第13章 勾股定理 同步训练 2025-2026学年华东师大版（2024）数学八年级上册

第13章 勾股定理 一、单选题 1．下列四组数中，不是勾股数的一组数是（   ） A．1，1，2 B．3，4，5 C．5，12，13 D．7，24，25 2．如图，中，，将折叠，使点A与的中点D重合，折痕为，那么的长为（　　） A．3 B． C．4 D． 3．如图，在中，是边上的高，已知，，，则的长为（   ） A．6 B．12 C．15 D．17 4．如图，中，，，，当时，则的长为（   ） A． B．4 C． D．5 5．如图，在中，，，，将绕点顺时针旋转，得到，连接交于点，则与的周长之和为（   ）． A． B． C． D． 6．如图，在中，，．若点在边上移动，则的最小值是（    ） A．3.6 B．4 C．4.5 D．4.8 7．如图，在中，，以为圆心，任意长为半径画弧，分别交 、于点 、，再分别以、为圆心，大于长为半径画弧，两弧交于点，作射线 ，交于点．已知，，则的长为（    ） A．8 B．7 C．6 D．5 8．如图，在中，在数轴上，以点为圆心，的长为半径画弧，交数轴于点，则点表示的数是（   ） A． B． C． D． 二、填空题 9．如图，是的斜边上的一点，且，过点D作的垂线，交于点E．若，，则的长为 ． 10．如图，在中，平分，则 ． 11．小南同学报名参加了攀岩选修课，攀岩墙近似一个长方体的两个侧面，如图所示，则从点A攀爬到点B的最短距离的平方是 ． 12．如图，在中，， ，点D、E分别在边和边上，沿着直线翻折，点A落在边上，记为点F，如果，则的长为 ． 13．如图，在四边形中，，．E是的中点，F是上一点，且，则 ． 三、解答题 14．如图，在中，，点，，分别在，，上，且，． (1)求证：是等腰三角形； (2)用反证法证明不可能是直角三角形． 15．如图，有一个直角三角形纸片，，，，现将直角三角形纸片沿直线折叠，使点C落在斜边上的点E处，连接，求的长． 16．如图，在中，是边上的高，． (1)求的长； (2)是直角三角形吗？请说明理由． 17．如图，在中，，平分交于点，过点作于点． (1)求证：； (2)当，，求的长． 18．如图，和都是等腰直角三角形，，D为边上一点，若，求的长． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 1．A 【分析】本题考查了勾股数的定义，勾股数就是可以构成一个直角三角形三边的一组正整数，由此逐项判断即可得出答案，熟练掌握勾股数的定义是解此题的关键． 【详解】解：A、，故不是勾股数，符合题意； B、，故是勾股数，不符合题意； C、，故是勾股数，不符合题意； D、，故是勾股数，不符合题意； 故选：A． 2．B 【分析】本题主要考查了翻折变换，勾股定理等知识，熟练掌握翻折的性质是解题的关键． 由折叠知，设，则，在中，利用勾股定理列方程解答即可． 【详解】解：由折叠知，， ∵D是的中点，， ∴， 设， ∵， 则， 在中，， 由勾股定理，得， 解得， ∴． 故选：B． 3．D 【分析】本题主要考查了勾股定理，掌握勾股定理：“直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方．”是解题关键．利用勾股定理求出，根据，求出，再利用勾股定理求出即可． 【详解】解：是边上的高 在中，，， ， ， ， 在中，，， 故答案选：D． 4．A 【分析】本题考查全等三角形的性质，勾股定理，熟练掌握全等三角形的性质是解题的关键．先利用勾股定理求出，再利用，得出，，，即可得，，再利用勾股定理求解即可． 【详解】解：∵，，， ∴， ∵， ∴，，， ∴，， ∴， 故选：A． 5．A 【分析】本题考查了旋转的性质，解题的关键是由旋转得到相等的边． 根据绕点顺时针旋转，得到，可得≌，，，从而得到为等边三角形，在中，利用勾股定理得到，即可解答． 【详解】解：∵将绕点顺时针旋转，得到， 可得：≌，，， ∴为等边三角形， ∴， 在中，， ∴与的周长之和为： ． 故选：A ． 6．D 【分析】本题考查了等腰三角形的性质、垂线段最短、勾股定理以及三角形的面积，作于点D，如图，根据等腰三角形的性质和勾股定理可求出，根据垂线段最短可知：当时，最小，再利用三角形的面积求解即可． 【详解】解：作于点D，如图， ∵，， ∴， ∴， ∵当时，最小， ∴， ∴， 解得， 即的最小值是4.8． 故选：D． 7．C 【分析】本题考查了作角平分线、勾股定理、全等三角形；解题的关键是熟练掌握角平分线的定义、勾股定理、全等三角形的性质，从而完成求解．过点E作交于点D，根据题意得，通过证明，得、；根据勾股定理的性质计算，得；设，结合勾股定理性质，通过列方程并求解，即可得到答案． 【详解】解：如图，过点E作交于点D， ∴， ∴， 根据题意得：为的平分线，即， 又∵， ∴， ∴，， ∵，， ∴，， 设， ∴， ∵， ∴，即， ∴， ∴，即． 故选：C． 8．A 【分析】本题考查的是勾股定理、数轴．根据勾股定理求出，进而求出，根据数轴解答即可． 【详解】解：在中，， ， 由题意得， ， 点表示的数是， 点表示的数是， 故选：A． 9．13 【分析】本题考查了三角形全等的判定与性质、勾股定理，通过作辅助线，构造全等三角形是解题关键．连接，先证出，根据全等三角形的性质可得，再在中，利用勾股定理求解即可得． 【详解】解：如图，连接， ∵是的斜边， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴在中，， 故答案为：13． 10．8 【分析】本题主要考查等腰三角形“三线合一”的性质及勾股定理解三角形，熟练掌握运用等腰三角形的性质是解题关键．根据等腰三角形“三线合一”的性质可得，，再利用勾股定理即可求解． 【详解】解：∵平分， ∴，， ∴． 故答案为： 11．128 【分析】本题考查了立体图形侧面展开图的应用以及勾股定理的计算，解题的关键是将长方体侧面展开为平面矩形，把空间中两点的最短距离问题转化为平面上两点间的最短距离（即矩形对角线）问题，再利用勾股定理求解． 明确长方体侧面展平后形成长为、宽为的矩形，点A与点B为该矩形的对角顶点；根据平面内两点间最短距离为矩形对角线，利用勾股定理计算对角线的平方． 【详解】解：由题意可知，长方体侧面展平后得到一个矩形，该矩形的长为宽为点A与点B是这个矩形对角的两个顶点． 根据平面内两点之间的最短距离是连接这两点的线段（即矩形的对角线），由勾股定理可得，从点A攀爬到点B的最短距离的平方等于矩形长的平方与宽的平方之和． 即最短距离的平方为． 故答案为：． 12． 【分析】本题考查了折叠的性质，等腰三角形的判定与性质，勾股定理等知识，掌握这些知识是关键；过点F作于点G，则由条件得，由勾股定理求得、的值，进而得；设，则，；在中由勾股定理建立方程可求得的值，最后可求得的长． 【详解】解：如图，过点F作于点G， ∵， ， ∴， ∴， ∴， 由勾股定理得、； ∵， ∴， ∴， ∴； 设，由折叠知，，； 在中，由勾股定理得：， 即， 解得， ∴． 故答案为：． 13．/90度 【分析】本题主要考查了勾股定理及其逆定理的应用，熟练掌握勾股定理及其逆定理是解题的关键．设出正方形的边长，利用中点及线段比例关系表示出相关线段长度，再通过勾股定理分别求出三角形三边的平方，最后根据勾股定理的逆定理判断三角形是否为直角三角形，从而得出角的度数． 【详解】解：设． E是的中点，， ，，． 在中，由勾股定理可得． 同理可得，， ， 为直角三角形，． 故答案为： 14．(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理等知识，证明≌是解题的关键． （1）根据，可知，再利用证明≌，得，即可证明结论； （2）假设是等腰直角三角形，则，由知≌，则，可可得到，则假设不成立． 【详解】（1）证明：， ， 又， ， 在与中， ， ≌， ， 是等腰三角形； （2）解：假设是等腰直角三角形， 则， ， 由（1）可知：≌， ∴， ， ， ， 不可能是等腰直角三角形． 15． 【分析】本题考查勾股定理与折叠问题，先利用勾股定理计算出，由折叠的性质得出，，设，则，用勾股定理解即可． 【详解】解：在中，由勾股定理，得， 所以． 由折叠的性质可知，， 所以． 设，则． 在中，由勾股定理，得， 即， 解得， 所以． 16．(1) (2)是直角三角形．理由见解析 【分析】本题考查勾股定理及勾股定理的逆定理，熟练掌握相关知识点是解题的关键． （1）利用勾股定理解即可； （2）先利用勾股定理计算出，再利用勾股定理的逆定理可判断出是直角三角形． 【详解】（1）解：因为是边上的高， 所以． 因为， 所以， 所以． （2）解：是直角三角形．理由如下： 因为， 所以， 所以， 所以． 因为， 所以是直角三角形． 17．(1)见详解 (2)6 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定，勾股定理． （1）利用角平分线的性质得出，然后利用证明三角形全等即可． （2）设，则，，，利用勾股定理先求出的长，进而求出的长，然后再利用勾股定理列出关于x的方程，解方程即可求出答案． 【详解】（1）证明：∵平分交于点， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴． （2）设， 由（1）可知 ， ∴，，， ∵在中，， ∴， 即或（舍）， ∴， ∵在中，， 根据勾股定理，， 即， 解得， 即． 18． 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质和判定、勾股定理的应用、等腰直角三角形的性质等知识．先证明，可得，，进而得出是直角三角形，再根据勾股定理求出答案即可． 【详解】∵和都是等腰直角三角形，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 在中，， 即． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $$