专题4 相似三角形的基本模型-【绿卡初中创新题】2025-2026学年九年级上册数学习题课件(冀教版)河北专版

该初中数学课件聚焦相似三角形的基本模型，系统梳理“A”型、“Y”型、双垂直型、“手拉手”型及一线三等角型，每个模型从核心条件（如平行、角相等）出发，配套针对训练，构建“模型定义-条件辨析-例题应用”的学习支架，帮助学生衔接图形性质与相似判定。 其亮点在于以模型化教学为主线，通过几何直观呈现图形结构，如“手拉手”型结合旋转动态分析，培养学生数学眼光。针对训练题注重推理能力，如双垂直型中利用射影定理计算CD长度，强化数学思维。教师可借助结构化内容提升教学效率，学生能通过模型体系提升解题规范性与应用意识。

第25章　图形的相似 专题4　相似三角形的基本模型 1 模型1　“A”型及其变形（公共顶点） 2 3 4 5 1 7 8 9 10 6 11 12 13 2 针对训练 1. 如图，在△ABC中，点D，E分别在边AB，AC上，有下列条件：①∠AED=∠B；②DE⫽BC；③=；④=；⑤∠ADE=∠C，其中能使△ADE与△ACB相似的有 （　　） A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 C 2 3 4 5 1 7 8 9 10 6 11 12 13 3 2. 如图，在△ABC中，DE⫽BC，∠ADE=∠EFC，AD∶BD=5∶3，CF=6，则DE的长为 （　　） A. 6 B. 8 C. 10 D. 12 C 2 3 4 5 1 7 8 9 10 6 11 12 13 4 3. 如图，等边三角形ABC中，在AC，BC边上各取一点E，F，连接AF，BE相交于点P，∠BPF=60°. 求证：△APE∽△BAE. 证明：∵△ABC为等边三角形，∴∠BAE=60°. ∵∠APE=∠BPF=60°，∴∠BAE=∠APE. 又∵∠AEP=∠BEA，∴△APE∽△BAE. 2 3 4 5 1 7 8 9 10 6 11 12 13 5 模型2　“X”型及其变形（对顶角相等） 2 3 4 5 1 7 8 9 10 6 11 12 13 4. 如图所示，在▱ABCD中，AC与BD相交于点O，E为OD的中点，连接AE并延长，交DC于点F，则DF∶FC= （　　） A. 1∶4 B. 1∶3 C. 2∶3 D. 1∶2 针对训练 D 2 3 4 5 1 7 8 9 10 6 11 12 13 5. 如图，已知BD，AC相交于点P，∠1=∠2，AD=3，DP=2，CP=1，则BC=________. 2 3 4 5 1 7 8 9 10 6 11 12 13 8 模型3　双垂直型 2 3 4 5 1 7 8 9 10 6 11 12 13 6. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB，垂足为D. 若BC=8，AB=10，则BD= （　　） A. 5 B. 6.2 C. 6.4 D. 7.2 针对训练 C 2 3 4 5 1 7 8 9 10 6 11 12 13 7. 如图，在Rt△ABC中，已知∠ACB=90°，CD是斜边AB上的高. 若AD=9 cm，BD=4 cm，则CD=________. 【解析】∵CD⊥AB，∴∠ADC=∠CDB=90°，∴∠A+∠ACD=90°. ∵∠ACB=90°，∴∠A+∠B=90°，∴∠ACD=∠B，∴△ADC∽△CDB，∴=，∴CD2=AD·BD=9×4=36， ∴CD=6 cm. 6 cm 2 3 4 5 1 7 8 9 10 6 11 12 13 8. 如图，在正方形ABCD中，E是BC上的一点，连接AE，作BF⊥AE，垂足为点H，交CD于点F，作CG⫽AE，交BF于点G. 求证： （1）CG=BH； （1）证明：∵BF⊥AE，CG⫽AE，∴CG⊥BF，∴∠CGB=∠BHA=90°. ∵四边形ABCD是正方形，∴AB=BC，∠ABC=90°， ∴∠ABH+∠CBG=∠ABH+∠BAH=90°，∴∠BAH=∠CBG. ∴△ABH≌△BCG，∴CG=BH. 2 3 4 5 1 7 8 9 10 6 11 12 13 （2）FC2=BF·GF. （2）证明：∵∠BFC=∠CFG，∠BCF=∠CGF=90°， ∴△CFG∽△BFC，∴=，即FC2=BF·GF. 2 3 4 5 1 7 8 9 10 6 11 12 13 模型4　“手拉手”型（旋转型） 2 3 4 5 1 7 8 9 10 6 11 12 13 9. 如图，∠DAB=∠CAE，请你再添加一个条件，使得△ADE∽ △ABC，则下列选项不成立的是 （　　） A. ∠D=∠B B. ∠AED=∠C C. = D. = 针对训练 D 2 3 4 5 1 7 8 9 10 6 11 12 13 10. 如图，在△ABC与△ADE中，∠ACB=∠AED=90°，∠ABC=∠ADE，连接BD，CE. （1）求证：△ABC∽△ADE； （1）证明：∵∠ACB=∠AED=90°，∠ABC=∠ADE， ∴△ABC∽△ADE. 2 3 4 5 1 7 8 9 10 6 11 12 13 （2）若AC∶BC=3∶4，求的值. （2）解：∵AC∶BC=3∶4，∴设AC=3x，则BC=4x. ∵∠ACB=90°，∴AB==5x. ∵△ABC∽△ADE，∴∠BAC=∠DAE，=， ∴∠EAC=∠DAB，=，∴△AEC∽△ADB，∴==. 2 3 4 5 1 7 8 9 10 6 11 12 13 模型5　一线三等角型（K型） 2 3 4 5 1 7 8 9 10 6 11 12 13 11. 如图，在矩形ABCD中，点E是边AD上的任一点，连接BE，过点E作BE的垂线交BC延长线于点F，交边CD于点P，则图中共有相似三角形 （　　） A. 6对 B. 5对 C. 4对 D. 3对 针对训练 A 2 3 4 5 1 7 8 9 10 6 11 12 13 12. （石家庄桥西模拟）如图，在矩形ABCD中，AB=10，AD=4，点P是CD上的动点，当∠APB=90°时，DP的长是 （　　） A. 2 B. 6 C. 2或6 D. 2或8 D 2 3 4 5 1 7 8 9 10 6 11 12 13 13. 如图，在等边三角形ABC中，D为BC边上一点，E为AC边上一点，且∠ADE=60°，BD=4，CE=3. （1）求证：△ABD∽△DCE； （1）证明：∵△ABC是等边三角形，∴∠B=∠C=60°. ∵∠ADC=∠B+∠BAD，∴∠ADE+∠EDC=∠B+∠BAD. ∵∠B=∠ADE=60°，∴∠BAD=∠EDC. ∴△ABD∽△DCE. 2 3 4 5 1 7 8 9 10 6 11 12 13 （2）求等边三角形ABC的边长. （2）解：由（1）得△ABD∽△DCE， ∴=，即=，解得AB=16. ∴等边三角形ABC的边长为16. 2 3 4 5 1 7 8 9 10 6 11 12 13 23 $$