九上 1.3 第2课时 正方形的判定-【初中学霸创新题】2025-2026学年九年级全册数学同步课件(北师大版)

3 正方形的性质与判定 第2课时 正方形的判定 学习目标 1.探索并证明正方形的判定，并了解正方形与平行四边形、 矩形、菱形之间的联系和区别 （重点、难点） 2.会利用正方形的判定进行相关计算。（难点） 课时导入 根据正方形的定义，有一组邻边相等，并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形。除此之外，你认为还有什么条件可以判断一个四边形是正方形？ 一组邻边相等 C A B D A B C D 一个角是直角 知识讲解 知识点1 正方形的判定 活动1 如图，将一张长方形纸对折两次，然后剪下一个角， 打开.怎样剪才能剪出一个正方形？ 猜想：满足什么条件的矩形是正方形？ (1)一组邻边相等 一组邻边相等 (2)对角线互相垂直 对角线互相垂直 试一试 求证：对角线互相垂直的矩形是正方形. 已知：如图，矩形ABCD 中， AC⊥BD. 求证：四边形ABCD是正方形. 证明： ∵四边形ABCD是矩形 ∴四边形ABCD是平行四边形，∠DAB=90°. D A B C O 且AC⊥BD. ∴ AB=AD. ∴OB=OD ， ∴四边形ABCD是正方形 试一试 求证：有一个角是直角的菱形是正方形. 已知：如图，菱形ABCD 中，∠A=90°. 求证：四边形ABCD是正方形. 证明： ∵四边形ABCD是菱形 ∴四边形ABCD是平行四边形， ∴AD=AB且∠A=90°. ∴四边形ABCD是正方形. D A B C 试一试 求证：对角线相等的菱形是正方形. D A B C O 已知：如图，菱形ABCD 中， AC=BD. 求证：四边形ABCD是正方形. 证明： ∵四边形ABCD是菱形， ∴四边形ABCD是平行四边形， ∴AB=AD且AC=BD. ∴∠DAB=90°. ∴四边形ABCD是矩形. ∴四边形ABCD是正方形. 归纳总结 (1) 对角线互相垂直的矩形是正方形； (2) 有一个角是直角的菱形是正方形； (3) 对角线相等的菱形是正方形. 例1 已知：如图，在矩形ABCD 中，BE平分∠ABC，CE 平分 ∠DCB，BF∥CE，CF∥BE.求证：四边形BECF是正方形. 证明： ∵ BF∥CE，CF∥BE， ∴四边形BECF是平行四边形. D A B C E F ∴∠ABC=90°,∠DCB=90°. ∵四边形ABCD是矩形， 又∵BE 平分∠ABC，CE 平分∠DCB. ∴∠EBC=∠ECB， ∴EB=EC， ∴四边形BECF是菱形. 在△EBC中， ∵∠EBC=45°,∠ECB=45°， ∴∠BEC=90°. ∴四边形BECF是正方形. ∴∠EBC= ∠ABC=45°,∠ECB= ∠DCB=45°. 随 堂 小 测 B D 3.已知:如图,在Rt△ABC中, ∠C =90°,∠BAC ,∠ABC 的平 分线于点D , DE⊥BC 于点E , DF⊥AC于点F. 求证：四边形CEDF是正方形. C E B A F D 证明: 如图所示,过点D 作DG⊥AB于点G. ∵DF⊥AC , DE⊥BC ,∴∠DFC=∠DEC=90°. 又∠C=90°,∴四边形CEDF是矩形 （有三个角是直角的四边形是矩形）. ∴AD平分∠BAC , DF⊥AC , DG⊥AB. ∴DF=DG. 同理可得DE=DG , ∴DE=DF. ∴四边形CEDF是正方形（有一组邻边相等的矩形是正方形）. G 知识点2 中点四边形 中点四边形的概念 顺次连接任意四边形各边中点所组成的四边形叫做 中点四边形.如图，在四边形ABCD 中，E，F，G，H 分别是AB，BC，CD，DA 的中点，则四边形EFGH 就是中点四边形. 特殊四边形的中点四边形 平行四边形的中点四边形是平行四边形 菱形的中点四边形是矩形 矩形的中点四边形是菱形 正方形的中点四边形是正方形 等腰梯形的中点四边形是菱形 直角梯形的中点四边形是平行四边形 梯形的中点四边形是平行四边形 特殊四边形的中点四边形 对角线垂直的四边形的中点四边形是矩形 对角线相等的四边形的中点四边形是菱形 对角线既相等又垂直的四边形的中点四边形是正方形 对角线既不相等又不垂直的四边形的中点四边形是平行四边形 决定中点四边形形状的主要因素是原四边形的对角线的长度和位置关系. 原四边形 对角线关系 不相等、 不垂直 相等 垂直 相等且 垂直 中点四边形 形状 平行四边形 菱形 矩形 正方形 归纳总结 4.如图，顺次连接四边形ABCD各边中点得到 四边形EFGH，要使四边形 EFGH为矩形， 应添加的条件是( ) A.AB∥DC B. AC=BD C. AC⊥BD D. AB=DC 随 堂 小 测 C 1∶2 5 1∶2 6 证明：∵E，F，G，H 分别是AB，BC，CD，DA的中点，∴EF = AC，GH = AC，EH = BD，FG = BD， EF ∥AC 且EH∥BD. ∵AC=BD，EF =FG =GH =HE，∴四边形EFGH 是菱形.又∵AC⊥BD，EF∥AC，EH∥BD， ∴EH⊥EF，即∠HEF=90°.∴四边形EFGH是正方形. 小结 三个角是直角 5种判定方法 四条边相等 一个角是直角 或对角线相等 一组邻边相等 或对角线垂直 一组邻边相等 或对角线垂直 一个角是直角 或对角线相等 一个角是直角且一组邻边相等 课后作业 1.从课后习题中选取； 2.完成练习册本课时的习题。 绿卡图书—走向成功的通行证 $$