专题1.1 认识三角形（知识梳理+17个考点讲练+中考真题演练+难度分层练 共59题）-2025-2026学年浙教版数学八年级上册同步培优讲练（2024新教材）

专题1.1 认识三角形 （知识梳理+17个考点讲练+中考真题演练+难度分层练 共59题） 知识梳理 技巧点拨 2 知识点梳理01：三角形的有关概念 2 知识点梳理02：三角形的分类 2 知识点梳理03：三角形的内角和 2 知识点梳理04：三角形的三边关系 重点 3 知识点梳理05：三角形的角平分线、中线与高线 重点 3 优选题型 考点讲练 4 考点1：三角形的识别与有关概念 4 考点2：三角形的个数问题 4 考点3：与平行线有关的三角形内角和问题 5 考点4：与角平分线有关的三角形内角和问题 6 考点5：三角形折叠中的角度问题 7 考点6：三角形内角和定理的应用 7 考点7：三角形的分类 8 考点8：构成三角形的条件 9 考点9：确定第三边的取值范围 9 考点10：三角形三边关系的应用 10 考点11：三角形角平分线的定义 11 考点12：根据三角形中线求长度 11 考点13：根据三角形中线求面积 12 考点14：重心的概念 13 考点15：画三角形的高 13 考点16：与三角形的高有关的计算问题 14 考点17：垂心 14 中考真题 实战演练 15 难度分层 拔尖冲刺 16 培优拔高 18 知识点梳理01：三角形的有关概念 1.三角形的定义：由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形. 2.三角形的基本要素： （1）边、组成三角形的线段.（2）顶点、三角形中相邻两边的公共端点.（3）内角、在三角形的内部，由相邻两边组成的角. 3.三角形的表示方法：“三角形”用符号“ △ ”表示，顶点是 A ，B ， C的三角形，记做“ △ABC”，读做“三角形 ABC ”. 知识点梳理02：三角形的分类 三角形可以按内角的大小进行分类： 知识点梳理03：三角形的内角和 三角形三个内角的和等于180∘. 注意 在任意一个三角形中，最多有一个钝角或直角，最多有三个锐角，最少有两个锐角. 知识点梳理04：三角形的三边关系 重点 三角形的三边关系 1、 图形 2、文字语言、三角形任何两边的和大于第三边. 3、数学语言、a+b>c ， a+c>b ， c+b>a . 4、理论依据、两点之间线段最短. 知识点梳理05：三角形的角平分线、中线与高线 重点 1.三角形的角平分线 （1）定义：在三角形中，一个内角的角平分线与它的对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段叫做三角形的角平分线.如图 符号语言：∵线段AD是△ABC的一条角平分线，∴∠BAD=∠CAD=∠BAC或 ∠BAC=2∠BAD=2∠CAD . 注意 三角形的角平分线是线段，而角的平分线是射线. （2）作法：①用量角器；②尺规作图（后面会学习）. （3）三角形的角平分线的位置：三角形的三条角平分线都在三角形的内部，并且三条角平分线交于三角形内一点（称为内心）. 2.三角形的中线 （1）定义：连结三角形的一个顶点与该顶点的对边中点的线段，叫做三角形的中线. 如图 符号语言：∵线段 AD 是△ABC的BC边上的中线， ∴BD=DC=BC或 BC=2BD=2DC . （2） 作法：①通过度量找中点；②尺规作图（后面会学习）. （3）三角形的中线的位置：三角形的三条中线都在三角形的内部，并且三条中线交于三角形内一点（称为重心）. 考点1：三角形的识别与有关概念 【典例精讲】（25-26八年级上·全国·课后作业）下面是小航用三根火柴组成的图形，其中符合三角形的概念的是（   ） A． B． C． D． 【变式训练】（25-26八年级上·全国·课后作业）若有一个公共角的两个三角形称为一对“共角三角形”，如下图，以为公共角的“共角三角形”有几对？请写出来． 考点2：三角形的个数问题 【典例精讲】（25-26八年级上·全国·课后作业）如图，一共有多少个三角形？其中锐角三角形、直角三角形、钝角三角形各有多少个？分别用数学符号表示这些三角形． 【变式训练】（25-26八年级上·全国·课后作业）如图，在中，，垂足为D， 是钝角，E是上一点，且是锐角． (1)图中有几个三角形？用符号表示这些三角形． (2)找出图中的锐角三角形、直角三角形和钝角三角形． 考点3：与平行线有关的三角形内角和问题 【典例精讲】（24-25七年级下·山东泰安·期末）在三角形纸片中，，点为边上靠近点处一定点，点为边上一动点，沿折叠三角形纸片，点落在点处． ①如图1，当点落在边上时，； ②如图2，当点落在内部时，； ③如图3，当点落在上方时，； ④当时，或，以上结论正确的个数是（  ）    A．1 B．2 C．3 D．4 【变式训练】（24-25七年级下·重庆秀山·期末）如图，在三角形中，平分交于点，过点D作交于点E，平分交于点，点F为线段上一点．若，则 ；若，，则 ． 考点4：与角平分线有关的三角形内角和问题 【典例精讲】（24-25八年级上·广东韶关·阶段练习）如图，已知，， ，若，平分，求的度数． 【变式训练】（24-25八年级上·吉林通化·阶段练习）如图，在中，是角平分线，是高，与相交于点，过点作，当时，求的度数． 考点5：三角形折叠中的角度问题 【典例精讲】（24-25八年级上·山东枣庄·期末）如图，将纸片沿折叠，使点落在点处，若，，则为 ． 【变式训练】（24-25八年级上·山东日照·期末）如图，在中，，，的平分线与的垂直平分线交于点，将沿（E在上，在上）折叠，点与点恰好重合，则的度数为（　　） A． B． C． D． 考点6：三角形内角和定理的应用 【典例精讲】（25-26八年级上·全国·课后作业）如图，在中，P是线段上的一个动点，且不与B，C重合，，． (1)已知，． ① ； ②若，则 ； (2)如图②，已知，作，试探究，，之间的关系． 【变式训练】（24-25八年级上·贵州贵阳·期末）（1）如图，过的顶点作直线，求证：； （2）已知内部两条射线、交于点， 如图，若，则 度直接写出答案即可 如图，若，、分别平分、，求的度数； （3）如图，在四边形中，、的角平分线交于点，，和之间有什么数量关系？说明理由． 考点7：三角形的分类 【典例精讲】（25-26八年级上·全国·课后作业）下列四个条件： ①在中，都是锐角； ②的三个内角的度数之比是； ③在中，； ④的三个外角的度数之比是． 其中能确定是直角三角形的是 （只填序号）． 【变式训练】如果三角形的两个内角与满足2+＝90°，那么我们称这样的三角形为“准直角三角形”． (1)如图①，在RtABC中，∠ACB＝90°，BD是ABC的角平分线． 求证：ABD是“准直角三角形”． (2)关于“准直角三角形”，下列说法： ①在ABC中，若∠A＝100°，∠B＝70°，∠C＝10°，则ABC是“准直角三角形”； ②若ABC是“准直角三角形”，∠C＞90°，∠A＝60°，则∠B＝20°； ③“准直角三角形”一定是钝角三角形．其中，正确的是 　 　．（填写序号） (3)如图②，B、C为直线l上两点，点A在直线l外，且∠ABC＝50°．若P是l上一点，且ABP是“准直角三角形”，请直接写出∠APB的度数． 考点8：构成三角形的条件 【典例精讲】．（2025·湖北武汉·模拟预测）现有长为的铁丝，要截成小段（），每段的长度不小于，如果其中任意三小段都不能拼成三角形，则的最大值为（    ） A．9 B．10 C．11 D．12 【变式训练】（21-22七年级下·陕西西安·期末）若等腰三角形的两边长分别是5cm和9cm，则这个三角形的周长是 ． 考点9：确定第三边的取值范围 【典例精讲】（25-26八年级上·全国·课后作业）若的两边长是方程组的的解，第三边长为整数，则符合条件的三角形有 个． 【变式训练】（24-25八年级上·全国·期末）已知，，为的三边长，若，满足，且是整数，求的取值． 考点10：三角形三边关系的应用 【典例精讲】（24-25八年级上·全国·期末）已知，，为的三边长，，满足，且为方程的解，求的周长，并判断的形状． 【变式训练】（25-26八年级上·全国·课后作业）已知P是内任意一点． (1)如图①，求证：． (2)如图②，连接，比较与的大小关系，并说明理由． 考点11：三角形角平分线的定义 【典例精讲】（2024八年级上·全国·专题练习）图1，线段、相交于点，连接、，我们把形如图1的图形称之为“8”字形．如图2，在图1的条件下，和的平分线和相交于点，并且与、分别相交于、．试解答下列问题： (1)在图1中，请直接写出、、、之间的数量关系：___________； (2)仔细观察，在图2中“8字形”的个数：___________个； (3)图2中，当度，度时，求的度数． (4)图2中和为任意角时，其他条件不变，试问与、之间存在着怎样的数量关系．（直接写出结果，不必证明）． 【变式训练】（23-24八年级下·全国·单元测试）（1）在中，是的平分线，是边上的中线．若，则 ；若 ，则 ． （3） 在中，，是边上的中线，的周长为，的周长为 ，则 ． 考点12：根据三角形中线求长度 【典例精讲】（24-25八年级上·广东佛山·期末）如图，在中，是的角平分线，点在边上（不与点，重合），与交于点． (1)若是中线，，，则与的周长差为_____； (2)若，是角平分线，求_____； (3)若，是高，求的度数． 【变式训练】（22-23八年级上·山东济宁·阶段练习）如图，在中，为边上的中线，已知，，的周长为20，求的周长． 考点13：根据三角形中线求面积 【典例精讲】（25-26八年级上·全国·周测）如图，在中，是边上的高．在中，是边上的中线．若，且，则的值为（   ） A．16 B．24 C．28 D．32 【变式训练】（24-25八年级上·西藏山南·期末）如图，是的中线，是的中线，且的面积是1，的面积为（   ） A．1 B．2 C．4 D．8 考点14：重心的概念 【典例精讲】（24-25七年级下·四川成都·期中）如图，，，分别为，，的中点，点为的重心．已知的面积为1，则的面积为 ． 【变式训练】（23-24七年级下·河北邢台·期末）已知点F是的重心，连接并延长交于G点，过点F作直线分别交于D点、E点，则下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 考点15：画三角形的高 【典例精讲】（24-25八年级上·福建莆田·阶段练习）中，如图选项正确画出边上的高的图形是（    ） A． B． B． C． D． 【变式训练】（25-26八年级上·全国·单元测试）下列说法正确的是（   ） A．三角形的角平分线、中线和高都在三角形内 B．三角形的三个内角中，至少有一个锐角 C．三角形的三条高不一定都在三角形内部 D．三角形的高是直线，角平分线是射线，中线是线段 考点16：与三角形的高有关的计算问题 【典例精讲】（24-25八年级上·福建莆田·阶段练习）如图，在中，．平分．为边上的高．若，求的度数． 【变式训练】（24-25八年级上·福建莆田·期中）如图，在中，点D在边上，连接，．是中边上的高线，延长交于点F．设，． (1)求的度数（用含α、β的式子表示）； (2)若，求β的值． 考点17：垂心 【典例精讲】（21-22七年级下·全国·单元测试）三角形的三条高、三条角平分线、三条中线都分别相交于一点，且交点一定在三角形内部的是（     ） A．角平分线、高 B．中线、高 C．角平分线、中线 D．以上都不对 【变式训练】（21-22七年级下·山东枣庄·阶段练习）下列说法正确的是（ ） A．三角形的高所在的直线交于一点，这一点不在三角形内就在三角形外 B．三角形的角平分线是射线 C．三角形的三条中线交于一点 D．三角形的一条角平分线能把三角形分成两个面积相等的三角形 1．（2025·江苏连云港·中考真题）下列长度（单位：）的3根小木棒能搭成三角形的是（   ） A．1，2，3 B．2，3，4 C．3，5，8 D．4，5，10 2．（2024·湖南长沙·中考真题）如图，在中，，，．则的度数为（    ） A． B． C． D． 3．（2024·四川德阳·中考真题）如图是某机械加工厂加工的一种零件的示意图，其中，，则等于（    ） A． B． C． D． 4．（2023·江苏盐城·中考真题）小华将一副三角板（，，）按如图所示的方式摆放，其中，则的度数为（    ）    A． B． C． D． 5．（2023·四川·中考真题）如图，，直线l与直线a，b分别交于B，A两点，分别以点A，B为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点E，F，作直线，分别交直线a，b于点C，D，连接AC，若，则的度数为 ．    1．（24-25八年级上·全国·期末）等腰三角形的一边长，一边长，则它的周长为（   ） A． B．或 C． D． 2．（24-25八年级上·全国·期末）如图，中，，沿将此三角形对折，又沿再一次对折，点落在上的处，此时，则原三角形的的度数为（　　） A． B． C． D． 3．（25-26八年级上·全国·课前预习）三角形按角分类可以分为（    ） A．锐角三角形、直角三角形、钝角三角形 B．等腰三角形、等边三角形、不等边三角形 C．直角三角形、等腰直角三角形 D．以上答案都不正确 4．（24-25八年级上·全国·期末）如图，已知、交于点，，，，则的度数是 ． 5．（24-25八年级上·全国·期末）已知等腰三角形的一边长等于4，一边长为9，则这个三角形的底边为 ． 6．（24-25八年级上·广东韶关·阶段练习）如图，是的中线，，，和的周长差为 ．    7．（24-25八年级上·全国·期末）如图，在中，，平分，平分，则 ． 8．（24-25八年级上·全国·期末）如图，在中，三个内角的平分线交于点，过点作，交边于点，的外角平分线与的延长线交于点． (1)求证：； (2)若，求的度数． 9．（24-25八年级上·福建厦门·期末）如图，，E为线段上一点，且． (1)求证：； (2)如图2，G为线段上一点，H为线段上一点，若，求证：． (3)如图3，在（2）的条件下，若，内部的射线与的延长线交于M，，，若的面积与的面积的和为18，且，求的长． 10．（24-25八年级上·福建莆田·阶段练习）如图所示，已知，分别是的高和中线，，，，． (1)求的长． (2)求的面积． 培优拔高 11．（21-22八年级上·四川德阳·阶段练习）若表示的三边长，则（   ） A． B． C． D． 12．（24-25八年级上·江西新余·阶段练习）如图，把三角形纸片沿折叠，使点A与点重合，且落在四边形的内部，已知，则的度数为（   ） A． B． C． D． 13．（24-25八年级上·陕西·期末）某品牌椅子的侧面图如图所示，与地面平行．若，，则（ ） A． B． C． D． 14．（24-25七年级下·上海·阶段练习）在中，，则这个三角形是 三角形．（填“锐角”、“直角”或“钝角”） 15．（25-26八年级上·全国·课后作业）有下列条件：①；②；③；④．其中能确定是直角三角形的是 （填序号）． 16．（25-26八年级上·全国·单元测试）如图，在中，分别是的中点，连接交于点．若四边形的面积为5，则的面积为 ． 17．（24-25七年级下·江苏扬州·期末）如图，直线，点A在直线a上，在中，，，，则的度数为 ． 18．（24-25八年级上·全国·期末）如图1，在三角形中，，直线与边分别交于两点，直线与边分别交于两点，且． (1)若，求的度数； (2)如图2，为边上一点，连结，若，请你探索与的数量关系，并说明理由； (3)如图3，若，延长交直线于点，在射线上有一动点，连接，请直接写出之间的数量关系（用含的式子表示）． 19．（24-25八年级上·福建莆田·期中）已知，如图在中，，平分交于F，交于E，．求的度数． 20．（2025八年级上·全国·专题练习）如图，分别平分的外角． (1)①若，则的度数为__________； ②若，则的度数为__________． (2)试探索与之间的数量关系． (3)如图②，延长至点G，连接，使得．若的面积为4，，则线段的长度为_________． 第 1 页 共 11 页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题1.1 认识三角形 （知识梳理+17个考点讲练+中考真题演练+难度分层练 共59题） 知识梳理 技巧点拨 2 知识点梳理01：三角形的有关概念 2 知识点梳理02：三角形的分类 2 知识点梳理03：三角形的内角和 2 知识点梳理04：三角形的三边关系 重点 3 知识点梳理05：三角形的角平分线、中线与高线 重点 3 优选题型 考点讲练 4 考点1：三角形的识别与有关概念 4 考点2：三角形的个数问题 5 考点3：与平行线有关的三角形内角和问题 6 考点4：与角平分线有关的三角形内角和问题 10 考点5：三角形折叠中的角度问题 11 考点6：三角形内角和定理的应用 13 考点7：三角形的分类 16 考点8：构成三角形的条件 19 考点9：确定第三边的取值范围 20 考点10：三角形三边关系的应用 21 考点11：三角形角平分线的定义 23 考点12：根据三角形中线求长度 26 考点13：根据三角形中线求面积 27 考点14：重心的概念 29 考点15：画三角形的高 30 考点16：与三角形的高有关的计算问题 31 考点17：垂心 32 中考真题 实战演练 33 难度分层 拔尖冲刺 37 培优拔高 44 知识点梳理01：三角形的有关概念 1.三角形的定义：由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形. 2.三角形的基本要素： （1）边、组成三角形的线段.（2）顶点、三角形中相邻两边的公共端点.（3）内角、在三角形的内部，由相邻两边组成的角. 3.三角形的表示方法：“三角形”用符号“ △ ”表示，顶点是 A ，B ， C的三角形，记做“ △ABC”，读做“三角形 ABC ”. 知识点梳理02：三角形的分类 三角形可以按内角的大小进行分类： 知识点梳理03：三角形的内角和 三角形三个内角的和等于180∘. 注意 在任意一个三角形中，最多有一个钝角或直角，最多有三个锐角，最少有两个锐角. 知识点梳理04：三角形的三边关系 重点 三角形的三边关系 1、 图形 2、文字语言、三角形任何两边的和大于第三边. 3、数学语言、a+b>c ， a+c>b ， c+b>a . 4、理论依据、两点之间线段最短. 知识点梳理05：三角形的角平分线、中线与高线 重点 1.三角形的角平分线 （1）定义：在三角形中，一个内角的角平分线与它的对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段叫做三角形的角平分线.如图 符号语言：∵线段AD是△ABC的一条角平分线，∴∠BAD=∠CAD=∠BAC或 ∠BAC=2∠BAD=2∠CAD . 注意 三角形的角平分线是线段，而角的平分线是射线. （2）作法：①用量角器；②尺规作图（后面会学习）. （3）三角形的角平分线的位置：三角形的三条角平分线都在三角形的内部，并且三条角平分线交于三角形内一点（称为内心）. 2.三角形的中线 （1）定义：连结三角形的一个顶点与该顶点的对边中点的线段，叫做三角形的中线. 如图 符号语言：∵线段 AD 是△ABC的BC边上的中线， ∴BD=DC=BC或 BC=2BD=2DC . （2） 作法：①通过度量找中点；②尺规作图（后面会学习）. （3）三角形的中线的位置：三角形的三条中线都在三角形的内部，并且三条中线交于三角形内一点（称为重心）. 考点1：三角形的识别与有关概念 【典例精讲】（25-26八年级上·全国·课后作业）下面是小航用三根火柴组成的图形，其中符合三角形的概念的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【思路引导】本题考查了三角形的定义，解题的关键是熟练记住定义. 根据三角形的定义进行判断即可. 【规范解答】解：因为三角形是由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所成的图形， 所以选项C符合题意. 故选： C． 【变式训练】（25-26八年级上·全国·课后作业）若有一个公共角的两个三角形称为一对“共角三角形”，如下图，以为公共角的“共角三角形”有几对？请写出来． 【答案】6对．“共角三角形”有与，与，与，与，与，与． 【思路引导】本题考查了共角三角形的定义，正确理解定义是解题的关键. 根据有一个公共角的两个三角形为一对共角三角形，首先确定三角形的角，然后确定三角形即可. 【规范解答】解：以为公共角的“共角三角形”有与、与、 与、与、与、和共6对. 故答案为：6 ． 考点2：三角形的个数问题 【典例精讲】（25-26八年级上·全国·课后作业）如图，一共有多少个三角形？其中锐角三角形、直角三角形、钝角三角形各有多少个？分别用数学符号表示这些三角形． 【答案】一共有6个三角形． 锐角三角形有2个：、； 直角三角形有3个：、、； 钝角三角形有1个：． 【思路引导】本题考查了三角形的分类，由锐角三角形、直角三角形、钝角三角形的定义，即可求解. 【规范解答】解：一共有6个三角形：、、、、、； 锐角三角形有2个：、； 直角三角形有3个：、、； 钝角三角形有1个：． 【变式训练】（25-26八年级上·全国·课后作业）如图，在中，，垂足为D， 是钝角，E是上一点，且是锐角． (1)图中有几个三角形？用符号表示这些三角形． (2)找出图中的锐角三角形、直角三角形和钝角三角形． 【答案】(1)6个，见解析 (2)见解析 【思路引导】本题考查了三角形及其分类．熟练掌握三角形定义，三角形分类定义是解题的关键，由不在同一直线上的三条线段首尾顺次连接所组成的封闭图形叫作三角形；三个内角都小于 90 度的三角形是锐角三角形；有一个内角为 90 度的三角形是直角三角形；有一个内角大于 90 度的三角形是钝角三角形． （1）根据三角形的定义解答； （2）根据三角形按角分类的定义判断． 【规范解答】（1）解：图中有6个三角形：，，，，，． （2）解：锐角三角形：； 直角三角形：，，； 钝角三角形：，． 考点3：与平行线有关的三角形内角和问题 【典例精讲】（24-25七年级下·山东泰安·期末）在三角形纸片中，，点为边上靠近点处一定点，点为边上一动点，沿折叠三角形纸片，点落在点处． ①如图1，当点落在边上时，； ②如图2，当点落在内部时，； ③如图3，当点落在上方时，； ④当时，或，以上结论正确的个数是（  ）    A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【思路引导】该题主要考查了折叠的性质，平行线的性质，三角形内角和定理，综合运用相关知识是解题的关键． ①如图1，当点落在边上时，根据折叠性质和三角形外角的性质求解即可；②如图2，当点落在内部时，根据折叠性质以及平角的定义即可求解；③如图3，当点落在上方时，根据折叠性质可得，根据 即可求解；④当时，分别画出图形根据折叠性质和平行线性质求解即可； 【规范解答】解：①如图1，当点落在边上时， 根据折叠性质可得， ∴，故①正确； ②如图2，当点落在内部时， 根据折叠性质可得 ∴ ，故②正确； ③如图3，当点落在上方时，； 根据折叠性质可得 ∴ ，故③正确； ④当时，    ∵， ∴， ∵， ∴， 根据折叠性质可得， ∴， ∴； 当时，      ∵， ∴ ∵， ∴， 根据折叠性质可得，， ∴， ∴， ∴； 综上或；故④错误； 故选：C． 【变式训练】（24-25七年级下·重庆秀山·期末）如图，在三角形中，平分交于点，过点D作交于点E，平分交于点，点F为线段上一点．若，则 ；若，，则 ． 【答案】 【思路引导】本题考查了平行线的性质，角平分线的定义，三角形内角和定理． 根据题意得，得到，得出，继而得到，得到，即可得到答案． 【规范解答】解： 平分， ， ∵， ，， 平分， ， ， ， 即， ，， ， ， ， ， 故答案为：，． 考点4：与角平分线有关的三角形内角和问题 【典例精讲】（24-25八年级上·广东韶关·阶段练习）如图，已知，， ，若，平分，求的度数． 【答案】 【思路引导】此题主要考查了平行线的判定与性质，三角形内角和定理的应用；根据平行线的判定与性质求出，即可得出，即可证明，根据平行线的性质求出，根据角平分线的定义求出，再根据三角形内角和定理求解即可． 【规范解答】解：，， ， ， 又， ， ， ， ， ， 是的角平分线， ， ． 【变式训练】（24-25八年级上·吉林通化·阶段练习）如图，在中，是角平分线，是高，与相交于点，过点作，当时，求的度数． 【答案】 【思路引导】本题考查了三角形的高，角平分线的定义，三角形内角和定理的应用，平行线的性质，根据已知可得，根据是的角平分线，得出，根据三角形内角和定理得出，进而根据平行线的性质，即可求解． 【规范解答】解：∵是高，则， ∴， ∵， ∴， ∵是的角平分线， ∴， ∴， ∵， ∴． 考点5：三角形折叠中的角度问题 【典例精讲】（24-25八年级上·山东枣庄·期末）如图，将纸片沿折叠，使点落在点处，若，，则为 ． 【答案】/度 【思路引导】本题考查了折叠的性质，三角形内角和定理，掌握相关知识是解题的关键．由折叠可知，，，再根据三角形内角和定理即可求解． 【规范解答】解：，， 由折叠可知，， ， ， 故答案为：． 【变式训练】（24-25八年级上·山东日照·期末）如图，在中，，，的平分线与的垂直平分线交于点，将沿（E在上，在上）折叠，点与点恰好重合，则的度数为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【思路引导】根据角平分线的性质得到，根据等腰三角形的性质得到，求得，根据全等三角形的性质得到，求得，根据折叠的性质得到，求得，根据四边形的内角和定理即可得到结论． 【规范解答】解：如图，连接、， ∵，为的平分线， ∴， 又∵， ∴， ∵是的垂直平分线， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 将沿（E在上，在上）折叠，点与点恰好重合， ∴， ∴， 在中， ， ∴， ∴． 故选∶D． 【考点剖析】本题考查了线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等的性质、等腰三角形三线合一的性质、等边对等角的性质、翻折变换的性质、全等三角形的判定与性质等知识，作辅助线，构造出等腰三角形是解题的关键． 考点6：三角形内角和定理的应用 【典例精讲】（25-26八年级上·全国·课后作业）如图，在中，P是线段上的一个动点，且不与B，C重合，，． (1)已知，． ① ； ②若，则 ； (2)如图②，已知，作，试探究，，之间的关系． 【答案】(1)①；② (2)，理由见解析 【思路引导】本题考查的是三角形的内角和定理的应用，等面积法的应用； （1）①先求解，再结合垂直的定义和三角形的内角和定理可得答案； ②设，则，可得，再结合三角形的内角和定理可得答案； （2）由等面积法可得，结合可得答案； 【规范解答】（1）解：①∵，， ∴； ∵，， ∴， ∴； ②∵， 设，则， ∵， ∴， ∵， ∴， 解得：， ∴，， ∵， ∴； （2）解：，理由见解析； ∵，，， ∴，，， ∵， ∴, ∴. 【变式训练】（24-25八年级上·贵州贵阳·期末）（1）如图，过的顶点作直线，求证：； （2）已知内部两条射线、交于点， 如图，若，则 度直接写出答案即可 如图，若，、分别平分、，求的度数； （3）如图，在四边形中，、的角平分线交于点，，和之间有什么数量关系？说明理由． 【答案】（1）见解析；（2）①；②；（3），理由见解析 【思路引导】本题考查了平行线的性质、角平分线的定义、三角形内角和定理，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）由平行线的性质可得，，再结合平角是计算即可得解； （2）①根据三角形内角和是计算即可得解；②根据三角形内角和是并结合角平分线的定义计算即可得解； （3）连接，根据三角形内角和是并结合角平分线的定义计算即可得解． 【规范解答】（1）证明：， ，， ， ． （2）解：，， ， 故答案为：． ，， ， 、分别平分、， ，， ， 则． （3）连接，如图： 、的角平分线交于点， ，， ， ， 即， 整理得：， 则， 即， 整理得：A． 考点7：三角形的分类 【典例精讲】（25-26八年级上·全国·课后作业）下列四个条件： ①在中，都是锐角； ②的三个内角的度数之比是； ③在中，； ④的三个外角的度数之比是． 其中能确定是直角三角形的是 （只填序号）． 【答案】②③④ 【思路引导】本题考查的是三角形的分类，三角形的内角和定理的应用，判断每个条件是否能确定为直角三角形，逐一分析后即可得出答案． 【规范解答】解：①∵，都是锐角； ∴不一定为， ∴不一定为直角三角形；不符合题意； ②∵的三个内角的度数之比是， 设， ∵， ∴， 解得， ∴， ∴为直角三角形；符合题意； ③∵， ∴， ∵， ∴， ∴，符合题意； ④∵的三个外角的度数之比是． 设的外角为，则的外角为，的外角为， ∴， ∵， ∴， 解得， ∴该三角形的一个内角为， ∴为直角三角形；符合题意； 能确定为直角三角形的有：②③④． 故答案为：②③④． 【变式训练】如果三角形的两个内角与满足2+＝90°，那么我们称这样的三角形为“准直角三角形”． (1)如图①，在RtABC中，∠ACB＝90°，BD是ABC的角平分线． 求证：ABD是“准直角三角形”． (2)关于“准直角三角形”，下列说法： ①在ABC中，若∠A＝100°，∠B＝70°，∠C＝10°，则ABC是“准直角三角形”； ②若ABC是“准直角三角形”，∠C＞90°，∠A＝60°，则∠B＝20°； ③“准直角三角形”一定是钝角三角形．其中，正确的是 　 　．（填写序号） (3)如图②，B、C为直线l上两点，点A在直线l外，且∠ABC＝50°．若P是l上一点，且ABP是“准直角三角形”，请直接写出∠APB的度数． 【答案】(1)见解析 (2)①③ (3)当，，，时，ABP满足条件，是“准直角三角形”． 【思路引导】（1）由角平分线的定义可得∠ABC＝2∠ABD，只要再证明2∠ABD+∠A=90°，即可判断． （2）根据“准直角三角形”的定义即可判断． （3）根据“准直角三角形”的定义，分类讨论即可解决问题． 【规范解答】（1）证明：如图①中， ∵在RtABC中，∠ACB＝90°， ∴∠ABC+∠A＝90°， ∵BD是∠ABC的角平分线， ∴∠ABC＝2∠ABD， ∴2∠ABD+∠A＝90°， ∴ABD是“准直角三角形”． （2）解：①∵∠B=70°，∠C=10°， ∴∠B+2∠C=90°， ∴ABC是“准直角三角形”．故①正确． ②∵∠C＞90°，∠A＝60°+2∠B＝100° ∴显然ABC不符合条件，故②错误， ③∵三角形的两个内角α与β满足2α+β=90°，那么我们称这样的三角形为“准直角三角形”， ∴α+β＜90°， ∴三角形的第三个角大于90°， ∴“准直角三角形”一定是钝角三角形，故③正确． 故答案为①③． （3）解：如图②中， 当时，则， 此时+2，符合题意； 同理可求，，时，ABP满足条件，是“准直角三角形”． 【考点剖析】本题考查了三角形内角和定理，三角形外角的性质，“准直角三角形”的定义等知识，解题的关键是理解题意，学会用分类讨论的思想思考问题． 考点8：构成三角形的条件 【典例精讲】．（2025·湖北武汉·模拟预测）现有长为的铁丝，要截成小段（），每段的长度不小于，如果其中任意三小段都不能拼成三角形，则的最大值为（    ） A．9 B．10 C．11 D．12 【答案】B 【思路引导】本题主要考查了三角形的三边关系，即三角形的两边之和大于第三边，理解题意、列出每段铁丝的长度是解题关键． 根据三角形的三边关系，设最小的长度为，又因任意三小段都不能拼成三角形，得每段长度是，，，，，，，，，，，依此类推，总和不大于即可求解． 【规范解答】解： 段之和为， 若要尽可能的大，则每段的长度尽可能的小， 每段的长度不小于，且其中任意三小段都不能拼成三角形， 这些小段的长度只可能分别是，，，，，，，，，，， ， ， 小段的长度分别为，，，，，，，，，， 的最大值为． 故选：B． 【变式训练】（21-22七年级下·陕西西安·期末）若等腰三角形的两边长分别是5cm和9cm，则这个三角形的周长是 ． 【答案】19cm或23cm 【思路引导】题目给出等腰三角形有两条边长为5cm和9cm，而没有明确腰、底分别是多少，所以要进行讨论，还要应用三角形的三边关系验证能否组成三角形． 【规范解答】解：当腰长是5cm时，因为5+5>9，符合三角形的三边关系，此时周长是19cm； 当腰长是9cm时，因为9+9＞5，符合三角形三边关系，此时周长是23cm； 故答案为：19cm或23cm． 【考点剖析】本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系；已知没有明确腰和底边的题目一定要想到两种情况，分类进行讨论，还应验证各种情况是否能构成三角形进行解答，这点非常重要，也是解题的关键． 考点9：确定第三边的取值范围 【典例精讲】（25-26八年级上·全国·课后作业）若的两边长是方程组的的解，第三边长为整数，则符合条件的三角形有 个． 【答案】3 【思路引导】本题考查了代入消元法解二元一次方程，三角形三边关系，掌握以上知识是解题的关键． 解题时首先求出的值，再根据三角形三边关系：任意两边之和大于第三边；任意两边之差小于第三边，即可得出第三边的取值范围，最后取整，看有几种情况，即可得出答案． 【规范解答】解：， 由得： ， 将代入得:， 解得:， 将代入得:， 解得：， ∴方程组的解. ∵的两边是方程组的解， ∴第三边长， ∵第三边长为整数， ∴第三边长可以为：． ∴这样的三角形有个． 故答案为：． 【变式训练】（24-25八年级上·全国·期末）已知，，为的三边长，若，满足，且是整数，求的取值． 【答案】，，． 【思路引导】本题考查了三角形的三边关系，绝对值和偶次幂非负性，由，得，，然后通过三角形三边关系即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键． 【规范解答】解：∵， ∴，， 解得，， ∴， ∴， ∵是整数， ∴，，． 考点10：三角形三边关系的应用 【典例精讲】（24-25八年级上·全国·期末）已知，，为的三边长，，满足，且为方程的解，求的周长，并判断的形状． 【答案】的周长为17，是等腰三角形 【思路引导】此题主要考查了三角形三边关系以及绝对值的性质和偶次方的性质，得出的值是解题关键．利用绝对值的性质以及偶次方的性质得出，的值，进而利用三角形三边关系得出的值，进而求出的周长进而判断出其形状． 【规范解答】解：∵， ，， 解得：，， 为方程的解， ， 解得：或7， 、、为的三边长，， 不合题意舍去， ， ∴的周长为：，是等腰三角形． 【变式训练】（25-26八年级上·全国·课后作业）已知P是内任意一点． (1)如图①，求证：． (2)如图②，连接，比较与的大小关系，并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)，理由见解析 【思路引导】本题考查的是三角形的三边关系，熟知三角形任意两边之和大于第三边是解答此题的关键. （1）延长，交于D，在中，根据三角形两边之和大于第三边可得同理中，可得再根据不等式的性质得到进而证明； （2）在三个三角形中分别利用三边关系列出三个不等式，相加后即可得到正确的结论. 【规范解答】（1）（1）证明：如图，延长，交于点D． 在中，． 在中，， 即． （2）（2）． 理由：在中，． 同理可得，． 以上三式左、右两边分别相加，得， 即． 考点11：三角形角平分线的定义 【典例精讲】（2024八年级上·全国·专题练习）图1，线段、相交于点，连接、，我们把形如图1的图形称之为“8”字形．如图2，在图1的条件下，和的平分线和相交于点，并且与、分别相交于、．试解答下列问题： (1)在图1中，请直接写出、、、之间的数量关系：___________； (2)仔细观察，在图2中“8字形”的个数：___________个； (3)图2中，当度，度时，求的度数． (4)图2中和为任意角时，其他条件不变，试问与、之间存在着怎样的数量关系．（直接写出结果，不必证明）． 【答案】(1) (2)6 (3) (4)，见解析 【思路引导】本题考查三角形内角和定理，对顶角相等，角平分线的定义及阅读理解与知识的迁移能力，利用数形结合的思想是解题关键 ． （1）根据三角形内角和定理即可得出； （2）根据“8字形”的定义，仔细观察图形即可得出“8字形”共有6个； （3）先根据“8字形”中的角的规律，可得①，②，再根据角平分线的定义，得出，，将，可得，进而求出的度数； （4）同（3），根据“8字形”中的角的规律及角平分线的定义，即可得出． 【规范解答】（1）解：∵，，， ∴； （2）①线段、相交于点O，形成“8字形”； ②线段、相交于点O，形成“8字形”； ③线段、相交于点N，形成“8字形”； ④线段、相交于点O，形成“8字形”； ⑤线段、相交于点M，形成“8字形”； ⑥线段、相交于点O，形成“8字形”； 故“8字形”共有6个； （3）解：，① ，② ∵和的平分线和相交于点P， ∴，． 由得：， ∴． ∵度，度， ∴，即； （4）解：关系：． 如图， ∴①，②， 由得：． ∵和的平分线和相交于点P， ∴，， ∴． 【变式训练】（23-24八年级下·全国·单元测试）（1）在中，是的平分线，是边上的中线．若，则 ；若 ，则 ． （2）在中，，是边上的中线，的周长为，的周长为 ，则 ． 【答案】 /80度 3 【思路引导】本题考查了角平分线，中线等知识．熟练掌握角平分线，中线的定义是解题的关键． （1）根据角平分线，中线的定义求解作答即可； （2）由是边上的中线，可得，由题意知，的周长为，的周长为，计算求解即可． 【规范解答】（1）解：∵是的平分线，， ∴， ∵是边上的中线， ， ∴， 故答案为：，3； （2）解：∵是边上的中线， ∴， 由题意知，的周长为，的周长为， ∴，， 故答案为： ． 考点12：根据三角形中线求长度 【典例精讲】（24-25八年级上·广东佛山·期末）如图，在中，是的角平分线，点在边上（不与点，重合），与交于点． (1)若是中线，，，则与的周长差为_____； (2)若，是角平分线，求_____； (3)若，是高，求的度数． 【答案】(1)2 (2) (3) 【思路引导】本题考查的是三角形的角平分线、中线和高，熟记它们的概念是解题的关键； （1）根据三角形的中线的概念得到，再根据三角形周长公式计算； （2）根据三角形内角和定理得到，再根据角平分线的定义、三角形内角和定理计算； （3）根据直角三角形的性质求出，再根据角平分线的定义、三角形内角和定理计算． 【规范解答】（1）解：是的中线， ， ，， 与的周长差为：， 故答案为：2； （2）解：， ， 是的角平分线，是角平分线， ，， ， ， 故答案为：； （3）解：是高， ， ， ， 平分， ， 在中，． 【变式训练】（22-23八年级上·山东济宁·阶段练习）如图，在中，为边上的中线，已知，，的周长为20，求的周长． 【答案】的周长为． 【思路引导】本题考查了三角形中线的定义，根据三角形的中线的概念得到，根据三角形的周长公式计算，得到答案，三角形一边的中点与此边所对顶点的连线叫做三角形的中线． 【规范解答】解：∵为边上的中线， ， 的周长为， ， ， 的周长． 考点13：根据三角形中线求面积 【典例精讲】（25-26八年级上·全国·周测）如图，在中，是边上的高．在中，是边上的中线．若，且，则的值为（   ） A．16 B．24 C．28 D．32 【答案】D 【思路引导】本题考查了三角形中线和高的性质以及三角形的面积公式，根据三角形的中线平分三角形的面积求解是解题的关键. 先根据中线性质求出的面积，再根据求出的面积，再根据面积公式求出的值. 【规范解答】解：是边上的中线， ， 是边上的高线， 故选：D ． 【变式训练】（24-25八年级上·西藏山南·期末）如图，是的中线，是的中线，且的面积是1，的面积为（   ） A．1 B．2 C．4 D．8 【答案】C 【思路引导】本题考查了三角形中线的性质，根据三角形中线的性质即可求解，掌握三角形中线的性质是解题的关键． 【规范解答】解：∵是的中线，且的面积是1， ∴， ∵是的中线， ∴， 故选：C． 考点14：重心的概念 【典例精讲】（24-25七年级下·四川成都·期中）如图，，，分别为，，的中点，点为的重心．已知的面积为1，则的面积为 ． 【答案】 【思路引导】本题主要考查三角形重心的定义，三角形中线的性质，熟练掌握三角形中线是解题关键．根据三角形中线的性质求解即可． 【规范解答】解：∵的面积为1，D，E，F分别为的中点， ∴，，， ∴， ∴， 同理 ∴的面积为， 故答案为：． 【变式训练】（23-24七年级下·河北邢台·期末）已知点F是的重心，连接并延长交于G点，过点F作直线分别交于D点、E点，则下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【思路引导】本题考查的是重心的概念，掌握重心的定义是解题关键，根据定义直接判断即可． 【规范解答】解：点F是的重心， 是的中线， ， 故选：A． 考点15：画三角形的高 【典例精讲】（24-25八年级上·福建莆田·阶段练习）中，如图选项正确画出边上的高的图形是（    ） A． B． B． C． D． 【答案】D 【思路引导】本题考查画三角形的高，由三角形的高的定义可知，过点B作边上的垂线段即可． 【规范解答】解：A．不是边上的高，不合题意； B．不是边上的高，不合题意； C．不是边上的高，不合题意； D．是边上的高，符合题意； 故选D． 【变式训练】（25-26八年级上·全国·单元测试）下列说法正确的是（   ） A．三角形的角平分线、中线和高都在三角形内 B．三角形的三个内角中，至少有一个锐角 C．三角形的三条高不一定都在三角形内部 D．三角形的高是直线，角平分线是射线，中线是线段 【答案】C 【思路引导】本题考查三角形的角平分线，三角形内角和定理，三角形的中线，三角形的高等知识，根据三角形的中线，高，角平分线的定义以及性质即可判断． 【规范解答】解：A、三角形的高不一定在三角形内，A选项错误，不符合题意； B、根据三角形内角和定理，三角形的三个内角中，至少有两个锐角，B选项错误，不符合题意； C、三角形的三条高不一定都在三角形内部，C选项正确，符合题意． D、三角形的高，角平分线，中线都是线段，D选项错误，不符合题意． 故选：C． 考点16：与三角形的高有关的计算问题 【典例精讲】（24-25八年级上·福建莆田·阶段练习）如图，在中，．平分．为边上的高．若，求的度数． 【答案】 【思路引导】本题考查三角形的角平分线、高，三角形内角和定理，先根据角平分线的定义求出，再根据三角形内角和定理计算出，结合为边上的高，即可求解． 【规范解答】解：∵平分，， ∴， ∵， ∴， ∵为边上的高， ∴， ∴． 【变式训练】（24-25八年级上·福建莆田·期中）如图，在中，点D在边上，连接，．是中边上的高线，延长交于点F．设，． (1)求的度数（用含α、β的式子表示）； (2)若，求β的值． 【答案】(1) (2) 【思路引导】本题考查了三角形的内角和定理，熟练掌握三角形的内角和定理是解题的关键． （1）根据垂直的定义得到，根据三角形的内角和定理即可得到结论； （2）由（1）知，，，根据，列方程即可得到结论． 【规范解答】（1）∵是中边上的高线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴； （2）由（1）知，，， ∵， ∴， ∴． 考点17：垂心 【典例精讲】（21-22七年级下·全国·单元测试）三角形的三条高、三条角平分线、三条中线都分别相交于一点，且交点一定在三角形内部的是（     ） A．角平分线、高 B．中线、高 C．角平分线、中线 D．以上都不对 【答案】C 【思路引导】根据三角形的三条高、三条角平分线、三条中线交点的位置，即可进行解答． 【规范解答】解：锐角三角形的三条高的交点在三角形内部，直角三角形的三条高的交点在斜边上，钝角三角形的三条高的交点在三角形外部； 三角形三条角平分线的交点在三角形内部； 三角形三条中线的交点在三角形内部； 故选：C． 【考点剖析】本题主要考查了三角形的三心位置，解题的关键是掌握锐角三角形的三条高的交点在三角形内部，直角三角形的三条高的交点在斜边上，钝角三角形的三条高的交点在三角形外部；三角形三条角平分线的交点在三角形内部；三角形三条中线的交点在三角形内部． 【变式训练】（21-22七年级下·山东枣庄·阶段练习）下列说法正确的是（ ） A．三角形的高所在的直线交于一点，这一点不在三角形内就在三角形外 B．三角形的角平分线是射线 C．三角形的三条中线交于一点 D．三角形的一条角平分线能把三角形分成两个面积相等的三角形 【答案】C 【思路引导】根据锐角三角形的高的交点在三角形的内部，直角三角形的高的交点即直角顶点，钝角三角形的高所在的直线的交点在三角形的外部．以及三角形的中线，角平分线的性质即可作出判断． 【规范解答】解：A．直角三角形的三条高线的交点是三角形的直角顶点，在三角形上，故选项错误； B．三角形的角平分线是线段，故选项错误； C．正确； D．三角形的一条中线能把三角形分成两个面积相等的三角形，故选项错误． 故选：C． 【考点剖析】本题考查了三角形的角平分线、中线、高线，都是需要熟记的内容． 1．（2025·江苏连云港·中考真题）下列长度（单位：）的3根小木棒能搭成三角形的是（   ） A．1，2，3 B．2，3，4 C．3，5，8 D．4，5，10 【答案】B 【思路引导】本题考查的是三角形的三边关系的应用，根据三角形三边关系定理，任意两边之和必须大于第三边．只需验证每组数中较小的两数之和是否大于最大数即可． 【规范解答】A． 1、2、3：，不满足两边之和大于第三边，不符合题意； B． 2、3、4：，满足条件，能构成三角形，符合题意； C． 3、5、8：，不满足两边之和大于第三边，不符合题意； D． 4、5、10：，不满足条件，不符合题意； 故选：B． 2．（2024·湖南长沙·中考真题）如图，在中，，，．则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【思路引导】本题主要考查了三角形内角和定理、平行线的性质等知识点，掌握平行线的性质成为解题的关键． 由三角形内角和定理可得，再根据平行线的性质即可解答． 【规范解答】解：∵在中，，， ∴, ∵， ∴． 故选：C． 3．（2024·四川德阳·中考真题）如图是某机械加工厂加工的一种零件的示意图，其中，，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【思路引导】本题考查了平行线的性质，三角形内角和定理，解答此题的关键是准确识图，熟练掌握平行线的性质．首先根据平行线的性质得出，再根据垂直与三角形的内角和即可求出． 【规范解答】解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴ 故选：B． 4．（2023·江苏盐城·中考真题）小华将一副三角板（，，）按如图所示的方式摆放，其中，则的度数为（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【思路引导】根据平行线的性质得出，然后根据三角形内角和定理求解即可． 【规范解答】解：如图：设交于点，    ∵， ∴， ∵， ∴． 故选：C． 【考点剖析】本题考查了三角形内角和定理、平行线的性质等知识点，熟练掌握平行线的性质是解题的关键． 5．（2023·四川·中考真题）如图，，直线l与直线a，b分别交于B，A两点，分别以点A，B为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点E，F，作直线，分别交直线a，b于点C，D，连接AC，若，则的度数为 ．    【答案】/56度 【思路引导】先判断为线段的垂直平分线，即可得，，再由，可得，即有，利用三角形内角和定理可求的度数． 【规范解答】解：由作图可知为线段的垂直平分线， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 【考点剖析】本题考查了垂直平分线的作图、垂直平分线的性质、平行线的性质以及三角形内角和定理等知识，判断为线段的垂直平分线是解答本题的关键． 1．（24-25八年级上·全国·期末）等腰三角形的一边长，一边长，则它的周长为（   ） A． B．或 C． D． 【答案】C 【思路引导】本题考查了等腰三角形的定义、三角形的三边关系，正确分两种情况讨论是解题关键．分①腰长为和②腰长为两种情况，根据等腰三角形的定义、三角形的三边关系即可得． 【规范解答】解：①当腰长为时， 则这个等腰三角形的三边长分别为，，， 因为， 所以满足三角形的三边关系， 所以此时它的周长为； ②当腰长为时， 则这个等腰三角形的三边长分别为，，， 因为， 所以不满足三角形的三边关系； 综上，这个等腰三角形的周长为， 故选：C． 2．（24-25八年级上·全国·期末）如图，中，，沿将此三角形对折，又沿再一次对折，点落在上的处，此时，则原三角形的的度数为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【思路引导】本题考查了折叠的性质，三角形内角和定理，由折叠的性质可知，，求出，然后通过三角形内角和定理即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键． 【规范解答】解：由折叠的性质可知，， ∴． 在中，，， ∴． 故选：． 3．（25-26八年级上·全国·课前预习）三角形按角分类可以分为（    ） A．锐角三角形、直角三角形、钝角三角形 B．等腰三角形、等边三角形、不等边三角形 C．直角三角形、等腰直角三角形 D．以上答案都不正确 【答案】A 【思路引导】根据三角形的分类情况可得答案． 此题主要考查了三角形的分类，关键是掌握三角形的分类一种是按边分类，另一种按角分类． 【规范解答】解：三角形按角分类可以分为锐角三角形、直角三角形、钝角三角形， 故选：A． 4．（24-25八年级上·全国·期末）如图，已知、交于点，，，，则的度数是 ． 【答案】 【思路引导】本题主要考查了三角形的内角和的应用、对顶角的性质，根据三角形内角和定理求出，是解题的关键． 根据，，得出，根据对顶角相等，得出，最后根据三角形内角和定理求出结果即可． 【规范解答】解：， ， ， ， ， 故答案为：． 5．（24-25八年级上·全国·期末）已知等腰三角形的一边长等于4，一边长为9，则这个三角形的底边为 ． 【答案】4 【思路引导】本题考查等腰三角形的定义，三角形的三边关系．考查学生分类讨论思想以及验证能力．先分类讨论，然后利用三角形的三边关系进行验证即可． 【规范解答】解：①当等腰三角形的腰长为4时，三角形的三边长为：， ∵， 所以不能构成三角形； ②当等腰三角形的腰长为9时，三角形的三边长为：， 此时能构成三角形 此时这个等腰三角形的底边为4， 故答案为：4． 6．（24-25八年级上·广东韶关·阶段练习）如图，是的中线，，，和的周长差为 ．    【答案】 【思路引导】本题主要考查了三角形中线的定义，三角形周长计算，根据三角形中线的定义得到，再分别求出两个三角形的周长，然后作差即可得到答案． 【规范解答】解：∵是的中线， ∴， 的周长， 的周长， ∵， ∴， ∴和的周长差为， 故答案为：． 7．（24-25八年级上·全国·期末）如图，在中，，平分，平分，则 ． 【答案】/110度 【思路引导】本题主要考查三角形内角和定理，角平分线的定义，根据三角形内角和定理可求出，根据角平分线的定义求得，在中利用三角形内角和定理可求出的度数解题． 【规范解答】解：∵， ∴， ∵平分，平分， ∴，， ∴， ∴， 故答案为：． 8．（24-25八年级上·全国·期末）如图，在中，三个内角的平分线交于点，过点作，交边于点，的外角平分线与的延长线交于点． (1)求证：； (2)若，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【思路引导】本题考查平行线的判定和性质，三角形内角和定理等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． （1）已知，平分，平分，根据角平分线的定义得到的度数，根据内错角相等，两直线平行，即可判断本问结论； （2）根据两直线平行，内错角相等，可得，即可得到的度数，从而求出的度数；已知、分别为、的角平分线，根据角平分线的定义可得的度数，结合三角形内角和即可得到的度数． 【规范解答】（1）证明：∵，平分，平分， ∴， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴； （2）解：∵， ∴， ∴， ∴． ∵、分别为、的角平分线， ∴， ∴． 9．（24-25八年级上·福建厦门·期末）如图，，E为线段上一点，且． (1)求证：； (2)如图2，G为线段上一点，H为线段上一点，若，求证：． (3)如图3，在（2）的条件下，若，内部的射线与的延长线交于M，，，若的面积与的面积的和为18，且，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)4 【思路引导】（1）由平行线的性质，再由，即可得出结论； （2）由平行线的性质得，则，证，再由平行线的性质得，由（1）得，则，进而得出结论； （3）由平行线的性质得，证出，则，证出，再由三角形面积关系即可求解． 【规范解答】（1）证明：∵， ∴， 又∵， ∴； （2）证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 由（1）得：， ∴， ∴； （3）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴的面积的面积， ∴． 【考点剖析】本题是三角形综合题目，考查了三角形内角和定理、平行线的判定与性质、垂线的判定、三角形面积公式等知识；熟练掌握平行线的判定与性质是解题的关键． 10．（24-25八年级上·福建莆田·阶段练习）如图所示，已知，分别是的高和中线，，，，． (1)求的长． (2)求的面积． 【答案】(1) (2) 【思路引导】本题考查三角形的面积，中线；掌握三角形的中线分出的两个三角形的面积相等是解题的关键． （1）利用“面积法”来求线段的长度； （2）先求出的面积，然后根据三角形的中线分出的两个三角形的面积相等解答即可． 【规范解答】（1）解：∵，是边上的高， ∴， ∴， ∴的长度为． （2）解：∵是直角三角形，， ∴， 又∵是边的中线， ∴． 培优拔高 11．（21-22八年级上·四川德阳·阶段练习）若表示的三边长，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【思路引导】本题考查了三角形的三边关系，化简绝对值．由三角形的三边关系，得到，，，化简绝对值，再合并同类项即可． 【规范解答】解： 表示的三边长， ，，， ，，， ， 故选C． 12．（24-25八年级上·江西新余·阶段练习）如图，把三角形纸片沿折叠，使点A与点重合，且落在四边形的内部，已知，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【思路引导】本题考查了轴对称的性质、三角形内角和定理；先求得的值，再根据三角形内角和的性质计算，即可得到答案． 【规范解答】∵三角形纸片沿折叠，使点与点重合，且落在四边形的内部， ∴，，， ∵，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故选：A． 13．（24-25八年级上·陕西·期末）某品牌椅子的侧面图如图所示，与地面平行．若，，则（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【思路引导】由，利用两直线平行，内错角相等得到，求解，再进一步求解即可得到答案． 本题主要考查了平行线的性质（两直线平行，内错角相等 ）以及三角形内角和定理（三角形内角和为 ），熟练掌握这些知识并能灵活运用是解题的关键． 【规范解答】解：如图所示： ，， ， ∵， ∴， ∴， 故选：D． 14．（24-25七年级下·上海·阶段练习）在中，，则这个三角形是 三角形．（填“锐角”、“直角”或“钝角”） 【答案】钝角 【思路引导】本题主要考查三角形内角和定理，设，则，，根据三角形内角和定理建立方程，求出α的值，进而求出，即可得出结论． 【规范解答】解：设，则，， 根据三角形内角和定理可知，， ∴， ∴， ∴， ∴是钝角三角形． 故答案为：钝角． 15．（25-26八年级上·全国·课后作业）有下列条件：①；②；③；④．其中能确定是直角三角形的是 （填序号）． 【答案】①②③ 【思路引导】本题考查直角三角形的判定，根据有一个角是90度角三角形是直角三角形，结合三角形内角和定理逐项判断即可． 【规范解答】解：中， ①时，，能确定是直角三角形； ②时，，，能确定是直角三角形； ③时，，，能确定是直角三角形； ④时，最大的角为，，，不能确定是直角三角形； 综上可知，能确定是直角三角形的是①②③， 故答案为：①②③． 16．（25-26八年级上·全国·单元测试）如图，在中，分别是的中点，连接交于点．若四边形的面积为5，则的面积为 ． 【答案】15 【思路引导】本题主要考查了三角形中线的性质，熟知三角形中线平分三角形面积是解题的关键． 连接，利用、是中点的性质，得出多组等面积三角形，通过面积的等量代换，结合四边形的面积，推导出的面积． 【规范解答】解：如图所示，连接， ∵，分别是，的中点， ∴，， ∴，，，， ∴，， ∴， ∵四边形的面积为， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：15． 17．（24-25七年级下·江苏扬州·期末）如图，直线，点A在直线a上，在中，，，，则的度数为 ． 【答案】/40度 【思路引导】本题考查了三角形的内角和定理，平行线的性质等，熟练掌握这些知识是解题的关键． 根据三角形的内角和定理可得的度数，进一步可得的度数，根据平行线的性质即可求出的度数． 【规范解答】解：如图所示： ，， ， ， ， 直线， ， 故答案为：． 18．（24-25八年级上·全国·期末）如图1，在三角形中，，直线与边分别交于两点，直线与边分别交于两点，且． (1)若，求的度数； (2)如图2，为边上一点，连结，若，请你探索与的数量关系，并说明理由； (3)如图3，若，延长交直线于点，在射线上有一动点，连接，请直接写出之间的数量关系（用含的式子表示）． 【答案】(1) (2)，理由见解析 (3)或 【思路引导】本题考查平行线性质和三角形内角和定理，综合性较强，画出辅助线是关键． （1）过点B作直线，结合平行线性质即可得出结论． （2）过点B作直线，结合平行线性质即可． （3）结合题意分为①当点M在上时；②当点M在的延长线上时，两种情况画出图形，分类讨论即可． 【规范解答】（1）解：如图1，过点作直线， ， ， ， ， ， ， ； （2），理由如下： 如图2，过点作直线， 由（1）得，， ， 又， ， ， ， 又， ， ； （3）或理由如下： 当点M在上时，如图3（1）， 在中，， ， ， ， ， ， ； 当点M在的延长线上时，如图3（2）， 在中，， ， ， ， ， ， ， 综上，或． 19．（24-25八年级上·福建莆田·期中）已知，如图在中，，平分交于F，交于E，．求的度数． 【答案】 【思路引导】本题考查三角形的高线、角平分线，三角形内角和定理，由垂直可得，由角平分线可得，由三角形内角和定理计算出，再由对顶角相等即可得出． 【规范解答】解：∵， ∴， ∵平分，， ∴， ∴， ∴． 20．（2025八年级上·全国·专题练习）如图，分别平分的外角． (1)①若，则的度数为__________； ②若，则的度数为__________． (2)试探索与之间的数量关系． (3)如图②，延长至点G，连接，使得．若的面积为4，，则线段的长度为_________． 【答案】(1)①；② (2) (3) 【思路引导】（1）先根据三角形外角和内角关系求出相关角的度数，再结合角平分线性质求出 （2）通过外角关系和角平分线的性质推到的数量关系. （3）利用角的关系和面积关系求解线段长度. 【规范解答】（1）解：① 是的角平分线， 同理 在中， ②在中， 故答案为：①；② （2）解： 在中， 分别平分的外角． 在中， （3）解：由（2）可得： 面积为4. 故答案为： 【考点剖析】本题考查了角平分线的应用，直角三角形，面积的计算，熟练掌握这些知识点是解题的关键. 第 1 页 共 11 页 学科网（北京）股份有限公司 $$