最后利用线段的和差关系进行计算，即可解答． 【详解】解：过点作，垂足为， 由题意得：，，，， 在中，， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴， ∴隧道AB的长度约为. 故答案为：242 ． 30．如图，在中，，，将绕点A逆时针方向旋转，得到，连接，交于点D，则的值为 ．    【答案】5 【分析】本题考查了解三角形以及旋转的性质，作垂线构造直角三角形是解题关键． 作，设，则，，根据旋转可得，推出，；设，则，，推出，即可求解； 【详解】解：作，如图所示：    ∵， ∴设，则， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴设，则， ∴， ∴， ∴，， ∴， 故答案为： 31．（24-25九年级上·河北·期末）某船向正东航行，在A处望见灯塔C在东北方向，前进到B处望见灯塔C在北偏西，又航行了半小时到D处，望见灯塔C恰在西北方向，若船速为每小时40海里．求A、D两点间的距离．（结果不取近似值） 【答案】海里 【分析】本题主要考查了解直角三角形的实际应用，设海里，则海里，解直角三角形得到海里，海里，海里，据此建立方程求解即可． 【详解】解：如图所示，过点C作于H， 由题意得，，，，海里， 设海里，则海里， 在中，海里， 在中，海里， 在中，海里， ∴， 解得， ∴海里， 答：A、D两点间的距离为海里． 32．（24-25九年级上·河北·期末）如图，在建筑物上，挂着40米长的条幅，从另一建筑物的顶部D处看条幅顶端A，仰角为，看条幅底端E，俯角为．求两建筑物之间的距离（，精确到米） 【答案】两建筑物之间的距离长为米 【分析】本题主要考查了解直角三角形的应用-仰角俯角问题，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形，利用锐角三角函数的定义求解是解答此题的关键，过点作于点，设=，则，在中，根据锐角三角函数的定义即可得出结论， 【详解】解：如图，过点作于点，设米， ， ， 在中， ， ，即， 解得， 答：两建筑物间的距离为． 33．热气球的探测器显示，从热气球看这栋高楼底部的俯角为，热气球与高楼的水平距离为66米． (1)求热气球所在的高度；（精确到1米） (2)如果，求这栋楼的高度．（精确到1米） 【答案】(1)米 (2)152米 【分析】本题考查解直角三角形的应用，要求学生能借助仰角和俯角构造直角三角形并解直角三角形． （1）由和可利用三角函数求得； （2）由可得，根据三角函数关系可得出的值，进而求出楼高． 【详解】（1）解：在中，，，米， ∵， ∴（米）， 答：热气球所在的高度约等于114米； （2）解：∵，， ∴， ∴在中，，，米， ∵， ∴（米）， ∴（米）， 答：这栋高楼高约等于152米． 34．（2025·河北石家庄·三模）跳台滑雪要想取得好成绩，就必须在第一阶段达到高速度，所以大跳台必须达到一定的高度．如图1是首钢滑雪大跳台，是冬奥历史上第一座与工业遗产再利用直接结合的竞赛场馆，是世界首例永久性保留和使用的滑雪大跳台场馆，跳台造型设计融入了中国知名的世界文化遗产——敦煌壁画中的“飞天”元素．图2是其示意图，为登台梯，C为大跳台最高点，赛道由三段组成（平行于地面）． (1)数学兴趣一组已测得，，求平台与地面之间的距离．（，结果保留到个位）． (2)数学兴趣二组通过测量得到，，从E处看C的仰角为（即），并由计算器查得，，请问能否根据两个兴趣小组获得的这些数据求出大跳台最高点的高度？若能，请求出来；若不能，请说明理由．（结果保留到个位） 【答案】(1)平台与地面之间的距离约为 (2)大跳台最高点的高度约为． 【分析】本题考查解直角三角形的应用，正确理解题意是解题的关键： （1）过点E作于点N，在中，由，即可得出答案； （2）连接．过点C作于点M，延长ED交CM于点P，先证明四边形是矩形．得出，设，在中，由，得，列出，求解即可． 【详解】（1）解：如图，过点E作于点N， 在中，由， 得． 答：平台与地面之间的距离约为． （2）解：能求出大跳台最高点的高度． 如图，在第（1）题答图的基础上连接．过点C作于点M，延长ED交CM于点P， ∵，， ∴． ∵，， ∴． ∵， ∴，． ∴， ∴四边形是矩形． ∴， 设， 在中，由， 得， 在中，由， 得， ∵， 即， 解得． ． 答：大跳台最高点的高度约为． 35．（2025·河北石家庄·三模）河北省吴桥县是我国著名的杂技之乡，高空走钢丝是群众喜欢的项目之一如图，、均垂直于地面且高度相同杂技演员所在位置点到所在直线的距离，，此时；如图，当杂技演员走至钢丝中点时，恰好运动过程中绳子总长不变（参考数据：，，）． (1)求的长； (2)求杂技演员从点走到点，下降的高度； (3)在从走向的过程中，是否存在某个位置，使得是直角？如果存在，请求出点到点的距离；如果不存在，请说明理由（结果可保留根号）． 【答案】(1)的长约为 (2)下降的高度约为 (3)存在，点到点的距离为 【分析】本题是四边形的综合题，考查了勾股定理，解直角三角形的应用，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． （1）在中，利用锐角三角函数的定义进行计算，即可解答； （2）过点作，垂足为，先利用（1）的结论和线段中点的定义可得，然后分别在和中，利用锐角三角函数的定义求出和的长，从而利用线段的和差关系进行计算，即可解答； （3）如图，连接，设，则，根据勾股定理列方程即可解答． 【详解】（1）解：在中，，， ， ， 的长约为； （2）解：如图，过点作，垂足为， 点为钢丝中点，，， ， 在中，， ， ， 在中，由勾股定理得：， ， 下降的高度约为； （3）解：如图，连接， 在中，， ， 设，则， ， ， ， 解得：舍，， 点到点的距离为． 36．（2025·河北邢台·模拟预测）【实践课题】测量河对岸两棵树之间的距离． 【实践工具】皮尺、测角仪、标杆等． 【实践活动】研学游期间，甲同学在拍照时，发现河对岸有A，B两棵树（与河岸平行），于是他提出，在不过河的前提下，如何测量河对岸的树A与树B之间的距离呢？ 乙同学观察地形，制订了测量方案：如图1，在河岸一侧确定两个点C，D，使与河岸平行，且，经测量，，． 【问题解决】 （1）请根据乙同学的方案，计算出A，B两棵树之间的距离．（结果精确到，参考数据：，，） 【交流讨论】 （2）丙同学给出了另一种方案，如图2，在河岸一侧确定两点C，D，使与河岸平行，且，测量出，，，即可计算出的长度，请帮助丙同学验证他的方案的可行性． 【答案】（1）；（2）见解析 【分析】本题考查解直角三角形的应用、相似三角形的应用，涉及等腰三角形的判定与性质、矩形的判定与性质，理解题意，利用锐角三角函数和相似三角形的性质求解是解答的关键． （1）过点D作，垂足为，先证明四边形是矩形得到，，再角度计算得到，在中，利用等角对等边求得，在中，利用锐角三角函数求得，进而可求解； （2）在中，利用锐角三角函数得到，再证明，得到，进而可求解． 【详解】解：过点D作，垂足为， ，，， ， 四边形是矩形． ，， ，， ， ， 在中， ， ， ， 在中， ， ， ， 答：A，B两棵树之间的距离约为； （2）在中，， ， ， ， ， ， ， ． 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $ 第二十六章 解直角三角形（复习讲义） 1. 了解锐角三角函数（正弦、余弦、正切）的定义，体会直角三角形边角之间的整体联系。 2. 能熟记30°、45°、60°特殊角的三角函数值，并准确运用。 3. 理解解直角三角形的方法：已知斜边求直边用正、余弦；已知直边求直边用正切；已知两边求边用勾股定理、求角用函数关系；已知锐角求另一锐角用互余关系；已知直边求斜边用正、余弦。 4. 能用三角函数解决实际问题，掌握仰角、俯角、坡度、坡角、方向角（方位角）的含义并用于分析实际情境。 一、锐角三角函数的定义 在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=c，BC=a，AC=b， ：sinA=； ：cosA=； ：tanA=． 根据定义求三角函数值时，一定根据题目图形来理解，严格按照三角函数的定义求解，有时需要通过辅助线来构造直角三角形. 二、特殊角的三角函数值 α sinα cosα tanα 30° 45° 1 60° 三、解直角三角形 1．在直角三角形中，除直角外，一共有五个元素，即三条边和两个锐角，由直角三角形中除直角外的已知元素求出所有未知元素的过程叫做 ． 2．解直角三角形的常用关系：在Rt△ABC中，∠C=90°，则： （1）三边关系： ； （2）两锐角关系： ； （3）边与角关系：sinA=cosB=，cosA=sinB=，tanA=； （4） ． 3．科学选择解直角三角形的方法口诀： 已知斜边求直边，正弦、余弦很方便；已知直边求直边，理所当然用正切； 已知两边求一边，勾股定理最方便；已知两边求一角，函数关系要记牢； 已知锐角求锐角，互余关系不能少；已知直边求斜边，用除还需正余弦. 四、三角函数的应用 1.仰角和俯角 ：在视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫做仰角． ：在视线与水平线所成的角中，视线在水平线下方的角叫做俯角． 2.坡度和坡角 ：坡面的铅直高度h和水平宽度l的比叫做坡面的坡度（或坡比），记作i=． ：坡面与水平面的夹角叫做坡角，记作α，i=tanα．坡度越大，α角越大，坡面越陡． 3.方向角（或方位角） 指北或指南方向线与目标方向线所成的小于90°的水平角叫做 (或 )． 题型一 求角的正弦值 1．如图，A，B，C是小正方形的顶点，每个小正方形的边长为1，则的值为（    ） A． B． C． D． 2．如图所示，在中，若，，，则（   ） A． B． C． D． 3．如图，中，，，，则的值为 4．如下图，在中，于点．若为的中点，求的值． 题型二 已知正弦值求边长 5．在中，，，，则的值是（ ） A．5 B．9 C．6 D．3 6．在中，已知，，，则长为（　　） A．12 B．26 C．24 D．13 7．如图，在中，，D为边上的一点，，，．则 ． 8．如图，已知的三条边，，，满足，且，． (1)求，，的值． (2)求的面积． 题型三 求角的余弦值 9．如图，在中，于，设，则的值为（   ） A． B． C． D． 10．如图，在中，，于点，，，则的值为（    ） A． B． C． D． 11．如图，在的网格中，每个小正方形的边长为1，点A、B、C均在格点上，则的值是 ． 12．如图，在中，，于点D，，，求与的值． 题型四 已知余弦求边长 13．如图，中，，点在上，若，，则的长度为（　　） A． B． C． D． 14．在中，，如果，，那么的长为（　　） A． B． C．8 D．10 15．如图，在中，，，，点是的中点，则的长为 ． 16．如图，已知，在中，，，求的值． 题型五 求角的正切值 17．在中，，如果，那么的值是（   ） A． B．2 C． D． 18．直角三角形纸片的两直角边长分别为6，8，现将如图那样折叠，使点与点重合，折痕为，则的值是（　　） A． B． C． D． 19．在中，于，且，则 ． 20．如图，在中是对角线AC、BD的交点，，，垂足分别为点E、F．若，，求的值． 题型六 已知正切值求边长 21．如图，在中，若，，，则（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 22．如图，在中，，平分，分别以为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，作直线交于点．连接，则的长为（   ） A． B．6 C． D． 23．如图，在中，，为斜边上不与端点重合的一动点，过点作，垂足为，将沿直线翻折得对应，交于点，若，则线段的长是 ． 24．如图，在中，点在边上，，，，，求：线段的长．    题型七 特殊角三角函数值混合运算 25．计算： (1) (2) 26．计算： (1)． (2)． 27．计算： (1)； (2)． 28．计算： (1)； (2). 题型八 根据特殊角三角函数值求角的度数 29．已知，在中，，，则的度数是（　　） A． B． C． D． 30．在中，若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 31．阅读理解题，．． 故猜想：一般地，当是锐角时，有．根据此猜想，的值为（   ） A． B． C． D． 32．已知，均为锐角，且满足，那么 ． 题型九 已知角度比较三角函数值的大小 33．三角函数、、之间的大小关系是（   ） A． B． C． D． 34．比较和的大小（   ） A． B． C． D．不确定 35． （选填“”或“”或“”）． 36．下列结论（其中是锐角）：①；②；③当时，；④．其中正确的有 ． 题型十 同角三角函数关系 37．已知，是锐角，则的值是（    ） A． B． C． D． 38．下列等式中成立的有（    ） ①sin30°+sin30°＝sin60°；②若cosA＝sinB，则∠A＝∠B；③若sinA＝cos30°，则锐角A＝60°；④sin60°+sin30°＝2（sin30°+cos30°）． A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 39．在中，，若，则的值为 ． 40．如图，在中，． (1)求证：． (2)若，求的值． 题型十一 解直角三角形的相关计算 41．中， 求的值； 42．如图，在中，． (1)尺规作图：求作点D，使得；（不写作法，保留痕迹） (2)在（1）的条件下，若，求的长． 43．如下图，在Rt中，是边上的一点， (1)的长为__________，的长为__________，的长为__________． (2)求点到的距离． 44．如图，在中，． (1)已知，，求的长． (2)已知，，求的度数． 题型十二 解非直角三角形 45．如图，在中，，，，则的长为（    ）    A． B． C．4 D．5 46．如图，在中，，，，平分交于点，则线段的长为（    ） A． B．12 C． D．6 47．等腰中，，则= 48．如图，在中，，，． (1)求的长； (2)求的面积（结果保留根号）． 题型十三 构造直角三角形求不规则图形的边长或面积 49．如图，在中，，，，则的面积为（ ） A．6 B．12 C．12 D．24 50．如图，某小区物业想对小区内的三角形广场进行改造，已知与的夹角为，米，米，请你帮助物业计算出需要改造的广场面积是 平方米.（结果保留根号） 51．如图，在△ABC中，sinB＝，，AC＝5，则△ABC的面积为多少？ 52．如图，等腰直角△ABC的面积为16，点D在斜边AC的延长线上，∠BDC＝30°，则△BDC的面积是 . 题型十四 仰角俯角问题 53．如图，小明为了测量旗杆高度，采用如下方案：在点C处测得旗杆顶B的仰角为，从与点C相距的E处测得旗杆顶B的仰角为，若，则旗杆的高度是 （精确到）．（参考数据：） 54．如图，天琪家与阿权家住在同一栋楼的同一单元，他俩想测算出所住楼对面商业大厦的高度，进行了如下操作：他俩在天琪家的窗台B处，测得商业大厦顶部N的仰角的度数，由于楼下植物的遮挡，不能在B处测得商业大厦底部M的俯角的度数．于是，他俩上楼来到阿权家，在窗台C处测得大厦底部M的俯角的度数，竟然发现与恰好相等．已知A，B，C三点共线，，商业大厦的高度 ． 55．麦积山位于甘肃省天水市麦积区，是小陇山中的一座孤峰，因山形酷似麦垛而得名．麦积山石窟始建于年，存有座洞窟、身泥塑石雕、余平方米壁画，以其精美的泥塑艺术闻名世界，被誉为东方雕塑艺术陈列馆．某学习小组把测量本城市麦积山（图②）最高点离地面的高度作为一次课题活动，同学们制定了测量方案，并完成了实地测量，测得结果如下表： 课题 测量麦积山最高点离地面的高度 示意图 说明 如图，麦积山的最高点到地面的高度为，在测点用仪器测得点的仰角为，前进一段距离到达测点，再用该仪器测得点的仰角为，且点均在同一竖直平面内，点在同一条直线上． 测量数据 的度数 的度数 的长度 仪器（）的高度 米 米 请你根据上表中的测量数据，帮助该小组求出麦积山最高点离地面的高度．（参考数据 56．“世界桥梁看中国，中国桥梁看贵州”．数学兴趣小组对“北盘江第一桥”主桥墩（如图①）的高度进行测量，如图②是其设计的测量示意图．已知主桥墩底端点B到参照点C的水平距离为97米，该小组从点C沿的斜坡行走80米到达坡顶平台的点D处．再沿平台行走80米到达点E处，在点E处得主桥墩顶端点A的仰角为．已知，垂足分别为B，F，点A，B，C，D，E，F均在同一平面内．（参考数据：，，，） (1)求坡顶平台到地面的距离； (2)求主桥墩的高度（结果精确到1米）． 题型十五 方位角问题 57．如图，灯塔在海岛的北偏东方向，某天上午点，一条船从海岛出发，以海里/时的速度由西向东方向航行，时整到达处，此时，测得灯塔在处的北偏东方向． (1)求处到灯塔的距离； (2)已知在以灯塔为中心，周围海里的范围内均有暗礁，若该船继续由西向东航行，是否有触礁的危险？请你说明理由． 58．如图，在同一平面内，今年国庆，小明和小红两位同学都在某景区游玩，他们决定在游客中心汇合，已知景点位于景点的正北方向，游客中心位于景点的正东方向，景点位于游客中心的西北方向6千米，景点位于点的北偏东方向且在游客中心的正北方向．（参考数据：） (1)求的长度（结果保留一位小数）； (2)小明从景点乘坐索道沿着方向前往游客中心，小红从景点乘坐观光车沿着方向前往游客中心，若小明和小红同时出发，索道和观光车均保持匀速行驶，并且索道的速度是观光车速度的倍，上下车和上下索道的时间忽略不计，在运动过程中，当小明位于小红的北偏东时，小红与游客中心的距离是多少？（结果保留一位小数） 59．如图，是某动物园入口，、、是入口附近的三个展区，小明和小华相约从入口一起去参观，但由于兴趣不同，两人决定先沿不同的路线参观，再到达展区汇合．如图是路线平面示意图，已知展区在起点的东北方向，小明从起点出发沿正北方向走了900米到展区，在展区参观10分钟，再沿北偏东的方向走一段路即可到达展区．小华从起点出发向正东方向走到展区，在展区参观14分钟，再沿北偏东方向走一段路即可到达展区．（参考数据：） (1)求的长度；（结果保留根号） (2)已知小明的平均速度为90米/分钟，小华的平均速度为100米/分钟，若两人同时出发，请通过计算说明谁会先到达展区？（结果精确到0.1） 60．中秋乐游，明月湖畔，月圆人团圆．中秋佳节将至，明月湖公园设置了如图所示A、B、C、D四个打卡点，四个打卡点位于同一平面内，B在A的正东方向，C在B的正北方向，D在A的北偏东方向且在C的北偏西方向，千米，千米． (1)求的长度；（结果保留根号） (2)小南和小开分别从D、A打卡点同时出发，小南以的速度从D打卡点沿方向步行至A打卡点，小开以的速度从A打卡点沿方向跑步至B打卡点，请通过计算说明，小南出发多少千米后恰好与小开相距千米？（结果保留小数点后两位，参考数据：，） 题型十六 坡度坡比问题 61．五一期间，王老师读到《行路难》中“闲来垂钓碧溪上，忽复乘舟梦日边．”邀约好友一起在江边垂钓，如图，河堤的坡度为，长为米，钓竿与水平线的夹角是，其长为米，若钓竿与钓鱼线的夹角也是，求浮漂与河堤下端之间的距离？（参考数据：） 62．如图，某数学兴趣小组在一次外出登山活动中，发现一棵古树竖直生长在山崖上，为了安全测量古树的高度，采用了如下的方法：先从与古树底端在同一水平线上的点出发，沿斜面坡度为的斜坡前进到达点，再沿水平方向继续前进一段距离后到达点．在点处测得古树的顶端的俯角为，底部的俯角为，求古树的高度．（结果精确到．参考数据：，，，） 63．校内数学兴趣小组组织了一次测量探究活动．