第5章 勾股定理与实数 课件 2025-2026学年 青岛版（2024）八年级数学上册

5．4　平方根 4．[2025·北京期中]小明用计算器求了一些正数的平方，记录如表． 下面有四个推断： ①2.464 9的平方根是±1.57 ②240的算术平方根位于15和16这两个连续的整数之间 ③对于大于16的两个正数，若它们的差等于0.1，则它们的平方的差大于3.19 ④一定有3个整数的算术平方根在15.1～15.2之间 其中正确的序号是( ) A．①②③ B．①③④ C．①②④ D．①②③④ 5．[2025·成都期中]已知a，b均为实数，且满足(a2＋b2＋1) (a2＋b2－1)＝3，则a2＋b2＝( ) A．2 B．4 C．±2 D．±4 6．[2025·合肥期中]9的算术平方根和25的平方根的和是( ) A．8 B．－2 C．8或－2 D．－8或2 7．下列说法错误的是( ) A．4是16的一个平方根 B．81的平方根是±9 C．－5是25的一个平方根 D．25的平方根是5 10．(多选)下列说法正确的是( ) A．0的平方根与算术平方根都是0 B．1的平方根是1 C．－1的平方根是－1 D．0.1是0.01的一个平方根 ±1 3 －1 5 b－1 17．[2025·唐山期中]已知a－1和5－2a都是非负数m的平方根，求m的值． 佳佳的解题过程如下： 解：因为a－1和5－2a都是非负数m的平方根， 所以a－1＋5－2a＝0，解得a＝4，a－1＝3，所以m的值为9. 佳佳的解题过程正确吗？如果不正确，请你写出正确的解题过程． 解：佳佳的解题过程不正确，理由如下： 因为a－1和5－2a是非负数m的平方根， 所以当a－1＋5－2a＝0时， 解得a＝4， 所以a－1＝3， 所以m的值为9； 当a－1＝5－2a， 解得 a＝2， 所以a－1＝1， 所以m的值为1. 综上分析可知m的值为1或9. 解：(1)因为a－17≥0，17－a≥0， 所以a＝17， 所以b＋8＝0， 所以b＝－8； (2)因为a＝17，b＝－8， 所以a2－b2＝172－(－8)2＝225， 所以a2－b2的平方根是±15. 19．[2025·咸宁期中]已知实数x的平方根是m和m＋a. (1)当a＝4时，求m的值； (2)若m2＋(m＋a)2＝18，求a－m的值． 解：(1)x的平方根是m，m＋a， 所以m＋m＋a＝0， 即2m＋a＝0. 因为a＝4， 所以2m＝－a＝－4， 所以m＝－2； (2)由题意，得m＋a＝－m， 所以m2＋(－m)2＝18， 即2m2＝18，m2＝9， 所以m＝±3， 当m＝3时，3＋a＝－3，a＝－6， 所以a－m＝－6－3＝－9； 当m＝－3时，－3＋a＝3，a＝6， 所以a－m＝6－(－3)＝9. 所以a－m的值为－9或9. 所以|x－5|＋|x－8|＝3， 当x<5时，|x－5|＝－x＋5，|x－8|＝－x＋8， 所以－x＋5－x＋8＝3， 所以x＝5(舍去)； 当5≤x≤8时，|x－5|＝x－5，|x－8|＝－x＋8， 所以x－5－x＋8＝3，符合条件； 当x>8时，|x－5|＝x－5，|x－8|＝x－8， 所以x－5＋x－8＝3， 所以x＝8(舍去)． 所以x的取值范围为5≤x≤8. 1．36的平方根是( ) A．±6 B．±eq \r(6) C．6 D．－eq \r(6) 2．[2025·嘉兴期中]下列算式中，正确的是( ) A.eq \r(（－3）2)＝－3 B．－eq \r(32)＝－3 C.eq \r(（±3）2)＝±3 D．(－eq \r(3))2＝－3 3．[2025·江门期中]若x是4的平方根，则x＋3的正的平方根 是( ) A．1 B．eq \r(5) C．1或5 D．1或eq \r(5) 8．[2024·和田期中]已知|a|＝5，eq \r(b2)＝3，且ab<0，则a－b＝( ) A．8 B．－2 C．8或－8 D．2或－2 9．(多选)[2024·潍坊期末]下列说法中正确的是( ) A．－a一定没有平方根 B．9的平方根是±3 C.eq \r(16)的算术平方根是2 D．平方根等于本身的数有0和1 11．[2025·延安期中]如果2a－1的算术平方根是3，那么a－4的平方根是 ． 12．[2025·北京期中]eq \r(4)的平方根是 ． 13．[2025·吉林期中]已知一个正数的两个不同的平方根分别 是2a－2与5－3a，则a＝ ． 14．[2025·定西期中]已知a，b满足eq \r(a2＋6a＋9)＋eq \r(b－\f(1,3))＝0，则ab＝ ． ±eq \r(2) 15．[2025·绍兴期中]计算：(－eq \r(5))2＝ ； eq \r(（1－\r(3)）2)＝ ． 16．[2025·广州期中]已知：实数a，b在数轴上的位置如图所示，化简：2eq \r(（b－1）2)＋eq \r(（a＋1）2)－|a＋b|＝ ． eq \r(3)－1 18．已知eq \r(a－17)＋eq \r(17－a)＝b＋8. (1)求a，b的值； (2)求a2－b2的平方根． 20．[2025·铜仁期末]阅读下列材料． 材料一：化简：(eq \r(1－3x))2－|1－x|. 解：由eq \r(1－3x)可知，有隐含条件1－3x≥0，即x≤eq \f(1,3)，所以1－x>0，所以原式＝(1－3x)－(1－x)＝1－3x－1＋x＝－2x. 材料二：若代数式eq \r(（a－1）2)＋eq \r(（a－3）2)的值是2，求a的取值范围． 解：因为eq \r(（a－1）2)＋eq \r(（a－3）2)＝2， 所以|a－1|＋|a－3|＝2. 当a<1时，|a－1|＝1－a，|a－3|＝3－a， 所以(1－a)＋(3－a)＝4－2a＝2，解得a＝1(舍去)； 当1≤a≤3时，|a－1|＝a－1，|a－3|＝3－a， 所以(a－1)＋(3－a)＝2，符合条件； 当a>3时，|a－1|＝a－1，|a－3|＝a－3， 所以(a－1)＋(a－3)＝2a－4＝2，解得a＝3(舍去)． 所以a的取值范围是1≤a≤3. (1)按照上面的解法，化简：eq \r(（x－3）2)－(eq \r(2－x))2； (2)实数a，b在数轴上的位置如图所示，则化简eq \r(a2)＋eq \r(（a＋b）2)－|b－a|的结果是 ； (3)若eq \r(（x－5）2)＋eq \r(（x－8）2)＝3，求x的取值范围． 解：(1)由eq \r(2－x)可知2－x≥0， 所以x≤2， 所以x－3<0， 所以eq \r(（x－3）2)－(eq \r(2－x))2 ＝|x－3|－(2－x) ＝3－x－2＋x ＝1； (2)由数轴知a<0<b，|a|>|b|， 所以a＋b<0，b－a>0， 所以eq \r(a2)＋eq \r(（a＋b）2)－|b－a| ＝|a|＋|a＋b|－|b－a| ＝－a－a－b－b＋a ＝－a－2b； 故答案为：－a－2b； (3)因为 eq \r(（x－5）2)＋eq \r(（x－8）2)＝3， $$5．3　无理数 第1课时　无理数 4．[2025·平顶山三模]在学习了勾股定理后，小张同学对勾股定理产生了浓厚的兴趣，在探索中不断发现，他用9个直角三角形纸片拼成如图所示的图形，其中每一个直角三角形都有一条直角边长为1.记这个图形的周长(实线部分)为m，则下列整数与m最接近的是( ) A．14 B．13 C．12 D．11 9．[2025·北京期中]请你写出一个无理数a，使得1<a<2，则a 为________________． (答案不唯一) 10．[2025·黔南期中]如图，将面积分别为10和5的正方形纸片放在数轴上，使正方形的一条边恰好落在数轴上，一个顶点与原点重合，其另一个顶点分别在数轴上的点A和点B处． 1．[2025·哈尔滨二模]下列选项中的数，是无理数的是( ) A.eq \f(22,7) B．3.14 C．π D．eq \r(16) 2．在一组数：0.eq \o(3,\s\up6(·))，0，eq \r(7)，eq \f(π,2) ，0.1010010001…(相邻2个1之间0的个数依次加1)中，无理数有( ) A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 3．[2025·黔南期中]如图是一个数值转换器，当按照程序输入 x＝9时，输出的y值是( ) A.eq \r(7) B．eq \r(5) C.eq \r(3) D．eq \r(2) 5.[数学文化][2025·阜阳三模]司南是中国古人利用磁铁制作的一种指南工具．如图，司南的形状像一把汤匙，它的长度与最大宽度之比为eq \r(26)－1.若eq \r(26)－1介于两个连续整数n和n＋1之间，则n的值是( ) A．3 B．4 C．5 D．6 6．[2025·中山期中]eq \r(5)＋1的整数部分为( ) A．2 B．6 C．3 D．5 7．[2025·济宁期中]若eq \r(7)的整数部分为x，小数部分为y，则x－y的值是( ) A．4－eq \r(7) B．－eq \r(7) C. eq \r(7) D．4 8．[2024·北京期中]某计算器中有eq \r(　)，1/x，x2三个按键，以下是这三个按键的功能．①eq \r(　)：将荧幕显示的数变成它的算术平方根；②1/x：将荧幕显示的数变成它的倒数；③x2：将荧幕显示的数变成它的平方．小明输入一个数据后，按照以下步骤操作，依次按照从第一步到第三步循环按键． 若开始输入的数据为10，那么第2 026步之后，显示的结果是( ) A．0.01 B．0.1 C.eq \r(10) D．100 eq \r(2) (1)点A表示的数为 ；点B表示的数为 ； (2)请你阅读以下材料，并完成作答： 因为eq \r(4)<eq \r(6)<eq \r(9)， 所以2<eq \r(6)<3， 所以eq \r(6)的整数部分为2，小数部分为eq \r(6)－2. 根据以上材料可得点B所表示的数的整数部分为 ，小数部分为 ； (3)小星想用面积为10的正方形纸片裁出一块面积为6的长方形纸片，且它的长与宽的比为2∶1，他能裁出来吗？请帮他判断并说明理由．(参考数据：eq \r(3)≈1.73，eq \r(10)≈3.16) 解：(1)－eq \r(10)，eq \r(5)；(2)2，eq \r(5)－2； (3)他不能裁出来，理由如下： 依题意，设长方形纸片的长为2r，宽为r. 所以r×2r＝2r2＝6， 则r2＝3， 所以r＝eq \r(3)≈1.73(负值已舍去) 则长方形纸片的长为2×eq \r(3)≈1.73＝3.46＞3.16， 即eq \r(10)<2eq \r(3)， 所以他不能裁出来． 11．[2025·龙岩期中]综合与实践：小李同学探索eq \r(86)的近似值的过程如下： 因为面积为86的正方形的边长是eq \r(86)，且9<eq \r(86)<10， 所以设eq \r(86)＝9＋x，其中0<x<1. 通过数形结合，可画出正方形的面积示意图： S正方形＝81＋2×9x＋x2. 因为S正方形＝86， 所以81＋2×9x＋x2＝86. 当x2<1时，可忽略x2，得81＋18x≈86，解得x≈0.28，即eq \r(86)≈9.28. (1)填空：eq \r(52)的整数部分的值为 ； (2)仿照上述方法，探究eq \r(52)的近似值(结果精确到0.01)．(解题要求：画出示意图，标明数据，并写出求解过程) 解：(1)7； (2)因为面积为52的正方形的边长是eq \r(52)，且7<eq \r(52)<8， 所以设eq \r(52)＝7＋x，其中0<x<1， 通过数形结合，可画出正方形的面积示意图： S正方形＝49＋2×7x＋x2＝52. 所以49＋2×7x＋x2＝52. 当x2<1时，可忽略x2， 得49＋14x≈52， 解得x≈0.21. 所以eq \r(52)≈7.21. $$5.6实数 夯基础 1.[2025·北京期中]下列说法正确的是() A.绝对值是V5的数是5 B.-2的相反数是士2 C1-V2的绝对值是V2-1 D.- 8的相反数是一2 2.[2025·荆门期中]下列各组数中，互为相反数的是() -9与327 B.3-8与-38 c.|-V2与V2 D.V(-2)与(N2)2 3.[2025·山东期末]下列式子错误的是() 4=±2 B./2-2=2-V2 C.-3-8=2 D.V64-364=4 4.若6十V5的整数部分是m,小数部分是n,则n一m为() A.V5-10 B 10-V5 c.V5-6 D.6-V5 5.[2025扬州二模]实数a,b,c,d在数轴上的位置如图所示， 则最小的实数为() d 0 A.a B.b D.d 6.[2025·安庆二模]在1.5，一2,0,1V3这四个数中，最大的数 是() A.1.5 B.-2 C.0 V3 7.在实数 号-2，号0.0010100,8中，无理 数的个数是() A.1 C.3 D.4 8.[2025·黄山期中]计算：13.14--1π-3=二0,14 9.[2025·绥化期中]实数a,b互为相反数，c,d互为倒数，x 的绝对值为3，式子x2+(a+b+cdx+a+b+3cd的值 是4±V3 10.[2025·南开期中]5-1V15的相反数与5-V15的绝对值的和等 于《 11.[2025·洛阳三模]古希腊时期，人们认为最美人体的头顶到肚 脐的长度与肚脐到足底的长度的比值是 著名的雕塑断臂的 维纳斯便是如此.比较大小： (填“>”或“(”) 12.[新定义刘[2025·葫芦岛期中]定义一种运算：对于任意实数a, b,都有ab=(a十2)2+b,则(V3-2)*(-V6)的值是95．2　算术平方根 4．[2025·榆林期中]如果实数a有算术平方根，那么a的值可以为( ) A．－3 B．－2 C．－1 D．0 2 2 7 1 －8 1 2 13．[2025·咸宁期中]物体自由下落的高度h(单位：m)与下落时间t(单位：s)的关系是：在地球上约为h＝4.9t2，在月球上约为h＝0.8t2. (1)物体在地球上离地面40 m与在月球上离月球表面80 m自由下落的时间各是多少？ (2)物体在哪里自由下落得快？ 2 024 (1)－16，－9，－4这三个数是一组“绝美负整数组”吗？请说明理由； (2)若三个数－2，m，－8是一组“绝美负整数组”，且其中有两个数乘积的算术平方根为6，求m的值． 1．[2025·重庆期中]若(4－m)2＋eq \r(n－5)＝0，则m＋n的算术平方根为( ) A.eq \r(3) B．－3 C．±3 D．3 2．(多选)[2025·邵阳期中]下列说法错误的是( ) A.eq \r(25)表示25的算术平方根 B．－eq \r(2)表示2的算术平方根 C．2的算术平方根记作±eq \r(2) D．若一个数的算术平方根等于它本身，则这个数是0或1 3．[2025·聊城二模]eq \r(4)的相反数是( ) A．－2 B．±2 C．4 D．±4 5．[2025·池州期中]化简：eq \r(32－22－12)＝ ． 6．[2025·西青期中]若eq \r(8n)是整数，则正整数n的最小值是 ． 7．[2025·蚌埠期中]若eq \r(x＋1)与|2y－5|互为相反数，则16y－9x的算术平方根是 ． 8．[2024·成都]若m，n为实数，且(m＋4)2＋eq \r(n－5)＝0， 则(m＋n)2的值为 ． 9．[2025·北京期中]在《实数》学习中，我们可以如图1操作：把面积为1的两个小正方形沿着对角线剪开，将所得的四个直角三角形拼成如图所示的一个大正方形，它的边长为eq \r(2).可以参考这个方法，如图2操作：将长为3、宽为2的两个长方形沿着对角线剪开，将所得的4个直角三角形围成如图所示的正方形，则内部白色正方形的边长k为 . eq \r(13) 10．[2025·广州期中]若实数x，y满足(4x＋3y－1)2＋eq \r(2x－y＋7)＝0，则xy＝ ． 11．[2025·福州期中]已知：实数a，b满足eq \r(a－4)＋(b＋3)2＝0，则a＋b的算术平方根是 ． 12．已知eq \r(2x－1)＋eq \r(1－2x)＋y＝4，则x·y的值为 ． 解：(1)在地球上：40＝4.9t2，t2＝eq \f(400,49)， 解得t＝eq \r(\f(400,49))＝eq \f(20,7) s； 在月球上：80＝0.8t2，t2＝100， 解得t＝eq \r(100)＝10 s； (2)设下降相同距离为m，在月球上， t2＝eq \f(m,0.8)＝eq \f(5m,4)，解得t＝eq \r(\f(5m,4))； 在地球上，m＝4.9t2，t2＝eq \f(m,4.9)＝eq \f(10m,49)， 解得t＝eq \r(\f(10m,49))， 因为eq \f(5m,4)>eq \f(10m,49)，所以物体在地球上自由下落快． 14.[规律探究][2025·北京期中]先观察下列等式，再回答问题： ①eq \r(1＋\f(1,12)＋\f(1,22))＝1＋1－eq \f(1,2)； ②eq \r(1＋\f(1,22)＋\f(1,32))＝1＋eq \f(1,2)－eq \f(1,3)； ③eq \r(1＋\f(1,32)＋\f(1,42))＝1＋eq \f(1,3)－eq \f(1,4)…… (1)根据以上等式提供的信息，请你写出式子eq \r(1＋\f(1,42)＋\f(1,52))化简后的 值： ； (2)请你用含n(n为正整数)的式子表示上面各等式的规律： ； eq \f(21,20) eq \r(1＋\f(1,n2)＋\f(1,（n＋1）2))＝1＋eq \f(1,n)－eq \f(1,n＋1) (3)对任何实数a，[a]表示不超过a的最大整数，如[4]＝4，[eq \r(3)]＝1，请直接写出式子[eq \r(1＋\f(1,12)＋\f(1,22))＋eq \r(1＋\f(1,22)＋\f(1,32))＋eq \r(1＋\f(1,32)＋\f(1,42))＋…＋eq \r(1＋\f(1,2 0242)＋\f(1,2 0252))]的值： ． 15.[新定义][2025·福州期中]我们知道，负数没有算术平方根，但对于三个互不相等的负整数，若两两乘积的算术平方根都是整数，则称这三个数为一组“绝美负整数组”． 例如，对于－27，－12，－3这三个数，由于eq \r(（－27）×（－12）)＝18，eq \r(（－12）×（－3）)＝6，eq \r(（－27）×（－3）)＝9，又因为18，6，9都是整数，所以－27，－12，－3这三个数是一组“绝美负整数组”． 解：(1)－16，－9，－4这三个数是一组“绝美负整数组”，理由如下， 因为eq \r(（－16）×（－9）)＝12，eq \r(（－9）×（－4）)＝6， eq \r(（－16）×（－4）)＝8， 12，6，8都是整数， 所以－16，－9，－4这三个数是一组“绝美负整数组”； (2)当eq \r(（－2）m)＝6时，解得m＝－18， 因为eq \r(（－2）×（－8）)＝4，eq \r(（－18）×（－8）)＝12， 6，4，12都是整数， 所以－2，－18，－8这三个数是一组“绝美负整数组”，符合题意； 当eq \r(（－8）m)＝6时，解得m＝－eq \f(9,2)， －eq \f(9,2)不是负整数，不符合题意，所以m的值为－18. 16.[规律探究]【问题情景】 数学活动课上，陈老师出示了一组题，阅读下列解题过程，探求规律： eq \r(1－\f(3,4))＝eq \r(\f(1,4))＝eq \f(1,2)；eq \r(1－\f(5,9))＝eq \r(\f(4,9))＝eq \f(2,3)；eq \r(1－\f(7,16))＝eq \r(\f(9,16))＝eq \f(3,4)…… 【实践探究】 (1)按照此规律，计算：eq \r(1－\f(13,49))＝ ； (2)计算：eq \r(1－\f(3,4))×eq \r(1－\f(5,9))×eq \r(1－\f(7,16))×…×eq \r(1－\f(17,81))×eq \r(1－\f(19,100))； eq \f(6,7) 【迁移应用】 (3)若eq \r(1－\f(4 049,n2))＝x符合上述规律，请直接写出x的值． 解：(1)eq \f(6,7)； (2)原式＝eq \f(1,2)×eq \f(2,3)×eq \f(3,4)×…×eq \f(8,9)×eq \f(9,10)＝eq \f(1,10)； (3)因为eq \r(1－\f(4 049,n2))＝x符合eq \r(1－\f(2n－1,n2))＝ eq \r(\f(（n－1）2,n2))＝eq \f(n－1,n)， 所以2n－1＝4 049，所以n＝2 025， 所以x＝eq \r(1－\f(4 049,2 0252))＝eq \f(2 024,2 025). 17．[2025·北辰期中]请阅读材料：一般地，如果一个正数x的平方等于a，即x2＝a，那么正数x就叫作a的算术平方根，记作eq \r(a)(即eq \r(a)＝eq \r(x2)＝x)，如32＝9，3叫作9的算术平方根． (1)计算下列各式的值：eq \r(4)＝ ，eq \r(25)＝ ，eq \r(100)＝ ； (2)观察(1)中的结果，eq \r(4)，eq \r(25)，eq \r(100)之间存在怎样的关系？写出关系式 ； (3)由(2)的猜想：eq \r(a)·eq \r(b)＝ ；(a≥0，b≥0) (4)根据(3)计算：①eq \r(2)×eq \r(8)；②eq \r(3)×eq \r(\f(4,27)). 解：(1)2，5，10； (2)eq \r(4)×eq \r(25)＝eq \r(100)； (3)eq \r(ab)； (4)①eq \r(2)×eq \r(8)＝eq \r(16)＝4； ②eq \r(3)×eq \r(\f(4,27))＝eq \r(3×\f(4,27))＝eq \r(\f(4,9))＝eq \f(2,3). $$5．5　立方根 1．[2025·鞍山期中]下列说法中正确的个数是( ) ①(－3)2的算术平方根是3　②－m2没有平方根　③非负数a的平方根是非负数　④负数没有平方根　⑤0和－1的立方根等于本身 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 6．[2025·烟台期末]如图，若用我们数学课本上采用的科学计 算器进行计算，其按键顺序为：则输出结果应为__． 5 1或2 或3 2 －3 －64 14．[2025·延安期中]请求出下列各式中x的值： (1)(x－1)3＝64； (2)x3＋0.784＝1. 解：(1)x＝5；(2)x＝0.6. 16.[规律探究][2025·南宁期中]完善下面表格，发现平方根和立方根的规律，并运用规律解决问题． －49 3 2．一个自然数a的算术平方根为x，那么a＋1的立方根是( ) A．±eq \r(3,a＋1) B．eq \r(3,（x＋1）2) C.eq \r(3,x2＋1) D．±eq \r(3,x2＋1) 3．下列结论正确的是( ) A．(eq \r(3,－9))3＝－9 B．－36的平方根是－6 C．若eq \r(a)＝eq \r(3,a)，则a＝1 D．64的立方根是±4 4．已知x＝eq \r(2)，如果a是x2＋223的算术平方根，2b－1是x2＋25的立方根，则|x－a－b|＋x的值为( ) A．－17 B．17 C．－19 D．19 5．[2025·潍坊一模]已知a1为实数，规定运算：a2＝1－eq \f(1,a1)， a3＝1－eq \f(1,a2)，a4＝1－eq \f(1,a3)，a5＝1－eq \f(1,a4)，…，an＝1－eq \f(1,an－1).按上述规 定，当a1＝2时，eq \r(3,a2 025)的值等于( ) A.eq \f(2,3) B．－eq \f(1,2) C．－1 D．0 eq \x(\r(　)) eq \x(8) eq \x(1) eq \x(－) eq \x(2ndF) eq \x(\r(　)) eq \x(6) eq \x(4) eq \x(＝) 7．若eq \r(3,8＋a)＝eq \r(3,2a－3)，则a的平方根是 . 8．[2025·北京期中]如果一个棱长为m的立方体的体积缩小为原来的eq \f(1,8)倍，则新的立方体的棱长n与m的数量关系为 ． 9．[2025·南昌期中]已知eq \r(3,x－2)＋2－x＝0，则x的值为 . ±eq \r(11) n＝eq \f(1,2)m 10．[2024·德州期末]若4a＋1的算术平方根是5，则a＋2的立方根是 ． 11．已知2x＋1的平方根是±3，4x－2y＋2的立方根是2，则－3eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋y))的立方根是 ． 12．[2025·吉林期中]若eq \r(3,a)＝－4，则a＝ ． 13．如图1为一种球形容器，它受力均匀，承载能力高，且制作材料较为节省，在运输各种气体、液体、液化气体时很受欢迎，图2为其示意图，现要生产一种容积为eq \f(9π,2) m3的球形容器，则这种容器的半径是 m．(注：球的体积计算公式为eq \f(4,3)πR3) eq \f(3,2) 15．[2025·玉林期中]已知4a－1的立方根是3，3a＋b的算术平方根是5. (1)求a，b的值； (2)求2a－b＋6的平方根； (3)求a＋eq \f(b,4)的立方根． 解：(1)因为4a－1的立方根是3， 所以4a－1＝33，解得a＝7， 因为3a＋b的算术平方根是5， 所以3a＋b＝52，即21＋b＝25，解得b＝4； (2)2a－b＋6的平方根是±eq \r(2a－b＋6)＝±eq \r(16)＝±4； (3)a＋eq \f(b,4)的立方根是eq \r(3,a＋\f(b,4))＝eq \r(3,7＋1)＝2. (1)表格中的m＝ ，n＝ ； (2)已知eq \r(15)≈3.873，eq \r(1.5)≈1.224 74，估计eq \r(150)和eq \r(0.15)的值；(结果保留四位小数) (3)若eq \r(a)≈14.1 421，eq \r(3,700)≈b，估计a＋b的值．