九下 1.1 第2课时 正弦、余弦-【初中学霸创新题】2025-2026学年九年级全册数学同步教案(北师大版)

1 锐角三角函数 第2课时 课题 锐角三角函数（第2课时） 授课类型 新授课 授课人 教学内容 课本P1-27 教学目标 1.经历探索直角三角形中边角关系的过程。 2.理解锐角三角函数正弦、余弦的意义，并能够举例说明。 3.能够运用cos A，sin A表示直角三角形中两边的比。 4.能够根据直角三角形中的边角关系，进行简单的计算。 教学重难点 重点：理解正弦、余弦的概念。 难点：用函数观点理解正弦、余弦，并用它来解决生活中的实际问题。 教学准备 多媒体课件。 教与学互动设计（教学过程） 设计意图 1.复习回顾，导入新课 教师：通过上节课的学习，我们知道刻画梯子倾斜程度的方法一共有几种？ 学生：有两种。一种是用梯子的倾斜角来刻画梯子的倾斜程度，一种是用倾斜角的正切来刻画梯子的倾斜程度。 教师：很好！在上节课的学习中，我们得出当倾斜角一定时，倾斜角的对边和邻边的比值也就随之确定，即这一比值只与倾斜角的大小有关,与直角三角形的大小无关。并在此基础上用直角三角形中锐角的对边与邻边之比定义了正切。那么还有没有其他方法来刻画梯子的倾斜程度呢?今天，我们就对这个问题继续进行深入研究。（板书课题：锐角三角函数 第2课时） 教师出示问题，学生回答，然后教师引出课题。 创设有意义的问题情境，调动学生学习积极性，让学生感受到倾斜程度在生活中的随处可见，并可以用数学模型来描述。 2.实践探究，学习新知 【探究1】 我们知道，当Rt△ABC中的锐角A确定时,∠A的对边与邻边的比便随之确定，此时其它边之间的比值也确定吗? （多媒体呈现）类比学习，基于学生上节课学习的∠A确定，其对边和邻边的比便确定的证明方法，直接由学生得出其他边的比值也是确定的。 学生：当Rt△ABC中的锐角A确定时,其它边之间的比值也确定。 教师：为什么？可以说下理由吗？ 学生：因为任意两个直角三角形，当其中有一个锐角相等时，这两个三角形一定相似，所以其它边之间的比值也同对边和邻边的比值一样，是确定的。 教师（引入概念）：非常好，在Rt△ABC中，如果锐角A确定，那么不仅∠A的对边与邻边的比是确定的，其他边的比值也是确定的。引入正弦、余弦的概念和表示，理解sin A，cos A同tan A一样，是抽象的符号，它代表“比”或“比值”。 此时，我们把∠A的对边BC与斜边AB的比叫做∠A的正弦，记作sin A，即； 把∠A的邻边AC与斜边AB的比叫做∠A的余弦，记作cos A，即。（多媒体呈现或板书正、余弦公式） 把锐角A的正弦，余弦，正切和余切都叫做∠A的三角函数。 教师：同学们还记得我们上节课学习正切时，对于正切有哪些要注意的吗？ 学生：（1）tan A中常省略角的符号“∠”； （2）用希腊字母表示角时也可省略“∠”，如：tan α，tan β等； （3）用三个字母表示角和用阿拉伯数字表示角时，不能省略角的符号“∠”，要写成tan∠BAC或tan∠1，tan∠2等； t（4）an A是一个完的整数学符号，不可分割，不表示“tan”乘“A”。 教师追问：很好，其实正弦和余弦需要注意的问题同正切一样，同学们可以类比正切所注意的问题，尝试归纳下正弦和余弦需要注意的问题吗？类比正切，由学生说出弦和余弦需要注意的问题。加深学生对三角函数的理解。 学生：（1）sin A，cos A中常省略角的符号“∠”。 （2）用希腊字母表示角时也可省略“∠”，如：sin α，cos β等； （3）用三个字母表示角和用阿拉伯数字表示角时，不能省略角的符号“∠”，要写成sin∠BAC或cos∠BAC，sin∠1，sin∠2等； （4）tan A是一个完的整数学符号，不可分割，不表示“tan”乘“A”。 教师：非常好。 师生活动：教师提问，学生思考讨论，最后由学生上台板书，教师查缺补漏。 【教材例题】 例　如图，在Rt△ABC中,∠B=90°,AC=200, sin A=0.6,求BC的长。通过例题训练学生对于正弦、余弦定义的理解与掌握,同时规范解题步骤。 学生活动：例题由学生独立完成，合作交流，上台展示。 教师活动:订正完善，规范步骤，强调求正弦值一定要在直角三角形中进行，并且一定要分清锐角的对边与斜边.。 解：在Rt△ABC中， ∵，即, ∴ BC=200×0.6=120。 【探究2】 我们知道，梯子的倾斜程度与tan A有关系，tan A的值越大，梯子越陡，那么梯子的倾斜程度与sin A和cos A的值有关系吗？是怎样的关系？请根据以下问题进行说明。在探究中进一步让学生理解正弦和余弦的含义，体会正弦和余弦的生活意义，避免数学知识的枯燥无味，通过利用正弦和余弦来描述梯子的倾斜程度拓展了学生思维，感受到从不同角度去解释一件事物的合理性，感受数学与生活的联系。 如图，在梯子AB下滑到A1B1位置的过程之中（AB长度不变），sin A和cos A的值分别发生了怎样的变化？ 学生：因为梯子AB在下滑过程中长度不变，BC变小，AC变大，所以 变小， 变大。所以sin A的值越大，梯子越陡，cos A的值越小，梯子越陡。 【归纳总结】 倾斜角的正弦值越大，角越大，梯子越陡；余弦值越小，角越大，梯子越陡。反之，倾斜角越大，角的正弦值越大，余弦值越小。（板书） 【探究3】 教师：如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，有同学可以用三角形的边将sin A，sin B和cos A，cos B分别表示出来吗？引出互余两角的三角函数值之间的关系。进一步加深学生对三角函数的理解。 学生：， ，，。 教师追问：同学们，仔细观察，在Rt△ABC中，sin A和cos B，sin B和cos A之间分别存在什么数量关系？ 学生：相等。 教师：也就是说，在直角三角形中，一个锐角的正弦值等于另一个锐角的余弦值。延伸一下，因为锐角的三角函数值只与锐角的大小有关，所以，只要两个锐角互余，那么其中一个锐角的正弦值，就一定等于另一个锐角的余弦值。（板书，几何语言表示） 做一做 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝10，cos A＝，求AB的长及sin B. 解：在Rt△ABC中， ∵cos A＝， 即＝，∴AB＝。 ∴sinB＝＝cosA＝。 3.学以致用，应用新知 考点1 已知边长求三角函数值 P6 随堂练习1 变式训练 如图，某厂房屋顶呈人字架形(等腰三角形)，已知AC＝8，DB＝4，CD⊥AB于点D，求sin B的值. 解：∵△ABC是等腰三角形，∴BC＝AC＝8. ∵CD⊥AB， ∴∠CDB＝90°， ∴CD＝＝＝4， ∴sin B＝＝＝. 考点2 已知三角函数值求边长 P6 随堂练习2 变式训练 在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，sinA，则AB的值为（　　） A．8 B．9 C．10 D．7.5 答案：C 在例题讲解的基础上，通过基本的练习，以及对应的变式训练，进一步加强学生对正切和坡度的理解，形成相应的技能。 4.随堂训练，巩固新知 1. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，则cos A的值是（　　） A． B． C． D． 答案：D 2. 在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A，∠B，∠C所对的边分别是a，b，c。则下列各式中，正确的是（　　） A． B． C． D． 答案：C 3. 一等腰三角形的两边长分别为4 cm和6 cm，则其底角的余弦值为　 　． 答案：或 4. 如图，在5×4的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，点A，B，C都在格点上，则∠ABC的正弦值是　 　． 答案： 进一步巩固新知，同时为学生提供自我检测的机会，教师也可针对学生的学习情况，及时调整授课，查缺补漏。 5.课堂小结，自我完善 教师引导学生畅所欲言地谈谈本节课的收获： 1.理解了正弦和余弦的概念； 2.探索了正弦值、余弦值与梯子倾斜程度的关系，即倾斜角的正弦值越大，角越大，梯子越陡；余弦值越小，角越大，梯子越陡； 3.了解了互余的两锐角的三角函数的关系； 4.知道了在用三角函数解决一般三角形或四边形的实际问题中，应注意构造直角三角形。 通过小结，回顾探索新知识的过程，进一步感悟其中蕴含的数学思想方法，提高学生的概括能力，培养学生良好的回顾和反思的习惯。 6.布置作业 1.书面作业：习题1.2 第1，2，3，4题； 2.弹性作业：习题1.2 第5题。 让学生所学知识得以运用，在巩固学生知识技能的同时也减轻学生负担。 板书设计 锐角三角函数（第2课时） 1、 正弦、余弦的概念 2、 正弦、余弦与梯子倾斜程度 3、 互余两锐角的三角函数 教师题目讲解 学生活动区 投影区 提纲掣领，重点突出。 教后反思 由于上节课学生学习了三角函数中的正切，所以本节课引导学生进行类比学习，唤起和加深学生对教学内容的体会和了解，相对容易地掌握正弦和余弦的概念和意义。同时，探究活动培养和发展了学生的观察、思维能力。 本课时贯彻“从生动的直观到抽象的思维，并从抽象的思维到实践”的基本认识规律，运用直观教学，使学生易于理解正弦、余弦和角度之间的关系，以及两锐角的正弦、余弦值之间的关系。在学习新知的同时，完成了知识的巩固与内化。 反思，更进一步提升。 学科网（北京）股份有限公司 $$