专题1.4 全等三角形（知识梳理+4个考点讲练+中考真题演练+难度分层练 共37题）-2025-2026学年浙教版数学八年级上册同步培优讲练（2024新教材）

专题1.4 全等三角形 （知识梳理+4个考点讲练+中考真题演练+难度分层练 共37题） 知识梳理 技巧点拨 1 知识点梳理01：全等三角形 1 知识点梳理02：全等三角形的性质 2 知识点梳理03：全等变换 2 优选题型 考点讲练 2 考点1：图形的全等 2 考点2：全等三角形的概念 5 考点3：全等三角形的性质 10 考点4：将已知图形分割成几个全等图形（全等图形） 13 中考真题 实战演练 14 难度分层 拔尖冲刺 18 基础夯实 18 培优拔高 27 知识点梳理01：全等三角形 1. 全等三角形的有关概念 两个能完全重合的三角形叫做全等三角形．互相重合的顶点叫做对应顶点，互相重合的边叫做对应边，互相重合的角叫做对应角． 2. 全等三角形的表示方法 全等用符号“”表示，读作“全等于”． 表示两个三角形全等时，通常把对应顶点的字母写在对应的位置上．这样容易写出对应边、对应角．如图中的与全等，记作“”，点A与点D、点B与点E、点C与点F是对应顶点． 知识点梳理02：全等三角形的性质 1. 全等三角形的对应边相等，对应角相等． 2. 全等三角形的其他性质 （1）全等三角形的周长相等； （2）全等三角形的面积相等； （3）全等三角形对应边上的中线相等，对应角的平分线相等，对应边上的高相等． 知识点梳理03：全等变换 一个图形经过平移、翻折、旋转后，位置发生变化，但形状、大小都没有改变，即平移、翻折、旋转前后的图形全等． 如图（1），把沿BC所在直线向右平移一段距离，得到，则． 如图（2），把沿BC所在直线翻折，得到，则． 如图（3），把绕点A旋转，得到，则． 考点1：图形的全等 【典例精讲】（22-23八年级上·河南濮阳·阶段练习）如图，在中，，为上一点，，，垂足分别为、，且．请选择一对你认为全等的三角形并加以证明．    (1)你选择的是：____________________； (2)证明： 【答案】(1)， (2)证明见解析． 【思路引导】（1）根据图形和已知条件进行选择即可； （2）由题意可知，和是直角三角形，再利用“”，即可证明全等． 【规范解答】（1）解：根据图形和已知条件，选择证明的全等三角形为， 故答案为：，； （2）证明：，， 和是直角三角形， 在和中， ， ． 【考点剖析】本题考查了全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定定理是解题关键． 【变式训练1】（21-22八年级上·陕西商洛·期末）在平面直角坐标系内，点O为坐标原点，，．若在该坐标平面内有一点P（不与点A、B、O重合）为一个顶点的直角三角形与全等，且这个以点P为顶点的直角三角形与有一条公共边，则所有符合条件的三角形个数为（    ） A．3个 B．4个 C．6个 D．7个 【答案】D 【思路引导】根据题意画出图形，分别以为边、根据直角三角形全等的判定定理作出符合条件的三角形即可． 【规范解答】解：如图：分别以为边作与全等的三角形各有4个，其中有5个是重合的， 则所有符合条件的三角形个数为7． 故选：D． 【考点剖析】本题考查的是直角三角形全等的判定，坐标与图形的性质，灵活运用分情况讨论思想、根据直角三角形全等的判定定理不重不漏的找出所有符合条件的三角形是解题的关键． 【变式训练2】（22-23八年级上·江苏镇江·阶段练习）把图中的等边三角形分成2个、3个、4个全等图形． 【答案】图见解析 【思路引导】根据等边三角形的性质和全等图形的判定进行分解即可． 【规范解答】作图如下： 解：①根据等边三角形三线合一作底边的中线即可将等边三角形分成2个全等三角形如图1； ②根据等边三角形的性质，找到三角形的外心或内心即可将等边三角形分成三个全等图形，如图2，图3； ③找到三边中点，连线即可得到四个全等三角形，如图4． 【考点剖析】本题考查等边三角形的性质，以及全等三角形的判定和全等图形的判定．熟练掌握等边三角形的性质和全等图形的判定方法是解题的关键． 考点2：全等三角形的概念 【典例精讲】（24-25八年级上·湖北武汉·期中）如图是由小正方形组成的的网格，每个小正方形的顶点叫做格点．如图，A，B，C均为格点，用无刻度直尺在给定网格中完成画图，画图过程用虚线，画图结果用实线． (1)在图1中，画，使得； (2)在图1中，过点C画直线m，使得直线m平分的面积； (3)在图2中，画的高； (4)在图2中，在高上作点F，使得． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 (4)见解析 【思路引导】此题考查了复杂作图，网格的特点，三角形中线的性质，等腰直角三角形的性质和判定，等腰三角形的性质等知识，解题的关键是熟练运用网格的特点． （1）根据网格的特点和全等三角形的判定画出图形即可； （2）根据三角形的中线平分三角形的面积画图即可； （3）取格点G，连接，交的延长线于点E，连接即为所求； （4）取格点H，I，K，连接，，，和交于点L，连接交于点F即为所求． 【规范解答】（1）解：如图所示，即为所求； （2）解：如图所示，直线m即为所求； （3）解：如图所示，即为所求； 由网格得，， ∴，即是 的高； （4）解：如图所示，点F即为所求； 由网格得，是等腰直角三角形， 由网格得，点L是的中点 ∴ ∴ ∴． 【变式训练1】（22-23七年级下·江西吉安·阶段练习）如图，与是正方形网格中的格点线段与格点三角形（顶点在格点上），请仅用无刻度直尺按下列要求作图． (1)在图1中作格点，且与成轴对称．    (2)在图2中作格点，且与全等，但不成轴对称．    【答案】(1)见解析 (2)见解析 【思路引导】（1）利用网格图结合轴对称变换的性质进行画图即可； （2）利用全等三角形的定义进行画图即可 【规范解答】（1）作图，如下图所示：    （2）作图，如下图所示：    【考点剖析】此题主要考查了作图--轴对称，关键是掌握几何图形都可看作是由点组成，我们在画一个图形的轴对称图形时，也就是确定一些特殊的对称点 【变式训练2】（22-23八年级上·河北秦皇岛·期末）如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都是1个单位长度，的三个顶点都在格点上． (1)画出关于成轴对称的； (2)在直线上找一点，使的周长最小，请用画图的方法确定点的位置，并直接写出周长的最小值为______． (3)若在直线上存在一点，使是等腰三角形，则这样的点有______个． (4)若点也在格点上（不与点重合），且与全等，在图上画出符合条件的点，并分别写出每个与的位置关系：______． 【答案】(1)图见解析 (2)图见解析， (3)2个 (4)图见解析，与关于所在直线成轴对称，与关于的中垂线成轴对称，与关于的中点成中心对称． 【思路引导】（1）根据轴对称的性质求解即可； （2）作点A关于的对称点，连接与的交点即为所求点P，然后根据两点之间线段最短得到周长的最小值为，最后根据勾股定理求解即可； （3）根据等腰三角形的概念求解即可； （4）根据全等三角形的判定方法求解即可． 【规范解答】（1）如图所示，即为所求； （2）如图，作点A关于的对称点，连接与的交点即为所求点P． ∵周长， ∴周长的最小值为； （3）如图所示， ∴使是等腰三角形的点有2个； （4）如图所示， 与关于所在直线成轴对称， 与关于的中垂线成轴对称， 与关于的中点成中心对称． 【考点剖析】此题考查坐标系中关于轴对称的坐标点的变化，最小值，作对称图形，等腰三角形的概念，全等三角形的判定等知识，解题的关键是掌握以上知识点． 考点3：全等三角形的性质 【典例精讲】．（25-26八年级上·全国·课后作业）如图，已知，E是线段上一点，交于点F．下列与的度数相等的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【思路引导】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．由可得，，由对顶角相等可知则有，由此可得，再根据即可求解． 【规范解答】解：， ，， ， ， ， ， ． 故选：B． 【变式训练1】（25-26八年级上·全国·课后作业）如图，已知和是对应角，，，，，．求： (1)及的长． (2)的度数． 【答案】(1)， (2) 【思路引导】本题考查的是全等三角形的性质，三角形的外角的性质； （1）由全等三角形的性质可得，再进一步求解即可； （2）由全等三角形的性质可得，再进一步利用三角形的外角的性质求解即可. 【规范解答】（1）解： ， ， ， ， ， ． （2）解：， ， ， . 【变式训练2】（24-25八年级上·河北石家庄·期中）如图，在中，，点为的中点，点在线段上以每秒个单位长度的速度由点向点运动，同时，点在线段上以每秒个单位长度的速度由点向点运动，设运动时间为（秒）． （1）用含的代数式表示线段的长为 ； （2）若点的运动速度不相等，当与全等时，的值为 ． 【答案】 【思路引导】本题主要考查了列代数式，全等三角形的性质及一元一次方程的应用，熟练掌握全等三角形的性质是解题的关键． （1）根据路程、速度、时间之间的关系列代数式即可得解； （2）利用全等三角形的判定分，和，两种情况构造方程求解即可． 【规范解答】解：（1）运动秒，点运动的路程为． ． 故答案为：． （2）， ． 为的中点， ． 当与全等， 或． 当， ． ． ． （不合题意，舍去）． 当， ． ． ． ． 故答案为：． 考点4：将已知图形分割成几个全等图形（全等图形） 【典例精讲】（2025八年级上·全国·专题练习）小明通过实验发现：如图所示，将一个长方形可以分割成四个全等的长方形，三个全等的长方形，于是他对含的直角三角形进行分割研究，发现也可以分割成四个全等的直角三角形，三个全等的直角三角形． 请你在图中依次画出分割线； 【答案】图形见详解 【思路引导】本题考查了作图-应用与设计，全等三角形的判定等知识点．根据要求画出图形即可． 【规范解答】解：分割线如图所示： ． 【变式训练1】（24-25八年级上·江苏泰州·阶段练习）用不同的方法沿着网格线把正方形分割成两个全等的图形．（至少画3种，分割线用粗实线） 【答案】见详解 【思路引导】题目主要考查了全等图形的定义，理解全等图形的定义是解题关键； 观察图形发现：这个正方形网格的总面积为16，因此只要将面积分为8，且图形形状相同即可． 【规范解答】解：如图所示即为所求． 【变式训练2】（22-23七年级下·广东·期中）知识重现：“能够完全重合的两个图形叫做全等图形．” 理解应用：我们可以把的正方形网格图形划分为两个全等图形． 范例：如图1 和图2是两种不同的划分方法，其中图3 与图1视为同一种划分方法． 要求：请你再提供2种与上面不同的划分方法，分别在图4 中画出来． （请将所划分的两个全等图形之一用铅笔描黑） 【答案】见解析（答案不唯一） 【思路引导】本题考查了全等图形的概念，根据能够完全重合的图形为全等图形，在图中画出即可，熟知全等图形的概念是解题的关键． 【规范解答】解：如图所示： （答案不唯一）． 1．（2024·山东济南·中考真题）如图，已知，则的度数为（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【思路引导】本题主要考查了全等三角形的性质、三角形内角和定理等知识点，掌握全等三角形的对应角相等成为解题的关键． 先根据三角形内角和定理求得，然后根据全等三角形的对应角相等即可解答． 【规范解答】解：∵在中，， ∴， ∵， ∴． 故选C． 2．（2024·四川成都·中考真题）如图，，若，，则的度数为 ． 【答案】/100度 【思路引导】本题考查了三角形的内角和定理和全等三角形的性质，先利用全等三角形的性质，求出，再利用三角形内角和求出的度数即可． 【规范解答】解：由，， ∴， ∵， ∴， 故答案为： 3．（2023·广西柳州·中考真题）如图，△ABC≌△DEF，请根据图中提供的信息，写出x= ． 【答案】20 【思路引导】先利用三角形的内角和定理求出，然后根据全等三角形对应边相等解答． 【规范解答】解：如图，， ， ， 即． 故答案为：20． 【考点剖析】本题考查了全等三角形的性质，根据角度确定出全等三角形的对应边是解题的关键． 4．（2023·江苏南通·中考真题）如图，已知：点B、F、C、E在一条直线上，FB=CE，AC=DF．能否由上面的已知条件证明AB∥ED？如果能，请给出证明；如果不能，请从下列三个条件中选择一个合适的条件，添加到已知条件中，使AB∥ED成立，并给出证明． 供选择的三个条件（请从其中选择一个）： ①AB=ED； ②BC=EF； ③∠ACB=∠DFE． 【答案】略 【规范解答】由上面两条件不能证明AB//ED. 有两种添加方法. 第一种：FB=CE，AC=DF添加 ①AB=ED 证明：因为FB=CE，所以BC=EF，又AC=EF，AB=ED，所以ABCDEF 所以∠ABC=∠DEF  所以AB//ED 第二种：FB=CE，AC=DF添加 ③∠ACB=∠DFE 证明：因为FB=CE，所以BC=EF，又∠ACB=∠DFE AC=EF，所以ABCDEF 所以∠ABC=∠DEF  所以AB//E 5．（2022·浙江温州·中考真题）如图，在方格纸中，△PQR的三个顶点及A,B,C,D,E五个点都在小方格的顶点上，现以A,B,C,D,E中的三个顶点为顶点画三角形， （1）在图甲中画出一个三角形与△PQR全等； （2）在图乙中画出一个三角形与△PQR面积相等 但不全等. 【答案】（1）见解析；（2）见解析 【思路引导】（1）过A作AE//PQ，过E作EB//PR，再顺次连接A、E、B．（答案不唯一） （2）作一个与△PQR面积相等但不全等的三角形即可．（答案不唯一） 【规范解答】解：（1）如图所示： （2）如图所示： 基础夯实 1．如图，两个三角形全等，则等于（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【思路引导】本题主要考查了全等三角形的性质， 根据两个三角形全等即可得出的对边为，进而可得出，掌握全等三角形的性质是解题的关键． 【规范解答】解：∵两个三角形全等， ∴对边为， ∴， 故选：． 2．（20-21八年级上·河北邢台·阶段练习）佳佳想在图中再加一个正方形方格，使整个图形被直线分成的两部分全等，这个方格可放的位置为（   ） A．① B．②或③ C．② D．③或④ 【答案】B 【思路引导】通过分别将正方形方格放在不同位置，依据全等图形的定义（能够完全重合的两个图形全等 ），判断直线分割后两部分是否全等．本题主要考查全等图形的定义，熟练掌握全等图形能够完全重合的性质是解题的关键． 【规范解答】解：方格放在①位置，此时观察图形，直线分割后，两部分的正方形分布和数量无法完全重合． 放在②位置后，直线将图形分割，两侧的正方形数量、排列可完全重合． 放在③位置，直线分割后的两侧图形，正方形的组成和布局可完全重合． 放在④位置，直线分割后，两侧图形的正方形数量与排列无法重合． 综上，方格可放的位置为②或③， 故选： ． 3．（25-26八年级上·全国·课后作业）已知的三边长分别为，的三边长分别为，，．若这两个三角形全等，则的值为（   ） A． B． C． D．不能确定 【答案】C 【思路引导】本题考查了全等三角形的性质，分和两种情况解答即可求解，掌握全等三角形的性质是解题的关键． 【规范解答】解：∵和全等， 当时，解得， 把代入，得， ∵， ∴不合题意； 当时，解得， 把代入，得，符合题意； 综上，的值为， 故选：． 4．（23-24八年级上·宁夏银川·阶段练习）如图，，点B和点D，点C和点E是对应顶点，那么的对应边为 ，的对应角为 ． 【答案】 / / 【思路引导】本题考查了全等三角形的对应边与对应角．解题的关键是牢记“全等三角形的对应边相等，对应角相等”即可．解题时要找对对应边，对应角即可． 【规范解答】解：，点B和点D，点C和点E是对应顶点，那么的对应边为，的对应角为． 故答案为：，． 5．（24-25八年级上·福建莆田·阶段练习）如图，，，，，，则的长是 ． 【答案】5 【思路引导】此题考查了全等三角形的性质，熟记“全等三角形的对应边相等”是解题的关键．根据全等三角形的性质及线段的和差求解即可． 【规范解答】解：， ， ， 即， ，， ， ， 故答案为：5 6．（24-25八年级上·辽宁·阶段练习）如图，，请根据图中提供的信息，写出 ． 【答案】20 【思路引导】本题考查了全等三角形的性质，三角形的内角和定理．先利用三角形的内角和定理求出，然后根据全等三角形对应边相等解答． 【规范解答】解：如图，， ， ， 即， 故答案为：20． 7．（24-25八年级上·全国·期末）如图，，且点E，B，D，F在一条直线上． (1)试判断与的位置关系，并证明你的结论； (2)试判断与的数量关系，并证明你的结论． 【答案】(1)，见解析 (2)，见解析 【思路引导】本题考查了全等三角形的判定与性质，平行线的判定，能熟记全等三角形的性质是解题的关键，注意：全等三角形的对应边相等，对应角相等． （1）根据全等三角形的性质得出，求出，根据平行线的判定得出即可； （2）根据全等三角形的性质得出，即可求出答案． 【规范解答】（1）解：，理由如下： 证明：∵， ∴ ∵，， ∴， ∴； （2）解：，理由如下： 证明：∵， ∴， ∴， ∴． 8．（25-26八年级上·全国·课后作业）如下图，中，，，．点P从点A出发沿路径向终点B运动；点Q从点B出发沿路径向终点A运动．点P和点Q分别以和的速度同时开始运动，两点都要到相应的终点时才能停止运动．在某一时刻，分别过点P，Q作于点E，于点F．若与全等，则点P运动了多长时间？ 【答案】点P运动了或或 【思路引导】本题主要考查动点与几何图形的变换．根据点的运动规律，设点运动秒时，以为顶点的三角形和以为顶点的三角形全等，分类讨论，①如图1，在上，在上，则，；②如图2，在上，在上，则，；③如图3所示，当都在上时；④当到点停止，在上时，；⑤和都在上的情况；图形结合，根据三角形全等的判定方法即可求解． 【规范解答】解：设点运动秒时，以为顶点的三角形和以为顶点的三角形全等，分为五种情况： ①如图1，在上，在上，则，，    ∵，， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∵， ∴，即， ∴； ②如图2，在上，在上，则，，    由①知：， ∴， ∴； ∵此时， ∴此种情况不符合题意； ③当都在上时，如图3，   ， ∴； ④当到点停止，在上时，， ∴时，解得； ⑤∵的速度是每秒，的速度是每秒， ∴，， ∵， ∴和都在上的情况不存在； 综上所述，点P运动了或或时，与全等． 9．（24-25八年级上·全国·期末）如图，在等腰中，，点从点出发，以的速度沿向点运动，设点的运动时间为． (1)______．（用t的代数式表示） (2)当点从点开始运动，同时，点从点出发，以的速度沿向点运动，是否存在这样的值，使得与全等？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)当或时，与全等 【思路引导】此题主要考查了全等三角形的性质． （1）根据P点的运动速度可得的长，再利用即可得到的长； （2）此题主要分两种情况①当，时，；当时，，然后分别计算出t的值，进而得到v的值． 【规范解答】（1）解：依题意，得， ∴． 故答案为：； （2）解：①当，时，， ∵， ∴， ∴， ， 解得：， ， ， 解得：； ②当时，， ∵， ∴， ， 解得：， ， ， 解得：． 综上所述：当或时，与全等． 10．（24-25七年级下·江西鹰潭·阶段练习）为了证明“三角形的内角和是”，综合实践小组给出了如图所示的四种作辅助线的方法． (1)其中不能证明“三角形的内角和是”的是______（填选项）； A．如图1，过点C作 B．如图2，作 C．如图3，过上一点D作， D．如图4，过点C作 (2)请选择可以证明“三角形的内角和为”的一幅图加以证明． 【答案】(1)A (2)见解析 【思路引导】本题考查了三角形内角和定理的证明及辅助线的作用，解题的关键是理解不同辅助线构造思路与平行线性质、全等三角形性质的结合，判断能否转化角的关系证明内角和为 ． （1）分析各选项辅助线作用：选项A作无法建立角之间的转化关系，不能证明；选项B利用全等三角形性质可转化角；选项C通过平行线性质转移角；选项D借助平行线将角转化为平角，故不能证明的是A． （2）选择合适图形，如选项利用平行线的性质（内错角相等、同位角相等）将三角形三个内角转化为一个平角，进而证明内角和为． 【规范解答】（1）分析各选项辅助线能否实现角的转化： 选项过点C作此辅助线无法建立三角形内角与其他角的等量关系，不能证明三角形内角和是． 选项作可利用全等三角形对应角相等转化角的关系，能证明． 选项过上一点D作可利用平行线内错角相等转移角，能证明． 选项过点C作可利用平行线内错角相等将内角转化为平角，能证明． 故答案为：A． （2）选择图2（选项B）证明 已知：，作． 求证：． 证明：延长至E， ∵， ∴． ∵， ∴， ∵，又（全等三角形对应角相等） ∴（等量代换）． 即三角形的内角和是． 选择图3（选项C）证明： 已知：． 求证：． 证明：∵， ∴， ∵， ∴． 选择图4（选项D）进行证明： 已知：． 求证：． 证明：过点C作延长至 ∴（两直线平行，内错角相等）， （两直线平行，同位角相等）． ∵（平角的定义）， ∴（等量代换）． 即三角形的内角和是． 培优拔高 11．（21-22八年级上·四川德阳·阶段练习）图中的两个三角形全等，则等于（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【思路引导】本题考查全等三角形的性质，三角形内角和定理，根据三角形内角和为180度计算出a，c边的夹角，再根据全等三角形对应角相等，即可求解． 【规范解答】解：在第一个图中，边b对应的角为：， 由图中的两个三角形全等，根据对应角相等可知， 故选C． 12．（24-25七年级下·河北保定·期末）对于题目“如图，，，点在线段上以的速度由点向点运动，同时，点在射线上以的速度运动，它们运动的时间为（当点运动结束时，点运动也随之结束）．在射线上取一点，在点M，N运动到某处时，存在与全等，求此时的值．”甲的结果是，乙的结果是1，丙的结果是，则下列说法正确的是（   ） A．甲、乙两人的结果合起来才对 B．乙、丙两人的结果合起来才对 C．甲、丙两人的结果合起来才对 D．甲、乙、丙三人的结果合起来才对 【答案】B 【思路引导】本题主要考查全等三角形的性质，一元一次方程的运用，掌握全等三角形的性质正确列式是关键． 根据题意得到，，则，结合全等三角形的性质分类讨论，并列式求解即可． 【规范解答】解：点在线段上以的速度由点向点运动， ∴点从的时间为， ∵它们运动的时间为， ∴，，则， 当时， ∴， ∴， 解得，； 当时， ∴， ∴， 解得，． 综上所述，乙、丙两人的结果合起来才对． 故选：B． 13．（24-25八年级上·江苏无锡·阶段练习）如图，点F、A、D、C在同一直线上，，，则的长为（　　） A． B．6 C． D．7 【答案】C 【思路引导】本题主要考查了全等三角形的性质、线段的和差等知识点，熟练掌握全等三角形的性质是解题的关键． 根据全等三角形对应边相等易得，然后求出的长度，再根据求解即可． 【规范解答】解：∵， ∴， ∴，即， ∵， ∴， ∴． 故选：C． 14．（25-26八年级上·全国·课后作业）如图，已知，的延长线交于点F，交于点G．若，，则的度数为 ． 【答案】/80度 【思路引导】本题考查全等三角形的性质，三角形内角和定理，由可得，进而求出，再根据三角形内角和定理即可求解． 【规范解答】解： ，， ， ， ， ， ， ，，，， ， 故答案为：． 15．（24-25八年级上·四川广安·阶段练习）如图，在长方形中，，，点从点出发，以的速度沿向点运动（到点停止运动），同时，点从点出发（到点停止运动），以的速度沿向点运动，当的值为 ，可以使与全等． 【答案】2.4或2 【思路引导】本题考查了全等三角形的判定．分两种情况：当，时，，当，时，，分别求解即可得出答案． 【规范解答】解：∵四边形是长方形， ∴． 当，时，， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴； 当，时，， ∵，， ∴， ∴， ∴； 综上所述，的值为2.4或2． 故答案为：2.4或2． 16．（24-25八年级上·甘肃张掖·期末）如图，在长方形中，，，延长边到点E，使，连接．动点P从点B出发，以每秒2个单位长度的速度沿向终点A运动，当和全等时，会闪烁一下（闪烁时间极短，忽略不计），则首次闪烁与第二次闪烁的时间间隔为 秒． 【答案】5 【思路引导】本题考查了全等三角形的性质．和全等，分两种情况，①当时，，则，②当时，，则，即可解答． 【规范解答】解：和全等， 分两种情况， ①当时，即当点P在上运动时， 此时， 则， ∴； ②当时，即当点P在上运动时， 此时， 则， ∴， ∴， 即首次闪烁与第二次闪烁的时间间隔为5秒； 故答案为：5． 17．（24-25八年级上·四川乐山·期末）如图，在中，，，为的中点，点在线段上以的速度由点向点运动．同时，点在线段上以相同速度由点向点运动，一个点到达终点后，另一个点也停止运动．当与全等时，求点运动的时间． 【答案】与全等时，点运动的时间为秒 【思路引导】本题考查了全等三角形的对应边相等的性质，设点、的运动时间为，表示出、、、，再根据全等三角形对应边相等，分①、是对应边， ②与是对应边两种情况，列方程求解即可. 【规范解答】解：∵，， 点为的中点， ， 设点、的运动时间为， 则， ， ∴， ①、是对应边时， ∵与全等，， ∴， ， ∴且，解得； ②与是对应边时， ， ∵与全等， ∴，， ∴且， 解得 且(相互矛盾，则舍去) ， 综上所述，与全等时，点运动的时间为秒． 18．（19-20八年级上·广东广州·期末）如图①，在中，，现有一动点P，从点A出发，沿着三角形的边运动，回到点A停止，速度为，设运动时间为． (1)如图①，当________时，的面积等于面积的一半； (2)如图②，在中，，．在的边上，若另外有一个动点Q，与点P同时从点A出发，沿着边运动，回到点A停止．在两点运动过程中的某一时刻，恰好，求点Q的运动速度． 【答案】(1)或 (2)点Q的运动速度为或 【思路引导】本题考查三角形面积的求法，三角形中线的性质，全等三角形的性质，一元一次方程的应用．理解题意，利用分类讨论和数形结合的思想是解题关键． （1）根据题意可求出，分类讨论：①当点P在上时；②当点P在上时；③当点P在上时，分别列方程求解即可； （2）分类讨论：①当点P位于，点Q位于上时；②当点Q位于，点P位于上时，结合全等三角形的性质分别列方程求解即可． 【规范解答】（1）解：∵在中，， ∴， ∴． 分类讨论：①当点P在上时，不存在； ②当点P在上时，此时，如图， ∴， ∴； ③当点P在上时，此时，如图， ∵的面积等于面积的一半， ∴， ∴， ∴． 综上可知当或时，的面积等于面积的一半； （2）解：∵， ∴只存在两种情况：①当点P位于，点Q位于上时；②当点Q位于，点P位于上时． 设点Q的运动速度为， ①当点P位于，点Q位于上时，此时，，如图， ∵， ∴，， ∴，， 解得：，， ∴此时点Q的运动速度为； ②当点Q位于，点P位于上时，此时，，如图， ∵， ∴，， ∴，， 解得：，， ∴此时点Q的运动速度为． 综上可知点Q的运动速度为或． 19．（24-25八年级上·广东广州·期末）如图，在中，点、分别在边、上，连接、交于点，且． (1)求证：是等腰直角三角形； (2)若，，求四边形的面积． 【答案】(1)证明见解析 (2)6 【思路引导】本题考查了全等三角形的性质，熟练掌握全等三角形的性质是解题的关键． （1）根据全等三角形的性质可知，，结合，即可证明； （2）根据题意可知，再由全等三角形的性质可得到，最后由四边形的面积即可求得答案． 【规范解答】（1）证明：， ，， ， ， 是等腰直角三角形； （2）解：，， ， ， ， 四边形的面积． 20．（24-25八年级上·江苏常州·阶段练习）如图，在中，，，，，现有一动点从点出发，沿着三角形的边运动，回到点停止，速度为，设运动时间为． (1)如图，当时，_____． (2)如图，当______时，的面积等于面积的一半； (3)如图，在中，，，，，在的边上，若另外有一个动点，与点同时从点出发，沿着边运动，回到点停止在两点运动过程中的某一时刻，恰好≌，求点中的运动速度． 【答案】(1) (2)或 (3)运动的速度为或或或 【思路引导】本题主要考查全等三角形的性质及三角形面积、一元一次方程的几何应用，分类讨论思想，掌握全等三角形的性质及分情况讨论是解题的关键． （1）当时，点P在线段上，根据点P速度表示的长即可； （2）分两种情况讨论：①点P在上；②点P在上，利用三角形面积分别求解即可； （3）根据题意分四种情况进行分析，利用全等三角形的性质得出点所走的路程，进而可求出的运动时间，即的运动时间，再利用速度路程时间求解即可． 【规范解答】（1）解：当时，点P在线段上， ∵点P速度为， ∴． 故答案为：； （2）∵，， ∴， ∵的面积等于面积的一半， ∴． ①当点P在上时， ， ∴， ． ②当点P在上时， 过点C作于点D， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ． 故答案为：或 （3）设点的运动速度为， ①当点在上，点在上，时， ， ∴； ②当点在上，点在上，时， ， ∴； ③当点P在上，点在上，时， ， ∴点P的路程为，点Q的路程为， ∴； ④当点P在上，点Q在上，时 ， ∴点P的路程为，点Q的路程为， ∴ ． ∴运动的速度为或或或 第 1 页 共 11 页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题1.4 全等三角形 （知识梳理+4个考点讲练+中考真题演练+难度分层练 共37题） 知识梳理 技巧点拨 1 知识点梳理01：全等三角形 1 知识点梳理02：全等三角形的性质 2 知识点梳理03：全等变换 2 优选题型 考点讲练 2 考点1：图形的全等 2 考点2：全等三角形的概念 4 考点3：全等三角形的性质 6 考点4：将已知图形分割成几个全等图形（全等图形） 7 中考真题 实战演练 8 难度分层 拔尖冲刺 9 基础夯实 9 培优拔高 13 知识点梳理01：全等三角形 1. 全等三角形的有关概念 两个能完全重合的三角形叫做全等三角形．互相重合的顶点叫做对应顶点，互相重合的边叫做对应边，互相重合的角叫做对应角． 2. 全等三角形的表示方法 全等用符号“”表示，读作“全等于”． 表示两个三角形全等时，通常把对应顶点的字母写在对应的位置上．这样容易写出对应边、对应角．如图中的与全等，记作“”，点A与点D、点B与点E、点C与点F是对应顶点． 知识点梳理02：全等三角形的性质 1. 全等三角形的对应边相等，对应角相等． 2. 全等三角形的其他性质 （1）全等三角形的周长相等； （2）全等三角形的面积相等； （3）全等三角形对应边上的中线相等，对应角的平分线相等，对应边上的高相等． 知识点梳理03：全等变换 一个图形经过平移、翻折、旋转后，位置发生变化，但形状、大小都没有改变，即平移、翻折、旋转前后的图形全等． 如图（1），把沿BC所在直线向右平移一段距离，得到，则． 如图（2），把沿BC所在直线翻折，得到，则． 如图（3），把绕点A旋转，得到，则． 考点1：图形的全等 【典例精讲】（22-23八年级上·河南濮阳·阶段练习）如图，在中，，为上一点，，，垂足分别为、，且．请选择一对你认为全等的三角形并加以证明．    (1)你选择的是：____________________； (2)证明： 【变式训练1】（21-22八年级上·陕西商洛·期末）在平面直角坐标系内，点O为坐标原点，，．若在该坐标平面内有一点P（不与点A、B、O重合）为一个顶点的直角三角形与全等，且这个以点P为顶点的直角三角形与有一条公共边，则所有符合条件的三角形个数为（    ） A．3个 B．4个 C．6个 D．7个 【变式训练2】（22-23八年级上·江苏镇江·阶段练习）把图中的等边三角形分成2个、3个、4个全等图形． 考点2：全等三角形的概念 【典例精讲】（24-25八年级上·湖北武汉·期中）如图是由小正方形组成的的网格，每个小正方形的顶点叫做格点．如图，A，B，C均为格点，用无刻度直尺在给定网格中完成画图，画图过程用虚线，画图结果用实线． (1)在图1中，画，使得； (2)在图1中，过点C画直线m，使得直线m平分的面积； (3)在图2中，画的高； (4)在图2中，在高上作点F，使得． 【变式训练1】（22-23七年级下·江西吉安·阶段练习）如图，与是正方形网格中的格点线段与格点三角形（顶点在格点上），请仅用无刻度直尺按下列要求作图． (1)在图1中作格点，且与成轴对称．    (2)在图2中作格点，且与全等，但不成轴对称．    形的轴对称图形时，也就是确定一些特殊的对称点 【变式训练2】（22-23八年级上·河北秦皇岛·期末）如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都是1个单位长度，的三个顶点都在格点上． (1)画出关于成轴对称的； (2)在直线上找一点，使的周长最小，请用画图的方法确定点的位置，并直接写出周长的最小值为______． (3)若在直线上存在一点，使是等腰三角形，则这样的点有______个． (4)若点也在格点上（不与点重合），且与全等，在图上画出符合条件的点，并分别写出每个与的位置关系：______． 考点3：全等三角形的性质 【典例精讲】．（25-26八年级上·全国·课后作业）如图，已知，E是线段上一点，交于点F．下列与的度数相等的是（   ） A． B． C． D． 【变式训练1】（25-26八年级上·全国·课后作业）如图，已知和是对应角，，，，，．求： (1)及的长． (2)的度数． 【变式训练2】（24-25八年级上·河北石家庄·期中）如图，在中，，点为的中点，点在线段上以每秒个单位长度的速度由点向点运动，同时，点在线段上以每秒个单位长度的速度由点向点运动，设运动时间为（秒）． （1）用含的代数式表示线段的长为 ； （2）若点的运动速度不相等，当与全等时，的值为 ． 考点4：将已知图形分割成几个全等图形（全等图形） 【典例精讲】（2025八年级上·全国·专题练习）小明通过实验发现：如图所示，将一个长方形可以分割成四个全等的长方形，三个全等的长方形，于是他对含的直角三角形进行分割研究，发现也可以分割成四个全等的直角三角形，三个全等的直角三角形． 请你在图中依次画出分割线； 【变式训练1】（24-25八年级上·江苏泰州·阶段练习）用不同的方法沿着网格线把正方形分割成两个全等的图形．（至少画3种，分割线用粗实线） 【变式训练2】（22-23七年级下·广东·期中）知识重现：“能够完全重合的两个图形叫做全等图形．” 理解应用：我们可以把的正方形网格图形划分为两个全等图形． 范例：如图1 和图2是两种不同的划分方法，其中图3 与图1视为同一种划分方法． 要求：请你再提供2种与上面不同的划分方法，分别在图4 中画出来． （请将所划分的两个全等图形之一用铅笔描黑） 1．（2024·山东济南·中考真题）如图，已知，则的度数为（    ）． A． B． C． D． 2．（2024·四川成都·中考真题）如图，，若，，则的度数为 ． 3．（2023·广西柳州·中考真题）如图，△ABC≌△DEF，请根据图中提供的信息，写出x= ． 4．（2023·江苏南通·中考真题）如图，已知：点B、F、C、E在一条直线上，FB=CE，AC=DF．能否由上面的已知条件证明AB∥ED？如果能，请给出证明；如果不能，请从下列三个条件中选择一个合适的条件，添加到已知条件中，使AB∥ED成立，并给出证明． 供选择的三个条件（请从其中选择一个）： ①AB=ED； ②BC=EF； ③∠ACB=∠DFE． 5．（2022·浙江温州·中考真题）如图，在方格纸中，△PQR的三个顶点及A,B,C,D,E五个点都在小方格的顶点上，现以A,B,C,D,E中的三个顶点为顶点画三角形， （1）在图甲中画出一个三角形与△PQR全等； （2）在图乙中画出一个三角形与△PQR面积相等 但不全等. 基础夯实 1．如图，两个三角形全等，则等于（   ） A． B． C． D． 2．（20-21八年级上·河北邢台·阶段练习）佳佳想在图中再加一个正方形方格，使整个图形被直线分成的两部分全等，这个方格可放的位置为（   ） A．① B．②或③ C．② D．③或④ 3．（25-26八年级上·全国·课后作业）已知的三边长分别为，的三边长分别为，，．若这两个三角形全等，则的值为（   ） A． B． C． D．不能确定 4．（23-24八年级上·宁夏银川·阶段练习）如图，，点B和点D，点C和点E是对应顶点，那么的对应边为 ，的对应角为 ． 5．（24-25八年级上·福建莆田·阶段练习）如图，，，，，，则的长是 ． 6．（24-25八年级上·辽宁·阶段练习）如图，，请根据图中提供的信息，写出 ． 7．（24-25八年级上·全国·期末）如图，，且点E，B，D，F在一条直线上． (1)试判断与的位置关系，并证明你的结论； (2)试判断与的数量关系，并证明你的结论． 8．（25-26八年级上·全国·课后作业）如下图，中，，，．点P从点A出发沿路径向终点B运动；点Q从点B出发沿路径向终点A运动．点P和点Q分别以和的速度同时开始运动，两点都要到相应的终点时才能停止运动．在某一时刻，分别过点P，Q作于点E，于点F．若与全等，则点P运动了多长时间？ 9．（24-25八年级上·全国·期末）如图，在等腰中，，点从点出发，以的速度沿向点运动，设点的运动时间为． (1)______．（用t的代数式表示） (2)当点从点开始运动，同时，点从点出发，以的速度沿向点运动，是否存在这样的值，使得与全等？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由． 10．（24-25七年级下·江西鹰潭·阶段练习）为了证明“三角形的内角和是”，综合实践小组给出了如图所示的四种作辅助线的方法． (1)其中不能证明“三角形的内角和是”的是______（填选项）； A．如图1，过点C作 B．如图2，作 C．如图3，过上一点D作， D．如图4，过点C作 (2)请选择可以证明“三角形的内角和为”的一幅图加以证明． 培优拔高 11．（21-22八年级上·四川德阳·阶段练习）图中的两个三角形全等，则等于（   ） A． B． C． D． 12．（24-25七年级下·河北保定·期末）对于题目“如图，，，点在线段上以的速度由点向点运动，同时，点在射线上以的速度运动，它们运动的时间为（当点运动结束时，点运动也随之结束）．在射线上取一点，在点M，N运动到某处时，存在与全等，求此时的值．”甲的结果是，乙的结果是1，丙的结果是，则下列说法正确的是（   ） A．甲、乙两人的结果合起来才对 B．乙、丙两人的结果合起来才对 C．甲、丙两人的结果合起来才对 D．甲、乙、丙三人的结果合起来才对 13．（24-25八年级上·江苏无锡·阶段练习）如图，点F、A、D、C在同一直线上，，，则的长为（　　） A． B．6 C． D．7 14．（25-26八年级上·全国·课后作业）如图，已知，的延长线交于点F，交于点G．若，，则的度数为 ． 15．（24-25八年级上·四川广安·阶段练习）如图，在长方形中，，，点从点出发，以的速度沿向点运动（到点停止运动），同时，点从点出发（到点停止运动），以的速度沿向点运动，当的值为 ，可以使与全等． 16．（24-25八年级上·甘肃张掖·期末）如图，在长方形中，，，延长边到点E，使，连接．动点P从点B出发，以每秒2个单位长度的速度沿向终点A运动，当和全等时，会闪烁一下（闪烁时间极短，忽略不计），则首次闪烁与第二次闪烁的时间间隔为 秒． 17．（24-25八年级上·四川乐山·期末）如图，在中，，，为的中点，点在线段上以的速度由点向点运动．同时，点在线段上以相同速度由点向点运动，一个点到达终点后，另一个点也停止运动．当与全等时，求点运动的时间． 18．如图①，在中，，现有一动点P，从点A出发，沿着三角形的边运动，回到点A停止，速度为，设运动时间为． (1)如图①，当________时，的面积等于面积的一半； (2)如图②，在中，，．在的边上，若另外有一个动点Q，与点P同时从点A出发，沿着边运动，回到点A停止．在两点运动过程中的某一时刻，恰好，求点Q的运动速度． 19．（24-25八年级上·广东广州·期末）如图，在中，点、分别在边、上，连接、交于点，且． (1)求证：是等腰直角三角形； (2)若，，求四边形的面积． 20．（24-25八年级上·江苏常州·阶段练习）如图，在中，，，，，现有一动点从点出发，沿着三角形的边运动，回到点停止，速度为，设运动时间为． (1)如图，当时，_____． (2)如图，当______时，的面积等于面积的一半； (3)如图，在中，，，，，在的边上，若另外有一个动点，与点同时从点出发，沿着边运动，回到点停止在两点运动过程中的某一时刻，恰好≌，求点中的运动速度． 第 1 页 共 11 页 学科网（北京）股份有限公司 $$