九上 1.1 第1课时 菱形的性质-【初中学霸创新题】2025-2026学年九年级全册数学同步课件(北师大版)

1 菱形的性质与判定 第1课时 菱形的性质 学习目标 1.理解菱形的概念，了解它与平行四边形之间的关系. 2.经历菱形性质定理的探索过程.（重点） 3.能够用综合法证明菱形的性质定理.（难点） 课时导入 下面几幅图中都含有一些平行四边形.观察这些平行四边形，你能发现它们有什么样的共同特征吗？ 知识讲解 知识点1 菱形的定义 由上图中的这些平行四边形，你能发现它们有什么共同点吗？从边的角度想一想。 平行四边形 菱形 菱形的定义： 有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形. 归纳 菱形是特殊的平行四边形. 菱形具有一般平行四边形的所有性质. 平行四边形不一定是菱形. 做一做 用菱形纸片折一折，回答下列问题： （1）菱形是轴对称图形吗？如果是，它有几条对称轴？对称轴之间有什么位置关系？ 知识点2 菱形的性质 （2）菱形中有哪些相等的线段？ 探索菱形的性质 通过上面的折纸活动，我们可以发现： （1）菱形是轴对称图形，有两条对称轴. （2）菱形四条边都相等. （3）菱形的对角线互相垂直. 证明菱形的性质 已知：如图，在菱形ABCD中，AB=AD，对角线AC 与BD相交于点O. 求证:(1）AB = BC = CD =AD；（2）AC⊥BD. A B C D O 证明：（1）∵ 四边形ABCD是菱形， ∴ AB = CD，AD = BC（菱形的对边相等）. 又∵AB=AD， ∴ AB = BC = CD =AD. 证明菱形的性质 已知：如图，在菱形ABCD中，AB=AD，对角线AC 与BD相交于点O. 求证:(1）AB = BC = CD =AD；（2）AC⊥BD. A B C D O （2）∵AB=AD，∴△ABD是等腰三角形. 又∵四边形ABCD是菱形，∴OB=OD. 在等腰三角形ABD中， ∵OB=OD， ∴AO⊥BD，即AC⊥BD. 例 如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O， ∠BAD=60°，BD=6，求菱形的边长AB和对角线AC的长. 解：∵四边形ABCD是菱形， ∴ AB = BD(菱形的四条边相等)， ∴ AC⊥BD(菱形的对角线互相垂直)， OB=OD= BD = ×6=3(菱形的对角线互相平分). 在等腰三角形ABC中， ∵∠BAD=60°， A C D O B 例 如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O， ∠BAD=60°，BD=6，求菱形的边长AB和对角线AC的长. A C D O B ∴△ABD是等边三角形. ∴AB = BD = 6. 在RtΔAOB中，由勾股定理，得 OA2+OB2=AB2， ∴ OA = = = ∴ AC = 2OA = （菱形的对角线互相平分）. 菱形是特殊的平行四边形，它除具有平行四边形的所有性质外，还有平行四边形所没有的特殊性质. 对称性：是轴对称图形. 边：四条边都相等. 对角线：互相垂直. 角：对角相等，邻角互补. 边：对边平行且相等. 对角线：相交并相互平分. 菱形的特殊性质 平行四边形的性质 随 堂 小 测 1.菱形具有而一般平行四边形不具有的性质是 （ ） A.对角相等 B.对边相等 C.对角线互相垂直 D.对角线相等 C 2.如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交 于点O. 已知AB=5cm，AO=4cm，求BD的长. 解：∵四边形 ABCD 是菱形， ∴AC⊥BD（菱形的对角线互相垂直）. 在Rt△AOB中，由勾股定理，得 OA2 + OB2 = AB2， ∴BO = . ∵四边形ABCD 是菱形， ∴BD=2BO= 2×3=6（菱形的对角线互相平分）. ∴BD 的长为 6 cm. 2.如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交 于点O. 已知AB=5cm，AO=4cm，求BD的长. 3.已知：如图，在菱形ABCD 中，∠BAD=2∠B.求证：△ABC是等边三角形. 证明：∵四边形ABCD是菱形 ∴AD∥BC，∴∠BAD+∠B=180°. 又∵∠BAD=2∠B, ∴∠B=60°. ∵AB =BC，∴△ABC是等边三角形. 4.已知：如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD 相交于点O.求证：AC，CA分别平分∠BAD和∠BCD，BD，DB分别平分∠ABC和∠ADC. 证明：∵四边形ABCD是菱形， ∴AB=AD ，BO=DO， ∴AC⊥BD，AC平分∠BAD， 同理：CA平分∠BCD，BD，DB分别平分∠ABC和∠ADC. 小结 课后作业 1.从课后习题中选取； 2.完成练习册本课时的习题. 绿卡图书—走向成功的通行证 $$