九上 1.2 第2课时 矩形的判定-【初中学霸创新题】2025-2026学年九年级全册数学同步课件(北师大版)

2 矩形的性质与判定 第2课时 矩形的判定 学习目标 1.经历矩形判定定理的探索过程，理解并掌握矩形的判定方 法.（重点） 2.能应用矩形判定解决简单的证明题和计算题.(难点） 课时导入 做一做 如图，是一个平行四边形活动框架，拉动一对不相邻的顶点时，平行四边形的形状会发生变化. α α α （1）随着∠α 的变化两条对角线的长度将发生怎样的变化？ 猜想：当∠α= 90°时，平行四边形是矩形. （2）当两条对角线的长度相等时平行四边形有什么特征？由此你能得到一个怎样的猜想？ 猜想：当两条对角线相等时，平行四边形是矩形. 知识讲解 几何语言： 如图，∵四边形ABCD是平行四边形，∠A=90°， ∴ 四边形ABCD是矩形. 知识点1 有一个角是直角的平行四边形是矩形 知识点2 对角线相等的平行四边形是矩形 A B D C 证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB = DC,AB ∥ DC， ∴∠ABC + ∠DCB = 180°. 又∵BC = CB，AC = DB， ∴ △ABC≌△DCB . ∴∠ABC = ∠DCB = 90°. ∴ □ ABCD是矩形（矩形的定义）. 已知：如图，在□ABCD中，AC ， DB是它的两条对角线， AC=DB. 求证：□ABCD是矩形. A B D C 定理：对角线相等的平行四边形是矩形. 几何语言： 如图，在平行四边形ABCD中， ∵AC=BD， ∴平行四边形ABCD是矩形. A B D C 想一想 我们知道，矩形的四个角都是直角.反过来， 一个四边形至少有几个角是直角时，这个四 边形就是矩形呢？请证明你的结论， 并与 同伴交流. 知识点3 有三个角是直角的四边形是矩形 证明:∵ ∠A=∠B=∠C=90°， ∴∠A+∠B=180°，∠B+∠C=180°. ∴AD∥BC，AB∥CD. ∴四边形ABCD是平行四边形. ∴四边形ABCD是矩形. 已知：如图，在四边形ABCD中，∠A=∠B=∠C=90°. 求证：四边形ABCD是矩形. A B C D A B C D 定理：有三个角是直角的四边形是矩形. 几何语言： 如图，在四边形ABCD中， ∵ ∠A=∠B=∠C=90°， ∴四边形ABCD是矩形. 议一议 你有什么方法检查你家（或教室）刚安装的门框是不是矩形？如果仅有一根较长的绳子，你怎么检查？请说明检查方法的合理性，并与同伴交流. 先用绳子测量门框的对边是否相等，若相等，则是平行四边形；再用绳子测量门框的对角线是否相等，若相等，可确定门框是矩形.依据：对角线相等的平行四边形是矩形. 例1 如图，在□ABCD中，对角线AC与BD相交于点O ， △ABO是等边三角形， AB=4，求□ABCD的面积. A B D C O 解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴OA= OC，OB = OD. 又∵△ABO是等边三角形， ∴OA= OB=AB= 4，∴OA= OB=OC = OD= 4. ∴AC= BD= 2OA = 2×4 = 8. ∴□ABCD是矩形 （对角线相等的平行四边形是矩形）. 例1 如图，在□ABCD中，对角线AC与BD相交于点O ， △ABO是等边三角形， AB=4，求□ABCD的面积. A B D C O ∴∠ABC=90°（矩形的四个角都是直角） . 在Rt△ABC中,由勾股定理,得 AB 2 + BC 2 =AC 2 , ∴BC= . ∴S□ABCD=AB·BC=4× = . 例2 如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC，垂足为D，AN是△ABC外角∠CAM的平分线，CE⊥AN，垂足为E，求证：四边形ADCE为矩形． 证明：在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC， ∴∠BAD＝∠DAC，即∠DAC＝ ∠BAC. 又∵AN是△ABC外角∠CAM的平分线， ∴∠MAE＝∠CAE＝ ∠CAM, ∴∠DAE＝∠DAC＋∠CAE＝ (∠BAC＋∠CAM)＝90°. 例2 如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC，垂足为D，AN是△ABC外角∠CAM的平分线，CE⊥AN，垂足为E，求证：四边形ADCE为矩形． 又∵AD⊥BC，CE⊥AN， ∴∠ADC＝∠CEA＝90°, ∴四边形ADCE为矩形（有三个角是直角 的四边形是矩形）． 例3 如图，在△ABC中，AB=AC，D为BC上一点，以AB，BD为邻边作平行四边形ABDE，连接AD ， EC. （1）求证：△ADC≌△ECD； （2）若BD=CD，求证：四边形ADCE是矩形. 证明：（1）∵△ABC是等腰三角形，∴∠B=∠ACB. 又∵四边形ABDE是平行四边形， ∴∠B=∠EDC，AB=DE， ∴∠ACB=∠EDC，∴△ADC≌△ECD. A D C E B 例3 如图，在△ABC中，AB=AC，D为BC上一点，以AB，BD为邻边作平行四边形ABDE，连接AD ， EC. （1）求证：△ADC≌△ECD； （2）若BD=CD，求证：四边形ADCE是矩形. A D C E B (2)∵AB=AC,BD=CD，∴AD⊥BC，∴∠ADC=90°. ∵四边形ABDE是平行四边形，∴AE平行且等于BD， 即AE平行且等于DC，∴四边形ADCE是平行四边形. 而∠ADC=90°，∴四边形ADCE是矩形（有一个角是直角的平行四边形是矩形）. 随 堂 小 测 C 1.如图,直线EF∥MN,PQ交EF,MN于A,C两点,AB,CB,CD,AD分别是∠EAC, ∠MCA, ∠ ACN,∠CAF的角平分线,则四边形ABCD是（ ） D E F M N Q P A B C A.菱形 B.平行四边形 C.矩形 D.不能确定 2．如图，四边形ABCD的对角线互相平分，要使它变为矩形，需要添加的条件是(　　) A．AB＝CD　　　 B．AD＝BC C．AB＝BC D．AC＝BD D 3.下列命题是真命题的是（ ） A.有一个角是直角的四边形是矩形 B.两条对角线相等的四边形是矩形 C.有三个角是直角的四边形是矩形 D.对角线互相垂直的四边形是矩形 C 4. 如图，在△ABC中，AD 为 BC 边上的中线，延长 AD 至 E，使 DE = AD，连接 BE，CE. （1）试判断四边形 ABEC 的形状; （2）当△ABC 满足什么条件时，四边形 ABEC 是矩形？ 解:（1）四边形 ABEC 是平行四边形． （2）当△ABC 满足∠BAC＝90°时,四边形 ABEC 是矩形． A B C E D 5.已知：如图，在 □ ABCD 中，M 是 AD 边的中点，且MB = MC. 求证：四边形 ABCD 是矩形. 证明：在□ ABCD 中，AB = CD， ∵M 是 AD 边的中点，∴MA = MD，且 MB = MC，即△ABM≌△DCM，∴∠A =∠D. 又∵∠A +∠D = 180°， ∴∠A =∠D = 90°，∴四边形ABCD是矩形. A B D C M 小结 矩形的判定方法 几何语言 图形 定义法 有一个角是直角的平行四边形是矩形 ∵四边形ABCD是平行四边形，∠A=90°， ∴ 四边形ABCD是矩形. 定理 对角线相等的平行四边形是矩形 在平行四边形ABCD中，∵AC=BD， ∴平行四边形ABCD是矩形 定理 有三个角是直角的四边形是矩形 在四边形ABCD中，∵∠A=∠B=∠C=90°， ∴四边形ABCD是矩形 A B C D A B D C A B D C 课后作业 1.从课后习题中选取； 2.完成练习册本课时的习题. 绿卡图书—走向成功的通行证 $$