四川省绵阳南山中学2024-2025学年高三下学期模拟考试数学试题

绵阳南山中学高 2022级 2024-2025学年度 高三年级高考模拟考试数学试题 一、单选题：本题共 8小题，每小题 5分，共 40分。在每小题给出的选项中， 只有一项是符合题目要求的。 1.集合{0,1,2}的子集有( ) A. 5个 B. 6个 C. 7个 D. 8个 2. 5 2 i   ( ) A. 2 i B. 2 i C. 2 i  D. 2 i  3.已知 | | 4a   ， | | 4 3a b   ，向量 a与b  的夹角为 3  ，则 | | (b   ) A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 4.若 为第四象限角，则 ( ) A. cos 2 0  B. cos 2 0  C. sin 2 0  D. sin 2 0  5.在空间中，l，m是不重合的直线， ，  是不重合的平面，则下列说法正确的是 ( ) A.若 l  ，m  ， //  ，则 //l m B.若 //l m，m  ，则 //l  C.若  ， m   ， l m ，则 l  D.若 l  ， //l m， //  ，则m  6.若抛物线 2 2 ( 0)y px p  的焦点是椭圆 2 2 1 3 x y p p   的一个焦点，则 (p  ) A. 2 B. 3 C. 4 D. 8 7.函数 ( ) lnf x x x x  的单调递增区间为( ) A. ( ,1) B. (0,1) C. (0, )e D. (1, ) 8.设函数 2( ) ( ) lnf x x ax b x   ，若 ( ) 0f x ⩾ ，则 a的最小值为 ( ) A. 2 B. 1 C. 2 D. 1 二、多选题：本题共 3小题，共 18分。在每小题给出的选项中，有多项符合 题目要求。 9.已知数列{ }na 的前 n项和为 nS ，下列说法正确的有 ( ) A.等差数列{ }na ，若m n p q   ，则 m n p qa a a a   ，其中 m，n，p， *q N B.等比数列{ }na ，若 m n p qa a a a   ，则m n p q   ，其中 m，n，p， *q N C.若{ }na 等差数列，则 5S ， 10 5S S ， 15 10S S 成等差数列 D.若{ }na 等比数列，则 4S ， 8 4S S ， 12 8S S 成等比数列 10.设随机变量 21~ ( ,2 )X N  ，随机变量 2 2~ ( ,3 )Y N  ，其中 1 2  ，则 A. 1 2( ) ( )P X P Y    B. 1 2( 2) ( 3)P X P Y      C. 2 1( ) ( )P X P Y    D. 2 1( ) ( ) 1P X P Y     11.在平面直角坐标系 xOy中，已知点 (2 , 1) , ( 2 ,1)M N  ，动点 P满足 2 2| | | | ( )PM PN a a R   ，记点 P的轨迹为曲线 C，则 ( ) A.存在实数 a，使得曲线 C上所有的点到点 的距离大于 2 B.存在实数 a，使得曲线 C上有两点到点 ( 5 , 0) 与 ( 5 , 0)的距离之和为 6 C.存在实数 a，使得曲线 C上有两点到点 ( 5 , 0) 与 ( 5 , 0)的距离之差为 2 D.存在实数 a，使得曲线 C上有两点到点 ( , 0)a 的距离与到直线 x a  的距离相等 三、填空题：本题共 3小题，每小题 5分，共 15分。 12.若对数函数的图象过点 (8,3)P ，则 1 4 f       . 13.一组数据按从大到小的顺序排列为 8，7，x，4，4，1，若该组数据的中位数是众数 的 5 4 倍，则该组数据的方差和第 60百分位数分别是______. 14.已知双曲线 C： 2 2 1 4 x y  的左、右焦点分别为 1F 、 2F ，点 A为双曲线 C的右顶 点，直线 l过点 A且与 x轴垂直，点 B为直线 l上异于点 A的任意一点，以点 B为 圆心，线段 BA长为半径作圆，过点 1F 、 2F 分别作圆 B的切线 m和 (n m、n与 x轴 不重合 )，切线 m和 n相交于点 P，则点 P到直线 y x 的最小距离为 . 四、解答题：本题共 5小题，共 60分。解答应写出文字说明，证明过程或演 算步骤。 15. (本小题 13分 ) 在 ABC 中，A，B为锐角且 AB  ， 5sin 5 A  ， 3sin 2 5 B  ， (1)求角 C的值. (2)求证： 16. (本小题 15分 ) 已知函数 ， (1)若曲线 ( )y f x 在点 (1, (1))f 处的切线与 y轴垂直，求函数 ( )f x 的单调区间； (2)若 ( ) 0f x ⩾ 对 0x  成立，求实数 k的取值范围． 17. (本小题 15分 ) 如图，在直三棱柱 1 1 1ABC A BC 中，已知 AB AC ， 2AB  ， 4AC  ， 1 3AA  ，D是线 段 BC的中点． (1)求直线 1DB 与平面 1 1AC D所成角的正弦值； (2)求二面角 1 1 1B AD C  的余弦值． 18. (本小题 17分 ) 在平面直角坐标系 xOy中，O为坐标原点，椭圆 C：   2 2 2 1 0 b 22 x y b     的左，右焦点分 别为 1F ， 2F ，拋物线 D：  2=-2py 0x p  的焦点为 F， 1 2 2 2FF FF  ， 1 2FF F 的面积为 1. (1)求椭圆 C、抛物线 D的标准方程； (2)过点  0, 3 的直线 l分别与拋物线 D交于  1 1,A x y ，  2 2,B x y 两点，与椭圆 C交于  3 3,M x y ，  4 4,N x y 两点，设直线 OA，OB，OM，ON的斜率分别是 1k ， 2k ， 3k ， 4 .k 证 明： 1 2 3 4k k k k   为定值． 19. (本小题 17分 ) 当今世界环境污染已经成为各国面临的一大难题，其中大气污染是目前城市急应对的一项课， 某市号召市民尽量减少开车出行以绿色低碳的出行方式支持节能减排，原来天天开车上班的王 先生积极响应政府号召，准备每天从骑自行车和开车两种出行方式中随机选择一种方式出行.从 即日起出行方式选择规则如下：第一天选择骑自行车方式上班，随后每天用“一次性抛掷 4枚 均匀硬币”的方法确定出行方式，若得到的正面朝上的枚数小于 3，则该天出行方式与前一天 相同，否则选择另一种出行方式，记第 n天王先生上班选择的是骑自行车出行为事件 .nA (1)证明：当 时， ；并据此直接写 出 的计算公式； (2)求王先生前三天骑自行车上班的天数 X的分布列和数学期望； (3)设 表示事件 nA 的概率. ①求证： 是等比数列； ②请问王先生的这种选择随机选择出行方式有没有积极响应该市政府的号召？请说明理由. 绵阳南山中学高 2022级 2024-2025学年度 高三年级高考模拟考试数学试题参考答案及评分意见 一，单项选择题。 1-4 DBAD 5-8DDBB 二．多项选择题。 9.AC 10.ABD 11.BD 三．填空题。 12.-2 13. 16 3 ，6（对一个给 2分） 14. 6 2 四．解答题。 15.（13分）解： (1) A∵ 为锐角， 5sin 5 A  ， 25 2 5cos 1 ( ) . 5 5 A    ............................................................1分 又 B A ， ， ， ， ....................................................................2分 ， ， ..............................................................3分 ， ............................4分 cos cos[ ( )] cos( )C A B A B       ...................................................5分 cos cos sin sinA B A B   2 5 3 10 5 10 2 5 10 5 10 2        ，.............................................................6分 0 180C   ∵ ， 135 .C   .............................................................7分 (2)证明：由 (1)知 45A B  ， .............................................................9分 2 4 2 3 2 2 5 2 5 10      ， 左边 ， ......................................................................11分 右边 ， 成立............................................................13分 16.（15分）.解： (1) ( )f x 的定义域为 (0, ) ， ， .....................................................................2分 ∵ 曲线 ( )y f x 在点 (1, (1))f 处的切线与 y轴垂直， ， ，......................................................4分 当 0 1x  ， ln 0x  ， ， ( ) 0;f x  当 1x  时， ln 0x  ， 2 1 0x   ， ( ) 0f x  ， ( )f x 的单调减区间为 (0,1)，单调增区间为 (1, ). ...............................................6分 (2)由 得 ， .......................................................8分 令 ， 则 ， ......................................................................9分 ， 当 0 2x  时， ( ) 0;g x  当 2x  时， ( ) 0g x  ， ( )g x 的单调减区间为 ，单调增区间为 [ 2 , ), ......................................12分 ，.................................................14分 ， 即 k的取值范围是 1 1[ ln 2, ). 2 2    ................................................15分 17.（15分）解： (1)分别以 AB、AC、 1AA 所在的直线为 x轴、y轴、z轴，建立空间 直角坐标系，则点 (0,0,0)A ， (2,0,0)B ， (0, 4, 0)C ， 1(0,0,3)A ， 1(2,0,3)B ， 1(0,4,3).C D∵ 是 BC的中点， (1,2,0)D ， ， 设平面 1 1AC D的一个法向量 1 1 1 1( , , )n x y z  ， 则 1 1 1 1 1 0 0 n AC n AD           即 1 1 1 1 4 0, 2 3 0, y x y z      取 1 3x  ， 1 0y  ， 1 1z  ， 则平面 1 1AC D的一个法向量 设直线 1DB 与平面 1 1AC D所成的角为 . ， ⟨ ⟩ ， 直线 1DB 与平面 1 1AC D所成角的正弦值为 ...............................................8分 ， 设平面 1 1B AD的一个法向量 2 2 2 2( , , )n x y z  ， 则 2 1 1 2 1 0 0 n A B n DB           即 2 2 2 2 2 0, 2 3 0, x x y z      取 2 0x  ， 2 3y  ， 2 2z  ，则平面 1 1B AD的一个法向量 ， 设二面角 1 1 1B AD C  的大小为 ， 1 2 1 2 130cos 65| || | n n n n            ， 二面角 1 1 1B AD C  的余弦值为 130 . 65  ......................................................15分 18.（17分） (1)解：因为 2a  ， 1 2| | | | 2 2FF FF  ， 所以点 F在椭圆 C上，所以 2 pb  ， 所以 1 2 1FF FS bc  ，又 2 22c b  ， 所以 1b c  ，所以 2p  ， 所以椭圆 C的标准方程为 2 2 1 2 x y  ，抛物线 D的标准方程为 2 4x y  ； .........................................................................6 分 (2)证明：当直线 l斜率不存在，即 0x  时，不合题意， 设直线 l的方程为 y kx m  ， 将 y kx m  代入抛物线方程 2 4x y  得 2 4 4 0x kx m   ， 所以 1 2 4x x k   ， 1 2 4x x m ， 其中 ， 将 y kx m  代入椭圆方程 2 2 1 2 x y  得 2 2 2(1 2 ) 4 2 2 0k x kmx m     ， 所以 3 4 2 4 1 2 kmx x k     ， 2 3 4 2 2 2 1 2 mx x k    ， 其中 ， ...........................................................................10 分 又因为 31 2 4 1 2 3 4 OA OB OM ON yy y yk k k k x x x x        2 2 1 2 3 4 1 2 3 4 4 4 x x kx m kx m x x x x         2 2 23 1 kmk m    ， 因为 3m  ，所以 0.OA OB OM ONk k k k    所以 1 2 3 4k k k k   为定值. ................................................15分（如 果过程有一定，但可以很明显看出来是凑出来的答案，建议给分不超过 12分） 19.（17分）解： (1)显然 ，当 时，有 ， 所以有 ， 即 ， 同理可证 . ................................................4分 (2)设一次性抛掷 4枚均匀的硬币得到正面向上的枚数为  ， ， 5( 3) 1 ( 3) 16 P P    ⩾ ， 由已知随机变量 X的可能取值为 1，2，3； 5 11 55( 1) ( 3) ( 3) 16 16 256 P X P P       ⩾ ； ； 11 11 121( 3) ( 3) ( 3) 16 16 256 P X P P         ． 所以随机变量 X的分布列为 X1 2 3 P 55 256 80 256 121 256 数学期望 . ...........................................9分 (3)①设 1nA  表示事件“第 1n  天王先生选择的是骑自行车出行方式”， nA 表示事件“第 n天王先生选择的是骑自行车出行方式”， 由全概率公式知 ． 所以 ，即 ， 又 ，所以数列 是首项为 1 2 ，公比为 3 8 的等比数列； ...................................................13 分 ②由①知 因为 恒成立，所以王先生每天选择骑自行车出行方式的概率始终大 于选择开车出行方式， 从长期来看，王先生选择骑自行车出行方式的次数多于选择开车出行方式的次数是大概率事件， 所以王先生积极响应该市政府的号召. .............................................................17分