如图，大楼的顶部竖有一块广告牌，小明与同学们在山坡的坡脚A处测得广告牌底部D的仰角为，沿坡面向上走到B处测得广告牌顶部C的仰角为，已知山坡的坡度，米，米．（测角器的高度忽略不计，结果精确到米，参考数据：，， ，，） (1)求点B距水平地面的高度； (2)求广告牌的高度． 64．2024年，元宵节迎春烟花秀在人民广场震撼上演，欢乐、祥和、喜庆、热烈的节日氛围再次拉满，欢欢和喜喜两位同学相约去人民广场看烟花，并测量烟花的燃放高度．如图，欢欢从点出发，沿坡度的山坡走了130米到达坡顶点，喜喜则沿点正东方向到达离点水平距离40米的点观看，此时烟花在与，同一水平线上的点处点燃，一朵朵灿烂的烟花在点的正上方点绽放，欢欢在坡顶处看烟花绽放处的仰角为，喜喜在处测得点的仰角为（点，，，，在同一平面内）．（参考数据：，） (1)求欢欢从斜坡处走到处上升的高度； (2)烟花燃放结束后，欢欢和喜喜两位同学来到烟花燃放地帮忙清理现场的垃圾，他们清理时发现刚才燃放的烟花盒子上的说明书写着烟花的燃放高度为米，请你帮他们计算一下说明书写的烟花燃放的高度（图中DE）是否属实？ 题型十七 生活实际问题 65．图①是一辆自行车的实物图，图②是这辆自行车的部分结构几何示意图，车架的长为60cm，且，座杆的长为，点在同一条直线上，．求： (1)车架的长； (2)车座点到车架的距离．（结果精确到1cm，参考数据：，，，，，） 66．如图是某货站传送货物的平面示意图，为了提高传送过程的安全性，工人师傅欲减小传送带与地面的夹角，使其由改为．已知原传送带长为． (1)求新传送带的长度； (2)如果需要在货物着地点C的左侧留出的通道，试判断距离B点的货物是否需要挪走，并说明理由．（结果精确到，已知，，） 67．一场突如其来的病毒，让我们的寒假变得不平凡，在这关键时刻，教育部门决定采取“停课不停学”的网络授课，为了更方便的使用手机听课，有的家长给孩子们购买手机支架．图1是一种手机支架，由托板、支撑板和底座构成，手机放置在托板上，图2是其侧面结构示意图，量得托板长，底座长，托板固定在支撑板顶端点处，托板可绕点转动，支撑板可绕点转动． (1)为了观看舒适，把绕点逆时针旋转，使，如图2，求到直线的距离． (2)在（1）的条件下，再将绕点顺时针旋转，使，求到直线的距离．（结果保留1位小数）（参考数据：） 68．如图1是一种折叠式可调节钓鱼竿支架，图2是其示意图，是地插，用来将支架固定在地面上，支架可绕点A转动，用来调节与地面的夹角，支架可绕支点C转动，用来调节与的夹角，支架可伸缩调节长度．已知，，钓鱼竿始终与地面平行． (1)如图2，当支架与地面垂直时，，求的度数； (2)如图3，若保持支架与地面的夹角不变，调节支架与的夹角，使得，求此时支架的长度（结果保留小数点后1位．参考数据：，，）． 基础巩固通关测 1．（（25-26九年级上·河北石家庄·阶段练习））若，则锐角的度数是（   ） A． B． C． D． 2．（（25-26九年级上·河北秦皇岛·阶段练习））在中，，给出下列式子，①；②；③；④；⑤，其中能成立的个数有（　　） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 3．（25-26九年级上·河北保定·阶段练习）若，则是（　　） A．直角三角形 B．等边三角形 C．含有的任意三角形 D．顶角为钝角的等腰三角形 4．（24-25九年级上·河北石家庄·期中）如图，在中，，，，则等于（    ） A． B． C． D． 5．（2025·河北石家庄·三模）如图，四边形是平行四边形，连接对角线，将沿所在直线折叠得到，交于点，若，，，则的长度是（ ） A． B． C． D． 6．（2025·河北唐山·三模）如图，由8个全等的菱形组成的网格中，每个小菱形的边长均为1，，其中点、、都在格点上，则的值为（   ） A． B．2 C．3 D． 7．河堤横断面如图所示，斜坡AB的坡度，，则的长是 8．（25-26九年级上·河北石家庄·阶段练习）在中，，，，那么长为 ． 9．（25-26九年级上·河北·阶段练习）如图，在中，，若，则 ． 10．（25-26九年级上·河北沧州·阶段练习）如图，中，，，的垂直平分线分别交、于、，若，则 ． 11．（25-26九年级上·河北·阶段练习）如图，在中，，，分别以点，为圆心，大于的长为半径作弧，两弧分别相交于点，，连接交边于点，连接．若，则的周长为 ． 12．（24-25九年级上·河北张家口·期中）如图，折叠矩形的一边，使落在边上的处，且．    （1）与是否相似？ （选填“是”或者“否”） （2）若则矩形的面积为 ． 13．已知为锐角，且，求的度数． 14．（2025·河北承德·二模）一款手机支架的示意图如图所示，底座支架与桌面垂直，，固定连接杆，为固定值，是活动连杆，其可绕点B旋转，使的度数发生变化进而带动手机夹升降． (1)当时，求的度数； (2)求点B到的距离． 15．（2025·河北邯郸·二模）如图是某跨江大桥段抽象出的竖直截面图． 【测量】从点处测得支架顶端的仰角为，从点处测得支架顶端的仰角为，支架的竖直高度为202米． 【计算】求的长． 【应用】通过该桥的限速标准为22米/秒，一辆汽车用时36秒通过路段，通过计算判断这辆汽车是否超速？ （结果精确到1米，参考数据：，） 16．解答 课题 设计遮阳棚前挡板 模型抽象示意图 德百旅游小镇游客服务中心为了方便旅游高峰期间游客遮阳，在服务窗口外安装了遮阳棚，结果发现旅游高峰期正午时纳凉面积不够，现在为使服务窗口外的纳凉区域增加到宽，计划在遮阳棚前端加装一块前挡板（前挡板垂直于地面），抽象模型如图1，现在要计算所需前挡板的宽度． 测量数据 实地测得相关数据，并画出了侧面示意图，如图2，遮阳棚长为，其与墙面的夹角，其靠墙端离地面高为．通过实地勘察，该服务窗口在每年的旅游高峰期间正午的太阳高度角（太阳光线与地面夹角约为，若加装前挡板后，此时服条窗口前恰好有宽的阴影，如图3． 任务1 求遮阳棚前端到墙面的距离． 任务2 当时，求线段的长度． 结果精确到，参考数据： 17．（2025·河北廊坊·一模）图1是古代数学家杨辉在《详解九章算法》中对“邑的计算”的相关研究．数学兴趣小组也类比进行了如下探究如图②，正八边形游乐城的边长为，南门设立在边的正中央，游乐城南侧有一条东西走向的道路，在上（门宽及门与道路间距离忽略不计），东侧有一条南北走向的道路，处有一座雕塑．在处测得雕塑在北偏东方向上，在处测得雕塑在北偏东方向上．（结果精确到，参考数据：） (1)__________，_________； (2)求点到道路的距离． 18．（23-24九年级上·河北·期末）汉中龙头山景区为给游客提供更好的游览体验，拟在如图①景区内修建观光索道．设计示意图如图②所示，以山脚A为起点，沿途修建两段长度相等的观光索道，最终到达山顶D处，中途设计了一段与平行的观光平台．索道与的夹角为，与水平线夹角为，点B的垂直高度为，，垂足为点F．（图中所有点都在同一平面内，点A，E，F在同一水平线上．） (1)求索道的长（结果精确到1m）； (2)求山顶点D到水平地面的距离的长（结果精确到）． （参考数据：，，，） 19．（25-26九年级上·河北石家庄·阶段练习）如图，在正方形网格中，点A、B、O都在格点上，那么的值为（    ） A． B． C． D．1 20．某区域平面示意图如图，点O在河的一侧，和表示两条互相垂直的公路．甲侦测员在处测得点位于北偏东，乙勘测员在处测得点位于南偏西，测得，，请求出点到的距离（    ）（参考数据，，） A．160 B．330 C．480 D．520 21．（2024·河北·模拟预测）如图，在菱形中，分别是边的中点，连接，若，则的长为（　　） A． B． C． D． 22．如图，在平面直角坐标系中，点O为原点，点A位于第一象限内，，并且点A到x轴的距离为6，点B对应的坐标为．若为钝角三角形，则a的取值范围是（   ） A． B． C．且，或 D．且，或 23．（2025·河北邯郸·二模）在正六边形中，点是的中点，连接，，若图中阴影部分的面积为，如下结论： 结论一：． 结论二：． 下列判断正确的是（    ） A．结论一正确，结论二不正确 B．结论一不正确，结论二正确 C．结论一正确，结论二正确 D．结论一不正确，结论二不正确 24．在等腰中，，点D在上，点E在上且，连接，将沿翻折到的内部，得到，连接．则（　　） A． B． C． D． 能力提升进阶练 25．（2025·河北·模拟预测）如图， 点A、B、C 都在正方形网格的格点上， 则的值是 ． 26．如图，在中，，则 27．如图，在正方形纸片中，点E是边的中点．将该纸片的右下角向上翻折，使点C与点E重合，边翻折至的位置，与交于点P，那么的值是 ． 28．在中，为线段上一点，且，则的值为 29．如图，某地政府为解决当地农户网络销售农产品物流不畅问题，计划打通一条东西方向的隧道，无人机从处的正上方处，沿正东方向以的速度飞行到达处，此时测得A处的俯角为，然后以同样的速度沿正东方向又飞行到达处，此时测得处的俯角为．由以上测量数据，计算得隧道的长度为 m．（结果精确到；参考数据：，，） 30．如图，在中，，，将绕点A逆时针方向旋转，得到，连接，交于点D，则的值为 ．    31．（24-25九年级上·河北·期末）某船向正东航行，在A处望见灯塔C在东北方向，前进到B处望见灯塔C在北偏西，又航行了半小时到D处，望见灯塔C恰在西北方向，若船速为每小时40海里．求A、D两点间的距离．（结果不取近似值） 32．（24-25九年级上·河北·期末）如图，在建筑物上，挂着40米长的条幅，从另一建筑物的顶部D处看条幅顶端A，仰角为，看条幅底端E，俯角为．求两建筑物之间的距离（，精确到米） 33．热气球的探测器显示，从热气球看这栋高楼底部的俯角为，热气球与高楼的水平距离为66米． (1)求热气球所在的高度；（精确到1米） (2)如果，求这栋楼的高度．（精确到1米） 34．（2025·河北石家庄·三模）跳台滑雪要想取得好成绩，就必须在第一阶段达到高速度，所以大跳台必须达到一定的高度．如图1是首钢滑雪大跳台，是冬奥历史上第一座与工业遗产再利用直接结合的竞赛场馆，是世界首例永久性保留和使用的滑雪大跳台场馆，跳台造型设计融入了中国知名的世界文化遗产——敦煌壁画中的“飞天”元素．图2是其示意图，为登台梯，C为大跳台最高点，赛道由三段组成（平行于地面）． (1)数学兴趣一组已测得，，求平台与地面之间的距离．（，结果保留到个位）． (2)数学兴趣二组通过测量得到，，从E处看C的仰角为（即），并由计算器查得，，请问能否根据两个兴趣小组获得的这些数据求出大跳台最高点的高度？若能，请求出来；若不能，请说明理由．（结果保留到个位） 35．（2025·河北石家庄·三模）河北省吴桥县是我国著名的杂技之乡，高空走钢丝是群众喜欢的项目之一如图，、均垂直于地面且高度相同杂技演员所在位置点到所在直线的距离，，此时；如图，当杂技演员走至钢丝中点时，恰好运动过程中绳子总长不变（参考数据：，，）． (1)求的长； (2)求杂技演员从点走到点，下降的高度； (3)在从走向的过程中，是否存在某个位置，使得是直角？如果存在，请求出点到点的距离；如果不存在，请说明理由（结果可保留根号）． 36．（2025·河北邢台·模拟预测）【实践课题】测量河对岸两棵树之间的距离． 【实践工具】皮尺、测角仪、标杆等． 【实践活动】研学游期间，甲同学在拍照时，发现河对岸有A，B两棵树（与河岸平行），于是他提出，在不过河的前提下，如何测量河对岸的树A与树B之间的距离呢？ 乙同学观察地形，制订了测量方案：如图1，在河岸一侧确定两个点C，D，使与河岸平行，且，经测量，，． 【问题解决】 （1）请根据乙同学的方案，计算出A，B两棵树之间的距离．（结果精确到，参考数据：，，） 【交流讨论】 （2）丙同学给出了另一种方案，如图2，在河岸一侧确定两点C，D，使与河岸平行，且，测量出，，，即可计算出的长度，请帮助丙同学验证他的方案的可行性． 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $