专题1.2 定义与命题（知识梳理+5个考点讲练+中考真题演练+难度分层练 共45题）-2025-2026学年浙教版数学八年级上册同步培优讲练（2024新教材）

专题1.2 定义与命题 （知识梳理+5个考点讲练+中考真题演练+难度分层练 共45题） 知识梳理 技巧点拨 1 优选题型 考点讲练 3 考点1：判断是否是命题 3 考点2：写出命题的题设与结论 3 考点3：判断命题真假 4 考点4：举例说明假（真）命题 6 考点5：举反例 6 中考真题 实战演练 6 难度分层 拔尖冲刺 7 基础夯实 7 培优拔高 9 知识点梳理01：定义 一般地，能清楚地规定某一名称或术语的意义的句子叫做该名称或术语的定义. →定义必须是严密的，尽量避免使用含糊不清的词语，如“一些”“大概”“差不多”等词语 知识点2 命题的定义与结构 （重点） 内容 举例 注意 定义 一般地，判断某一件事情的句子叫做命题. 对顶角相等. 命题一定是陈述句，是对某件事情作出肯定或否定的判断的句子. 结构 命题一般由条件和结论两部分组成. “对顶角相等”中的条件是“两个角是对顶角”，结论是“这两个角相等”. 条件是已知事项，结论是由已知事项得到的事项. 改写成“如果 …… 那么 …… ”的形式 “如果”开始的部分是条件，“那么”后面的部分是结论. “对顶角相等”可改写成“如果两个角是对顶角，那么这两个角相等”. 不能改变原来的意思. 知识点3 命题的分类 （重点） 分类 举例 判断 真命题 正确的命题称为真命题. 对顶角相等. 要判定一个命题是真命题，常常通过推理的方式，即根据已知事实来推断未知事实；也有一些命题是人们经过长期实践，公认为正确的. 假命题 不正确的命题称为假命题. 相等的角是对顶角. 要说明一个命题是假命题，通常可以通过举反例的 方法.命题的反例是具备命题的条件，但不具备命题 的结论的实例. 知识点4 基本事实与定理 1.基本事实：挑选一部分人们经过长期实践后公认为正确的命题，作为判断其他命题的依据，这些命题称为基本事实.例如：“两点之间线段最短”，“两点确定一条直线”，“经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行”等. 2.定理 （1）定义：用推理的方法判断为正确的命题叫做定理.例如“对顶角相等”，“三角形任何两边的和大于第三边”，“两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行”等. →定理是真命题，但真命题不一定是定理,定理需要经过推理论证 （2）作用：可以作为判断其他命题真假的依据. 考点1：判断是否是命题 【典例精讲】（20-21八年级上·浙江杭州·期末）下列选项正确的是（    ） A．命题“同旁内角互补”是真命题 B．“作线段”这句话是命题 C．“对顶角相等”是定义 D．说明命题“若，则 ”是假命题，只能举反例 【变式训练1】（24-25八年级上·江西吉安·期末）下列语句中不是命题的是（  ） A．对顶角不相等 B．过A、B 两点作直线 C．两点之间线段最短 D．内错角相等 【变式训练2】（24-25八年级上·甘肃天水·期中）下列语句是命题的是（    ） A．画 B．三条直线两两相交，有几个交点呢？ C．今天真冷呀！ D．天水是中国历史文化名城． 【变式训练3】（24-25八年级上·甘肃兰州·期末）下列语句是命题的是（　　） A．画线段 B．内错角相等吗 C．用量角器画 D．对顶角相等 考点2：写出命题的题设与结论 【典例精讲】（22-23八年级上·安徽阜阳·期中）如图，已知：是的一个外角．    (1)请从①，②平分，③中任选两个当条件，第三个当结论构成一个真命题． 条件：________________________________________________ 结论：________________________________________________ (2)证明你所构建的命题是真命题． 【变式训练1】（22-23八年级上·河南郑州·期末）下列说法不正确的是（    ） A．“相等的角是对顶角”是假命题 B．“两直线平行，同位角相等”是真命题 C．命题“三个内角都相等的三角形是等边三角形”的条件是“一个三角形是等边三角形” D．“若，则”是假命题的反例可以是 【变式训练2】（22-23八年级上·广东广州·期中）请结合以下命题和图形，写出已知，求证，并进行证明 命题：如果三角形一条边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是直角三角形． 已知：如图，_______________________________________________________． 求证：___________________________________________________________． 证明： 【变式训练3】（25-26八年级上·全国·随堂练习）把命题“同角的余角相等”改写成“如果……，那么……”的形式，下面正确的是（    ） A．如果是同角，那么余角相等 B．如果两个角相等，那么这两个角是同一个角的余角 C．如果是同角，那么相等 D．如果两个角是同一个角的余角，那么这两个角相等 考点3：判断命题真假 【典例精讲】（24-25八年级上·安徽安庆·期中）下面给出4个命题：①等边三角形一定是锐角三角形；②三角形的外角都大于它的任何一个内角；③若，则是的函数；④点不可能在第二象限．其中是真命题的个数是（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式训练1】（24-25八年级上·浙江·期末）已知，下列命题是真命题的是（   ） A．若，，则是等腰三角形 B．若，则是等腰三角形 C．若，则是直角三角形 D．若，则是直角三角形 【变式训练2】22-23七年级下·广西玉林·期中）下列命题：①内错角相等；②两个锐角的和是钝角；③，，是同一平面内的三条直线，若，，则；④，，是同一平面内的三条直线，若，，则．其中真命题的个数是（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式训练3】（23-24八年级上·江苏扬州·期中）如图1，在中，，为中点．将沿翻折，得到（如图2），为上一点，再将沿翻折，使得与重合（如图3），给 出下列四个命题：①；②；③；④．其中真命题的是（   ） A．①④ B．②④ C．①③ D．①③④ 考点4：举例说明假（真）命题 【典例精讲】（21-22七年级下·河南濮阳·期中）在说明命题“若，则”是假命题时，可以成为反例的是（    ） A． B． C． D． 【变式训练1】（21-22八年级上·内蒙古呼和浩特·期末）下面三个判断：①顶角及一个底角的角平分线长对应相等的两个等腰三角形全等；②如果等腰三角形的一个外角是80°，则另外两个角一定都等于40°；③如果两个三角形全等、则它们必是关于某条直线成轴对称的图形．④若两个直角三角形斜边上的中线相等，则这两个直角三角形全等．其中正确的判断有 （填序号即可）． 【变式训练2】要说明命题“若，则”是假命题，能举的一个反例是（　　） A． B． C． D． 