河北省石家庄市第一中学2025-2026学年高三上学期开学收心考试数学试题

石家庄市第一中学2026届高三第一学期开学收心考试 数学试卷 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。 如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡 上指定位置，在其他位置作答一律无效。 3．本卷满分 150 分，考试时间 120 分钟。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知集合A＝{－1，0，1，2}，B＝{x｜x2≤1}，则A∩B＝ A．{－1，0，1} B．{0，1} C．{－1，1} D．{0，1，2} 2．已知函数，下列结论正确的是 A．函数的减区间 B．函数在上单调递减 C．函数在上单调递增 D．函数的增区间是 3．函数的值域为 A． B． C． D． 4．已知函数.下列区间中包含的零点的是 A． B． C． D． 5．设为偶函数，当时，则使的x取值范围是 A． B． C．或 D．或 6．集合，，则 A． B． C． D． 7．设a=0.035,b=2.25(e0.01-1),c=4ln 1.01,则a,b,c的大小关系是 A．a<b<c B．a<c<b C．b<c<a D．b<a<c 8．已知函数的定义域为，有下面三个命题，命题p：存在且，对任意的，均有恒成立，命题：在上是严格减函数，且恒成立；命题：在上是严格增函数，且存在使得，则下列说法正确的是 A．、都是p的充分条件 B．只有是p的充分条件 C．只有是p的充分条件 D．、都不是p的充分条件 二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得2分，有选错的得0分。 9．设为复数，则下列结论正确的有 A． B． C．若，则 D．若，则 10．已知，则下列不等式恒成立的有 A． B． C． D． 11．已知是定义在上的奇函数，.若，则 A．是周期函数 B．当为偶数时， C． D． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．已知幂函数的图象经过点，则的值为 . 13．有下列命题： ①所有的素数都是奇数；②是无理数，是无理数； ③是无理数，是无理数；④至少有一个整数，是4的倍数. 其中，真命题有 .（填序号） 14．已知分别是函数与的零点，若，则的取值范围为 . 四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（1）已知二次函数满足，且，求的解析式； （2）已知是上的奇函数，当时，，求的解析式. 16．已知函数，为的导函数. （1）证明：在内存在唯一零点. （2）当时，，求的取值范围. 17．已知函数． (1)若曲线在处的切线过点，求实数a的值； (2)当时，证明：． 18．已知. (1)当时，求的单调区间； (2)若有两个极值点，，证明：. 19．已知定义在上的偶函数和奇函数,且. （1）求函数,的解析式； （2）设函数,记（,）.探究是否存在正整数,使得对任意的,不等式恒成立？若存在,求出所有满足条件的正整数的值；若不存在,请说明理由. 参考结论：设均为常数,函数的图象关于点对称的充要条件是. 第 page number 页，共 number of pages 页 第 page number 页，共 number of pages 页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 石家庄市第一中学2026届高三第一学期开学收心考试数学 数学答案 1.A 2.C 3.C 4.D 5.C 6.C 7.D 8.A 9.AB 10.BC 11.ABD 12． 13．③ 14． 15．（1）设二次函数，代入和， 得，化简得， 所以，，，所以 . （2）设，则,所以， 又因为函数为奇函数，所以，所以， 当时，由，所以． 所以． 16．（1）证明：因为， 所以. 记， 则. 当时，； 当时，. 在上单调递减，在上单调递增， 即在上单调递减，在上单调递增. 因为，，， 所以存在唯一，使得， 即在内存在唯一零点. 解：由（1）可知当时，； 当时，. 所以在上单调递减，在上单调递增. 因为当时，恒成立， 则至少满足，， 即， ①当时，，，满足； ②当时，，而，满足. 即当时，都有. 又当，时，， 从而当时，对一切恒成立. 故的取值范围为. 17．（1）函数的定义域为，，所以， 又， 所以在处的切线方程为， 将点代入得，解得． （2），设，则， 因为，所以当时，，即单调递减； 当时，，即单调递增； 时，，即， ，， 所以当时，. ，， 所以存在唯一的，使得，即， 且当时，，单调递减； 当时，，单调递增； 所以当时，函数在处取得极小值，即为最小值， 所以， 因为，所以，故， 则，得证． 18．(1)当时，， ， 则当，即时，， 当，即时，， 故的单调递减区间为，，单调递增区间为； (2)，令，即， 令，，则，是方程的两个正根， 则，即， 有，，即， 则 ， 要证，即证， 令， 则， 令，则， 则在上单调递减， 又，， 故存在，使，即， 则当时，，当时，， 故在上单调递增，在上单调递减， 则， 又，则，故， 即，即. 19．（1）∵, ∴. 又为偶函数,为奇函数, ∴, , ∴,. （2）存在满足条件的正整数n. 由题意可知：为奇函数,其图象关于中心对称, ∴函数的图象关于点中心对称, 即对,. ∵, ∴. 两式相加,得 即. ∴. 由, 得,. ∵, ∴, 由此可得恒成立. 即对任意的恒成立. 令,,,则, ,,且, 则 ∵,,∴. 则在上单调递增, ∴在上单调递增, ∴ ∴. 又由已知,, ∴ 第 page number 页，共 number of pages 页 第 page number 页，共 number of pages 页 学科网（北京）股份有限公司 $$