九下 2.2 第1课时 二次函数y=x2和y=-x2的图象与性质-【初中学霸创新题】2025-2026学年九年级全册数学同步教案(北师大版)

2 二次函数的图象与性质（第1课时） 课题 二次函数的图象与性质（第1课时） 授课类型 新授课 授课人 教学内容 课本P32-34 教学目标 1. 经历探索二次函数图象的画法和性质的过程，获得利用图象研究函数性质的经验。 2. 能用描点法画出二次函数的图象，并能根据图象认识和理解二次函数的性质，说出二次函数图象的开口方向、对称轴和顶点坐标。 教学重难点 重点：能够利用描点法画函数y=x2的图象，能根据图象认识和理解二次函数y=x2的性质。 难点：猜想并能作出y=﹣x2的图象，能比较它与y=x2的图象的异同。 教学准备 多媒体课件。 教与学互动设计（教学过程） 设计意图 1.创设情景，导入新课 请同学们先欣赏几幅图片，如图。(多媒体呈现) 在客观世界中存在很多这样形状的实物，我们把这样的形状叫做抛物线。那么我们知道，一次函数的图象是一条直线，反比例函数的图象是双曲线，那么，有没有一种函数的图象是抛物线呢？我们上节学习的二次函数，它的图象会是抛物线吗？从今天这节课开始，我们将一块儿探究二次函数的图象与性质。（板书课题：二次函数的图象与性质 第1课时） 创设有意义的问题情境，使学生对抛物线产生认识，调动学生学习积极性，体会到数学来源于生活，同时引出课题。 2.实践探究，学习新知 【探究1】二次函数y=x2的图象 二次函数的图象会是的图象会是抛物线吗？让我们先看最简单的二次函数y=x2。大家还记得画函数图象的一般步骤吗？ 师生活动：学生思考作图分享。（在学生作图过程中，由于取值的不同，作图结果不同，可以展示学生几种不同的作图，让学生判断） 学生：记得。 列表，描点，连线。 教师：非常正确，下面就请同学们跟我按上面的步骤作出的图象。（多媒体呈现） （1）列表： x … -3 -2 -1 0 1 2 3 … y … 9 4 1 0 1 4 9 … （2）在直角坐标系中描点。 （3）用光滑的曲线连结各点，便得到函数图象。 教师：同学们有没有什么疑惑？ 学生：老师，为什么要用光滑的曲线来连接各点呢？虽然在作反比例函数图象的时候也是用光滑的曲线连接各点。但在作一次函数图象时我们都是直接用直线来连接各点的，我这里画出的是折线图，难道不对吗？ 老师：这个问题提得好。二次函数的图象在连线时到底用直线连接还是用光滑的曲线来连接更为合理呢？其实同反比例函数一样，列表时我们取的点都是整数点，在整数点之间还有许多小数的点并未取，如自变量1与2之间还有无数个小数，当我们把点取得更多一些时，我们就能看出二次函数图象的真正面貌了。不妨取20个点试试，再取50个点试试。 学生：我明白了，取的点足够多时，图象是曲线，所以取的点少时，就用平滑的曲线连接。 【总结归纳】二次函数作图时应注意的问题 （1）列表时选取的自变量的值应以0为中心，左右两边对称取点； （2）按自变量从小到大的顺序依次描点、连线，连线时用平滑的曲线。 【探究2】二次函数y=x2的图象与性质 同学们，根据刚才我们所作图象，请思考以下几个问题：（多媒体呈现） 师生互动：教师提出问题，学生思考讨论回答，教师引导总结。以学生思考交流为主，逐条获得二次函数图象的性质。 （1） 你能描述图象的形状吗？ （2） 图象与x轴有交点吗？如果有，交点坐标是什么？ （3） 当x＜0时，随着x值的增大，y的值如何变化？当x＞0时呢？ （4） 当x取什么值时，y的值最小？最小值是什么？你是如何知道的？ （5） 图象是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么？请找出几对对称点。 学生：（1）图象的形状是一条曲线，就像抛出的物体所进行的路线的倒影。 （2）图象与x轴有交点，交点坐标就是（0，0）。 （3）当x＜0时，图象在y轴的左侧随着x值的增大，y的值逐渐减小；当x＞0时，图象在y轴的右侧，随着x值的增大，y的值逐渐增大。 （4）观察图象可知，当x=0时，y的值最小，最小值为0。 （5）观察图象是轴对称图形，它的对称轴是轴，从刚才的列表中可找到对应点（-1，1）和（1，1）；（-2，4）和（2，4）；（-3，9）和（3，9）。 教师：大家分析判断能力很棒，下面我们系统地总结一下. 【归纳总结】y=x2的图象的性质（多媒体呈现或板书）以表格形式归纳梳理y=x2的图象与性质，条理清晰更为直观，有助于学生理解记忆。 函数表达式 y=x2 图象 抛物线 开口方向 开口向上 对称轴 y轴（或直线x=0） 顶点坐标 （0，0） 增减性 当x＜0时，y随x的增大而减小； 当x＞0时，y随x的增大而增大 最值 当x=0时，y有最小值，最小值是0 【探究2】二次函数y=﹣x2的图象与性质 二次函数y=﹣x2与y=x2的表达式有什么差异，图象可能存在怎样的关系？先想一想，然后作出y=﹣x2的图象。总结二次函数y=﹣x2的图象性质？与同伴进行交流。（多媒体呈现）不再将问题一一列出，发挥学生的主观能动性，让学生通过思考与交流，获得二次函数y=﹣x2的图象与性质。 师生活动：教师提出问题，学生思考讨论总结。 学生：二次函数y=﹣x2与y=x2的表达式只有x的系数相反，所以两图象关于x轴对称，即二次函数y=﹣x2的图象与y=x2的图象形状相同，都是抛物线，但开口方向向下。 二次函数y=﹣x2的图象如图。 二次函数y=﹣x2图象与性质，如表所示。 函数表达式 y=﹣x2 图象 抛物线 开口方向 开口向下 对称轴 y轴（或直线x=0） 顶点坐标 （0，0） 增减性 当x＜0时，y随x的增大而增大； 当x＞0时，y随x的增大而减小 最值 当x=0时，y有最大值，最小值是0 让学生根据函数图象的画法自主探究二次函数图象的形状。 3.学以致用，应用新知 考点 二次函数的图象与性质 二次函数y＝x2的图象是（　　） A．线段 B．直线 C．抛物线 D．双曲线 答案：C 2．下列说法中错误的是（　　） A．抛物线y＝x2和y＝﹣x2有共同的顶点和对称轴 B．抛物线y＝x2和y＝﹣x2的开口方向相反 C．抛物线y＝x2和y＝﹣x2关于x轴成轴对称 D．点A（﹣3，9）在抛物线y＝x2上，也在抛物线y＝﹣x2上 答案：D 3．已知a＜﹣1，点（a﹣1，y1），（a，y2），（a+1，y3）都在函数y＝﹣x2的图象上，则（　　） A．y1＜y2＜y3 B．y1＜y3＜y2 C．y3＜y2＜y1 D．y2＜y1＜y3 答案：A 在例题讲解的基础上，通过基本的练习，进一步提升学生对二次函数的图象与性质的理解掌握。 4.随堂训练，巩固新知 1. 下列图象中，是二次函数y＝x2的图象的是（　　） A．B． C．D． 答案：A 2. 二次函数y＝x2与一次函数y＝x+1在同一坐标系中的大致图象可能是（　　） A．B．C． D． 答案：D 3. 对于抛物线y＝x2和y＝﹣x2，下列说法中正确的有（　　） ①两条抛物线关于x轴对称； ②两条抛物线关于原点中心对称； ③两条抛物线各自关于y轴对称； ④两条抛物线没有公共点． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 答案：C 4. 已知﹣1＜a＜0，点（a﹣2，y1），（a，y2），（a+2，y3）都在函数y＝x2的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是（　　） A．y1＜y2＜y3 B．y2＜y3＜y1 C．y3＜y2＜y1 D．y3＜y1＜y2 答案：B 进一步巩固新知，同时为学生提供自我检测的机会，教师也可针对学生的学习情况，及时调整授课，查缺补漏。 5.课堂小结，自我完善 教师引导学生畅所欲言地谈谈本节课的收获： 1.经历了探索二次函数y＝x2和y＝﹣x2图象的画法与性质的过程； 2.能用描点法画出二次函数的图象，并能根据图象认识和理解二次函数的性质。 通过小结，回顾探索新知识的过程，进一步感悟其中蕴含的数学思想方法，提高学生的概括能力，培养学生良好的回顾和反思的习惯。 6.布置作业 1.书面作业：P34 习题2.1。 让学生所学知识得以运用，在巩固学生知识技能的同时也减轻学生负担。 板书设计 二次函数的图象与性质（第1课时） 1、 二次函数y=x2 2、 二次函数y=﹣x2 教师题目讲解 学生活动区 投影区 提纲掣领，重点突出。 教后反思 本节课首先通过列表描点连线初步得到的图象，进而通过增加满足函数的点数感悟此函数的真正图象，并通过观察图象来了解函数图象的性质特征。先通过对比函数与函数的表达式，猜想图象，进而通过画图再研究图象的性质，并对两函数图象进行对比。 反思，更进一步提升。 学科网（北京）股份有限公司 $$