第一章特殊平行四边形课后培优训练 2025—2026学年北师大版数学九年级上册

第一章特殊平行四边形课后培优训练北师大版2025—2026学年九年级上册 一、单项选择题 1．下列命题中真命题的是（　　） A．对角线相等的四边形是矩形 B．对角线互相垂直的四边形是菱形 C．对角线相等的平行四边形是矩形 D．对角线互相垂直平分的四边形是正方形 2．下列性质中，菱形不一定具有的性质是（    ） A．四边相等 B．对角线互相垂直 C．对角线相等 D．对角相等 3．一个菱形的两条对角线长分别是，则这个菱形的面积S等于（   ）． A．48 B．24 C．12 D．18 4．如图，矩形的对角线交于点，若，则的长为（    ） A． B． C． D． 5．直角三角形斜边上的中线长为 4，则该直角三角形的斜边长是（　　　） A．8 B．6 C．4 D．2 6．如图，四边形的对角线相交于点O，，则下列说法中错误的是（   ） A．若，则四边形是矩形 B．若平分，则四边形是菱形 C．若且，则四边形是正方形 D．若且，则四边形是正方形 7．如图所示，在矩形纸片中，已知，叠纸片使点B落在对角线上的点F处，折痕为，且，则的长为（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 第4题图 第6题图 第7题图 8．如图，在中，，，，点D是斜边上的动点（不与点A，B重合），，，垂足分别是点E，F，点Q是的中点，则线段长的最小值为（   ） A． B． C．3 D． 9．如图，在正方形中，平分交于点E，点F是边上一点，连接，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 10．如图，在中，平分∠ABC，于点F，D为的中点，连接延长交于点E．若，则线段的长为（   ） A．8 B．10 C．2 D．1 第9题图 第10题图 第8题图 二、填空题 11．如图，折叠矩形的一边，使点D落在边上的点F处，折痕为．若，，则的长为 ． 12．如图所示，四边形是正方形，边长为，点、分别在轴、轴的正半轴上，点在上，且点的坐标为，是上一动点，则的最小值为 ． 13．菱形的两条对角线长分别为10和24，则该菱形的面积是 ． 14．如图，在矩形中，，，点分别在边上，沿着折叠矩形，使点分别落在处，且点在线段上（可与点重合），过点作于点，连接． （）当与重合时， ； （）若四边形为正方形，则 ． 第12题图 第14题图 第11题图 三、解答题 15．如图，在平行四边形中，对角线，交于点O，且平分，平分，过点C作，交的延长线于点E，连接． (1)求证：四边形是菱形． (2)若，，求的长． 16．如图，在平行四边形中，过点作交边于点，点在边上，且． (1)求证：四边形是矩形； (2)若平分，且，求线段的长． 17．如图，在正方形中，点E在边上，点F在边的延长线上，且，连接交边于点N，过点D作，垂足为H，交于点M． (1)求的度数； (2)当时，求的长； (3)若点M是的中点，求证：． 18．如图，在中，，E是的中点，连接并延长，交的延长线于点F，连结． (1)求证：四边形是菱形． (2)若，求四边形的面积． 19．如图，四边形为正方形，点E为线段上一点，连接，过点E作，交射线于点F，以，为邻边作矩形，连接，且． (1)求证：矩形是正方形； (2)若，，求的长度； (3)当线段与正方形的某条边的夹角是时，求的度数． 20．如图，矩形的顶点A、C分别在x轴、y轴的正半轴上，点B的坐标为，一次函数的图象与边、分别交于点D、E，且，点M是直线上的一个动点． (1)求的值； (2)连结，若三角形的面积与四边形的面积之比为，求点的坐标； (3)设点N是平面内的一点，以、、、为顶点的四边形是菱形，直接写出N的坐标． 参考答案 一、单项选择题 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C C B D A D D A C D 二、填空题 11． 12． 13．120 14． 三、解答题 15．【解】（1）证明：∵平分，平分， ∴，， 又∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴平行四边形是菱形； （2）解：∵四边形是菱形，对角线，交于点，， ∴，， ∴， 在中，， ∴， ∵， ∴， 在中，，为中点， ∴． 16．【解】（1）证明：四边形是平行四边形， ，， ， ， 四边形是平行四边形， ， ， 四边形是矩形； （2）解：平分，， ， ， ，， ， ， ， 在中，，即的长是． 17．【解】（1）解：如图：连接， ∵正方形， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． （2）解：∵为等腰直角三角形，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 在和中． ， ∴， ∴， ∵， ∴． （3）证明：∵M是的中点， ∴， 设，则，， 由（2）同理可得， ∴， ∴， ∴， 如图：连接， ∵垂直平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 18．【解】（1）证明：∵，E是的中点， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴，即， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是菱形． （2）解：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∵四边形是菱形， ∴．， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴四边形的面积． 19．【解】（1）证明：∵四边形为正方形， ∴，， ∵四边形为矩形， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵四边形为矩形， ∴四边形为正方形； （2）解：在中，， ∵， ∴， ∵， ∴； （3）解：分以下两种情况讨论： ①当与的夹角为时，点F在边上，， ∴， 在四边形中，由四边形内角和定理得： ； ②当与的夹角为时，点F在的延长线上，，如图3所示： ∵，， ∴． 20．【解】（1）解：∵四边形是矩形， ∴， 将代入一次函数得：， ∴， ∵， ∴， ∵点的坐标为， ∴， ∴， ∴， 将点代入一次函数得：， 解得． （2）解：由（1）得：， ∴， ∴， 由（1）得：一次函数的解析式为， 设点的坐标为，则的边上的高为， ①当点在线段上时，则， ∵三角形的面积与四边形的面积之比为， ∴的面积为， ∴， 解得， ∴，， ∴此时点的坐标为； ②当点在线段延长线上时，则， ∵三角形的面积与四边形的面积之比为， ∴的面积为， ∴， 解得， ∴，， ∴此时点的坐标为； 综上，点的坐标为或． （3）解：①如图，当为菱形的对角线时， 由菱形的性质可知，与互相垂直且平分， ∴点的纵坐标与的中点的纵坐标相等，即为， 将代入一次函数得：，解得， ∴， 又∵与互相垂直且平分， ∴点与点关于轴对称， ∴； ②如图，当为菱形的对角线时，则， 设点的坐标为， ∵， ∴， 整理得：， 解得， 当时，，则， 当时，，则， 由菱形的性质可知，， ∵轴， ∴轴， ∴或， 即或； ③如图，当为菱形的对角线时，则， 设点的坐标为， ∴， 整理得：， ∵当时，点与点重合， ∴， ∴由得：， 解得， ∴， ∴， 由菱形的性质可知，， ∵轴， ∴轴， ∴，即； 综上，点的坐标为或或或． 学科网（北京）股份有限公司 $$