【变式训练3】（21-22七年级下·河北保定·期中）举出一个可以说明命题“若， 则”是假命题的反例： 考点5：举反例 【典例精讲】（23-24七年级下·北京·期中）能说明“如果，那么”是假命题的反例是： ， ． 【变式训练1】（25-26八年级上·全国·随堂练习）对假命题“若，则”举一个反例，符合要求的反例是（   ） A． B． C． D． 【变式训练2】（24-25七年级下·江苏南通·阶段练习）为说明命题“若，则”是假命题，所列举反例正确的是（   ） A．， B．， C．， D．， 【变式训练3】（24-25八年级上·浙江金华·期中）判断命题“对于任何实数，都有”是假命题，只需举一个反例，反例中的值可以是 ．（填写一个符合条件的的值）． 1．（2024·山东潍坊·中考真题）下列命题是真命题的有（    ） A．若，则 B．若，则 C．两个有理数的积仍为有理数 D．两个无理数的积仍为无理数 2．（2022·江苏无锡·中考真题）下列命题中，是真命题的有（    ） ①对角线相等且互相平分的四边形是矩形        ②对角线互相垂直的四边形是菱形 ③四边相等的四边形是正方形                    ④四边相等的四边形是菱形 A．①② B．①④ C．②③ D．③④ 3．（2020·湖北宜昌·中考真题）能说明“锐角，锐角的和是锐角”是假命题的例证图是（    ）． A．   B．   C．   D．   4．（2024·湖南永州·中考真题）下列说法正确的是（　　） A．有两边和一角分别相等的两个三角形全等 B．有一组对边平行，且对角线相等的四边形是矩形 C．如果一个角的补角等于它本身，那么这个角等于45° D．点到直线的距离就是该点到该直线的垂线段的长度 5．（2024·广东深圳·中考真题）下列命题是真命题的有（　　） ①对顶角相等；②两直线平行，内错角相等；③两个锐角对应相等的两个直角三角形全等；④有三个角是直角的四边形是矩形；⑤平分弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧． A．.1个 B．2个 C．3个 D．4个 基础夯实 1．（25-26八年级上·全国·单元测试）下列语句是命题的是（   ） A．作 B．若，则 C．两条直线被第三条直线所截 D．一条铁路的两根铁轨是平行的吗 2．（25-26八年级上·全国·单元测试）下列属于定义的是（   ） A．两点确定一条直线 B．两直线平行，同位角相等 C．等角的补角相等 D．线段是直线上的两点和它们之间的部分 3．（25-26八年级上·全国·单元测试）下列语句中，属于定义的是（   ） A．两个锐角的和一定大于 B．两直线平行，内错角相等 C．两点之间线段最短 D．直线外一点到直线的垂线段的长度叫做点到直线的距离 4．（23-24七年级下·山东临沂·期中）把命题“两直线平行，内错角相等”改成“如果……，那么……”的形式： ． 5．（25-26八年级上·全国·课前预习）下列语句中，属于定义的是 ，是命题的是 ．（请填写序号） ①三角形的内角和等于；②无限不循环小数称为无理数；③你的作业做完了吗？④天空真蓝啊！⑤对顶角不相等；⑥连接两点的线段的长度，叫作这两点间的距离． 6．（25-26八年级上·全国·单元测试）在讨论“对顶角不相等”是不是命题的问题时，甲说：“这不是命题，因为这句话是错误的．”乙说：“这是命题，因为它作出了判断，只不过这一判断是错误的，所以它是假命题．”由此可判断 的说法是正确的． 7．（24-25八年级上·广东河源·期末）命题“两直线平行，同旁内角互补”的结论是 ． 8．（23-24八年级上·宁夏银川·期末）如图，现有以下三个条件：①，②，③．请你以其中两个作为题设，另一个作为结论构造命题．    (1)你构造的是哪几个命题？ (2)你构造的命题有真命题吗？若有真命题，请给予证明． 9．（25-26八年级上·全国·随堂练习）判断下列命题是真命题还是假命题，如果是假命题，请举出一个反例． (1)两个钝角的和一定大于； (2)异号两数相加，和为0； (3)如果，那么． 10．（23-24八年级上·贵州毕节·期末）如图，在中，是的平分线，，，交于点． (1)求证：是的平分线． (2)若将“是的平分线”与“是的平分线”，“”或“”中的任一条件交换，所得命题是真命题吗？若是，请选择一个证明；若不是，请说明理由． 培优拔高 11．（24-25七年级下·山东德州·期末）下列命题正确的是（      ） A．从直线外一点到这条直线的垂线段长度，叫做点到直线的距离． B．过一点有且只有一条直线与已知直线垂直． C．两条直线被第三条直线所截，所得同旁内角互补． D．在同一平面内，两条不重合的直线有平行、相交或垂直这三种位置关系． 12．（24-25八年级上·安徽池州·期末）下列命题是真命题的是（   ） A．两个锐角之和一定是钝角 B．三角形的任意两边之和大于第三边 C．同旁内角互补 D．三角形的重心是这个三角形的三条角平分线的交点 13．（24-25七年级下·河北邯郸·期中）可以用来说明“，则”是假命题的反例是（    ） A．， B．， C．， D．， 14．（25-26八年级上·全国·随堂练习）下列定理中，有逆定理的有 ．（填序号） ①同旁内角互补，两直线平行； ②同角的余角相等； ③两直线平行，内错角相等． 15．（24-25八年级上·北京昌平·期中）用三个不等式，，中的两个不等式作为题设条件，余下的一个不等式作为结论，组成一个命题，可以组成真命题的个数为 个，请同学们写出一个真命题 ． 16．（23-24七年级下·江苏宿迁·期末）下列命题中，①同位角相等；②如果，那么；③如果两个角的和等于，那么这两个角互为补角；④若，则．其中真命题的有 个． 17．（24-25八年级上·安徽六安·期中）如图，有三个论断：①；②；③．请你从中任选两个作为条件，另一个作为结论构成一个命题，写出已知、求证，并证明该命题的正确性． 18．（24-25八年级上·河南南阳·期中）定理：斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等．老师提出了以下问题，请你完成． 任务一：（1）将定理“斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等”写成如果……那么……的形式是________________． 任务二：（2）请你利用学过的知识证明这个定理．对于这个问题，南南和阳阳展开了下面的讨论： 南南：阳阳，这个问题好难啊，我没有任何思路，你能分享一下你的想法吗？ 阳阳：由于直角边，我们移动，使点A与点、点C与点重合，且使点B与点分别位于的两侧，这样就构成了等腰三角形，利用其性质及三角形的判定就可以完成． 以下是阳阳同学的部分过程，请你按照他的思路进行完善． 如图，在和中，，，． 求证：． 证明：由于直角边，我们移动，使点A与点、点C与点重合，且使点B与点分别位于的两侧． ∵， ∴，即点、、B在同一条直线上． …… 19．（23-24八年级下·湖南娄底·开学考试）如图，与相交于点O，点E、F分别为、的中点，连接、、，给出以下三个等量关系：①，②，③．请你以其中两个为条件，另一个为结论，组成一个真命题，并证明． (1)条件：______，结论：______；（填序号） (2)写出你的证明过程． 20．如图，四边形中，点E在边上，连接、．给出下列五个关系式：①；②；③；④；⑤．将其中的三个关系式作为题设，另外两个作为结论，构成一个命题． (1)用序号写出一个真命题（书写形式如：如果×××，那么××）．并给出证明； (2)用序号再写出三个真命题（不要求证明）． 第 1 页 共 11 页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题1.2 定义与命题 （知识梳理+5个考点讲练+中考真题演练+难度分层练 共45题） 知识梳理 技巧点拨 1 优选题型 考点讲练 3 考点1：判断是否是命题 3 考点2：写出命题的题设与结论 4 考点3：判断命题真假 8 考点4：举例说明假（真）命题 12 考点5：举反例 15 中考真题 实战演练 16 难度分层 拔尖冲刺 19 基础夯实 19 培优拔高 25 知识点梳理01：定义 一般地，能清楚地规定某一名称或术语的意义的句子叫做该名称或术语的定义. →定义必须是严密的，尽量避免使用含糊不清的词语，如“一些”“大概”“差不多”等词语 知识点2 命题的定义与结构 （重点） 内容 举例 注意 定义 一般地，判断某一件事情的句子叫做命题. 对顶角相等. 命题一定是陈述句，是对某件事情作出肯定或否定的判断的句子. 结构 命题一般由条件和结论两部分组成. “对顶角相等”中的条件是“两个角是对顶角”，结论是“这两个角相等”. 条件是已知事项，结论是由已知事项得到的事项. 改写成“如果 …… 那么 …… ”的形式 “如果”开始的部分是条件，“那么”后面的部分是结论. “对顶角相等”可改写成“如果两个角是对顶角，那么这两个角相等”. 不能改变原来的意思. 知识点3 命题的分类 （重点） 分类 举例 判断 真命题 正确的命题称为真命题. 对顶角相等. 要判定一个命题是真命题，常常通过推理的方式，即根据已知事实来推断未知事实；也有一些命题是人们经过长期实践，公认为正确的. 假命题 不正确的命题称为假命题. 相等的角是对顶角. 要说明一个命题是假命题，通常可以通过举反例的 方法.命题的反例是具备命题的条件，但不具备命题 的结论的实例. 知识点4 基本事实与定理 1.基本事实：挑选一部分人们经过长期实践后公认为正确的命题，作为判断其他命题的依据，这些命题称为基本事实.例如：“两点之间线段最短”，“两点确定一条直线”，“经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行”等. 2.定理 （1）定义：用推理的方法判断为正确的命题叫做定理.例如“对顶角相等”，“三角形任何两边的和大于第三边”，“两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行”等. →定理是真命题，但真命题不一定是定理,定理需要经过推理论证 （2）作用：可以作为判断其他命题真假的依据. 考点1：判断是否是命题 【典例精讲】（20-21八年级上·浙江杭州·期末）下列选项正确的是（    ） A．命题“同旁内角互补”是真命题 B．“作线段”这句话是命题 C．“对顶角相等”是定义 D．说明命题“若，则 ”是假命题，只能举反例 【答案】D 【思路引导】此题考查了同旁内角的性质、命题的定义、定义和定理、反证法等知识，根据相关知识进行判断即可. 【规范解答】A. 命题“同旁内角互补”是假命题，故选项错误，不符合题意； B. “作线段”这句话不是命题，故选项错误，不符合题意； C. “对顶角相等”是定理，不是定义，故选项错误，不符合题意； D. 说明命题“若，则 ”是假命题，只能举反例，故选项正确，符合题意； 故选：D 【变式训练1】（24-25八年级上·江西吉安·期末）下列语句中不是命题的是（  ） A．对顶角不相等 B．过A、B 两点作直线 C．两点之间线段最短 D．内错角相等 【答案】B 【思路引导】本题考查了命题与定理：判断事物的语句叫命题；正确的命题称为真命题，错误的命题称为假命题；经过推理论证的真命题称为定理．根据命题的定义分别进行判断． 【规范解答】解：对顶角不相等；两点之间线段最短；内错角相等，它们都是命题， 而过A、B两点作直线为描述性语言，它不是命题． 故选：B． 【变式训练2】（24-25八年级上·甘肃天水·期中）下列语句是命题的是（    ） A．画 B．三条直线两两相交，有几个交点呢？ C．今天真冷呀！ D．天水是中国历史文化名城． 【答案】D 【规范解答】此题考查了命题的定义， 根据命题的定义，能够判断真假的陈述句称为命题．需逐一分析各选项是否为陈述句且可判断真假． 【思路引导】A．“画”是祈使句，描述动作而非陈述事实，无法判断真假，故不是命题． B．“三条直线两两相交，有几个交点呢？”是疑问句，未陈述事实，无法判断真假，故不是命题． C．“今天真冷呀！”是感叹句，且“冷”是主观感受，无法客观判断真假，故不是命题． D．“天水是中国历史文化名城”是陈述句，且天水确为中国历史文化名城（事实为真），可明确判断真假，因此是命题． 故选：D． 【变式训练3】（24-25八年级上·甘肃兰州·期末）下列语句是命题的是（　　） A．画线段 B．内错角相等吗 C．用量角器画 D．对顶角相等 【答案】D 【思路引导】本题考查的是命题与定理，判断一件事情的语句，叫做命题． 根据命题的概念判断即可． 【规范解答】解：A、画线段，没有做出判断，不是命题，不符合题意； B、内错角相等吗，没有做出判断，不是命题，不符合题意； C、用量角器画∠，没有做出判断，不是命题，不符合题意； D、对顶角相等，做出了判断，是命题，符合题意． 故选：D． 考点2：写出命题的题设与结论 【典例精讲】（22-23八年级上·安徽阜阳·期中）如图，已知：是的一个外角．    (1)请从①，②平分，③中任选两个当条件，第三个当结论构成一个真命题． 条件：________________________________________________ 结论：________________________________________________ (2)证明你所构建的命题是真命题． 【答案】(1)①②，③ (2)见解析 【思路引导】（1）选择①②当条件，③为结论，即可（答案不唯一）； （2）根据等边对等角可得，根据三角形的外角性质可得，根据角平分线的定义可得，推得，根据平行线的判定即可证明． 【规范解答】（1）解：选择①②当条件，③为结论； 故答案为：①②，③． （2）解：已知：是的一个外角，，平分， 求证：． 证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴． 即选择①②当条件，③为结论，构成真命题． 【考点剖析】本题考查了真命题，平行线的判定，角平分线的定义，三角形的外角性质，等边对等角等，熟练掌握以上判定和性质是解题的关键． 【变式训练1】（22-23八年级上·河南郑州·期末）下列说法不正确的是（    ） A．“相等的角是对顶角”是假命题 B．“两直线平行，同位角相等”是真命题 C．命题“三个内角都相等的三角形是等边三角形”的条件是“一个三角形是等边三角形” D．“若，则”是假命题的反例可以是 【答案】C 【思路引导】根据对顶角的概念，平行线的判定，等边三角形的定义，绝对值的定义判断各项，即可得出结论． 【规范解答】解：A．“相等的角是对顶角”是假命题，正确，故A选项不符合题意； B．“两直线平行，同位角相等”是真命题，正确，故B选项不符合题意； C．命题“三个内角都相等的三角形是等边三角形”的条件是“三角形的三个内角都相等”，错误，故C选项符合题意； D．，，故“若，则”是假命题的反例可以是正确，故D选项不符合题意； 故选：C． 【考点剖析】本题考查了判断命题的真假，命题的条件，用反例法证明命题的真假，熟练掌握知识点是解题的关键． 【变式训练2】（22-23八年级上·广东广州·期中）请结合以下命题和图形，写出已知，求证，并进行证明 命题：如果三角形一条边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是直角三角形． 已知：如图，_______________________________________________________． 求证：___________________________________________________________． 证明： 【答案】见详解 【思路引导】本题考查等腰三角形的性质，三角形的内角和定理，掌握等边对等角，是解题的关键． 法一：按命题构造已知条件和需要证明的结论；延长至E，使得，连接、，证明四边形是矩形，即可作答． 法二：根据等边对等角，以及三角形的内角和为180度，求出，即可． 【规范解答】已知：如图，在中，是边上的中线，且． 求证：是直角三角形． 法一：证明：延长至E，使得，连接、，如图， ∵是边上的中线，且 ∴， ∵， ∴， ∴，且，互相平分， ∴四边形是矩形， ∴， ∴是直角三角形． 法二：∵是边上的中线，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴是直角三角形． 【变式训练3】（25-26八年级上·全国·随堂练习）把命题“同角的余角相等”改写成“如果……，那么……”的形式，下面正确的是（    ） A．如果是同角，那么余角相等 B．如果两个角相等，那么这两个角是同一个角的余角 C．如果是同角，那么相等 D．如果两个角是同一个角的余角，那么这两个角相等 【答案】D 【思路引导】本题考查了命题，命题是由题设与结论两部分组成．根据把命题的题设写在“如果”后面，结论写在“那么”后面，进而得出结论． 【规范解答】解：命题“同角的余角相等”改写成“如果……那么……”的形式为“如果两个角是同一个角的余角，那么这两个角相等”． 故选：D． 考点3：判断命题真假 【典例精讲】（24-25八年级上·安徽安庆·期中）下面给出4个命题：①等边三角形一定是锐角三角形；②三角形的外角都大于它的任何一个内角；③若，则是的函数；④点不可能在第二象限．其中是真命题的个数是（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【思路引导】本题考查三角形的性质、函数的定义以及点的坐标相关知识，解题的关键是依据各知识点的定义和性质，对每个命题逐一进行分析判断． 依据等边三角形内角的度数及锐角三角形的定义判断命题①．根据三角形外角与内角的关系判断命题②．按照函数的定义判断命题③．通过假设点A在第二象限，列出不等式组并分析其解集情况来判断命题④． 【规范解答】①等边三角形的三个内角都相等，且都为． 因为锐角三角形是指三个角都小于的三角形，，所以等边三角形一定是锐角三角形，①命题正确，是真命题； ②三角形的外角大于与它不相邻的任何一个内角，比如直角三角形中直角的外角是，并不大于直角本身，所以“三角形的外角都大于它的任何一个内角”错误，②是假命题； ③对于，当取一个正数时，比如，不是有唯一确定的值与对应． 根据函数的定义：在一个变化过程中，有两个变量x，y，如果给定一个值，相应的就确定唯一的一个值，那么就称是的函数，所以不是的函数，③该命题错误，是假命题； ④假设点在第二象限，则横坐标，即；纵坐标，即．不存在既小于1又大于，所以不等式组无解，即点不可能在第二象限，④命题正确，是真命题． 综上，真命题有（1）（4），共2个， 故选：B． 【变式训练1】（24-25八年级上·浙江·期末）已知，下列命题是真命题的是（   ） A．若，，则是等腰三角形 B．若，则是等腰三角形 C．若，则是直角三角形 D．若，则是直角三角形 【答案】C 【思路引导】本题考查了命题，三角形内角和定理、等腰三角形的定义、勾股定理逆定理，根据三角形内角和定理和勾股定理逆定理逐项判断即可得出答案． 【规范解答】解：A、∵，， ∴， 故不是等腰三角形，说法错误，是假命题，不符合题意； B、∵，， ∴，则，角度不确定，则不一定是等腰三角形，说法错误，是假命题，不符合题意； C、∵，令，，， ∴，故是直角三角形，说法正确，是真命题，符合题意； D、∵，令，， ∴， ∴，则故不是直角三角形，说法错误，是假命题，不符合题意； 故选：C． 【变式训练2】22-23七年级下·广西玉林·期中）下列命题：①内错角相等；②两个锐角的和是钝角；③，，是同一平面内的三条直线，若，，则；④，，是同一平面内的三条直线，若，，则．其中真命题的个数是（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【思路引导】本题考查了命题与定理的知识，熟练掌握相关知识是解题关键．利用平行线的性质及判定，即可判断①③④，根据锐角和钝角的特点即可判断②，分别判断后确定正确的选项，即可解题． 【规范解答】解：①两直线平行，内错角相等，故原命题是假命题； ②两个锐角的和不一定是钝角，故原命题是假命题； ③，，是同一平面内的三条直线，若，，则，是真命题； ④，，是同一平面内的三条直线，若，，则，是真命题． 综上所述，真命题有2个． 故选：B． 【变式训练3】（23-24八年级上·江苏扬州·期中）如图1，在中，，为中点．将沿翻折，得到（如图2），为上一点，再将沿翻折，使得与重合（如图3），给 出下列四个命题：①；②；③；④．其中真命题的是（   ） A．①④ B．②④ C．①③ D．①③④ 【答案】C 【思路引导】根据折叠的性质得到，，等量代换得到，可得，即可判断①；假设，根据全等三角形的性质得到，由直角三角形的性质得到，于是得到与不一定全等，即可判断②；根据等腰三角形的性质得到，得到，根据三角形的内角和得到，即可判断③；假设，得到，由直角三角形的性质得到，得到，推出不一定等于，得到不一定垂直于，即可判断④． 【规范解答】解：如下图， 将沿翻折，得到， ∴， ∵再将沿翻折，使得与重合， ∴， ∴， ∴，故①正确； 假设，则有， ∵在中，，为中点， ∴， ∴， ∴，而不一定等于， ∴与不一定全等；故②错误； ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，故③正确； 假设，则， ∵在中，，为中点， ∴， ∴ ∵ ∴， ∴，而不一定等于， ∴不一定垂直于，故④错误． 综上所述，①③是真命题． 故选：C． 【考点剖析】本题考查的是命题的真假判断，掌握直角三角形的性质、全等三角形的判定定理、翻转变换的性质是解题的关键． 考点4：举例说明假（真）命题 【典例精讲】（21-22七年级下·河南濮阳·期中）在说明命题“若，则”是假命题时，可以成为反例的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【思路引导】要证明一个结论不成立，可以通过举反例的方法来证明一个命题是假命题． 【规范解答】解：A. ∵当a＝﹣3，b＝2时，，但是， ∴a＝﹣3，b＝2是假命题的反例．符合题意； B. ∵当a＝3，b＝2时，，则， ∴a＝3，b＝2不是假命题的反例．不符合题意； C. ∵当a＝2，b＝﹣1时，，则， ∴a＝2，b＝﹣1不是假命题的反例．不符合题意； D. ∵当a＝3，b＝﹣2时，，则， ∴a＝3，b＝﹣2不是假命题的反例．不符合题意； 故选：A． 【考点剖析】此题考查了证明命题，举例满足题设，只需证明结论的成立与否，正确掌握命题的证明方法是解题的关键． 【变式训练1】（21-22八年级上·内蒙古呼和浩特·期末）下面三个判断：①顶角及一个底角的角平分线长对应相等的两个等腰三角形全等；②如果等腰三角形的一个外角是80°，则另外两个角一定都等于40°；③如果两个三角形全等、则它们必是关于某条直线成轴对称的图形．④若两个直角三角形斜边上的中线相等，则这两个直角三角形全等．其中正确的判断有 （填序号即可）． 【答案】①② 【思路引导】先证△ABD≌△EFH（AAS），得出AB=EF，再证△ABC≌△EFG（SAS），可判断①正确，等腰三角形的一个外角是80°，则其相邻内角为100°＞90°，只能是顶角100°，两个底角相等=40°可判断②正确，举反例可判断③④即可． 【规范解答】解：①顶角及一个底角的角平分线长对应相等的两个等腰三角形全等； 已知∠A=∠E，BD=FH，AB=AC，EF=EG，BD平分∠ABC，FH平分∠EFG，求证△ABC≌△EFG， 证明∵AB=AC，EF=EG， ∴∠ABC=∠C，∠EFG=∠G， ∵∠A=∠E， ∴∠ABC=，∠EFG=， ∴∠ABC=∠EFG， ∵BD平分∠ABC，FH平分∠EFG， ∴∠ABD=，∠EFG=， ∴∠ABD=∠EFG， 在△ABD和△EFH中， ， ∴△ABD≌△EFH（AAS）， ∴AB=EF， 在△ABC和△EFG中， ， ∴△ABC≌△EFG（SAS），故①正确 ②如果等腰三角形的一个外角是80°，则其相邻内角为100°＞90°， ∴顶角100°，两个底角相等=40°， 则另外两个角一定都等于40°；故②正确； ③如图△ABC≌△EFG，但它们不是成轴对称的图形．故③不正确； ④若两个直角三角形斜边上的中线相等，OB=OD,∠ABC=∠ADC=90°，但这两个直角三角形不全等．故④不正确． 正确的判断有①②． 故答案为①②． 【考点剖析】本题考查命题的真假识别，真命题需证明，假命题举反例是解题关键． 【变式训练2】要说明命题“若，则”是假命题，能举的一个反例是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【思路引导】作为反例，要满足条件但不能得到结论，然后根据这个要求对各选项进行判断即可． 【规范解答】解：A．时．满足，则，不能作为反例，错误； B．时．满足，则，不能作为反例，错误； C．时．满足，则，不能作为反例，错误； D．时，,但，能作为反例，正确； 故选：D． 【考点剖析】本题考查了命题与定理；熟记：要判断一个命题是假命题，举出一个反例就可以． 【变式训练3】（21-22七年级下·河北保定·期中）举出一个可以说明命题“若， 则”是假命题的反例： 【答案】，（答案不唯一） 【思路引导】本题考查了命题与定理，，，则，，满足，不满足，掌握相关知识是解题的关键． 【规范解答】解：，，则，，满足，不满足， ∴命题“若， 则”是假命题， 故答案为：，（答案不唯一）． 考点5：举反例 【典例精讲】（23-24七年级下·北京·期中）能说明“如果，那么”是假命题的反例是： ， ． 【答案】 ； ． 【思路引导】本题考查了举反例，举一组例子说明时有即可求解，掌握举反例的定义是解题的关键． 【规范解答】解：要说明“如果，那么”是假命题，只需要举一组例子说明时有就可以， 当，时，有，但， ∴，是假命题的反例， 故答案为：；． 【变式训练1】（25-26八年级上·全国·随堂练习）对假命题“若，则”举一个反例，符合要求的反例是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【思路引导】本题考查了命题和定理，任何一个命题非真即假．要说明一个命题的正确性，一般需要推理、论证，而判断一个命题是假命题，只需举出一个反例即可．根据有理数的大小比较法则、有理数的乘方法则计算，判断即可． 【规范解答】解：当时，，而， ，是“若，则”的一个反例， 故选：A． 【变式训练2】（24-25七年级下·江苏南通·阶段练习）为说明命题“若，则”是假命题，所列举反例正确的是（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【思路引导】本题考查了列举反例，掌握列举反例的方法是解题关键． 根据各选项中的值分别求出和，再找出在条件下，使得或成立的选项即可得． 【规范解答】解：A、当时，，满足，但，是错误的反例，此项不符题意； B、当时，，满足，但，是正确的反例，此项符合题意； C、当时，，满足，但，是错误的反例，此项不符题意； D、当时，不满足，是错误的反例，此项不符题意； 故选：B． 【变式训练3】（24-25八年级上·浙江金华·期中）判断命题“对于任何实数，都有”是假命题，只需举一个反例，反例中的值可以是 ．（填写一个符合条件的的值）． 【答案】－2（答案不唯一） 【思路引导】本题考查的是命题和定理，任何一个命题非真即假．要说明一个命题的正确性，一般需要推理、论证，而判断一个命题是假命题，只需举出一个反例即可． 根据绝对值的性质、有理数的大小比较法则解答即可． 【规范解答】解：当时，， 说明命题“对于任何实数，”是假命题， 故答案为：（答案不唯一）． 1．（2024·山东潍坊·中考真题）下列命题是真命题的有（    ） A．若，则 B．若，则 C．两个有理数的积仍为有理数 D．两个无理数的积仍为无理数 【答案】AC 【思路引导】考查了命题与定理的知识，解题的关键是了等式及不等式的性质、无理数及有理数的积．利用等式及不等式的性质、无理数及有理数的积分别判断后即可确定正确的选项． 【规范解答】 解：A、由等式的性质可得，若，则，原命题为真命题； B、由不等式的性质可得，若，且，则，原命题为假命题； C、两个有理数的积仍为有理数，原命题为真命题； D、两个无理数的积不一定为无理数，比如，原命题为假命题． 故选：AC． 2．（2022·江苏无锡·中考真题）下列命题中，是真命题的有（    ） ①对角线相等且互相平分的四边形是矩形        ②对角线互相垂直的四边形是菱形 ③四边相等的四边形是正方形                    ④四边相等的四边形是菱形 A．①② B．①④ C．②③ D．③④ 【答案】B 【思路引导】直接利用平行四边形以及矩形、菱形、正方形的判定方法分别分析进而得出答案． 【规范解答】解：①对角线相等且互相平分的四边形是矩形，正确； ②对角线互相平分且垂直的四边形是菱形，故原命题错误； ③四边相等的四边形是菱形，故原命题错误； ④四边相等的四边形是菱形，正确． 故选：B． 【考点剖析】此题主要考查了命题与定理，正确把握特殊四边形的判定方法是解题关键． 3．（2020·湖北宜昌·中考真题）能说明“锐角，锐角的和是锐角”是假命题的例证图是（    ）． A．   B．   C．   D．   【答案】C 【思路引导】先将每个图形补充成三角形，再利用三角形的外角性质逐项判断即得答案． 【规范解答】解：A、如图1，∠1是锐角，且∠1=，所以此图说明“锐角，锐角的和是锐角”是真命题，故本选项不符合题意；    B、如图2，∠2是锐角，且∠2=，所以此图说明“锐角，锐角的和是锐角”是真命题，故本选项不符合题意； C、如图3，∠3是钝角，且∠3=，所以此图说明“锐角，锐角的和是锐角”是假命题，故本选项符合题意； D、如图4，∠4是锐角，且∠4=，所以此图说明“锐角，锐角的和是锐角”是真命题，故本选项不符合题意． 故选：C． 【考点剖析】本题考查了真假命题、举反例说明一个命题是假命题以及三角形的外角性质等知识，属于基本题型，熟练掌握上述基本知识是解题的关键． 4．（2024·湖南永州·中考真题）下列说法正确的是（　　） A．有两边和一角分别相等的两个三角形全等 B．有一组对边平行，且对角线相等的四边形是矩形 C．如果一个角的补角等于它本身，那么这个角等于45° D．点到直线的距离就是该点到该直线的垂线段的长度 【答案】D 【思路引导】根据去全等三角形的判定方法得出A不正确；由矩形的判定方法得出B不正确；由补角的定义得出C不正确；由点到直线的距离的定义得出D正确；即可得出结论． 【规范解答】A．有两边和一角分别相等的两个三角形全等；不正确； B．有一组对边平行，且对角线相等的四边形是矩形；不正确； C．如果一个角的补角等于它本身，那么这个角等于45°；不正确； D．点到直线的距离就是该点到该直线的垂线段的长度；正确； 故选D． 【考点剖析】本题考查了矩形的判定、全等三角形的判定方法、点到直线的距离以及补角的定义；熟记各个判定方法和定义是解题的关键． 5．（2024·广东深圳·中考真题）下列命题是真命题的有（　　） ①对顶角相等；②两直线平行，内错角相等；③两个锐角对应相等的两个直角三角形全等；④有三个角是直角的四边形是矩形；⑤平分弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧． A．.1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【规范解答】根据对顶角的性质，平行的性质，全等三角形的判定，矩形的判定，垂径定理逐一作出判断： 根据相关性质，①、②、④正确； 对于③，两个直角三角形只能是相似，不全等； 对于⑤，平分弦的直径垂直弦，应强调这条弦“非直径”，故错． 故选C． 基础夯实 1．（25-26八年级上·全国·单元测试）下列语句是命题的是（   ） A．作 B．若，则 C．两条直线被第三条直线所截 D．一条铁路的两根铁轨是平行的吗 【答案】B 【思路引导】本题考查了命题．熟练掌握命题的定义是解题的关键．判断一件事情的语句叫做命题．命题必须具有判断性，即对一件事情作出“肯定”或“否定”的判断，不论其判断的结果是否正确． 根据命题的定义判断即可，注意命题必须具有判断性． 【规范解答】A. 作，不是命题，因为它不是判断性语句， 是叙述一个过程的语句； B. 若，则，是命题，因为它是一个具有判断性的语句； C. 两条直线被第三条直线所截，不是命题，因为它不是判断性语句； D. 一条铁路的两根铁轨是平行的吗，不是命题，因为它不是判断性语句，是疑问句． 故选：B． 2．（25-26八年级上·全国·单元测试）下列属于定义的是（   ） A．两点确定一条直线 B．两直线平行，同位角相等 C．等角的补角相等 D．线段是直线上的两点和它们之间的部分 【答案】D 【思路引导】本题考查了定义的理解.根据定义的属性进行判断即可．定义是指对某个词语、概念或事物的本质特征进行准确、清晰的描述和解释，确保人们在交流或学术讨论中达成一致理解．掌握定义的属性是解题的关键． 【规范解答】解：A. 两点确定一条直线是确定直线的条件，不是定义，故错误； B. 两直线平行，同位角相等是平行线的性质，不是定义，故错误； C. 等角的补角相等是补角的性质，不是定义，故错误； D. 线段是直线上的两点和两点间的部分是线段的定义，正确． 故选：D． 3．（25-26八年级上·全国·单元测试）下列语句中，属于定义的是（   ） A．两个锐角的和一定大于 B．两直线平行，内错角相等 C．两点之间线段最短 D．直线外一点到直线的垂线段的长度叫做点到直线的距离 【答案】D 【思路引导】此题考查了命题、定理、定义，根据定义的概念对各个选项进行分析，从而得到答案． 【规范解答】解：A．两个锐角的和一定大于，属于命题，不合题意； B．两直线平行，内错角相等，属于定理，不合题意； C．两点之间线段最短，属于命题，不合题意； D．直线外一点到直线的垂线段的长度叫做点到直线的距离，属于定义，符合题意； 故选D． 4．（23-24七年级下·山东临沂·期中）把命题“两直线平行，内错角相等”改成“如果……，那么……”的形式： ． 【答案】如果两直线平行，那么内错角相等 【思路引导】本题考查了命题与定理的知识，将原命题写成条件与结论的形式，“如果”后面是命题的条件，“那么”后面是条件的结论，解决本题的关键是找到相应的条件和结论，比较简单． 根据命题“两直线平行，内错角相等”的题设和结论进行分析解答即可． 【规范解答】解：命题“两直线平行，内错角相等”改成“如果……，那么……”的形式为： 如果两直线平行，那么内错角相等． 故答案为：如果两直线平行，那么内错角相等． 5．（25-26八年级上·全国·课前预习）下列语句中，属于定义的是 ，是命题的是 ．（请填写序号） ①三角形的内角和等于；②无限不循环小数称为无理数；③你的作业做完了吗？④天空真蓝啊！⑤对顶角不相等；⑥连接两点的线段的长度，叫作这两点间的距离． 【答案】 ②⑥/⑥② ①②⑤⑥ 【思路引导】此题考查了定义及命题，根据三角形内角和定理、无理数的定义和对顶角性质、两点间的距离进行判断即可解决． 【规范解答】解：①三角形的内角和等于，是命题，不是定义； ②无限不循环小数称为无理数，是定义，也是命题； ③你的作业做完了吗？既不是定义也不是命题； ④天空真蓝啊！既不是定义也不是命题； ⑤对顶角不相等；不是定义，是命题； ⑥连接两点的线段的长度，叫作这两点间的距离，是定义，也是命题； 属于定义的是②⑥；是命题的是①②⑤⑥； 故答案为：②⑥；①②⑤⑥． 6．（25-26八年级上·全国·单元测试）在讨论“对顶角不相等”是不是命题的问题时，甲说：“这不是命题，因为这句话是错误的．”乙说：“这是命题，因为它作出了判断，只不过这一判断是错误的，所以它是假命题．”由此可判断 的说法是正确的． 【答案】乙 【思路引导】本题考查了命题与定理：判断一件事情的语句，叫做命题．许多命题都是由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项，一个命题可以写成“如果…那么…”形式；有些命题的正确性是用推理证实的，这样的真命题叫做定理．根据命题的定义对两种说法进行判断． 【规范解答】解：乙的说法正确．因为“对顶角不相等”是一个判断语句，所以它是命题，根据对顶角的性质可得到它是假命题． 故答案为：乙． 7．（24-25八年级上·广东河源·期末）命题“两直线平行，同旁内角互补”的结论是 ． 【答案】同旁内角互补 【思路引导】本题主要考查了命题题设的基本概念以及平行线的性质．题设是命题的前提条件，结论是前提条件得到的结果．理解题设和结论的概念是解题的关键．根据题设是前提条件，结论是前提条件得到的结果，即可得到答案． 【规范解答】解：命题“两直线平行，同旁内角互补”的题设是“两直线平行”，结论是“同旁内角互补”． 故答案为：同旁内角互补． 8．（23-24八年级上·宁夏银川·期末）如图，现有以下三个条件：①，②，③．请你以其中两个作为题设，另一个作为结论构造命题．    (1)你构造的是哪几个命题？ (2)你构造的命题有真命题吗？若有真命题，请给予证明． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【思路引导】本题考查的是命题与定理，掌握平行线的判定和性质是解题关键． （1）根据题意写出命题即可； （2）根据平行线的判定和性质证明． 【规范解答】（1）解：可构造三个命题： 命题一：如果，，那么； 命题二：如果，，那么； 命题三：如果，，那么； （2）解：①选择“如果，，那么”进行验证： ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴该命题为真命题； ②选择“如果，，那么”进行验证： ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴该命题为真命题； ③选择“如果，，那么”进行验证： ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴该命题为真命题； ∴综上所述，三个命题都是真命题． 9．（25-26八年级上·全国·随堂练习）判断下列命题是真命题还是假命题，如果是假命题，请举出一个反例． (1)两个钝角的和一定大于； (2)异号两数相加，和为0； (3)如果，那么． 【答案】(1)真命题 (2)假命题．反例： (3)假命题．反例： 【思路引导】本题主要考查了判断命题真假，熟知相关知识是解题的关键． （1）钝角是大于90度小于180度的角，据此可得结论； （2）根据可得结论； （3）根据时，，可得结论． 【规范解答】（1）解：∵钝角是大于90度小于180度的角， ∴两个钝角的和一定大于， ∴原命题是真命题； （2）解：异号两数相加，和不一定为0，例如， ∴原命题是假命题； （3）解：如果，那么，不一定有，例如当时，， ∴原命题是假命题． 10．（23-24八年级上·贵州毕节·期末）如图，在中，是的平分线，，，交于点． (1)求证：是的平分线． (2)若将“是的平分线”与“是的平分线”，“”或“”中的任一条件交换，所得命题是真命题吗？若是，请选择一个证明；若不是，请说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)是，见解析 【思路引导】本题考查了角平分线的定义，平行线的判定和性质，命题的真假，掌握相关知识点是解题关键． （1）根据平行线的性质，得到，，再结合角平分线的定义，得出，即可得到结论； （2）根据角平分线的定义和平行线的判定和性质求解即可． 【规范解答】（1）证明：∵，， ∴，． ∵是的平分线， ∴， ∴， ∴是的平分线． （2）解：所得命题是真命题； ①选择命题：若是的平分线，，，则是的平分线． 证明：∵，， ∴，． ∵是的平分线， ∴， ∴， ∴是的平分线． ②选择命题：若是的平分线，是的平分线，，则． 证明：∵是的平分线，是的平分线， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴； ③选择命题：若是的平分线，是的平分线，，则． ∵是的平分线，是的平分线， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴； 培优拔高 11．（24-25七年级下·山东德州·期末）下列命题正确的是（      ） A．从直线外一点到这条直线的垂线段长度，叫做点到直线的距离． B．过一点有且只有一条直线与已知直线垂直． C．两条直线被第三条直线所截，所得同旁内角互补． D．在同一平面内，两条不重合的直线有平行、相交或垂直这三种位置关系． 【答案】A 【思路引导】本题主要考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解有关的定义及定理，难度不大．利用点到直线的距离的定义、平行线的性质及判定方法及垂直的定义等知识分别判断后即可确定正确的选项． 【规范解答】解：A、从直线外一点到这条直线的垂线段长度，叫作点到直线的距离，正确，符合题意； B、平面内过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，故原命题错误，不符合题意； C、两条平行直线被第三条直线所截，所得同旁内角互补，故原命题错误，不符合题意； D、在同一平面内，两条不重合的直线有平行、相交两种位置关系，故原命题错误，不符合题意． 故选：A． 12．（24-25八年级上·安徽池州·期末）下列命题是真命题的是（   ） A．两个锐角之和一定是钝角 B．三角形的任意两边之和大于第三边 C．同旁内角互补 D．三角形的重心是这个三角形的三条角平分线的交点 【答案】B 【思路引导】本题主要考查了命题与定理的知识，利用反例对A进行判断，利用三角形三边关系对B进行判断，根据平行线的性质对C进行判断，三角形的重心的性质对D进行判断． 【规范解答】解：A、两个锐角之和不一定为钝角，故原命题错误，是假命题，不符合题意； B、三角形的任意两边之和大于第三边，正确，是真命题，符合题意； C、两直线平行，同旁内角互补，故原命题错误，是假命题，不符合题意； D、三角形的重心是这个三角形的三条边上的中线的交点，故原命题错误，是假命题，不符合题意． 故选：B． 13．（24-25七年级下·河北邯郸·期中）可以用来说明“，则”是假命题的反例是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【思路引导】此题主要考查了利用举例法证明一个命题错误，要说明“若，则”是假命题，通过满足但的例子逐一排除即可，理解题意是解题关键． 【规范解答】解：、∵，， ∴，，此时，不满足，不符合题意； 、∵，， ∴，，满足， ∵， ∴成立，不是反例，排除，不符合题意； 、∵，， ∴ ，，此时，不满足，排除，不符合题意； 、∵，， ∴，，满足， ∵，∴不成立，符合反例条件，符合题意； 故选：． 14．（25-26八年级上·全国·随堂练习）下列定理中，有逆定理的有 ．（填序号） ①同旁内角互补，两直线平行； ②同角的余角相等； ③两直线平行，内错角相等． 【答案】①③/③① 【思路引导】本题主要考查了逆定理的判断，熟练掌握逆命题的写法以及真假命题的判断方法是解题的关键．对于每个定理，先写出它的逆命题．然后判断逆命题的真假，若逆命题为真，则该定理有逆定理． 【规范解答】解：∵ 定理“同旁内角互补，两直线平行”的逆命题是“两直线平行，同旁内角互补”， ∵ 此逆命题是真命题， ∴ 定理①有逆定理； ∵ 定理“同角的余角相等”的逆命题是“如果两个角的余角相等，那么这两个角是同一个角”， ∵ 此逆命题是假命题， ∴ 定理②没有逆定理； ∵ 定理“两直线平行，内错角相等”的逆命题是“内错角相等，两直线平行”， ∵ 此逆命题是真命题， ∴ 定理③有逆定理； 故答案为：①③． 15．（24-25八年级上·北京昌平·期中）用三个不等式，，中的两个不等式作为题设条件，余下的一个不等式作为结论，组成一个命题，可以组成真命题的个数为 个，请同学们写出一个真命题 ． 【答案】 3 如果，，那么或如果，，那么或如果，，那么 【思路引导】本题主要考查了判断命题真假，不等式的性质，写出命题的题设和结论当选取，作为条件，为结论时，根据不等式两边同时除以一个正数不等号不改变方向即可证明；当选取，作为条件，为结论时，根据不等式两边同时乘以一个正数，不等号不改变方向即可证明；当选取，作为条件 为结论时，据不等式两边同时乘以一个正数，不等号不改变方向即可证明． 【规范解答】解：当选取，作为条件，为结论时， ∵，， ∴，即， ∴此时命题是真命题； 当选取，作为条件，为结论时， ∵， ∴当时，则 ，即，符合题意； 当时，则 ，即，不符合题意； ∴此时命题是真命题； 当选取，作为条件 为结论时， ∵，， ∴，即， ∴此时命题是真命题； 综上所述，可以组成真命题的个数为3个，命题为：如果，，那么；如果，，那么；如果，，那么． 故答案为：3；如果，，那．么或如果，，那么或如果，，那么． 16．（23-24七年级下·江苏宿迁·期末）下列命题中，①同位角相等；②如果，那么；③如果两个角的和等于，那么这两个角互为补角；④若，则．其中真命题的有 个． 【答案】1 【思路引导】根据平行线的判定、补角的定义、绝对值的意义、乘方的运算进行判断即可． 【规范解答】解：①两条直线平行，同位角相等，故原命题是假命题； ②如果，那么或，故原命题是假命题； ③如果两个角的和等于，那么这两个角互为补角，故原命题是真命题； ④例如，则，故原命题是假命题； 即真命题的有1个， 故答案为：1． 【考点剖析】本题考查命题与定理、平行线的判定、补角的定义、绝对值的意义、乘方的运算，熟练掌握相关知识是解题的关键． 17．（24-25八年级上·安徽六安·期中）如图，有三个论断：①；②；③．请你从中任选两个作为条件，另一个作为结论构成一个命题，写出已知、求证，并证明该命题的正确性． 【答案】见解析 【思路引导】此题考查命题与定理问题，证明的一般步骤：写出已知，求证，画出图形，再证明．也考查了平行线的判定和性质、对顶角相等等知识． 根据题意，请从中任选两个作为条件，另一个作为结论构成一个命题，分三种情况根据平行线的判定和性质及对顶角相等进行证明． 【规范解答】解：第一种情况： 已知：，， 求证： 证明：如图， ∵，， ∴ ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴ 第二种情况： 已知：，， 求证： 证明：如图， ∵，， ∴ ∴， ∴， ∵ ∴， ∴ 第三种情况： 已知：，， 求证： 证明：如图， ∵ ∴， ∵， ∴， ∴， ∴ ∵， ∴ 18．（24-25八年级上·河南南阳·期中）定理：斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等．老师提出了以下问题，请你完成． 任务一：（1）将定理“斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等”写成如果……那么……的形式是________________． 任务二：（2）请你利用学过的知识证明这个定理．对于这个问题，南南和阳阳展开了下面的讨论： 南南：阳阳，这个问题好难啊，我没有任何思路，你能分享一下你的想法吗？ 阳阳：由于直角边，我们移动，使点A与点、点C与点重合，且使点B与点分别位于的两侧，这样就构成了等腰三角形，利用其性质及三角形的判定就可以完成． 以下是阳阳同学的部分过程，请你按照他的思路进行完善． 如图，在和中，，，． 求证：． 证明：由于直角边，我们移动，使点A与点、点C与点重合，且使点B与点分别位于的两侧． ∵， ∴，即点、、B在同一条直线上． …… 【答案】（1）如果两个直角三角形的斜边和一条直角边分别相等，那么两个直角三角形全等；（2）见解析 【思路引导】此题考查了全等三角形判定，等边对等角性质，命题的条件和结论，解题的关键是掌握以上知识点． （1）根据命题的条件和结论求解即可； （2）由得到，然后证明出即可． 【规范解答】解：（1）将定理“斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等”写成如果……那么……的形式是如果两个直角三角形的斜边和一条直角边分别相等，那么两个直角三角形全等； （2）证明：由于直角边，我们移动，使点A与点、点C与点重合，且使点B与点分别位于的两侧． ∵， ∴，即点、、B在同一条直线上． ∵ ∴ ∴． 19．（23-24八年级下·湖南娄底·开学考试）如图，与相交于点O，点E、F分别为、的中点，连接、、，给出以下三个等量关系：①，②，③．请你以其中两个为条件，另一个为结论，组成一个真命题，并证明． (1)条件：______，结论：______；（填序号） (2)写出你的证明过程． 【答案】(1)②③，①（答案不唯一） (2)证明见解析 【思路引导】考查了命题与定理的知识，等腰三角形的判定，全等三角形的判定与性质，熟练掌握相关定理性质是解题关键． （1）根据条件，选择两个条件推出结论的真命题，即可； （2）根据等角对等边得到，结合题意得到，利用可证明，即可得到． 【规范解答】（1）解：条件：②③，结论：①， 故答案为：②③，①；（答案不唯一） （2）证明：， ， 点E、F分别为、的中点， ， 在与中， ， ， ． 20．如图，四边形中，点E在边上，连接、．给出下列五个关系式：①；②；③；④；⑤．将其中的三个关系式作为题设，另外两个作为结论，构成一个命题． (1)用序号写出一个真命题（书写形式如：如果×××，那么××）．并给出证明； (2)用序号再写出三个真命题（不要求证明）． 【答案】(1)如果，那么；理由见解析 (2)见解析 【思路引导】（1）如果，那么；先根据，，利用证出，得出，再根据，得出，即可证出； （2）根据命题的结构和有关性质、判定以及真命题的定义，写出命题即可． 【规范解答】（1）解：（1）如果①②③，那么④⑤；理由如下： ∵， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； ∵，， ∴； （2）解：如果，那么； 如果，那么； 如果，那么． 【考点剖析】本题主要考查了三角形全等的判定和性质，平行线的性质，等腰三角形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握基本的性质和判定，灵活应用． 第 1 页 共 11 页 学科网（北京）股份有限公司 $$