(参考数据：eq \r(2)≈1.414 21，eq \r(20)≈4.472 1，eq \r(3,7)≈1.912 9，eq \r(3,0.7)≈0.887 90)．(结果保留四位小数) 解：(1)80，4； (2)eq \r(150)≈12.247 4，eq \r(0.15)≈0.387 3； (3)根据平方根的变化规律得 因为eq \r(2)≈1.414 21，所以eq \r(200)≈14.142 1 又因为eq \r(a)≈14.142 1，所以a≈200， 因为eq \r(3,0.7)≈0.887 90，所以b＝eq \r(3,700)≈8.879 0， 所以a＋b≈200＋8.879 0＝208.879 0. 17．[2025·洛阳期中]小明在学完立方根后研究了如下问题：如何求出－50 653的立方根？他进行了如下步骤： ①首先进行了估算：因为103＝1 000，1003＝1 000 000，所以eq \r(3,50 653)是两位数； ②其次观察了立方数：13＝1，23＝8，33＝27，43＝64，53＝125，63＝216，73＝343，83＝512，93＝729.猜想eq \r(3,50 653)的个位数字 是7； ③接着将50 653往前移动3位小数点后约为50，因为33＝27， 43＝64，所以eq \r(3,50 653)的十位数字应为3，于是猜想eq \r(3,50 653)＝37，验证，得50 653的立方根是37； ④最后再依据“负数的立方根是负数”得到eq \r(3,－50 653)＝－37，同时发现结论：若两个数互为相反数，则这两个数的立方根也互为相反数；反之也成立． 请你根据小明的方法和结论，完成下列问题： (1)eq \r(3,－117 649)＝ ； (2)若eq \r(3,1－2x)＋eq \r(3,5)＝0，则x＝ ； (3)已知eq \r(x－2)＋2＝x，且eq \r(3,3y－1)与eq \r(3,1－2x)互为相反数，求x，y的值． 解：(1)因为103＝1 000，1003＝1 000 000，所以eq \r(3,117 649)是两位数， 因为13＝1，23＝8，33＝27，43＝64，53＝125，63＝216，73＝343，83＝512，93＝729；猜想eq \r(3,117 649)的个位数字是9， 接着将117 649往前移动3位小数点后约为117，因为43＝64， 53＝125，所以eq \r(3,117 649)的十位数字应为4，于是猜想eq \r(3,117 649)＝49，验证，得117 649的立方根是49； 最后再依据“负数的立方根是负数”得到eq \r(3,－117 649)＝－49， 故答案为：－49； (2)因为eq \r(3,1－2x)＋eq \r(3,5)＝0， 所以eq \r(3,1－2x)和eq \r(3,5) 互为相反数， 所以1－2x＝－5， 所以x＝3. 故答案为：3； (3)因为eq \r(x－2)＋2＝x，即eq \r(x－2)＝x－2， 所以x－2＝0或1.解得x＝2或x＝3. 因为eq \r(3,3y－1)与eq \r(3,1－2x)互为相反数， 即eq \r(3,3y－1)＋eq \r(3,1－2x)＝0， 所以3y－1＋1－2x＝0，即3y－2x＝0， 所以当x＝2时，y＝eq \f(4,3)； 当x＝3时，y＝2. $$第5章 勾股定理与实数 5.1　勾股定理及其逆定理 第1课时　勾股定理 1．[2025·梅州期中]若直角三角形的三边长为3，4，m，则m2的值为( ) A．10 B．7 C．25 D．25或7 2．如图，有一盏由传感器A控制的灯，装在门上方离地面4.5 m 的墙上，任何东西只要移至该传感器周围5 m及5 m以内，灯就 会自动发光，一位身高1.5 m的学生要使灯刚好发光，则他与门 的距离为( ) A．4 m B．3 m C．5 m D．7 m 3．[2025·北京期中]如图，一支铅笔放在圆柱体笔筒中，笔筒 的内部底面直径是9 cm，内壁高12 cm.若这支铅笔长为18 cm， 设这只铅笔在笔筒外面部分长度为x，则x的取值范围是( ) A．2 cm<x≤5 cm B．3 cm≤x≤6 cm C．4 cm<x≤7 cm D．5 cm<x≤8 cm 4．[2025·福州期中]古诗赞美荷花：“竹色溪下绿，荷花镜里香．”如图，平静的水面上，一朵荷花亭亭玉立，露出水面2 cm，忽见它随风倾斜，花朵恰好浸入水面．仔细观察，发现荷花偏离原位置8 cm，则水的深度BC为( ) A．10 cm B．12 cm C．15 cm D．17 cm 5．[2025·乌鲁木齐期中]如图，有两棵树，一棵高10米，另一棵高2米，两树相距15米，一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，则它至少要飞行( ) A．17米 B．15米 C．10米 D．8米 6．[2025·贵州一模]如图1是第14届数学教育大会会标，中心图案来源于我国古代数学家赵爽的“弦图”．如图2所示的“弦图”是由4个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的大正方形．已知大正方形的边长AD为10，AE的长为6，则小正方形的边长EF为( ) A．6 B．4 C．3 D．2 8．[2024·阜阳期中]如图，四边形ABCD的对角线AC⊥BD，相交 于点O.若AB＝3CD＝6，则AD2＋BC2＝___． 40 9.[新定义]定义：如图，点M，N把线段AB分割成AM，MN和BN三 条线段，若以线段AM，MN，BN为边的三角形是一个直角三角形， 则称点M，N是线段AB的勾股分割点．已知点M，N是线段AB的勾 股分割点，若AM＝2，MN＝3，则BN2＝______． 5或13 10．[2025·北京期中]如图，图1中的直角三角形斜边长为5， 将四个图1中的直角三角形分别拼成如图2所示的正方形，其中 阴影部分的面积分别记为S1，S2，则S1＋S2的值为___． 25 11．[2025·焦作期中]如图，三级台阶每一级的长宽高分别是 5 cm，3 cm和1 cm，A和B是这个台阶的两个相对的端点，点A 上有一只蚂蚁，想到点B去吃可口的食物，则蚂蚁沿着台阶面 爬到点B的最短路程长为___cm. 13 12．[2025·贵港期中]如图，一个圆柱形玻璃杯的高为10 cm， 底面周长为10 cm，在杯内壁底部的点B处有一滴蜂蜜，此时一 只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿2 cm与蜂蜜相对的点A处，则蚂 蚁从外壁A处到内壁B处的爬行最短路线的长为___cm.(杯壁厚度 不计) 13 13．[2025·昆明期中]如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝3， AC＝5，将△ABC折叠，使点C与点A重合，折痕为DE. (1)求CE的长； (2)求点B到斜边AC的距离． 14．[2025·宜宾期末]在海平面上有A，B，C三个标记点，C为灯塔，港口A在灯塔C的北偏西55°方向上，港口A与灯塔C的距离是40海里；港口B在灯塔C的南偏西35°方向上，港口B与灯塔C的距离是30海里，一艘货船将从港口A沿直线向港口B运输货物，货船的航行速度为10海里/小时． (1)求货船从港口A航行到港口B需要多少时间； (2)为了保障航行的安全，C处灯塔将向航船发送安全信号，信号有效覆盖半径为25海里，这艘货船在由港口A向港口B运输货物过程中，为保证安全航行，货船接收灯塔的安全信号时间不低于1小时才符合航行安全标准．请问这艘货船在本次运输中是否符合航行安全标准，并说明理由？ 15．著名的赵爽弦图(如图1，其中四个直角三角形较大的直角边长都为a，较小的直角边长都为b，斜边长都为c)，由此推导出直角三角形的三边关系：如果直角三角形两条直角边长为a，b，斜边长为c，则a2＋b2＝c2. (1)图2为美国第二十任总统伽菲尔德的“总统证法”，请你利用图2推导上面的关系式； 利用以上所得的直角三角形的三边关系进行解答： (2)如图3，在一条东西走向河流的一侧有一村庄C，河边原有两个取水点A，B，其中AB＝AC，由于某种原因，由C到A的路现在已经不通，该村为方便村民取水决定在河边新建一个取水点H(点A，H，B在一条直线上)，并新修一条路CH，且CH⊥AB.测得CH＝6千米，HB＝4千米，求原路CA长多少千米？ (2)设CA＝AB＝x千米，则AH＝(x－4)千米， 在Rt△ACH中，CA2＝CH2＋AH2，即x2＝62＋(x－4)2， 解得x＝6.5， 答：原路CA长6.5千米． 16．[2025·晋中期中]阅读小敏的数学日记，思考并解决问题． 2024年9月6日　 星期五　 天气：晴 从勾股定理到面积关系的思考 经过《探索勾股定理》一节的学习，我已经知道：如图1，分别以直角三角形ABC的三边为边向外作三个正方形，其面积分别用S1，S2，S3表示，则根据勾股定理，易得出S1，S2，S3之间的数量关系： ．改成其他图形，那么这个面积关系是否仍然成立呢？ 对此，我展开了探究： 如图2，分别以直角三角形ABC的三边为直径向外作三个半圆，其面积分别用S1，S2，S3表示，我发现，S1，S2，S3之间有如下数量关系： . 理由如下：…… 任务一：如图1，分别以直角三角形ABC的三边为边向外作三个正方形，其面积分别用S1，S2，S3表示，请写出S1，S2，S3之间的数量关系： ； 任务二：如图2，分别以直角三角形ABC的三边为直径向外作三个半圆，其面积分别用S1，S2，S3表示，请问：任务一中S1，S2，S3之间的数量关系是否仍然成立？并说明理由； 任务三：如图3，四边形ABCD的对角线互相垂直，现以四边形 ABCD的四条边为边向外作四个正方形，面积分别为S1，S2，S3， S4.已知S1＝1，S2＝2，S3＝5，则S4＝ ． 任务三：设AC，BD相交于点O，如图3： 则△AOB，△AOD，△BOC，△DOC均为直角三角形，由勾股定理，得 AO2＋BO2＝AB2， DO2＋CO2＝CD2， 所以AO2＋BO2＋DO2＋CO2＝AB2＋CD2， 所以(AO2＋DO2)＋(CO2＋BO2)＝AB2＋CD2. 所以AD2＋BC2＝AB2＋CD2， 即S4＋S2＝S1＋S3， 又因为S1＝1，S2＝2，S3＝5， 所以S4＋2＝1＋5， 所以S4＝4. 故答案为：4. 7.[规律探究][2025·重庆期中]如图，正方形ABCD的边长为a，其面积标记为S1，以CD为斜边作等腰直角三角形，并以该等腰直角三角形的一条直角边为边向外作正方形，其面积标记为S2……按照此规律继续下去，若Sn＝eq \f(a2,22 025)，则n的值为( ) A．2 024 B．2 025 C．2 026 D．2 027 解：(1)在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝3，AC＝5， 所以BC2＝AC2－AB2＝16, BC＝4. 由折叠的性质可得AE＝CE， 设BE＝x，则AE＝CE＝4－x， 在Rt△ABE中，由勾股定理，得AB2＋BE2＝AE2， 所以32＋x2＝(4－x)2，解得x＝eq \f(7,8)， 所以BE＝eq \f(7,8)，所以CE＝4－x＝eq \f(25,8)； (2)点B到斜边AC的距离为h， 因为S△ABC＝eq \f(1,2)AC·h＝eq \f(1,2)BC·AB， 所以h＝eq \f(BC·AB,AC)＝eq \f(4×3,5)＝eq \f(12,5)， 答：点B到斜边AC的距离为eq \f(12,5). 解：(1)因为港口A在灯塔C的北偏西55°方向上，港口A与灯塔C的距离是40海里；港口B在灯塔C的南偏西35°方向上， 所以∠BCA＝180°－35°－55°＝90°， 所以AB2＝AC2＋BC2＝2 500＝502， 所以AB＝50(海里)， 因为货船的航行速度为10海里/小时， 所以t＝eq \f(50,10)＝5(小时)， 答：货船从A港口到B港口需要5小时； (2)这艘船在本次运输中符合航行安全标准，理由如下： 如图，过点C作CD⊥AB交AB于点D， 在AB上取两点M，N使得CM＝CN＝25海里， 因为S△ABC＝eq \f(1,2)AC·BC＝eq \f(1,2)AB·CD， 所以CD＝eq \f(AC·BC,AB)＝eq \f(40×30,50)＝24(海里)， 所以DM2＝CM2－CD2＝49＝72， 所以DM＝7海里， 同理可得DN＝7海里， 所以MN＝14海里， 所以t1＝eq \f(MN,10)＝1.4(小时)， 因为1.4>1， 所以这艘货船在本次运输中符合航行安全标准． 解：(1)由题意，得梯形ABCD的面积为eq \f(1,2)(a＋b)(a＋b)或eq \f(1,2)c2＋ab， 所以eq \f(1,2)(a＋b)(a＋b)＝eq \f(1,2)c2＋ab， 所以eq \f(1,2)a2＋ab＋eq \f(1,2)b2＝ab＋eq \f(1,2)c2， 即a2＋b2＝c2； 任务一：S2＋S3＝S1； 任务二：结论仍成立，理由如下： 因为S2＝eq \f(1,2)π×(eq \f(BC,2))2＝eq \f(π,8)×BC2，S3＝eq \f(1,2)π×(eq \f(AC,2))2＝eq \f(π,8)×AC2，S1＝eq \f(1,2)π×(eq \f(AB,2))2＝eq \f(π,8)×AB2， 因为△ABC为直角三角形， 所以BC2＋AC2＝AB2， 所以eq \f(π,8)×AC2＋eq \f(π,8)×BC2＝eq \f(π,8)×AB2，即S2＋S3＝S1； $$第2课时　勾股定理的逆定理 1．[2025·南充二模]在2×3网格中，三角形的顶点在格点上，求α＋β的值( ) A．45° 　 B．90 ° C．100° 　 D．不确定 2．(多选)[2025·綦江期中]下列各组数中能作为直角三角形的三边长的是( ) A．6，8，10 B．7，24，25 C．1，2，3 D．9，12，15 3．[2025·西安期中]已知a，b，c为△ABC的三边，且满足a2b2－a2c2＝b4－c4，则△ABC是( ) A．直角三角形 B．等腰三角形 C．等腰直角三角形 D．等腰或直角三角形 4．(多选)[2025·绵阳期中]下列三角形中是直角三角形的 是( ) A．三个内角之比为1∶2∶3 B．其中一边上的中线等于这一边的一半 C．三边之长为6，8，10 D．三边之比为3∶4∶6 5．[2025·长沙期中]为增长学生自然科学知识，培养学生的劳动技能与责任感，学校分给各班级一块地，让学生学习种菜．八年级三班分得一块三角形菜地，测得三角形菜地的三边长分别为2.5 m，6 m，6.5 m，则三角形菜地的面积是( ) A．7.5 m2 B．8.125 m2 C．15 m2 D．19.5 m2 7．[2025·北京期中]如图，在△ABC中，∠ABC的平分线交AC于 点D，E为线段BD上一动点，F为边AB上一动点，若AB＝5，BD＝4， AD＝DC＝3，则AE＋EF的最小值为____． 8．[2025·乌兰察布期中]如图，小红家的木门左下角有一点受 潮，她想检测门是否变形，采用了如下方法进行检测：先测得 门的边AB和BC的长分别为2.4 m和1 m，又测得点A与点C间的距离 为2.6 m，则小红家的木门_________．(填“已变形”或“没有 变形”) 没有变形 9．[2025·昆明期中]如图，在四边形ABCD中，∠B＝90°， AB＝3，BC＝4，CD＝12，AD＝13.则四边形ABCD的面积＝___． 24 10．[2025·渝北期中]周末，小斌在父母的陪伴下坐车外出游玩．在一段笔直的公路AB段外有一个景点C，由于视线遮挡原因．只有在离景点C 250 m以内的区域才能欣赏景点C.已知AB＝500 m，AC＝300 m，BC＝ 400 m. (1)请通过计算说明小斌一家在公路AB段行 驶时能否欣赏到景点C? (2)已知在公路AB段欣赏景点C的足够时间为18 s，小斌家汽车在AB段以7 m/s的速度匀速行驶．请你通过计算判断小斌家在公路AB段欣赏景点C的时间足够吗？ (2)以C为圆心，250 m长为半径画圆，交AB于点G，H，连接CG，CH， 由题意，得CG＝CH＝250 m，且CG，CH关于CD对称， GD2＝CG2－CD2＝702， 所以GH＝140 m， 所以140÷7＝20(s)>18 s， 故小斌家在公路AB段欣赏景点C的时间足够． 11．[2025·吕梁期中]综合与实践 为了测量如图墙体是否与地面垂直，即MO是否垂直PN于点O，在没有角尺、量角器、刻度尺，只有足够长、足够多的若干条无弹性的绳子的情况下，两个数学兴趣小组分 别设计了两种不同解决方案，设计方案如表所 示： 问题 如何测量墙体是否与地面垂直？ 工具 若干条无弹性的绳子 小组 第一小组 第二小组 测量 方案 模仿古埃及人用结绳的方法，在一条绳子上打13个结，得到12条线段，且用叠合法使得这12条线段都相等，设每一条线段长为a.如图1放置这条总长是12a的绳子，使在OM上的绳子OA＝4a，在ON上的绳子OB＝3a，若AB＝5a，则AO⊥OB，即MO⊥PN于点O，否则不垂直. 测量 示意图 (1)第一小组的方案可行吗？如果可行，请给出证明；如果不可行，请说明理由； (2)请你代表第二小组，写出一个应用原理不同于第一小组的测量方案，并在图2中画出测量示意图，然后证明方案的可行性． 解：(1)第一小组的方案可行． 证明：因为OB2＋OA2＝(3a)2＋(4a)2＝25a2， 若AB2＝(5a)2＝25a2， 则OA2＋OB2＝AB2， 所以∠AOB＝90°， 所以OA⊥OB， 所以MO⊥PN； (2)第二小组的测量方案是：如图2，在射线OM，ON上分别取点A，B，放置绳子AB，对折AB得到相等的两段AC，BC，放置绳子OC，用叠合法比较OC与BC的长度，若OC＝BC，则墙体与地面垂直，即MO⊥PN于点O，否则不垂直． 证明：因为AC＝BC，若OC＝BC， 则AC＝OC＝CB， 所以∠CAO＝∠COA，∠COB＝∠CBO， 又因为∠CAO＋∠COA＋∠COB＋∠CBO＝180°， 所以∠COA＋∠COB＝90°，即∠AOB＝90°， 所以AO⊥OB， 所以MO⊥PN. 12.[数学传统文化][2025·沧州一模] 材料：据我国古代《周髀算经》记载，在古代，把直角三角形 中较短的直角边称为勾，较长的称为股，斜边称为弦，并发现 了“勾股定理”．若直角三角形三边长都为正整数，则称其为 一组勾股数，如“勾3股4弦5”．以下n为正整数，且n≥2. 探究一：嘉嘉观察几组勾股数：3，4，5；5，12，13；7，24， 25；9，40，41；…，发现这几组勾股数的勾都是奇数，从3起 就没有间断过，且股和弦只相差1.若股用2n(n－1)表示，弦用 2n(n－1)＋1表示，则勾可以表示为______(用含n的代数式表示)； 2n－1 探究二：淇淇观察如下排列数字的几组勾股数：4，3，5；6， 8，10；8，15，17；10，24，26；12，35，37；14，48，50； 16，63，65；…. (1)淇淇发现1：每组勾股数中第一个数为偶数； 淇淇发现2：若用2n表示第一个偶数，其他两边中的短边表示 为n2－1，则第三条边可表示为_____(用含n的代数式表示)； (2)请你论证淇淇的发现2. n2＋1 解：探究一：2n－1； 探究二：(1)n2＋1； (2)证明：因为(2n)2＋(n2－1)2＝n4＋2n2＋1＝(n2＋1)2， 所以2n，n2－1，n2＋1是一组勾股数. 6．[2025·西青二模]如图，在△ABC中，AB＝3，AC＝4，BC＝5，以点B为圆心，适当长为半径画弧，交BA，BC于M，N两点，分别以M，N为圆心，大于eq \f(1,2)MN的长为半径画弧，两弧交于点P，画射线BP交AC于点D，则线段AD的长为( ) A．1 B．eq \f(3,2) C．2 D．eq \f(5,2) eq \f(24,5) 解：(1)过点C作CD⊥AB， 因为AB＝500 m，AC＝300 m，BC＝400 m， 所以AB2＝AC2＋BC2. 所以∠ACB＝90°. 根据面积法可得，C到AB的距离CD＝eq \f(AC·BC,AB)＝eq \f(300×400,500)＝240(m)<250 m. 所以小斌一家在公路AB段行驶时能欣赏到景点C； $$第2课时　数轴及网格中的无理数 3．在边长为1的正方形网格中，线段AB的长为a, 则a 在数轴上的位置落在( ) A．①段 B．②段 C．③段 D．④段 3 (2)如图所示，线段DE即为所求． 6．[2025·哈尔滨期中]如图1，纸上有五个边长为1的小正方形组成的图形，我们可以把它剪开拼成一个正方形． (1)拼成的正方形的边长为 ； (2)如图2，若把图1中的直角△ABC的直角边BC放在数轴上，点C与原点重合，点B对应的数为－1，以点B为圆心，以AB长为半径画弧，交数轴的正半轴于点P，则点P表示的数为 ； (3)如图3，在6×6的网格中有阴影部分如图所示．(每个小正方形的边长均为1) ①请直接写出阴影部分的面积： ； ②请将阴影部分剪拼成一个正方形，并把剪拼后的正方形画在图4中； ③直接写出剪拼后的正方形的边长： . 8．[2025·福州期中]【生活发现】 (1)如图1，把两个面积为1的小正方形分别沿对角线剪开，将所得的4个直角三角形拼在一起，就得到了一个面积为2的大正方形，则大正方形边长为 ； 根据有理数的定义：可以表示为两个互质(没有除1之外的公因数)整数的商的形式的数称为有理数，整数可以看作分母为1的有理数；反之为无理数． 因为b是整数且不为0， 所以a是2的倍数． 设a＝2n(n是整数，且n≠0)， 则a2＝4n2. 所以b2＝2n2. 所以b2是2的倍数， 所以b也是2的倍数，与a，b是互质的整数矛盾． 所以 不是有理数． 1．[2025·延边二模]如图，若将三个数－eq \r(13)，eq \r(3)，eq \r(13)表示在数轴上，其中能被墨迹覆盖的数是( ) A.eq \r(13) B．eq \r(3) C．－eq \r(13) D．无法确定 2．[2025·德州期中]如图，矩形ABCD中，AB＝3，AD＝1，AB在数轴上，若以点A为圆心，对角线AC的长为半径作弧交数轴于点M，则点M表示的数为( ) A．2 B．eq \r(5)－1 C.eq \r(10)－1 D．eq \r(5) 4．[2025·长春二模]在数轴上，介于eq \r(5)和eq \r(11)之间的整数是 ． 5．[2025·合肥期中]如图，正方形网格中每个小正方形的边长都是1，小正方形的顶点称为格点． (1)在图1中，试判断格点△ABC的形状，并证明； (2)在图2中，画出长为eq \r(34)的线段DE. 解：(1)△ABC是等腰直角三角形，证明如下： 因为每个小正方形的边长都是1， 所以AC＝BC＝eq \r(22＋12)＝eq \r(5)， AB＝eq \r(32＋12)＝eq \r(10)， 所以AC2＋BC2＝5＋5＝10＝AB2， 所以∠ACB＝90°， 所以△ABC是等腰直角三角形； 解：(1)eq \r(5)；(2)eq \r(5)－1； (3)①10； ②剪拼后的正方形如图； ③eq \r(10). 7．[2025·滨州期中]【阅读理解】在数学学习中，我们常借助由边长为1的小正方形组成的网格来解决问题，并把由格点(小正方形的顶点)组成的正方形称为格点正方形．图1是由四个边长为1的小正方形组成的网格，容易发现格点正方形ABCD的面积为2，则这个格点正方形的边长为eq \r(2). 【问题解决】 (1)图2是由9个小正方形网格组成的图形，那么格点正方形EFGH的边EH＝ ； (2)在由16个小正方形网格组成的图3中，画出边长为eq \r(8)的格点正方形； (3)若a是5＋eq \r(8)的小数部分，b是5－eq \r(8)的小数部分，求(a＋b)2 025的值． 解：(1)eq \r(5)； (2)如图，四边形IJKM是边长为eq \r(8)的格点正方形； (3)因为eq \r(4)<eq \r(8)<eq \r(9)， 所以2<eq \r(8)<3， 所以7<5＋eq \r(8)<8，3>5－eq \r(8)>2， 因为a是5＋eq \r(8)的小数部分，b是5－eq \r(8)的小数部分， 所以a＝5＋eq \r(8)－7＝eq \r(8)－2， b＝5－eq \r(8)－2＝3－eq \r(8)， 所以a＋b＝eq \r(8)－2＋3－eq \r(8)＝1， 所以(a＋b)2 025＝12 025＝1. 【提出猜想】 通过不断估算，发现eq \r(2)不能表示为两个互质的整数的商．因此，提出猜想：eq \r(2)不是有理数． 【数学证明】 假设：eq \r(2)为有理数，那么存在eq \r(2)＝eq \f(a,b)(a与b是互质的两个整数，且b≠0)， 则2＝eq \f(a2,b2)，即a2＝2b2. eq \r(2) 【类比迁移】 (2)如图2，是一个顶点与原点重合且一边在数轴上的正方形，且该正方形面积为5，请你利用尺规，在数轴上标出表示eq \r(10)的点E； (3)请你模仿上述过程，证明：eq \r(10)不是有理数． 解：(1)eq \r(2)； (2)如图，点E即为所作； (3)假设：eq \r(10)为有理数，那么存在eq \r(10)＝eq \f(a,b)(a与b是互质的两个整数，且b≠0)， 则10＝eq \f(a2,b2)，即a2＝10b2. 因为b是整数且不为0， 所以a是10的倍数． 设a＝10n(n是整数，且n≠0)， 则a2＝100n2. 所以b2＝10n2. 所以b2是10的倍数， 所以b也是10的倍数，与a，b是互质的整数矛盾． 所以eq \r(10)不是有理数. $$