专题08 整式加减及其应用 （11种类型13重难点突破）（压轴题专项训练）数学沪科版2024七年级上册

专题08 整式加减及其应用 目录 1 类型一、整式的加减运算 1 类型二、整式的化简求值 4 类型三、整式加减中的“不含”和“无关”类问题 12 类型四、整式加减中的错解问题 18 类型五、整式加减中的遮挡/污染类问题 20 类型六、比较多项式的大小 23 类型七、多项式能否被一个数整除类问题 24 类型八、整式加减的应用 27 类型九、整式的加减与绝对值的综合应用 36 类型十、与整式加减的新定义问题 42 类型十一、整式加减与数轴综合应用 45 51 类型一、整式的加减运算 1）整式的加减运算过程中，切记不要漏项，交换项的位置时，要注意连同符号一起交换. 2）整式加减的最后结果中：①不能含有同类项，要合并到不能再合并为止； ②不能出现带分数，带分数要化成假分数. 3）运算结果，常将多项式的某个字母（如x）按照降幂（升幂）排列. 1．（25-26七年级上·全国·课后作业）计算： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)． 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) (6) 【分析】本题主要考查了整式的加减计算，熟知整式的加减计算法则是解题的关键． （1）先去括号，然后合并同类项即可得到答案； （2）先去括号，然后合并同类项即可得到答案； （3）先去括号，然后合并同类项即可得到答案； （4）先去括号，然后合并同类项即可得到答案； （5）先去括号，然后合并同类项即可得到答案； （6）先去括号，然后合并同类项即可得到答案． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ； （5）解： ； （6）解： ． 2．（24-25七年级上·陕西西安·阶段练习）某同学化简出现了错误，解答过程如下： 原式第一步 第二步 第三步 (1)该同学解答过程从第几步开始出错，错误原因是什么？ (2)写出此题正确的解答过程． 【答案】(1)第二步；去括号时没有变号 (2)见解析 【分析】本题主要考查整式的运算，解题关键要掌握去括号法则；去括号时，括号外面是正号，则去掉括号后，括号里的各项不改变符号，去括号时，括号外面是负号，则去掉括号后，括号里的各项要改变符号； （1）根据去括号法则判断第二步出错； （2）正确去掉括号，再合并同类项即可． 【详解】（1）解：该同学解答过程从第二步开始出错，错误原因是去括号时没有变号； （2）原式 ． 3．（24-25七年级上·甘肃兰州·期末）有理数，，在数轴上对应点的位置如图所示：化简． 【答案】 【分析】先根据各点在数轴上的位置判断出其符号，再根据绝对值的性质去绝对值，再合并同类项即可． 本题主要考查了数轴、绝对值，整式的加减，解决问题的关键是确定绝对值号里面的数的正负． 【详解】解：由图可知，，， ，，， 原式 ． 类型二、整式的化简求值 [直接代入法] 化简求值时，一般先化简，再把各字母的值代人计算. [整体代入法] 有时题目并未给出各个字母的取值，而是给出几个式子的值，这时可把这几个式子看作一个整体，把多项式化为含有这几个式子的代数式，再代入求值.运用整体代换思想，往往能使问题得到简化. [间接代入法] 将已知的代数式化简后，再将已知字母的值代入化简后的代数式中计算求值. [赋值法]给未知数赋予一些特殊值，将其代入等式中，得到所求代数式的形式，从而求出代数式的值.一般情况下，多是代入-1、0、1这三个值. 重难点一 直接代入法 4．（24-25七年级上·辽宁抚顺·期末）先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【分析】本题主要考查了整式的加减——化简求值，熟知整式的加减计算法则是解题的关键．先去括号，然后根据整式的加减计算法则化简，最后代值计算即可． 【详解】解：原式 ， 当时 原式 ． 5．（24-25七年级上·陕西宝鸡·期中）已知多项式，，当，时，求的值． 【答案】 【分析】本题考查多项式的运算、合并同类项及代数式求值，熟练掌握以上知识点是解题的关键．先化简，再把，代入即可求解． 【详解】解：∵，， ∴ ， 当，时，． 6．（2025七年级上·全国·专题练习）先化简再求值：，其中，且． 【答案】,45或 【分析】本题主要考查了整式的化简求值，求一个数的绝对值和平方根等，解题的关键是掌握整式的加减法则． 先对原式进行化简，再根据绝对值和平方根求出的值，然后代入求值即可． 【详解】解：原式 ； ∵， ， ∵， ， ∴原式或． 重难点二 整体代入法 7．（24-25七年级上·浙江湖州·期末）数学中运用整体思想方法在求代数式的值中非常重要．例如：已知，，则代数式． 请你根据以上材料解答以下问题： (1)若，则________； (2)已知，求代数式的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了整式的化简求值和代数式求值，解题关键是熟练掌握利用整体代入求值的方法求代数式的值． （1）把所求代数式的后两项先变形，再把代入进行计算即可； （2）把所求式子按照去括号法则去掉括号，写成含有和的形式，再把，代入进行计算即可． 【详解】（1）解：∵， ∴ ， 故答案为：； （2），， ． 8．（24-25七年级上·山西忻州·期末）请阅读下列材料，并完成相应的任务． “整体思想”是一种重要的数学思想方法，在多项式的化简求值中应用极为广泛． 例如，，类似地，我们把看成一个整体，则 ． 【尝试应用】根据阅读内容，运用“整体思想”，解答下列问题： （1）化简的结果是_________； （2）化简求值：，其中． 【拓展探索】 （3）已知，则的值为_________． 【答案】（1）；（2）；（3） 【分析】本题考查了整式的加减—化简求值，掌握合并同类项和去括号的运算法则是关键． （1）利用整体的思想，将看作整体，即可求解； （2）利用整体的思想，将看作整体，再将代入求解即可； （3）将式子整理，得到关于的式子，将代入求解即可； 【详解】解：（1）， 故答案为： （2） 当时， ； （3）， 故答案为： 9．（24-25七年级上·广西南宁·阶段练习）综合与实践 问题情境：整体代换是数学的一种思想方法．例如： 若，则______． 我们将作为一个整体代入，则原式． 仿照上面的解题方法，完成下面的问题： (1)如果，求的值； (2)若，，求的值； (3)当时，代数式的值为m，求当时，代数式的值． 【答案】(1)27 (2)36 (3) 【分析】本题主要考查了整式加减化简求值，掌握整式的加减的计算法则，理解题意根据题目要求用整体思想解题是关键． （1）把化整体代入计算； （2）把化为的形式，最后整体代入计算； （3）先把代入原式得到，进而求出当时，代数式的值． 【详解】（1）解：， ； （2）解：，， ； （3）解：当时，代数式的值为， ， ， 当时 ． 重难点三 间接代入法 10．（24-25七年级上·陕西宝鸡·期末）先化简，再求值． ，其中． 【答案】； 【分析】本题考查整式的加减—化简求值，以及非负数的性质等，掌握整式的加减运算法则，熟练运用非负性求出未知数的值是解题关键．原式去括号合并得到最简结果，利用非负数的性质求出x与y的值，代入计算即可求出值． 【详解】解： ∵， ∴，， ∴，， ∴原式 ． 11．（2025七年级上·全国·专题练习）先化简再求值，试求的值，已知多项式的值与x无关． 【答案】， 【分析】本题考查整式的加减化简求值，整式加减的无关型，掌握整式加减的法则是解题的关键． 先化简，利用无关可得，求出的值，再代入计算即可． 【详解】 ∵多项式的值与x无关， ∴， ∴ ∴原式 ． 12．（24-25七年级上·全国·期末）已知，是关于的多项式，其中为常数． (1)若的值与的取值无关，求的值． (2)在（1）的条件下，先化简，再求值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了整式的加减无关型问题，整式的加减-化简求值，掌握整式的运算法则是解题的关键． （1）求出的结果，再根据的值与x的取值无关，可得含x项的系数为0，据此即可列方程求解； （2）先对整式进行化简，再把（1）中所得m、n的值代入化简后的结果中计算即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵的值与的取值无关， ∴， ∴； （2）原式 ， ∵， ∴原式． 重难点四 赋值法 13．（20-21七年级上·江苏镇江·期中）已知． 当时， 这种给x取一个特殊数的方法叫赋值法．请你巧用赋值法，尝试解答下列问题． （1）当x为多少时，可求出g为多少？ （2）求的值； （3）求的值． 【答案】（1）x=0，g=1；（2） 0；（3）a+c+e=31 【分析】（1）令x＝0可求出g； （2）令x＝−1可求出的值； （3）由题意可得当x＝1时，，由（2）可得＝0，联立两式得a＋c＋e+g＝32，根据（1）得g=1，即可得出答案． 【详解】解：（1）当x＝0时，， 则g＝1； （2）当x＝−1时， ∴＝0； （3）由题意可得当x＝1时，①， 又（2）可得＝0②， ①+②得2（a＋c＋e+g）＝64， 解得a＋c＋e+g＝32， 由（1）得g=1， ∴a＋c＋e＝31． 【点睛】本题考查了代数式求值，关键是巧用赋值法求解． 14．（24-25七年级上·江苏宿迁·期中）赋值法是给代数式中的某些字母赋予一定的特殊值．从而解决问题的一种方法，已知，给x赋值使．得到，则；尝试给x赋不同的值，则可得 ． 【答案】31 【分析】本题考查代数式求值，整式的加减运算，利用赋值法，进行求解即可． 【详解】解：当时，， ∵， ∴①， 当时：， ∵， ∴②， ，得：， ∴， ∴； 故答案为：31． 15．（22-23七年级下·河南南阳·期中）赋值法是给代数式中的某些字母赋予一定的特殊值，从而解决问题的一种方法．已知等式对x取任意有理数都成立，例如给x赋值时，可求得．请再尝试给x赋其它的值并结合学过的方程知识，求得的值为 ． 【答案】41 【分析】根据题干给出的信息，令，得出，令，得出，把代入得出，即可求出结果． 【详解】解：令，则， 即， ∴， 令，则， 即， 把代入得： ， 整理得：， 解得：． 故答案为：41． 【点睛】本题主要考查了代数式求值，解题的关键是理解题意，得出，． 类型三、整式加减中的“不含”和“无关”类问题 若整式加减运算结果“不含某项”或整体的值“与某个字母的值无关”，实质是去括号，合并同类项后，令该项的系数为0，从而求出待定字母的值. 重难点一 “不含”类问题 16．（24-25七年级下·湖北十堰·期末）已知多项式化简后不含项． (1)求的值； (2)化简并求多项式的值． 【答案】(1) (2)； 【分析】本题考查了整式的加减，熟练掌握运算法则是解本题的关键． （1）原式去括号合并得到最简结果，由结果不含项，即可得到的值； （2）先将所求式子去括号合并得到最简结果，再将（1）中所求的的值代入，计算即可求出值． 【详解】（1）解： ， 结果不含项， ， 解得； （2） ， 当时，原式． 17．（2025七年级上·全国·专题练习）已知关于x的多项式A，B．其中（m，n为有理数），若的结果不含x项和项，求的值． 【答案】3 【分析】本题考查整式的加减运算以及不含某项的问题，熟练掌握运算法则是解题关键． 先根据整式的减法运算法则求出，然后根据的结果不含x项和项，令x项和项的系数为零列出方程求解即可． 【详解】解：∵（m，n为有理数）， ∴ ， ∵的结果不含x项和项， ∴ ∴， ． 18．（24-25六年级上·山东东营·期末）【知识回顾】 在学习代数式求值时，遇到这样一类题，“代数式的值与的取值无关，求的值”．通常的解题方法是把看作字母，把看作系数合并同类项．因为代数式的值与的取值无关，所以含项的系数为0，即原式，其中，则． 【知识应用】 （1）当 ， 时，关于的多项式不含项和项 ． （2）已知，且 的值与的取值无关，求的值． 【知识拓展】 （3）春节快到了，某超市计划购进甲、乙两种羽绒服共30件进行销售，甲种羽绒服每件进价700元，每件售价1020元；乙种羽绒服每件进价500元，销售利润率为．购进羽绒服后，超市决定：每售出一件甲种羽绒服，返还顾客现金元，乙种羽绒服售价不变．设购进甲种羽绒服件，当销售完这30件羽绒服的利润与的取值无关时，求的值． 【答案】（1），1；（2）；（3）的值是20 【分析】本题主要考查了整式加减运算，以及列代数式，弄清题意是解本题的关键． （1）根据多项式不含项和项，列出方程解答即可； （2）先求，根据多项式的值与y的取值无关可知：化简后的多项式含有y的项的系数之和为0，列出方程解答即可； （3）根据甲乙两种羽绒服总数表示出乙种羽绒服的件数，根据进价×利润率＝售价−进价＝利润，根据获得的利润与x的取值无关求出a的值即可． 【详解】（1）∵关于x的多项式不含项和项， ∴，， ∴， （2）∵，， ∴ ∵的值与y的取值无关， ∴， ∴； （3）如果购进甲种羽绒服x件，那么购进乙种羽绒服件， 当购进的30件羽绒服全部售出后，所获利润为元； 若当销售完这30件羽绒服的利润与的取值无关时， ∴， 解得：， 则a的值是20． 重难点二 “无关”类问题 9．（2025七年级上·全国·专题练习）已知多项式的值与x无关，先化简多项式，再求它的值． 【答案】， 【分析】本题考查整式加减无关型，整式加减化简求值，掌握整式加减运算的法则是解题的关键． 先根据无关型求出，再化简后代入计算即可． 【详解】解： ， ∵该式的值与x无关， ∴， 解得：， ， 当时， 原式． 20．（24-25七年级上·重庆江北·期末）已知，有7个完全相同的边长为、的小长方形（如图1）和1个宽为10的大长方形（如图2），小明把这7个小长方形按如图所示放置在大长方形中． (1)当时，大长方形的面积为______，阴影图形的面积为______； (2)请说明阴影与阴影的周长的和与小长方形的边长的取值无关． 【答案】(1)，； (2)见解析 【分析】本题考查了整式的加减运算的应用，解题关键是能根据图形和题意正确列出代数式，熟练掌握整式混合运算的运算顺序和运算法则． （）求出长方形的长，然后利用长乘以宽求出面积即可，再求解阴影图形的长与宽，再计算面积即可； （）求出阴影的周长，再求出周长和即可说明； 【详解】（1）解：当，时，大长方形的长为， ∴大长方形的面积为， 阴影图形的面积为：； （2）证明：阴影的周长为， 阴影的周长为， ∴阴影与阴影的周长的和为： ， ∴阴影与阴影的周长的和与的取值无关． 21．（24-25七年级上·辽宁本溪·期中）【阅读理解】 已知；若A值与字母x的取值无关，则，解得． ∴当时，A值与字母x的取值无关． 【知识应用】 （1）已知，． ①用含m，x的式子表示； ②若的值与字母x的取值无关，求m的值； 【能力提升】 （2）如图1的小长方形，长为a，宽为2，现把6这样的个小长方形按照图2方式不重叠地放在大长方形内，大长方形中未被覆盖的两个部分（图中阴影部分），左上角的面积为，右下角的面积为，设，若x无论为何值时，发现的值始终保持不变，请求出a的值． 【答案】（1） ； （2） 【分析】本题考查整式的加减运算，整式加减运算中的无关型问题： （1）①去括号，合并同类项即可；②根据值与无关，合并同类项后，使的系数为0，进行求解即可； （2）分别表示出，，求出的值，根据的值始终保持不变，得到的值与无关，进行求解即可． 【详解】解：（1）∵，， ∴ ； （2）； ∵的值与字母x的取值无关， ∴， ∴； （3）由题意得： ， ∴ ∵的值始终保持不变， ∴的值与x无关， ∴， ∴． 类型四、整式加减中的错解问题 技巧1：我们一般按照“将错就错”的原则解题，先依照错误的解法得到正确的代数式，然后再将正确的代数式代入求解. 技巧2：若给定字母写错但得出正确答案，则该代数式的值与该字母无关． 重难点一 “看错但结果正确”类问题 122．（24-25七年级上·陕西西安·阶段练习）有这样一道题：“先化简，再求值：，其中”，甲同学做题时把错抄成了，乙同学没抄错，但他们做出来的结果却一样，你能说明这是为什么吗？并求出这个结果． 【答案】能，13 【分析】本题考查了整式的加减运算，解题的关键是熟练地掌握整式的加减运算法则.原式去括号合并得到结果，即可做出判断． 【详解】解：因为 ， 所以该整式的值与x的取值无关，即无论x取何值，该整式的值都为13． 23．（2024七年级上·安徽·专题练习）有这样一道计算题：“计算的值，其中，”，甲同学把错看成，但计算结果仍正确，你说是怎么一回事？ 【答案】见解析 【详解】本题考查了整式的化简，熟练掌握整式的加减运算法则是解题的关键； 先对原代数式化简，结果中不含项，故计算结果与的取值无关，故甲同学把错看成，但计算结果仍正确． 【解答】解：原式， 结果中不含项， 与的取值无关． 甲同学把错看成，但计算结果仍正确． 重难点二 “错解求原多项式”类问题 24．（2024七年级上·全国·专题练习）马虎同学在计算一个多项式减去另一个多项式时，错将减号抄成了加号，于是他得到的结果是，请问如果不抄错，正确答案该是多少？ 【答案】 【分析】本题考查了整式的加减运算，根据题意可求出多项式，再正确列出算式计算即可求解，掌握整式的加减运算法则是解题的关键． 【详解】解：由题意可知：， ∴， ∴正确答案为：． 25．（23-24七年级上·湖南娄底·期中）已知两个多项式A和B．其中小马虎在计算的值时不小心将错看成，得到的结果是． (1)求多项式B： (2)请帮他求出的正确答案． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了整式的加减运算： （1）依题意得，进而可求解； （2）利用整式的加减运算法则是解题的关键； 熟练掌握运算法则是解题的关键． 【详解】（1）解：依题意得： ， ∴． （2） ． 类型五、整式加减中的遮挡/污染类问题 在整式加减的遮挡 / 污染类问题中，核心是利用 “整式运算的确定性” 和 “等式（或多项式相等）的性质”，通过已知部分反推被遮挡（污染）的未知部分。 重难点一 已知结果求被遮挡的整式 26．（23-24九年级下·河北邢台·阶段练习）老师在黑板上书写了一个正确的计算题目，题目被污染了一部分． (1)若污染的是一个多项式，求这个多项式； (2)若污染的是常数，求的值． 【答案】(1) (2)， 【分析】本题考查整式的加减运算，解一元二次方程． （1）根据整式加减运算法则计算即可求解； （2）将代入，整理后，利用因式分解法解方程即可． 【详解】（1）解：这个多项式 ； （2）解：由题意得，， 整理得，， 即， 或， 解得，，． 27．（22-23七年级上·广东惠州·期中）两个多项式A和，，，．其中A被墨水污染了． (1)求多项式A； (2)取其中适合的一个数：2，，1，求的值． 【答案】(1) (2)当时， 【分析】（1）把代入中，确定出即可； （2）把的值代入原式计算即可求出值． 【详解】（1）解： ．， ； （2）解：当时，， 无意义， ∴， ∴当时，，， ∴． 【点睛】此题考查了整式的加减，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 重难点二 某项系数被遮挡的整式 28．（23-24七年级上·广西河池·期中）综合与实践： 小红和小丽在完成题目“化简：．”发现系数“”被墨迹污染了． 小红说：“我猜被墨迹污染的系数是2．” 小丽说：“你猜错啦，我看到这道题的标准答案是常数．” (1)请你根据小红的话化简：； (2)请你根据小丽的话通过计算说明原题中系数“”是多少？ 【答案】(1) (2)4 【分析】本题主要考查合并同类项，熟练掌握合并同类项是解题的关键； （1）直接去括号合并同类项，进而得出答案； （2）直接去括号合并同类项，再利用结果是常数，得出答案． 【详解】（1） 解：∵系数是2， ∴ ； （2） 解：原式 ， ∵计算结果是常数， ∴， ∴． 29．（22-23七年级上·陕西咸阳·期末）已知两个关于x的整式，其中系数□被污染 (1)若□是，化简； (2)若时，的值为28，求原题中系数□所表示的数 【答案】(1) (2)10 【分析】（1）根据整式的加减，先去括号，然后合并同类项； （2）把x的值代入计算即可； 【详解】（1）因为□是， 所以    ； （2）设，当时， 依题意得： 解得 故原题中系数□所表示的数是10 【点睛】本题考查的是整式的加减，解一元一次方程，属于基础题.整式的加减的实质就是去括号、合并同类项，一般步骤是：先去括号，然后合并同类项． 类型六、比较多项式的大小 判断一个多项式是否能被一个数整除，关键是看这个多项式是否能化为这个数和某个多项式（多项式的值为整数）乘积的形式. 30．（24-25七年级上·甘肃兰州·期末）阅读以下信息，解决问题； 信息 1：“作差法”是比较两个数或两个代数式大小的常用方法．如比较a、b两数的大小，若，则；若，则；若，则． 信息2：类似于运算符号“、、、”，新定义一种运算符号“”，规定： (1)若，求x的值． (2)若，，比较m与n的大小，并说明理由． 【答案】(1)2 (2) 【分析】本题考查了整式加减的应用，解一元一次方程，能灵活运用作差法进行计算是解此题的关键． （1）根据新定义，列式计算，得到结果； （2）先求出m、n的值，然后用作差法，再比较大小即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， 解得：； （2）解：∵，， ∴ ， ， ∴ ， ∵， ∴， ∴． 31．（24-25七年级上·江苏南京·阶段练习）对于有理数m，n定义一种新运算“”，规定． (1)若，求多项式的值． (2)若与，试比较P与Q的大小，并说明理由． 【答案】(1)3 (2)见解析 【分析】本题考查了新定义的应用，涉及到整式的加减运算，读懂题意是解题的关键． （1）根据新定义，把，展开后得到，即可得到结果； （2）由条件得到，得到，通过讨论x的取值，得到P，Q的大小． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵与， ∴，， ∴， ∴当时，，则， 当时，，则， 当时，，则． 类型七、多项式能否被一个数整除类问题 32．（24-25七年级上·江苏苏州·阶段练习）基于小学的学习经验，我们知道，如果一个整数的各个数位上的数字的和能被3整除，那么这个整数也能被3整除．例如：3285的各个数位上的数字的和能被3整除，所以3285能被3整除；463的各个数位上的数字的和不能被3整除，所以463不能被3整除． 类比迁移：已知一个三位数的百位数字为，十位数字为，个位数字为 (1)请用代数式表示这个三位数______； (2)若能被9整除，试说明这个三位数也能被9整除； (3)若将它的百位数字与个位数字对调，得到一个新的三位数．计算新三位数与原三位数之差的绝对值，该绝对值能被9整除吗？为什么？ 【答案】(1) (2)见解析 (3)能，理由见解析 【分析】本题考查列代数式以及数的加减． （1）根据数字的表示方法表示即可； （2）将表示为，结合已知条件即可解决； （3）根据题意，得出新三位数与原三位数之差的绝对值，根据整式的加减化简，然后即可求解． 【详解】（1）解：设一个三位数的百位数字是a，十位数字是b，个位数字是c， 则该三位数是：， 故答案为：； （2）解：∵ ， 又∵能被9整除， ∴这个三位数也能被9整除． （3） ∴绝对值能被9整除． 33．（24-25七年级上·河南郑州·阶段练习）我们用表示一个三位数，其中x表示百位上的数，y表示十位上的数，z表示个位上的数，即． (1)试证明：若可以被3整除，则可以被3整除； (2)若能被13整除，求x，y，z之间满足的数量关系． 【答案】(1)证明见解析过程 (2)或 26 【分析】本题考查了整式加减的应用，数的整除的有关内容，关键在于先对式子进行化简整理，再利用数的整除的知识点，进行分析，即可快速解答． （1）将进行化简整理，容易看出均可以被 3 整除，因此可以被 3 整除； （2）将进行化简整理，根据题意得可以被 13 整除，因此或 26 ． 【详解】（1）证明：， ∵可以被 3 整除，均可以被 3 整除， ∴可以被 3 整除； （2）解： ， 因为能被 13 整除，所以可以被 13 整除， 由题意知， 因此 ， 因此或 26 ． 34．（24-25七年级上·河南南阳·期末）已知一个两位数，其十位数字是，个位数字是． (1)用代数式表示这个两位数； (2)若把这个两位数的十位数字与个位数字调换，得到一个新的两位数，计算这个新的两位数与原数的和． (3)这个和能被11整除吗？若能，请说明理由；若不能，请举一个例子． 【答案】(1) (2) (3)能，理由见解析 【分析】本题主要考查了整式的加减，列代数式等知识点， （1）根据题意表示出这个两位数即可得解 （2）根据题意表示出这两个两位数，再计算其和即可得解； （3）利用（2）的结论判断能否被11整除即可； 熟练掌握整式的加减的运算法则是解决此题的关键． 【详解】（1）解：∵a表示十位上的数，b表示个位上的数， ∴这个两位数为； （2）解：∵这个两位数的十位上的数与个位上的数交换位置得到新两位数， ∴这个新两位数为， ∴原数与新数的和为： ； （3）解：其和能被11整除，理由如下： 由（2）知，原数与新数的和为， ∵，a，b为整数， ∴其和能被11整除． 类型八、整式加减的应用 在实际生活中，整式加减的应用本质是用字母表示实际问题中的未知量或变化量，通过建立整式模型描述数量关系，最终通过加减运算解决问题。 重难点一 实际生活中整式加减的应用 35．（24-25七年级上·四川成都·期中）某款成人男鞋有多种尺码，其中最小的尺码是，各相邻的两个尺码都相差 ．如下表所示为从尺码最小的鞋开始标号所对应的尺码（单位：）． 标号 1 2 3 尺码 标号 … 13 14 尺码 … (1)标号为7的鞋的尺码为多少? (2)标号为 m（）的鞋的尺码为多少? 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查有理数乘法运算的应用，以及代数式表示，解题的关键在于根据题干表格数据归纳出标号与鞋的尺码规律． （1）根据表格所示尺码规律，求出标号为7的鞋的尺码即可； （2）根据表格所示尺码规律，表示出标号为 m的鞋的尺码即可． 【详解】（1）解：根据题意可知，标号为7的鞋的尺码为 ， 答：标号为7的鞋的尺码为； （2）解：根据题意可知，标号为m的鞋的尺码为． 36．（24-25七年级上·福建福州·期末）综合与实践活动：如图是某学校的运动场平面图，中心区域（阴影部分）由一个长方形和两个半圆组成，其中长方形的长为米，半圆的半径为米，每条跑道的宽为1.2米，若每个跑道按内侧边线的总长度计算路程．求解下面问题（结果保留）： (1)用含，的代数式表示运动场中心区域的周长． (2)如果以第一跑道长度为赛程，求第二跑道运动员的起跑位置应比第一跑道运动员起跑位置前移多少米？ (3)小华在400米的跑道上跑了一圈，如果他前三分之一时间内的平均速度为6米/秒，后三分之二时间内的平均速度为4.5米/秒，那么他这次400米跑了多长时间？（要求列方程求解） 【答案】(1)米 (2)米 (3)80秒 【分析】（1）根据“长方形的2个长一个半径为r的圆的周长”列式即可； （2）首先表示出第二跑道长度，然后列式计算即可； （3）设小华这次400米跑了秒，根据题意列出方程求解即可． 本题考查列代数式，整式的加减运算的实际应用，一元一次方程的应用，掌握长方形和圆的周长与面积计算公式是解题的关键． 【详解】（1）解：中心区域的中间是一个长方形，长为米， 长方形两边长为， 中心区域的两端是一个半圆，半径为米， 两个半圆的周长为， 运动场中心区域的周长为：米． （2）解：依题意，第二跑道长度为：（米） ， 答：第二跑道运动员起跑位置应比第一跑道运动员起跑位置前移米． （3）解：设小华这次400米跑了秒． 依题意，得 解得： 答：小华这次400米跑了80秒． 37．（24-25七年级上·安徽合肥·期中）已知两种商品A，B，商品成本价为元，提高后出售，商品亏本后售价为元． (1)用代数式表示商品A的售价_____元，商品B的成本价_____元， (2)若出售了件商品和件商品，则用代数式表示一共盈亏多少元（结果化简）？ (3)在（2）的条件下，说明，时的盈亏情况． 【答案】(1) (2)一共盈亏元（结果如果为正，表示盈利；如果为负，表示亏损） (3)盈利1000元 【分析】本题考查了列代数式、代数式求值和整式加减的应用，正确列出相应的代数式、准确计算是解题的关键； （1）根据商品A的售价为元，商品B的成本价为列式求解即可； （2）先计算出一件A商品的盈利和一件B商品的盈利，再进一步计算即可； （3）把，代入（2）的代数式中求解即可； 【详解】（1）解：∵商品成本价为元，提高20%后出售，商品亏本20%后售价为元， ∴商品A的售价为元，商品B的成本价元； 故答案为：； （2）解：一件A商品盈利为元，一件B商品盈利为元， ； 答：一共盈亏元（结果如果为正，表示盈利；如果为负，表示亏损）； （3）解：当，时，（元）， 答：盈利1000元． 重难点二 几何图形中整式加减的应用 38．（24-25七年级上·安徽合肥·期中）如图，一个边长为的正方形，挖去四个半径为的半圆剩下来的部分（单位：cm）． (1)用代数式表示剩下部分的周长； (2)当，时，剩下部分的周长是多少（取3.14）． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了列代数式和代数式求值，正确列式是解题的关键； （1）根据剩下部分的周长4个半圆的周长求解即可； （2）把，代入（1）的式子计算即可． 【详解】（1）解： ， 答：剩下部分的周长是 ； （2）解：当，时， 答：剩下部分的周长为． 39．（24-25七年级下·山东潍坊·期末）如图，长为12、宽为x的大长方形被分割成7小块，除阴影部分A，B外，其余5块是形状、大小完全相同的小长方形，小长方形较短的一边长为y． (1)由图可知，每个小长方形较长一边长为________；（用含y的代数式表示） (2)用含x，y的代数式分别表示阴影部分A，B的面积； (3)当y取何值时，阴影部分A与阴影部分B的面积之差与x的值无关？并求出此时阴影部分A与阴影部分B的面积之差． 【答案】(1) (2)阴影部分A的面积为：，阴影部分B的面积为： (3)当时，阴影部分A与阴影部分B的面积之差与x的值无关，此时阴影部分A与阴影部分B的面积之差为 【分析】本题主要考查整式的运算与几何图形面积的计算，掌握整式的混合运算法则是关键． （1）根据图示列代数式求解即可； （2）根据图示，分别得到阴影部分A，B的边长，结合面积的计算公式求解即可； （3）根据整式混合运算求解即可． 【详解】（1）解：根据图示中长方形的长边得到，每个小长方形较长一边长为； （2）解：大长方形的面积为：， 阴影部分A的长为：，宽为：， ∴阴影部分A的面积为：， 阴影部分B的长为：，宽为：， ∴阴影部分B的面积为：； （3）解：阴影部分A与阴影部分B的面积之差： ， ∵面积之差与x的值无关， ∴， 解得，， ∴当时，阴影部分A与阴影部分B的面积之差与x的值无关， ∴阴影部分A与阴影部分B的面积之差为：． 40．（24-25七年级下·江苏苏州·期末）七年级学习代数式求值时，遇到这样一类题：“代数式的值与的取值无关，求的值”．通常的解题方法是：把，看作字母，看作系数合并同类项，因为代数式的值与的取值无关，所以含项的系数为0，即原式，所以，则． (1)如果关于的多项式的值与的取值无关，那么的值为__________． (2)已知，，且的值与的取值无关，求的值． (3)有7张如图1的小长方形，长为，宽为，按照如图2的方式不重叠地放在大长方形内，大长方形中未被覆盖的两个部分(图中阴影部分)，设右上角的面积为，左下角的面积为，设，当变化时，的值始终保持不变，求与之间的数量关系． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查了整式加减运算和单项式乘以多项式的应用，解题关键是熟练掌握单项式乘以多项式法则． （1）先把多项式化简，根据多项式的值与x的取值无关可知：化简后的多项式含有x的项的系数为0，列出方程解答即可； （2）计算，令，再根据多项式的值与x的取值无关可知：化简后的多项式含有x的项的系数为0，列出方程解答即可； （3）观察图形，求出，的长与宽，求出它们的面积，进而求出的差，进行判断即可． 【详解】（1）解：关于的多项式， 关于的多项式的值与的取值无关， ， 即 故答案为：． （2） ，， ， 又的值与的取值无关， ， 即 （3）由题意得，阴影部分的面积， ， 当变化时，的值始终保持不变， ， 即． 重难点三 方案设计与比较 41．（24-25七年级上·福建福州·阶段练习）甲、乙两商场以同样价格出售同样的商品，并且又各自推出不同的优惠方案，在甲商场累计购物超过200元后，超出200元的部分按收费，在乙商场累计购物超过100元后，超过100元的部分按收费．设顾客累计购物金额为x元 (1)用含x的式子分别表示出顾客在甲、乙两商场购物的花费； (2)顾客到哪家商场购物花费少？ 【答案】(1)当时，甲商场购物的花费为x元，当时，甲商场购物的花费为元；当时，乙商场购物的花费为x元，当时，乙商场购物的花费为元； (2)当或时，到两个商场购物花费一样；当乙商场购物花费少；当时，到甲商场购物花费少 【分析】本题主要考查了列代数式，一元一次方程和整式加减的应用，利用分类讨论的思想求解是解题的关键． （1）求甲的花费时分和两种情况，求乙的花费时分和两种情况； （2）分当，和三种情况讨论求解即可． 【详解】（1）解：当时，甲商场购物的花费为x元， 当时，甲商场购物的花费为元； 当时，乙商场购物的花费为x元， 当时，乙商场购物的花费为元； （2）解：当时，两个商场都没有优惠，故此时到两个商场购物花费一样； 当时，由于甲商场没有优惠，乙商场有优惠，故此时到乙商场购物花费少； 当时，解得，故当时，此时到两个商场购物花费一样； ∵， ∴当时，， ∴当时，到乙商场购物花费少； 当时，，此时到两个商场购物花费一样； 当时，，此时到甲商场购物花费少； 综上所述，当或时，到两个商场购物花费一样；当乙商场购物花费少；当时，到甲商场购物花费少． 42．（24-25七年级上·河北唐山·阶段练习）某服装厂生产一种西装和领带，西装每套定价400元，领带每条定价80元．厂方在开展促销活动期间，向客户提供两种优惠方案： ①买一套西装送一条领带； ②西装和领带都按定价的八五折付款． 现某客户要到该服装厂购买西装20套，领带x条（x＞20）． (1)若该客户按方案①购买，需付款多少元？（用含x的代数式表示）； 可列式为： 化简后得： ． 若该客户按方案②购买，需付款多少元（用含x的代数式表示）； 可列式为： 化简后得： ． (2)只能选择一种优惠方案，若，通过计算说明按哪种方案购买较为合算？ 【答案】(1)，元；，元； (2)方案② 【分析】本题考查了整式加减的应用和代数式求值，解题的关键是认真分析题目并正确列出代数式． （1）根据两种方案①20套西装的价格加上超过20条部分的领带的价格就是应付款数；②西装的价格加上领带的价格和的，就是应付款数； （2）把代入代数式进行解答即可． 【详解】（1）解：方案①需付费为：元； 方案②需付费为：元； （2）解：当 时， 方案①需付款为： 元， 方案②需付款为：元， ， ∴选择方案②购买较为合算． 43．（24-25七年级上·陕西西安·期中）某中学新校区有一块长为a米，宽为b米的长方形活动区域需要放置花坛，向全校同学征集花坛设计方案．如图是最终选出的两种方案（阴影部分为花坛），方案一中有3个半径为米的圆形花坛，方案二中花坛的总面积是方案一中花坛总面积的．    (1)请分别求出这两种方案中空地的面积； (2)方案一中的空地面积比方案二中的空地面积大多少平方米？ 【答案】(1)方案一中的空地面积是平方米，方案二中的空地面积是平方米 (2)方案一中的空地面积比方案二中的空地面积大平方米 【分析】本题主要考查了列代数式和整式加减运算的应用，正确运用整式运算法则是解题关键． （1）方案一中的空地面积为长方形面积减去3个圆的面积，方案二中的空地面积是方案一中花坛总面积的，再利用长方形面积公式以及半圆面积求法用字母表示出来即可； （2）根据（1）中的结果，由题意列式整理即可． 【详解】（1）解：已知长方形的长为米，宽为米， 则长方形面积为平方米， 且方案一中有3个半径为米的圆形花坛， 方案一中的空地面积是平方米， 又方案二中花坛的总面积是方案一中花坛总面积的， 方案二中的空地面积是平方米． （2）解：， 方案一中的空地面积比方案二中的空地面积大平方米． 类型九、整式的加减与绝对值的综合应用 44．（24-25七年级上·安徽宿州·期中）【阅读材料】我们在数学的学习过程中要接触到“数”和“形”，它们在一定条件下可以相互转化，这样的联系称为数形结合，数形结合是一种重要的数学思想方法，有着广泛的应用，在中学数学阶段，数形结合应用大致分为两种情形：借助数的精确性来阐明形的某些属性，或者借助形的几何直观来阐明数之间某种关系．我们学习过的绝对值知识从形的角度来解释就是：表示在数轴上数a到原点的距离，借助绝对值的形的解释，我们就可以得到．又比如从数的角度来解释：表示7与3差的绝对值；从形的角度来解释：7与3两个数在数轴上所对应的两点之间的距离． 【分析应用】如图1，A、B是数轴上两点（A在B的左侧），A表示的数是－3．动点M从点A出发沿数轴向右匀速运动． (1)B点表示的数是 ，A和B两点之间的距离为 ； (2)①从形的角度来解释：5与 在数轴上所对应的两点之间的距离； ②数轴上表示数a和－3的两点之间的距离表示为 ； ③当a为 时，． (3)若动点M在A和B两点之间运动，其对应数的为x，化简：．（写出化简过程） 【答案】(1)4，7； (2)①2；②；③或6； (3) 【分析】本题主要考查了数轴、绝对值的意义、解绝对值方程等知识点，掌握绝对值的意义成为解题的关键． （1）直接在数轴上表示有理数以及数轴上两点间的距离公式求解即可； （2）①根据阅读材料中关于绝对值的阐述进行解答即可；②直接运用数轴上两点间的距离公式解答即可；③根据绝对值的意义求解即可； （3）根据绝对值的意义化简即可； 【详解】（1）解：由数轴可得点B表示的数为4； A和B两点之间的距离为． 故答案为：4，7． （2）解：①从形的角度来解释：5与2两数在数轴上所对应的两点之间的距离； 故答案为2； ②数轴上表示数a和的两点之间的距离表示为． 故答案为：． ③表示点a表示的点到的距离与到2的距离的和为13， 当时，，解得， 当时，，此时无解， 当时，，解得， 综上所述：或6． 故答案为：或6． （3）解：∵动点M在A和B两点之间运动， ∴， ∴． 45．（24-25七年级上·安徽宿州·期中）先阅读，再探究相关的问题：数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴可以将数与形完美结合．表示5与2差的绝对值，也可理解为5与2两数在数轴上所对应的两点之间的距离；可以看作，表示5与差的绝对值，也可理解为5与两数在数轴上所对应的两点之间的距离．已知点P为数轴上任一动点，点P对应的数记为m． (1)若点P与表示有理数的点的距离是2个单位长度，则m的值为________； (2)借助数轴思考，当________时，与的值相等； (3)借助数轴思考，当________时，有最小值，最小值为________； (4)若点P位于表示的点左侧，化简：． 【答案】(1)或 (2) (3)， (4) 【分析】（1）由两点间的距离可得，再解方程求解； （2）根据到两点距离相等的点是线段的中点，结合数轴可得答案； （3）根据两点之间，线段最短，结合数轴可得答案； （4）根据m的取值范围，画图，再去掉绝对值，合并同类项即可求解． 【详解】（1）解：数轴上点P与表示有理数的点的距离是2个单位长度， ； 或， 解得：m为或， （2）解：如图，记表示，表示，对应的数为， ∴与的值相等， 即， 此时对应的数为：； （3）解：如图，记表示，表示，表示，对应的数为， ∴， ∴当重合时，即，有最小值， 最小值为； （4）解：点P位于表示的点左侧，如图， ∴ ； 【点睛】本题考查了绝对值，数轴上两点的距离，以及绝对值方程，整式的加减运算，线段的中点的含义，由数轴上点的关系，得出到一点距离相等的点有两个，到两点相等的点是这两点的中点，到两点距离和最小的点是这条线段上的点． 46．（24-25七年级上·辽宁盘锦·阶段练习）数轴是一个非常重要的数学工具 它使数和数轴上的点建立起一一对应的关系，揭示了数与点之间的内在联系．它是“数形结合”的基础．表示3与2的差的绝对值，也可理解为3与2两数在数轴上所对应的两点之间的距离；可以看作，表示3与的差的绝对值，也可理解为3与两数在数轴上所对应的两点之间的距离． (1)数轴上表示4与的两点之间的距离为 ；表示a的点到表示的点的距离与它到表示3的点的距离之和为 （用含a的式子表示）． (2)①若，则 ． ②若使x所表示的点到表示2和的点的距离之和为4，则所有符合条件的整数的和为 ． (3)若点A，B表示的数分别为和3，设点P在数轴上表示的数为b，当时，求b的值． 【答案】(1)7， (2)①或；② 0 (3)或4 【分析】本题考查数轴上两点间距离公式，一元一次方程的应用，化简绝对值： （1）利用数轴上两点间距离公式求解； （2）①若，则，解方程即可；②表示2和的点的距离为4，可知x所表示的点在表示2和的点之间，由此可解； （3）分两种情况：点P在点A左侧，点P在点B右侧，根据列方程即可求解． 【详解】（1）解：数轴上表示4与的两点之间的距离为； 表示a的点到表示的点的距离与它到表示3的点的距离之和为：， 故答案为：7，； （2）解：①若，则， 解得或， 故答案为：或； ②表示2和的点的距离为， x所表示的点在表示2和的点之间， 符合条件的整数有：，，0，1，2， 所有符合条件的整数的和为：， 故答案为：0； （3）解：点A，B表示的数分别为和3， ， ， 点P在点A左侧，或点P在点B右侧． 当点P在点A左侧时，，， ， 解得； 当点P在点B右侧时，，， ， 解得； b的值为或4． 47．（24-25七年级上·云南文山·期中）阅读材料：一般地，点A、B在数轴上分别对应的数为a、b，则A、B两点间的距离表示为．即：数轴上两点间的距离等于这两点所对应的数的差的绝对值．例如：与2两点之间的距离表示为． 请根据阅读材料回答下列问题： (1)如果那么______； (2)若，求x的值； (3)求的最小值． 【答案】(1)或， (2)或； (3) 【分析】本题考查了数轴及绝对值，数形结合思想是解题的关键． （1）根据数形结合知：数轴上两点间的距离等于这两点所对应的数的差的绝对值．可知表示到的距离为5，由此求解即可； （2）采用数形结合知：，表示到和2的距离和为，根据的位置化简绝对值，在解方程即可． （3）由题意可知，表示到、2、……2025个数的距离和，因此在最中间时，即当时，和最小，由此求解， 【详解】（1）解：， 由题意可知：到的距离为5， 当在右边时，， 当在左边时，， 故答案为或， （2）由题意可知：，表示到和2的距离和为， 当数x在数2和之间（含2和）时，， 当时，即数在2的右边，此时， 即，； 当时，即数在的左边，此时， 即，； 综上所述：或； （3）由题意可知，表示到、2、……2025个数的距离和， 因此在最中间时，即当时，和最小， ∴ 类型十、与整式加减的新定义问题 与整式加减有关的新定义问题，本质是 “换壳不换核”，外壳是陌生的新符号/新概念，内核仍是整式的加减运算。解题时只需牢记：“先读懂定义，再转化运算，最后按整式规则计算”，无论定义多复杂，都能迎刃而解。 48．（24-25七年级上·福建厦门·期中）已知a、b是有理数， 定义一种新运算“”满足 (1)求的值； (2)求的值 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查新定义运算，有理数的混合运算，整式的加减混合运算．掌握新定义运算法则是解题关键． （1）根据新定义运算法则结合有理数的混合运算法则计算即可； （2）根据新定义运算法则结合整式的加减混合运算法则计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 49．（24-25七年级上·山东济宁·阶段练习）定义一种新运算“*”：，比如：． (1)； (2)已知，请根据上述运算，求值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了定义新运算，整式的加减运算，解一元一次方程的方法，解题的关键是： （1）根据“”列式计算即可； （2）先根据列出方程，再根据解一元一次方程的方法，求出x的值即可． 【详解】（1）解：∵， ∴ ； （2）解：∵，， ∴， ∴， 解得． 50．（23-24七年级上·广东河源·阶段练习）定义：若，则称a与b是关于2的平衡数． (1)3与______是关于2的平衡数，与______是关于2的平衡数（填一个含x的代数式）； (2)若，，判断a与b是不是关于2的平衡数，并说明理由． 【答案】(1)， (2)a与b是关于2的平衡数，理由见解析 【分析】本题考查了利用整式加减解决新定义问题的能力，关键是能根据题目定义准确列式、计算． （1）根据题目定义进行整式运算即可； （2）通过计算的值与2进行比较即可． 【详解】（1）解：设3的关于2的平衡数为a， 则， 解得， 3与是关于2的平衡数； 设的关于2的平衡数为b， 则， 解得， 与是关于2的平衡数， 故答案为：，； （2）a与b是关于2的平衡数，理由如下： ，， ， ， a与b是关于2的平衡数． 51．（24-25七年级上·安徽宿州·阶段练习）对于任意代数式，，定义，例如． (1)的值为______； (2)求的值； (3)若多项式，化简多项式，并求当时，的值． 【答案】(1) (2)23 (3)37 【分析】本题考查了新定义运算问题，解题的关键是掌握有理数的混合运算法则， （1）直接根据定义进行运算即可； （2）先计算出，再计算即可； （3）先利用定义进行化简，再代值求解即可． 【详解】（1）解：， 故答案为：； （2）解：， ， 故． （3）解： ， 当时， 原式 ． 类型十一、整式加减与数轴综合应用 52．（2025·甘肃张掖·一模）如图，为数轴原点，点，在数轴上，点在原点左侧，点在原点右侧，且，．蚂蚁从点出发，以3个单位长/秒的速度沿数轴向左运动，同时蚂蚁从点出发，以2个单位长/秒的速度沿数轴运动，设点，的运动时间为（秒）． (1)点表示的数为______，点表示的数为______； (2)用含的代数式表示经过秒时点表示的数； (3)若蚂蚁沿数轴向右运动，当两只蚂蚁之间的距离为6时，求的值； (4)蚂蚁沿数轴向左运动，若无论取何值，（为常数）的值始终固定不变，求的值． 【答案】(1)， (2) (3)当两只蚂蚁之间的距离为时，的值为或； (4) 【分析】本题考查了数轴上两点间的距离，列代数式，整式的加减运算，解一元一次方程等知识点，熟练掌握以上知识是解答本题的关键． （1）已知为数轴原点，点在原点左侧，点在原点右侧，且，则点表示的数为，因为，所以，则点表示的数为； （2）根据点的运动情况即可求解； （3）用表示出点、两点运动过程中表示的数，然后列方程求解即可； （4）用、表示出，然后根据的值始终固定不变可求出的值． 【详解】（1）解：点在原点左侧，， 点表示的数为， 点在原点右侧， ， ， 点表示的数为， 故答案为：，； （2）解：已知蚂蚁从点出发，以个单位长/秒的速度沿数轴向左运动，运动时间为（秒），则点表示的数为； （3）解：由蚂蚁和蚂蚁在相遇前之间的距离为，可得： ， 解得：， 由蚂蚁和蚂蚁在相遇后之间的距离为，可得： ， 解得：， 综上，当两只蚂蚁之间的距离为时，的值为或； （4）解：经过秒表示的数为， ， ， 因为无论取何值，的值始终固定不变， ， ． 53．（21-22七年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）已知数轴上有两个点A、B．A，B对应的数分别是a，b，且满足 (1)求的长； (2)若动点P从点A出发，以4个单位长度每秒的速度沿射线的方向运动；动点Q从点B出发，以6个单位长度每秒的速度沿数轴向左运动；为中点，为中点，动点P、Q同时出发，设点P的运动时间为t秒，用含t的代数式表示； (3)在（2）的条件下，当P，Q相遇时，动点R从点O出发，以1个单位长度每秒的速度沿数轴向左运动，求t为何值时，？ 【答案】(1)60 (2)当时，；当时， (3)10或 【分析】本题考查了数轴、绝对值和偶次方的非负性、整式加减的应用、一元一次方程的应用等知识，熟练掌握数轴的性质是解题关键． （1）先根据绝对值和偶次方的非负性可得，再利用数轴的性质求解即可得； （2）先分别求出点所表示的数为，点所表示的数为，再根据数轴的性质可得点所表示的数为，点所表示的数为，由此即可得； （3）先求出点所表示的数，则可得，再根据建立方程，解方程即可得． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∴， ∵对应的数分别是， ∴． （2）解：由题意得：点所表示的数为，点所表示的数为， ∵为中点，为中点， ∴点所表示的数为，点所表示的数为， ∴， 令，解得， 则当时，；当时，． （3）解：由题意得：点所表示的数为，点所表示的数为， 当相遇时，则，解得， ∴点所表示的数为， 由（2）已得：点所表示的数为，点所表示的数为，， ∴， ∵， ∴， ∴或， 解得或， 综上，当为10或时，． 54．（24-25七年级上·河南驻马店·期中）如图，在数轴上点A表示的数为a，点B表示的数为b，点C表示的数为c，其中b是最小的正整数，且多项式是关于x的二次多项式，一次项系数为c． (1)___________，___________，___________； (2)将数轴折叠，使得点A与点C重合，若点B与点D重合，求点D表示的数； (3)当点A、点B和点C分别以每秒4个单位长度、每秒2个单位长度和每秒1个单位长度的速度沿数轴同时向左运动时，设运动时间为，李明发现：的值是个定值，即与t的取值无关，求m的值（提示：表示B，C两点间的距离，表示A，B两点间的距离）． 【答案】(1)，1，9； (2)5； (3) 【分析】本题考查实数与数轴，涉及整式的概念，追及问题，列代数式等问题． （1）根据多项式与单项式的概念即可求出答案； （2）求出的中点对应的数值，由于点B关于这个中点对称，利用这一性质即可得出结论； （3）先分别表示出运动t秒后A、 B、C三点所表示的数，进而得出和的表达式，然后根据的值与t无关求出m的值． 【详解】（1）解：是最小的正整数， ． 多项式是关于x的二次多项式， ， 解得． 多项式是关于x的二次多项式，一次项系数为c． ． ，，． 故答案为∶ ，1，9； （2）解：由题意知，折叠处的点表示的数为． 因为点B到3对应的点的距离为2， 所以与点B重合的点表示的数是． 即点D表示的数为5． （3）解：由题意可知，运动时，点A表示的数为，点B表示的数为，点C表示的数为． 则． 所以． 因为的值是个定值，即与t的取值无关， 所以，所以． 55．（24-25七年级上·江苏无锡·阶段练习）数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴可以将数与形完美结合．通过研究数轴，我们发现了许多重要的规律，比如：数轴上点A 和点B 表示的数为a、b，则A，B两点之间的距离． ，若 则可化简为． 若， 则可化简为， 请你利用数轴解决以下问题∶ (1)已知点 P为数轴上任一动点，点P对应的数记为m，m满足，则m的值为 ； (2)已知点 P为数轴上任一动点，点P对应的数记为m，若数轴上点P位于表示2的点的右边，则 ； (3)已知点A， B， C， D在数轴上分别表示数a， b， c， d， 四个点在数轴上的位置如图所示， 若， ，， 则等于 ． (4)已知，数轴上一动点Q从数 100表示的点出发，沿数轴以每秒钟 1个单位长度的速度来回移动，其移动方式是先向右移动1个单位长度，再向左移动2个单位长度，又向右移动3个单位长度，再向左移动4个单位长度……，求Q 点运动几秒钟后满足 的值最小？ 【答案】(1)， (2) (3) (4)秒 【分析】（1）由绝对值的意义可得或，再进一步求解即可； （2）由数轴上点P位于表示2的点的右边，即，再化简绝对值即可； （3）由数轴可得，再结合线段的和差关系可得答案； （4）求解当时，的值最小，最小值为，结合，每次向左移动个单位；进一步可得答案. 【详解】（1）解：∵， ∴或， 解得或． （2）解：∵数轴上点P位于表示2的点的右边，即， ∴． （3）解：∵，， ，， ∴． （4）解：设Q点表示的数为时，的值最小， 当时， ， 当时， ， 此时， 当时， ， 此时， 当时， ， 此时， ∴当时，的值最小，最小值为， ∵数轴上一动点Q从数 100表示的点出发，沿数轴以每秒钟 1个单位长度的速度来回移动，其移动方式是先向右移动1个单位长度，再向左移动2个单位长度，又向右移动3个单位长度，再向左移动4个单位长度； ∴，则最终满足条件时，需要向左平移103个单位，由已知可得：每次向左移动个单位； ∴， ∴Q点运动次， ∴ ， ∴Q点运动秒钟满足条件． 【点睛】本题考查的是数轴上两点之间的距离，整式的加减运算，化简绝对值，线段的和差，数轴上的动点问题；理解题意是关键. 56．（24-25七年级上·陕西·期中）（1）数学中有很多可逆的推理，例如：如果那么利用可逆推理，已知可求的运算，记为，如，则，则．根据定义，填空：_____：_______． （2）若有如下运算性质：，，根据运算性质填空，填空：若，则_____；_____． （3）在数轴上有三点，，分别表示数，，，其中是第1问中所表示的数，是的系数，是直四棱柱的面数．点，，同时开始在数轴上运动，若点和点分别以每秒3个单位长度和4个单位长度的速度向左运动．点以每秒2个单位长度的速度向右运动．若点与点的距离表示为，点与点的距离表示为，点与点的距离表示为，运动时间为秒．是否存在，使得的值与无关？若存在，请求出的值：若不存在，请说明理由． 【答案】（1），；（2），；（3）当，时，当，时，的值与无关； 【分析】（1）根据定义可得：，即可求得结论； （2）根据运算性质：，进行计算即可； （3）先分别求解，，；可得对应的数分别为，，，可得运动中对应的数分别为：，，，求解，，再分情况讨论即可． 【详解】解：（1）根据定义知：， ∴，． （2）根据运算性质，得：， ． （3）∵是第1问中所表示的数，是的系数，是直四棱柱的面数． ∴，，； ∴对应的数分别为，，， ∵点和点分别以每秒3个单位长度和4个单位长度的速度向左运动．点以每秒2个单位长度的速度向右运动． ∴运动中对应的数分别为：，，， ∴， ， 当时， ∴ ， 当，即时， 此时，此时的值与无关； 当时， ∴ ， 当，即时， 此时 ，此时的值与无关； 综上：当，时，当，时，的值与无关； 【点睛】本题考查的是新定义运算的含义，乘方运算的逆运算，整式的加减运算，单项式的系数，棱柱的认识，掌握基础知识是解本题的关键． 57．（24-25七年级上·河北秦皇岛·期末）定义新运算“△”和“□”： ①定义新运算“△”：给定有理数a、b，对于整式A、B，规定，等式右边是通常的减法、乘法运算； ②定义新运算“□”：给定正整数n（），对于整式M，规定（按从左到右的顺序依次做“△”运算）例如：当、，时，对于，，则有，． (1)当，时，若，，求和． (2)直接写出一组a，b的值，使得对任意一个正整数n（）和任意—个整式M，都有成立． (3)当，时，若，，若（p、q为正整数，且、）中不含项，直接写出满足条件的一组p、q的值． 【答案】(1)，； (2)， (3)，. 【分析】本题考查的是新定义运算的含义，整式的加减运算，理解新定义是解本题的关键； （1）由题意可得，再根据新定义运算法则计算即可； （2）令，，可得，再根据新定义推导即可； （3）由，，可得，结合，，（p、q为正整数，且、）中不含项，可得运算中只考虑项，再进一步利用新定义探索即可. 【详解】（1）解：当，时， ∴， ∵，， ∴ ； ； （2）解：当，时， ∴， ∴ ； （3）解：当，时， ∴， ∵，，（p、q为正整数，且、）中不含项， ∴运算中只考虑项， ∴， ， ； ， ∴ ， ∴（p、q为正整数，且、）中不含项，满足条件的，. 58．（24-25七年级上·山东济南·阶段练习）【知识背景】若数轴上点，表示的数分别为，，则、两点之间的距离；线段的中点表示的数为． 【问题情境】如图，数轴上点表示的数为，点表示的数为6，点从点出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动；同时点从点出发，以每秒3个单位长度的速度向左匀速运动．设运动时间为秒． 【解决问题】 (1)填空：①线段的中点表示的数为________． ②秒后点表示的数为________；点表示的数为________． ③当，两点相遇时，点所表示的数为________． (2)点与点之间的距离表示为，求当时，点所表示的数． (3)设线段的中点为，当时，求的取值范围（直接写出结果即可）． 【答案】(1)①；②，；③ (2)点P表示的数为或． (3)当时，的取值范围为或． 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，整式的加减运算，数轴上两点距离计算： （1）①根据数轴上两点中点计算公式求解即可；②根据动点对应的数等于起点对应的数加上或减去运动路程求解即可；③根据（1）所求可得方程，解方程即可得到答案； （2）根据（1）所求可得方程，解方程即可得到答案． （3）求解线段的中点为对应的数为，当时，对应的数为或；当时，可得：，当时，可得，从而可得答案． 【详解】（1）解：①由题意得，线段的中点表示的数为， ②由题意得，t秒后点P表示的数为；点Q表示的数为； ③当，两点相遇时， ∴， 解得：， ∴； ∴点所表示的数为； （2）解：由（2）可知， ∵， ∴， ∴或， ∴或， ∴或， ∴点P表示的数为或． （3）解：由题意得，t秒后点P表示的数为；点Q表示的数为； ∴线段的中点为对应的数为， ∵对应的数为， ∴当时，对应的数为或； ∴当时，解得：， 当时，解得， ∴当时，的取值范围为或． 59．（24-25七年级上·全国·期中）数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴可以将数与形完美结合．通过研究数轴，我们发现了许多重要的规律，比如：数轴上点A和点B表示的数为a，b，则A，B两点之间的距离，若，则可化简为．请你利用数轴解决以下问题： (1)表示有理数2点与表示有理数的点的距离是______； (2)已知点P为数轴上任一动点，点P对应的数记为m，若点P与表示有理数的点的距离是3个单位长度，则m的值为______； (3)已知点P为数轴上任一动点，点P对应的数记为m，若数轴上点P位于表示的点左侧，则______； (4)已知点A，B，C，D在数轴上分别表示数a，b，c，d，四个点在数轴上的位置如图所示，若，，，则等于______． (5)若，，，，，求式子的最小值？ 【答案】(1)4 (2)1或 (3) (4)4 (5)54 【分析】（1）由题意中的两点间的距离公式即可求解； （2）由题意易得，然后求解即可； （3）由题意易得，然后化简绝对值即可； （4）由数轴可知，然后可得，，，则有，进而问题可求解； （5）由题意易得，然后根据绝对值的几何意义可知找一点a，使得这个点到1，，9，，25的距离之和最小，进而问题可求解． 【详解】（1）解：表示有理数2点与表示有理数的点的距离是； 故答案为：4 （2）解：由题意得：， ∴， ∴或； 故答案为：1或 （3）解：由题意得：， ∴； 故答案为：； （4）解：由数轴可知：， ∵，，， ∴，，， ∴ ； 故答案为：4； （5）解：∵，，，，， ∴ ， 根据绝对值的几何意义可知找一点a，使得这个点到1，，9，，25的距离之和最小； ∴当时，则原式，此时当时，有最小值95； 当时，则原式，此时当时，有最小值59； 当时，则原式，此时当时，有最小值54； 当时，则原式，此时无最小值； 当时，则原式，此时无最小值； 当时，则原式，此时无最小值； 综上所述：当时，式子的最小值为54； 故答案为：54． 【点睛】本题主要考查数轴上的动点问题、整式的加减运算及有理数的加减运算，熟练掌握各个运算及数轴上的动点问题是解题的关键． 60．（24-25七年级上·辽宁大连·阶段练习）【知识拓展】学习绝对值的定义我们知道，的意义是数轴上表示数的点到原点的距离．由于原点表示的数是，因此可以看作，那么的意义可以看作为数轴上表示数与的两点间的距离．这个结论还可以推广为：的意义为数轴上表示数与的两点间的距离，若表示数的点是点，表示数的点是点，则线段． 例如，的意义为数轴上表示数与的两点间的距离； 的意义为数轴上表示数与的两点间的距离； 若，则的值为或． 【拓展应用】 (1)若，则的值为______；若，则的值为______； (2)如图，数轴上线段（单位长度），（单位长度），点在数轴上表示的数是，点在数轴上表示的数是，若线段以个单位长度/秒的速度向右匀速运动，同时线段以个单位长度/秒的速度也向右匀速运动，设运动时间为秒． ①点在数轴上表示的数是______，点在数轴上表示的数是______； ②当为何值时，（单位长度）； ③当为何值时，恰好满足． 【答案】(1)或；或 (2)①；． ②或． ③或时，恰好满足． 【分析】（1）根据题意理解和的实际意义即可得解； （2）①设点在数轴上表示的数为，点在数轴上表示的数是，根据题意得到，后即可得解； ②先表示出运动时间为秒时，点和点在数轴上表示的数，再根据题意表示出，得到一元一次方程，求解后即可得到值； ③先表示出运动时间为秒时，点和点在数轴上表示的数，再根据题意表示出、，由得到一元一次方程后求解即可． 【详解】（1）解：依题得：的意义为数轴上表示数与的两点间的距离是， 或； 的意义为数轴上表示数与的两点间的距离是， 或． 故答案为：或；或． （2）解：①设点在数轴上表示的数为，点在数轴上表示的数是， 则，， ，， 即点在数轴上表示的数为，点在数轴上表示的数是． 故答案为：；． ②依题得：运动时间为秒时，点在数轴上表示的数为， 点在数轴上表示的数为， ， ， 解得或． ③依题得：运动时间为秒时，点在数轴上表示的数为， 点在数轴上表示的数为， ， 又，， ， 当即时，有，解得； 当即时，有，解得； 当即时，有，解得， ，（舍去）． 综上，当或时，恰好满足． 【点睛】本题考查的知识点是数轴上表示有理数，数轴上两点之间的距离，数轴上的动点问题，一元一次方程的应用 、整式加减的应用，解题关键是理解题意． 61．（23-24六年级下·黑龙江哈尔滨·期中）已知数轴上点、点对应的数分别为，，（如图1）若关于的多项式是二次二项式． (1)直接写出、值； ______；______ (2)如图2，点以每秒2个单位长度的速度从点出发沿数轴向左运动，点以每秒1个单位长度的速度从点出发沿数轴向左运动，两点同时出发，运动时间为秒，请用含的整式表示线段的长； (3)在（2）的条件下，（如图3）数轴上的点表示的数为，若点运动到点处时，两动点，同时停止运动，在点，运动过程中，若点、、三个点中，恰有一个点到另外两个点的距离之比为，请直接写出值． 【答案】(1)； (2)当时，；当时， (3)，，， 【分析】（1）利用多项式的次数与项数的含义建立方程求解即可； （2）先求解表示的数为，对应的数为；可得当相遇时，，再分两种情况讨论：当时，当时，从而可得答案； （3）先就时间分类：，，再在每个时间段内再分情况讨论即可． 【详解】（1）解：∵是二次二项式． ∴，， 解得：，； （2）解：∵点以每秒2个单位长度的速度从点出发沿数轴向左运动， ∴表示的数为， ∵点以每秒1个单位长度的速度从点出发沿数轴向左运动， ∴对应的数为； 当相遇时， ， 解得：， 当时，； 当时，； （3）解： 由题意可得数轴上的点表示的数为，表示的数为，对应的数为； 结合（2）可得：相遇时， ∵点运动到点处时，两动点，同时停止运动， ∴两点没有相遇， 当时，， 当时，，， ∴，， ∵， ∵点、、三个点中，恰有一个点到另外两个点的距离之比为， 当时， ∴，方程无解， 当时， ∴， 方程无解，舍去， 当时， ∴，解得：，舍去 当时， ∴，解得：； 当到达时，则，解得； 当时， ∴，， ∵， ∵点、、三个点中，恰有一个点到另外两个点的距离之比为， 当时， ∴，解得：， 当时， ∴，解得：， 当时， ∴，解得：（舍去）， 当时， ∴，解得：， 当时， ∴，方程无解， 当时， ∴，，舍去 综上：点、、三个点中，恰有一个点到另外两个点的距离之比为，则，，， 【点睛】本题考查的是多项式的含义，一元一次方程的应用，整式的加减运算的应用，本题难度很大，清晰的分类讨论是解本题的关键． 62．（22-23七年级下·广东佛山·期中）如图，长为，宽为的大长方形被分割为7小块，除阴影A，B外其余5块是形状、大小完全相同的小长方形，其较短的边长为． (1)小长方形的较长边为 （用代数式表示）； (2)阴影A的一条较短边和阴影B的一条较短边之和为 ，是 的（填正确/错误）；阴影A和阴影B的周长值之和与 （填有关/无关），与 （填有关/无关）； (3)设阴影A和阴影B的面积之和为S，是否存在使得S为定值，若存在请求出的值和该定值，若不存在请说明理由． 【答案】(1) (2)正确，有关，无关 (3)存在使得S为定值，理由见解析 【分析】本题考查了列代数式以及整式的混合运算，根据图形分别表示出相关边长并能熟练运用整式加减的运算法则是解题的关键． （1）由大长方形的长及小长方形的宽，可得出小长方形的长为； （2）由大长方形的宽及小长方形的长、宽，可得出阴影A，B的较短边长，将其相加可得出阴影A的较短边和阴影B的较短边之和为；由阴影A，B的相邻两边的长度，利用长方形的周长计算公式可得出阴影A和阴影B的周长之和为，据此求解即可； （3）由阴影A，B的相邻两边的长度，利用长方形的面积计算公式可得出阴影A和阴影B的面积之和为，据此求解即可． 【详解】（1）解：∵大长方形的长为ycm，小长方形的宽为4cm， ∴小长方形的长为， 故答案为：； （2）解：∵大长方形的宽为xcm，小长方形的长为，小长方形的宽为4cm， ∴阴影A的较短边为， 阴影B的较短边为， ∴阴影A的较短边和阴影B的较短边之和为； ∵阴影A的较长边为，较短边为， 阴影B的较长边为，较短边为， ∴阴影A的周长为， 阴影B的周长为， ∴阴影A和阴影B的周长之和为， ∴阴影A和阴影B的周长之和与有关，与无关， 故答案为：正确，有关，无关； （3）解：∵阴影A的较长边为，较短边为， 阴影B的较长边为，较短边为， ∴阴影A的面积为， 阴影B的面积为， ∴阴影A和阴影B的面积之和为 ， ∴当时，为定值，定值为． 63．（23-24七年级上·重庆万州·阶段练习）认真阅读下面的材料，完成有关问题：已知数轴上两个点之间的距离等于这两个点表示的数的差的绝对值．如图1，在数轴上点A表示的数为，点B表示的数为1，点C表示的数为3，则B，C之间的距离表示为：，A，C之间的距离表示为：．若点P在数轴上表示的数为x，则P，A之间的距离表示为：，P，B之间的距离表示为：． 利用数轴探究下列问题： (1)的最小值是 ，此时x的取值范围 ； (2)请按照（1）问的方法思考：的最小值是 ，此时x的值是 ； (3)的最小值是 ，此时x的值是 ； (4)如图2，在一条笔直的街道上有E，F，G，H四个小区，且相邻两个小区之间的距离均为．已知E，F，G，H四个小区各有2个，2个，2个，1个学生在同一所中学的同一班级上学，安全起见，这7个同学约定先在街道上某处汇合，再一起去学校．聪明的他们通过分析，发现在街道上的M处汇合会使所有学生从小区门口到汇合地点的路程之和最小，请直接写出汇合地点M的位置和所有学生从小区门口到汇合地点的路程之和的最小值． 【答案】(1)3； (2)5，1 (3)9，0 (4)汇合地点M的位置在点F时，所有学生从小区门口到汇合地点的路程之和的最小值为1200米 【分析】本题主要考查了数轴上两点的距离，绝对值的几何意义，化简绝对值，解题的关键在于能够熟练掌握化简绝对值的方法． （1）根据绝对值的几何意义，得出的最小值，根据绝对值的几何意义，分类讨论，解方程即可求解； （2）根据绝对值的几何意义，得出的最小值； （3）根据绝对值的几何意义，分类讨论得出的最小值； （4）以点G为原点建立数轴，则点E，F，G，H四点分别表示，，0，200，点M表示的数为x，则所有小朋友从小区门口到汇合地点的路程之和表示为，分类讨论即可； 【详解】（1）如图 ①若点P在点A左侧，得，， ， ②若点P在线段上，得，， ， ③若点P在点A左侧，得，， ， ④有图可知，当时，最小，最小值3， 故答案为：3； （2）的几何意义是表示数x的点与，1，2三数对应点的距离之和， 当时，距离之和最小，最小值为，2对应点间的距离， 的最小值为； 故答案为：5；1 （3）的几何意义是表示数x的点与，0，4三数对应点的距离之和， 当，得，， 当，得，， , 当，得，， , , 当，得，， , 综上所述 ：当时，的最小值为9； 故答案为：9；0 （4）如图： 以点G为原点建立数轴，则点E，F，G，H四点分别表示，，0，200，点M表示的数为x，则所有小朋友从小区门口到汇合地点的路程之和表示为， ①当时， ； ②当时， ， ， ； ③当时， 此时； ④当， ， ， ⑤当时 综上所述：当时距离最小，最小值为 汇合地点M的位置在点时，所有学生从小区门口到汇合地点的路程之和的最小值为 64．（23-24七年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）对于正有理数，可用表示不超过的最大整数，例如. (1)______，______. (2)设正有理数的整数部分是，表示的小数部分用含，的式子表示______，用含的式子表示______. (3)在（2）情况下，求的值. 【答案】(1)，； (2)或； (3)的值为或或 【分析】（1）先计算有理数乘法，再根据定义求解即可； （2）根据数的组成可得，分和两种情况讨论求解即可得； （3）分和两种情况列方程讨论求解即可． 【详解】（1）解：，， 故答案为：，； （2）解：∵设正有理数的整数部分是，表示的小数部分 ∴， 当时，， 当时，， 故答案为：，或； （3）解：当时， ∵， ∴， ， ∴为整数或或，即是或或， 当时，，，此时， 当时，，，不符合题意， 当时，，，此时， 当时， ∵， ∴， ， ∴为整数或，即是或， 当时，，，此时， 当时，，，不符合题意， 综上所述为或或 【点睛】本题考查了列代数式，整式的加减，有理数的乘法以及解一元一次方程，分类讨论是解题的关键． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题08 整式加减及其应用 目录 1 类型一、整式的加减运算 1 类型二、整式的化简求值 2 类型三、整式加减中的“不含”和“无关”类问题 4 类型四、整式加减中的错解问题 6 类型五、整式加减中的遮挡/污染类问题 7 类型六、比较多项式的大小 8 类型七、多项式能否被一个数整除类问题 8 类型八、整式加减的应用 9 类型九、整式的加减与绝对值的综合应用 12 类型十、与整式加减的新定义问题 14 类型十一、整式加减与数轴综合应用 15 16 类型一、整式的加减运算 1）整式的加减运算过程中，切记不要漏项，交换项的位置时，要注意连同符号一起交换. 2）整式加减的最后结果中：①不能含有同类项，要合并到不能再合并为止； ②不能出现带分数，带分数要化成假分数. 3）运算结果，常将多项式的某个字母（如x）按照降幂（升幂）排列. 1．（25-26七年级上·全国·课后作业）计算： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)． 2．（24-25七年级上·陕西西安·阶段练习）某同学化简出现了错误，解答过程如下： 原式第一步 第二步 第三步 (1)该同学解答过程从第几步开始出错，错误原因是什么？ (2)写出此题正确的解答过程． 3．（24-25七年级上·甘肃兰州·期末）有理数，，在数轴上对应点的位置如图所示：化简． 类型二、整式的化简求值 [直接代入法] 化简求值时，一般先化简，再把各字母的值代人计算. [整体代入法] 有时题目并未给出各个字母的取值，而是给出几个式子的值，这时可把这几个式子看作一个整体，把多项式化为含有这几个式子的代数式，再代入求值.运用整体代换思想，往往能使问题得到简化. [间接代入法] 将已知的代数式化简后，再将已知字母的值代入化简后的代数式中计算求值. [赋值法]给未知数赋予一些特殊值，将其代入等式中，得到所求代数式的形式，从而求出代数式的值.一般情况下，多是代入-1、0、1这三个值. 重难点一 直接代入法 4．（24-25七年级上·辽宁抚顺·期末）先化简，再求值：，其中． 5．（24-25七年级上·陕西宝鸡·期中）已知多项式，，当，时，求的值． 6．（2025七年级上·全国·专题练习）先化简再求值：，其中，且． 重难点二 整体代入法 7．（24-25七年级上·浙江湖州·期末）数学中运用整体思想方法在求代数式的值中非常重要．例如：已知，，则代数式． 请你根据以上材料解答以下问题： (1)若，则________； (2)已知，求代数式的值． 8．（24-25七年级上·山西忻州·期末）请阅读下列材料，并完成相应的任务． “整体思想”是一种重要的数学思想方法，在多项式的化简求值中应用极为广泛． 例如，，类似地，我们把看成一个整体，则 ． 【尝试应用】根据阅读内容，运用“整体思想”，解答下列问题： （1）化简的结果是_________； （2）化简求值：，其中． 【拓展探索】 （3）已知，则的值为_________． 9．（24-25七年级上·广西南宁·阶段练习）综合与实践 问题情境：整体代换是数学的一种思想方法．例如： 若，则______． 我们将作为一个整体代入，则原式． 仿照上面的解题方法，完成下面的问题： (1)如果，求的值； (2)若，，求的值； (3)当时，代数式的值为m，求当时，代数式的值． 重难点三 间接代入法 10．（24-25七年级上·陕西宝鸡·期末）先化简，再求值． ，其中． 11．（2025七年级上·全国·专题练习）先化简再求值，试求的值，已知多项式的值与x无关． 12．（24-25七年级上·全国·期末）已知，是关于的多项式，其中为常数． (1)若的值与的取值无关，求的值． (2)在（1）的条件下，先化简，再求值． 重难点四 赋值法 13．（20-21七年级上·江苏镇江·期中）已知． 当时， 这种给x取一个特殊数的方法叫赋值法．请你巧用赋值法，尝试解答下列问题． （1）当x为多少时，可求出g为多少？ （2）求的值； （3）求的值． 14．（24-25七年级上·江苏宿迁·期中）赋值法是给代数式中的某些字母赋予一定的特殊值．从而解决问题的一种方法，已知，给x赋值使．得到，则；尝试给x赋不同的值，则可得 ． 15．（22-23七年级下·河南南阳·期中）赋值法是给代数式中的某些字母赋予一定的特殊值，从而解决问题的一种方法．已知等式对x取任意有理数都成立，例如给x赋值时，可求得．请再尝试给x赋其它的值并结合学过的方程知识，求得的值为 ． 类型三、整式加减中的“不含”和“无关”类问题 若整式加减运算结果“不含某项”或整体的值“与某个字母的值无关”，实质是去括号，合并同类项后，令该项的系数为0，从而求出待定字母的值. 重难点一 “不含”类问题 16．（24-25七年级下·湖北十堰·期末）已知多项式化简后不含项． (1)求的值； (2)化简并求多项式的值． 17．（2025七年级上·全国·专题练习）已知关于x的多项式A，B．其中（m，n为有理数），若的结果不含x项和项，求的值． 18．（24-25六年级上·山东东营·期末）【知识回顾】 在学习代数式求值时，遇到这样一类题，“代数式的值与的取值无关，求的值”．通常的解题方法是把看作字母，把看作系数合并同类项．因为代数式的值与的取值无关，所以含项的系数为0，即原式，其中，则． 【知识应用】 （1）当 ， 时，关于的多项式不含项和项 ． （2）已知，且 的值与的取值无关，求的值． 【知识拓展】 （3）春节快到了，某超市计划购进甲、乙两种羽绒服共30件进行销售，甲种羽绒服每件进价700元，每件售价1020元；乙种羽绒服每件进价500元，销售利润率为．购进羽绒服后，超市决定：每售出一件甲种羽绒服，返还顾客现金元，乙种羽绒服售价不变．设购进甲种羽绒服件，当销售完这30件羽绒服的利润与的取值无关时，求的值． 重难点二 “无关”类问题 9．（2025七年级上·全国·专题练习）已知多项式的值与x无关，先化简多项式，再求它的值． 20．（24-25七年级上·重庆江北·期末）已知，有7个完全相同的边长为、的小长方形（如图1）和1个宽为10的大长方形（如图2），小明把这7个小长方形按如图所示放置在大长方形中． (1)当时，大长方形的面积为______，阴影图形的面积为______； (2)请说明阴影与阴影的周长的和与小长方形的边长的取值无关． 21．（24-25七年级上·辽宁本溪·期中）【阅读理解】 已知；若A值与字母x的取值无关，则，解得． ∴当时，A值与字母x的取值无关． 【知识应用】 （1）已知，． ①用含m，x的式子表示； ②若的值与字母x的取值无关，求m的值； 【能力提升】 （2）如图1的小长方形，长为a，宽为2，现把6这样的个小长方形按照图2方式不重叠地放在大长方形内，大长方形中未被覆盖的两个部分（图中阴影部分），左上角的面积为，右下角的面积为，设，若x无论为何值时，发现的值始终保持不变，请求出a的值． 类型四、整式加减中的错解问题 技巧1：我们一般按照“将错就错”的原则解题，先依照错误的解法得到正确的代数式，然后再将正确的代数式代入求解. 技巧2：若给定字母写错但得出正确答案，则该代数式的值与该字母无关． 重难点一 “看错但结果正确”类问题 122．（24-25七年级上·陕西西安·阶段练习）有这样一道题：“先化简，再求值：，其中”，甲同学做题时把错抄成了，乙同学没抄错，但他们做出来的结果却一样，你能说明这是为什么吗？并求出这个结果． 23．（2024七年级上·安徽·专题练习）有这样一道计算题：“计算的值，其中，”，甲同学把错看成，但计算结果仍正确，你说是怎么一回事？ 重难点二 “错解求原多项式”类问题 24．（2024七年级上·全国·专题练习）马虎同学在计算一个多项式减去另一个多项式时，错将减号抄成了加号，于是他得到的结果是，请问如果不抄错，正确答案该是多少？ 25．（23-24七年级上·湖南娄底·期中）已知两个多项式A和B．其中小马虎在计算的值时不小心将错看成，得到的结果是． (1)求多项式B： (2)请帮他求出的正确答案． 类型五、整式加减中的遮挡/污染类问题 在整式加减的遮挡 / 污染类问题中，核心是利用 “整式运算的确定性” 和 “等式（或多项式相等）的性质”，通过已知部分反推被遮挡（污染）的未知部分。 重难点一 已知结果求被遮挡的整式 26．（23-24九年级下·河北邢台·阶段练习）老师在黑板上书写了一个正确的计算题目，题目被污染了一部分． (1)若污染的是一个多项式，求这个多项式； (2)若污染的是常数，求的值． 27．（22-23七年级上·广东惠州·期中）两个多项式A和，，，．其中A被墨水污染了． (1)求多项式A； (2)取其中适合的一个数：2，，1，求的值． 重难点二 某项系数被遮挡的整式 28．（23-24七年级上·广西河池·期中）综合与实践： 小红和小丽在完成题目“化简：．”发现系数“”被墨迹污染了． 小红说：“我猜被墨迹污染的系数是2．” 小丽说：“你猜错啦，我看到这道题的标准答案是常数．” (1)请你根据小红的话化简：； (2)请你根据小丽的话通过计算说明原题中系数“”是多少？ 29．（22-23七年级上·陕西咸阳·期末）已知两个关于x的整式，其中系数□被污染 (1)若□是，化简； (2)若时，的值为28，求原题中系数□所表示的数 类型六、比较多项式的大小 判断一个多项式是否能被一个数整除，关键是看这个多项式是否能化为这个数和某个多项式（多项式的值为整数）乘积的形式. 30．（24-25七年级上·甘肃兰州·期末）阅读以下信息，解决问题； 信息 1：“作差法”是比较两个数或两个代数式大小的常用方法．如比较a、b两数的大小，若，则；若，则；若，则． 信息2：类似于运算符号“、、、”，新定义一种运算符号“”，规定： (1)若，求x的值． (2)若，，比较m与n的大小，并说明理由． 31．（24-25七年级上·江苏南京·阶段练习）对于有理数m，n定义一种新运算“”，规定． (1)若，求多项式的值． (2)若与，试比较P与Q的大小，并说明理由． 类型七、多项式能否被一个数整除类问题 32．（24-25七年级上·江苏苏州·阶段练习）基于小学的学习经验，我们知道，如果一个整数的各个数位上的数字的和能被3整除，那么这个整数也能被3整除．例如：3285的各个数位上的数字的和能被3整除，所以3285能被3整除；463的各个数位上的数字的和不能被3整除，所以463不能被3整除． 类比迁移：已知一个三位数的百位数字为，十位数字为，个位数字为 (1)请用代数式表示这个三位数______； (2)若能被9整除，试说明这个三位数也能被9整除； (3)若将它的百位数字与个位数字对调，得到一个新的三位数．计算新三位数与原三位数之差的绝对值，该绝对值能被9整除吗？为什么？ 33．（24-25七年级上·河南郑州·阶段练习）我们用表示一个三位数，其中x表示百位上的数，y表示十位上的数，z表示个位上的数，即． (1)试证明：若可以被3整除，则可以被3整除； (2)若能被13整除，求x，y，z之间满足的数量关系． 34．（24-25七年级上·河南南阳·期末）已知一个两位数，其十位数字是，个位数字是． (1)用代数式表示这个两位数； (2)若把这个两位数的十位数字与个位数字调换，得到一个新的两位数，计算这个新的两位数与原数的和． (3)这个和能被11整除吗？若能，请说明理由；若不能，请举一个例子． 类型八、整式加减的应用 在实际生活中，整式加减的应用本质是用字母表示实际问题中的未知量或变化量，通过建立整式模型描述数量关系，最终通过加减运算解决问题。 重难点一 实际生活中整式加减的应用 35．（24-25七年级上·四川成都·期中）某款成人男鞋有多种尺码，其中最小的尺码是，各相邻的两个尺码都相差 ．如下表所示为从尺码最小的鞋开始标号所对应的尺码（单位：）． 标号 1 2 3 尺码 标号 … 13 14 尺码 … (1)标号为7的鞋的尺码为多少? (2)标号为 m（）的鞋的尺码为多少? 36．（24-25七年级上·福建福州·期末）综合与实践活动：如图是某学校的运动场平面图，中心区域（阴影部分）由一个长方形和两个半圆组成，其中长方形的长为米，半圆的半径为米，每条跑道的宽为1.2米，若每个跑道按内侧边线的总长度计算路程．求解下面问题（结果保留）： (1)用含，的代数式表示运动场中心区域的周长． (2)如果以第一跑道长度为赛程，求第二跑道运动员的起跑位置应比第一跑道运动员起跑位置前移多少米？ (3)小华在400米的跑道上跑了一圈，如果他前三分之一时间内的平均速度为6米/秒，后三分之二时间内的平均速度为4.5米/秒，那么他这次400米跑了多长时间？（要求列方程求解） 37．（24-25七年级上·安徽合肥·期中）已知两种商品A，B，商品成本价为元，提高后出售，商品亏本后售价为元． (1)用代数式表示商品A的售价_____元，商品B的成本价_____元， (2)若出售了件商品和件商品，则用代数式表示一共盈亏多少元（结果化简）？ (3)在（2）的条件下，说明，时的盈亏情况． 重难点二 几何图形中整式加减的应用 38．（24-25七年级上·安徽合肥·期中）如图，一个边长为的正方形，挖去四个半径为的半圆剩下来的部分（单位：cm）． (1)用代数式表示剩下部分的周长； (2)当，时，剩下部分的周长是多少（取3.14）． 39．（24-25七年级下·山东潍坊·期末）如图，长为12、宽为x的大长方形被分割成7小块，除阴影部分A，B外，其余5块是形状、大小完全相同的小长方形，小长方形较短的一边长为y． (1)由图可知，每个小长方形较长一边长为________；（用含y的代数式表示） (2)用含x，y的代数式分别表示阴影部分A，B的面积； (3)当y取何值时，阴影部分A与阴影部分B的面积之差与x的值无关？并求出此时阴影部分A与阴影部分B的面积之差． 40．（24-25七年级下·江苏苏州·期末）七年级学习代数式求值时，遇到这样一类题：“代数式的值与的取值无关，求的值”．通常的解题方法是：把，看作字母，看作系数合并同类项，因为代数式的值与的取值无关，所以含项的系数为0，即原式，所以，则． (1)如果关于的多项式的值与的取值无关，那么的值为__________． (2)已知，，且的值与的取值无关，求的值． (3)有7张如图1的小长方形，长为，宽为，按照如图2的方式不重叠地放在大长方形内，大长方形中未被覆盖的两个部分(图中阴影部分)，设右上角的面积为，左下角的面积为，设，当变化时，的值始终保持不变，求与之间的数量关系． 重难点三 方案设计与比较 41．（24-25七年级上·福建福州·阶段练习）甲、乙两商场以同样价格出售同样的商品，并且又各自推出不同的优惠方案，在甲商场累计购物超过200元后，超出200元的部分按收费，在乙商场累计购物超过100元后，超过100元的部分按收费．设顾客累计购物金额为x元 (1)用含x的式子分别表示出顾客在甲、乙两商场购物的花费； (2)顾客到哪家商场购物花费少？ 42．（24-25七年级上·河北唐山·阶段练习）某服装厂生产一种西装和领带，西装每套定价400元，领带每条定价80元．厂方在开展促销活动期间，向客户提供两种优惠方案： ①买一套西装送一条领带； ②西装和领带都按定价的八五折付款． 现某客户要到该服装厂购买西装20套，领带x条（x＞20）． (1)若该客户按方案①购买，需付款多少元？（用含x的代数式表示）； 可列式为： 化简后得： ． 若该客户按方案②购买，需付款多少元（用含x的代数式表示）； 可列式为： 化简后得： ． (2)只能选择一种优惠方案，若，通过计算说明按哪种方案购买较为合算？ 43．（24-25七年级上·陕西西安·期中）某中学新校区有一块长为a米，宽为b米的长方形活动区域需要放置花坛，向全校同学征集花坛设计方案．如图是最终选出的两种方案（阴影部分为花坛），方案一中有3个半径为米的圆形花坛，方案二中花坛的总面积是方案一中花坛总面积的．    (1)请分别求出这两种方案中空地的面积； (2)方案一中的空地面积比方案二中的空地面积大多少平方米？ 类型九、整式的加减与绝对值的综合应用 44．（24-25七年级上·安徽宿州·期中）【阅读材料】我们在数学的学习过程中要接触到“数”和“形”，它们在一定条件下可以相互转化，这样的联系称为数形结合，数形结合是一种重要的数学思想方法，有着广泛的应用，在中学数学阶段，数形结合应用大致分为两种情形：借助数的精确性来阐明形的某些属性，或者借助形的几何直观来阐明数之间某种关系．我们学习过的绝对值知识从形的角度来解释就是：表示在数轴上数a到原点的距离，借助绝对值的形的解释，我们就可以得到．又比如从数的角度来解释：表示7与3差的绝对值；从形的角度来解释：7与3两个数在数轴上所对应的两点之间的距离． 【分析应用】如图1，A、B是数轴上两点（A在B的左侧），A表示的数是－3．动点M从点A出发沿数轴向右匀速运动． (1)B点表示的数是 ，A和B两点之间的距离为 ； (2)①从形的角度来解释：5与 在数轴上所对应的两点之间的距离； ②数轴上表示数a和－3的两点之间的距离表示为 ； ③当a为 时，． (3)若动点M在A和B两点之间运动，其对应数的为x，化简：．（写出化简过程） 45．（24-25七年级上·安徽宿州·期中）先阅读，再探究相关的问题：数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴可以将数与形完美结合．表示5与2差的绝对值，也可理解为5与2两数在数轴上所对应的两点之间的距离；可以看作，表示5与差的绝对值，也可理解为5与两数在数轴上所对应的两点之间的距离．已知点P为数轴上任一动点，点P对应的数记为m． (1)若点P与表示有理数的点的距离是2个单位长度，则m的值为________； (2)借助数轴思考，当________时，与的值相等； (3)借助数轴思考，当________时，有最小值，最小值为________； (4)若点P位于表示的点左侧，化简：． 46．（24-25七年级上·辽宁盘锦·阶段练习）数轴是一个非常重要的数学工具 它使数和数轴上的点建立起一一对应的关系，揭示了数与点之间的内在联系．它是“数形结合”的基础．表示3与2的差的绝对值，也可理解为3与2两数在数轴上所对应的两点之间的距离；可以看作，表示3与的差的绝对值，也可理解为3与两数在数轴上所对应的两点之间的距离． (1)数轴上表示4与的两点之间的距离为 ；表示a的点到表示的点的距离与它到表示3的点的距离之和为 （用含a的式子表示）． (2)①若，则 ． ②若使x所表示的点到表示2和的点的距离之和为4，则所有符合条件的整数的和为 ． (3)若点A，B表示的数分别为和3，设点P在数轴上表示的数为b，当时，求b的值． 47．（24-25七年级上·云南文山·期中）阅读材料：一般地，点A、B在数轴上分别对应的数为a、b，则A、B两点间的距离表示为．即：数轴上两点间的距离等于这两点所对应的数的差的绝对值．例如：与2两点之间的距离表示为． 请根据阅读材料回答下列问题： (1)如果那么______； (2)若，求x的值； (3)求的最小值． 类型十、与整式加减的新定义问题 与整式加减有关的新定义问题，本质是 “换壳不换核”，外壳是陌生的新符号/新概念，内核仍是整式的加减运算。解题时只需牢记：“先读懂定义，再转化运算，最后按整式规则计算”，无论定义多复杂，都能迎刃而解。 48．（24-25七年级上·福建厦门·期中）已知a、b是有理数， 定义一种新运算“”满足 (1)求的值； (2)求的值 49．（24-25七年级上·山东济宁·阶段练习）定义一种新运算“*”：，比如：． (1)； (2)已知，请根据上述运算，求值． 50．（23-24七年级上·广东河源·阶段练习）定义：若，则称a与b是关于2的平衡数． (1)3与______是关于2的平衡数，与______是关于2的平衡数（填一个含x的代数式）； (2)若，，判断a与b是不是关于2的平衡数，并说明理由． 51．（24-25七年级上·安徽宿州·阶段练习）对于任意代数式，，定义，例如． (1)的值为______； (2)求的值； (3)若多项式，化简多项式，并求当时，的值． 类型十一、整式加减与数轴综合应用 52．（2025·甘肃张掖·一模）如图，为数轴原点，点，在数轴上，点在原点左侧，点在原点右侧，且，．蚂蚁从点出发，以3个单位长/秒的速度沿数轴向左运动，同时蚂蚁从点出发，以2个单位长/秒的速度沿数轴运动，设点，的运动时间为（秒）． (1)点表示的数为______，点表示的数为______； (2)用含的代数式表示经过秒时点表示的数； (3)若蚂蚁沿数轴向右运动，当两只蚂蚁之间的距离为6时，求的值； (4)蚂蚁沿数轴向左运动，若无论取何值，（为常数）的值始终固定不变，求的值． 53．（21-22七年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）已知数轴上有两个点A、B．A，B对应的数分别是a，b，且满足 (1)求的长； (2)若动点P从点A出发，以4个单位长度每秒的速度沿射线的方向运动；动点Q从点B出发，以6个单位长度每秒的速度沿数轴向左运动；为中点，为中点，动点P、Q同时出发，设点P的运动时间为t秒，用含t的代数式表示； (3)在（2）的条件下，当P，Q相遇时，动点R从点O出发，以1个单位长度每秒的速度沿数轴向左运动，求t为何值时，？ 54．（24-25七年级上·河南驻马店·期中）如图，在数轴上点A表示的数为a，点B表示的数为b，点C表示的数为c，其中b是最小的正整数，且多项式是关于x的二次多项式，一次项系数为c． (1)___________，___________，___________； (2)将数轴折叠，使得点A与点C重合，若点B与点D重合，求点D表示的数； (3)当点A、点B和点C分别以每秒4个单位长度、每秒2个单位长度和每秒1个单位长度的速度沿数轴同时向左运动时，设运动时间为，李明发现：的值是个定值，即与t的取值无关，求m的值（提示：表示B，C两点间的距离，表示A，B两点间的距离）． 55．（24-25七年级上·江苏无锡·阶段练习）数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴可以将数与形完美结合．通过研究数轴，我们发现了许多重要的规律，比如：数轴上点A 和点B 表示的数为a、b，则A，B两点之间的距离． ，若 则可化简为． 若， 则可化简为， 请你利用数轴解决以下问题∶ (1)已知点 P为数轴上任一动点，点P对应的数记为m，m满足，则m的值为 ； (2)已知点 P为数轴上任一动点，点P对应的数记为m，若数轴上点P位于表示2的点的右边，则 ； (3)已知点A， B， C， D在数轴上分别表示数a， b， c， d， 四个点在数轴上的位置如图所示， 若， ，， 则等于 ． (4)已知，数轴上一动点Q从数 100表示的点出发，沿数轴以每秒钟 1个单位长度的速度来回移动，其移动方式是先向右移动1个单位长度，再向左移动2个单位长度，又向右移动3个单位长度，再向左移动4个单位长度……，求Q 点运动几秒钟后满足 的值最小？ 56．（24-25七年级上·陕西·期中）（1）数学中有很多可逆的推理，例如：如果那么利用可逆推理，已知可求的运算，记为，如，则，则．根据定义，填空：_____：_______． （2）若有如下运算性质：，，根据运算性质填空，填空：若，则_____；_____． （3）在数轴上有三点，，分别表示数，，，其中是第1问中所表示的数，是的系数，是直四棱柱的面数．点，，同时开始在数轴上运动，若点和点分别以每秒3个单位长度和4个单位长度的速度向左运动．点以每秒2个单位长度的速度向右运动．若点与点的距离表示为，点与点的距离表示为，点与点的距离表示为，运动时间为秒．是否存在，使得的值与无关？若存在，请求出的值：若不存在，请说明理由． 57．（24-25七年级上·河北秦皇岛·期末）定义新运算“△”和“□”： ①定义新运算“△”：给定有理数a、b，对于整式A、B，规定，等式右边是通常的减法、乘法运算； ②定义新运算“□”：给定正整数n（），对于整式M，规定（按从左到右的顺序依次做“△”运算）例如：当、，时，对于，，则有，． (1)当，时，若，，求和． (2)直接写出一组a，b的值，使得对任意一个正整数n（）和任意—个整式M，都有成立． (3)当，时，若，，若（p、q为正整数，且、）中不含项，直接写出满足条件的一组p、q的值． 58．（24-25七年级上·山东济南·阶段练习）【知识背景】若数轴上点，表示的数分别为，，则、两点之间的距离；线段的中点表示的数为． 【问题情境】如图，数轴上点表示的数为，点表示的数为6，点从点出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动；同时点从点出发，以每秒3个单位长度的速度向左匀速运动．设运动时间为秒． 【解决问题】 (1)填空：①线段的中点表示的数为________． ②秒后点表示的数为________；点表示的数为________． ③当，两点相遇时，点所表示的数为________． (2)点与点之间的距离表示为，求当时，点所表示的数． (3)设线段的中点为，当时，求的取值范围（直接写出结果即可）． 59．（24-25七年级上·全国·期中）数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴可以将数与形完美结合．通过研究数轴，我们发现了许多重要的规律，比如：数轴上点A和点B表示的数为a，b，则A，B两点之间的距离，若，则可化简为．请你利用数轴解决以下问题： (1)表示有理数2点与表示有理数的点的距离是______； (2)已知点P为数轴上任一动点，点P对应的数记为m，若点P与表示有理数的点的距离是3个单位长度，则m的值为______； (3)已知点P为数轴上任一动点，点P对应的数记为m，若数轴上点P位于表示的点左侧，则______； (4)已知点A，B，C，D在数轴上分别表示数a，b，c，d，四个点在数轴上的位置如图所示，若，，，则等于______． (5)若，，，，，求式子的最小值？ 60．（24-25七年级上·辽宁大连·阶段练习）【知识拓展】学习绝对值的定义我们知道，的意义是数轴上表示数的点到原点的距离．由于原点表示的数是，因此可以看作，那么的意义可以看作为数轴上表示数与的两点间的距离．这个结论还可以推广为：的意义为数轴上表示数与的两点间的距离，若表示数的点是点，表示数的点是点，则线段． 例如，的意义为数轴上表示数与的两点间的距离； 的意义为数轴上表示数与的两点间的距离； 若，则的值为或． 【拓展应用】 (1)若，则的值为______；若，则的值为______； (2)如图，数轴上线段（单位长度），（单位长度），点在数轴上表示的数是，点在数轴上表示的数是，若线段以个单位长度/秒的速度向右匀速运动，同时线段以个单位长度/秒的速度也向右匀速运动，设运动时间为秒． ①点在数轴上表示的数是______，点在数轴上表示的数是______； ②当为何值时，（单位长度）； ③当为何值时，恰好满足． 61．（23-24六年级下·黑龙江哈尔滨·期中）已知数轴上点、点对应的数分别为，，（如图1）若关于的多项式是二次二项式． (1)直接写出、值； ______；______ (2)如图2，点以每秒2个单位长度的速度从点出发沿数轴向左运动，点以每秒1个单位长度的速度从点出发沿数轴向左运动，两点同时出发，运动时间为秒，请用含的整式表示线段的长； (3)在（2）的条件下，（如图3）数轴上的点表示的数为，若点运动到点处时，两动点，同时停止运动，在点，运动过程中，若点、、三个点中，恰有一个点到另外两个点的距离之比为，请直接写出值． 62．（22-23七年级下·广东佛山·期中）如图，长为，宽为的大长方形被分割为7小块，除阴影A，B外其余5块是形状、大小完全相同的小长方形，其较短的边长为． (1)小长方形的较长边为 （用代数式表示）； (2)阴影A的一条较短边和阴影B的一条较短边之和为 ，是 的（填正确/错误）；阴影A和阴影B的周长值之和与 （填有关/无关），与 （填有关/无关）； (3)设阴影A和阴影B的面积之和为S，是否存在使得S为定值，若存在请求出的值和该定值，若不存在请说明理由． 63．（23-24七年级上·重庆万州·阶段练习）认真阅读下面的材料，完成有关问题：已知数轴上两个点之间的距离等于这两个点表示的数的差的绝对值．如图1，在数轴上点A表示的数为，点B表示的数为1，点C表示的数为3，则B，C之间的距离表示为：，A，C之间的距离表示为：．若点P在数轴上表示的数为x，则P，A之间的距离表示为：，P，B之间的距离表示为：． 利用数轴探究下列问题： (1)的最小值是 ，此时x的取值范围 ； (2)请按照（1）问的方法思考：的最小值是 ，此时x的值是 ； (3)的最小值是 ，此时x的值是 ； (4)如图2，在一条笔直的街道上有E，F，G，H四个小区，且相邻两个小区之间的距离均为．已知E，F，G，H四个小区各有2个，2个，2个，1个学生在同一所中学的同一班级上学，安全起见，这7个同学约定先在街道上某处汇合，再一起去学校．聪明的他们通过分析，发现在街道上的M处汇合会使所有学生从小区门口到汇合地点的路程之和最小，请直接写出汇合地点M的位置和所有学生从小区门口到汇合地点的路程之和的最小值． 64．（23-24七年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）对于正有理数，可用表示不超过的最大整数，例如. (1)______，______. (2)设正有理数的整数部分是，表示的小数部分用含，的式子表示______，用含的式子表示______. (3)在（2）情况下，求的值. 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $$