第2章 全等三角形课件 2025-2026学年 青岛版（2024）八年级数学上册

2．2　三角形全等的判定 第1课时　“边角边” 1．[2024·廊坊期中]下列与图1三角形全等的是( ) A．①② B．②③ C．①③ D．只有① 2．[2024·威海期末]如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，AE＝AF，可用“SAS”判断全等的是( ) A．△ABD和△ACD B．△BDE和△CDF C．△ADE和△ADF D．以上三个选项都可以 3．平面上有△ACD与△BCE，其中AD与BE相交于P点，如图，若AC＝BC，∠A＝∠B，AD＝BE，∠ACE＝55°，∠BCD＝155°，则∠BPD的度数为( ) A．110° B．125° C．130° D．155° 4．(多选)如图所示，在△ABD和△ACE中，AB＝AC，AD＝AE，要证明△ABD ≌△ACE，需补充的条件是( ) A．∠B＝∠C B．∠BAD＝∠CAE C．∠DAE＝∠BAC D．∠CAD＝∠DAC 5.[规律探究]如图1，已知AB＝AC，D为∠BAC的角平分线上面 一点，连接BD，CD；如图2，已知AB＝AC，D，E为∠BAC的角平 分线上面两点，连接BD，CD，BE，CE；如图3，已知AB＝AC，D， E，F为∠BAC的角平分线上面三点，连接BD，CD，BE，CE，BF，CF；…，依此规律，第9个图形中有全等三角形的对数是( ) A．40 B．36 C．55 D．45 6.[分类讨论思想][2024·临沂期末]如图，AB＝8cm，∠A＝∠B＝60°，AC＝BD＝6 cm，点P在线段AB上以2 cm/s的速度由点A向点B运动，同时，点Q在线段BD上以x cm/s的速度由点B向点D运动，它们运动的时间为t(s)．当△ACP与△BPQ全等时，x的值是( ) A．2 B．1或1.5 C．2或3 D．1或2 7．[2024·济南期末]如图，公园里有一座假山，要测量假山两 端A，B的距离，先在平地上取一个可以直接到达A，B的点C，分 别延长AC，BC到点D，E，使CE＝CB，CA＝CD，连接DE，这样就 可以利用三角形全等，通过测量DE的长得到假山两端A，B的距 离，则这两个三角形全等的依据是____． SAS 8．[2024·潍坊期中]如图，在△ABC中，AB＝15，AC＝9，D为BC 边的中点，连接AD并延长到点E，使DE＝AD，再连接BE.则BC边上 的中线AD的取值范围是________． 3<AD<12 9.[分类讨论思想][2024·济宁期中]如图， 在长方形ABCD中， AB＝4，AD＝6，延长 BC到点 E, 使CE＝2, 连接DE，动点P从 点B出发，以每秒2个单位长度的速度沿BC－CD－DA向终点A运 动，设点P的运动时间为t秒，当t的值为_____秒时，△ABP和 △DCE全等． 1或7 10．[2024·菏泽期中]如图，已知AB＝AE，AB∥DE，AC＝ED， 说明△ABC≌△EAD的理由． 证明：略 11．[2024·淄博期中]如图，已知A，D，C，E在同一直线上， BC和DF相交于点O，AD＝CE，AB∥DF，AB＝DF. 求证：△ABC≌△DFE. 证明：略 12.[手拉手模型][2024·杭州期末]如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D，点E为AC上一点，连接BE交AD于点F，且BD＝AD，DF＝DC.求证： (1)BF＝AC； (2)BE⊥AC. 证明：(1)因为AD⊥BC， 所以∠BDF＝∠ADC＝90°. 因为BD＝AD， DF＝DC， 所以△BFD≌△ACD(SAS)， 所以BF＝AC； (2)因为∠ADC＝90°， 所以∠DAC＋∠C＝90°. 因为△BFD≌△ACD， 所以∠DBF＝∠DAC， 所以∠DBF＋∠C＝90°. 所以∠BEC＝90°， 所以BE⊥AC. 13.[手拉手模型]如图，已知在△ABC，△ADE中，∠BAC＝∠DAE＝90°，∠ABC＝∠ADE＝45°，AB＝AC，AD＝AE，点C，D，E三点在同一直线上，连接BD. (1)求证： △BAD≌△CAE； (2)请判断BD与CE有何大小、位置关系， 并证明． (2)BD＝CE且BD⊥CE，证明： 因为在△ADE中，∠DAE＝90°，∠ADE＝45°， 所以∠AED＝180°－90°－45°＝45°， 即∠AEC＝45°， 由(1)，得△BAD≌△CAE， 所以BD＝CE，∠ADB＝∠AEC＝45°. 所以∠BDE＝∠ADB＋∠ADE＝45°＋45°＝90°， 所以BD⊥CE. 解：(1)证明：因为∠BAC＝∠DAE＝90°， 所以∠BAC＋∠DAC＝∠DAE＋∠DAC， 即∠BAD＝∠CAE， 在△BAD和△CAE中， eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(AB＝AC，,∠BAD＝∠CAE，,AD＝AE，)) 所以△BAD≌△CAE(SAS)； $$第4课时　“斜边、直角边” 1．[2024·大连期末]如图，BE⊥AC于点E，CF⊥AB于点F，若BE＝CF，则Rt△BCF≌Rt△CBE的理由是( ) A．AAS B．SAS C．HL D．ASA 2．[2024·东川区期中]下列各选项中的两个直角三角形不一定全等的是( ) A．两个锐角对应相等的两个直角三角形 B．两条直角边对应相等的两个直角三角形 C．斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形 D．有一个锐角及这个锐角的对边对应相等的两个直角三角形全等 3．[2024·武冈期末]如图，CD⊥AB于点D，EF⊥AB于点F，AC＝BE.证明Rt△ACD≌Rt△BEF，不是利用“HL”的条件是( ) A．AC∥BE B．AD＝BF C．CD＝EF D．AF＝BD 4.[对称模型][2024·临渭区期末]如图，CD⊥AB，BE⊥AC，垂足分别为D，E，BE，CD相交于点O.如果AB＝AC，那么图中全等的直角三角形的对数是( ) A．1对 B．2对 C．3对 D．4对 5．[2024·舞阳县期中]如图，∠ACB＝∠DBC＝90°，要根据 “HL”证明Rt△ABC≌Rt△DCB，应添加的直接条件是_______． AB＝CD 6．[2024·西安区模拟]如图，点E，C在BF上，BE＝CF，∠A＝ ∠D＝90°，请添加一个条件：___________________，使Rt△ABC ≌Rt△DFE. DE＝AC(答案不唯一) 7．[2024·衡阳期末]如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝10， BC＝5，线段PQ＝AB，P，Q两点分别在AC和过点A且垂直于AC的射 线AO上运动，当AP＝______时，△ABC和△PQA全等． 5或10 8．[2024·袁州区期中]如图，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠BAD ＝150°，AB⊥CB于点B，AD⊥CD于点D，E，F分别是CB，CD上的 点，且∠EAF＝75°，EF＝3，下列结论：①△ADF≌△ABE　②EA 平分∠FEB　③EF平分∠AEC　④若四边形ABCD的周长是15，且 △EAF的面积为3，则四边形ABCD的面积等于11.其中一定正确的 有_____．(填序号) ②④ 9．[2024·温州期末]如图，点B，F，E，C在同一条直线上，EA ⊥AB于点A，FD⊥CD于点D，且BF＝CE，AB＝CD.求证：△ABE≌ △DCF. 10．[2024·安康期末]如图，数学活动实践课上，小浩在旗杆CD与某栋楼之间选定一点O，连接AO，CO.若AO＝OC，OB＝CD＝15 m，DB＝36 m，且D，O，B在同一水平线上，求楼AB的高度． 11．[2024·长兴县期中]如图，在Rt△ABC和Rt△A′B′C′中，∠C＝∠C′＝90°，AC＝A′C′，AD与A′D′分别为BC，B′C′边上的中线，且AD＝A′D′. 求证：(1)Rt△ACD≌Rt△A′C′D′； (2)Rt△ABC≌Rt△A′B′C′. 12．[2024·庐阳区期末]如图，在△ABC和△EDC中，∠B＝∠D＝90°，AB＝DE，EC＝AC. (1)求证：∠BCE＝∠DCA； (2)求证：HA＝HE. 13．阅读材料： 如图1，在四边形ABCD中，对角线AC⊥BD，垂足为P，则有 S四边形ABCD＝ AC·BD，你知道为什么吗？ (1)用文字语言表示上述过程得到的性质：_________________ ____________________________________________________． (2)如图2，在四边形ABCD中，AD∥BC，AB＝DC.对角线AC⊥BD，垂足为P，AP＝3 cm，PB＝7 cm.利用上述性质求该四边形的面积． 解：(1)对角线互相垂直的四边形的面积等于对角线乘积的一半； (2)作AE⊥BC于点E，DF⊥BC于点F，过点P作PQ⊥BC于点Q， 所以∠AEB＝∠DFC＝90°. 因为AD∥BC， 所以AE＝DF. 所以△ABC≌△DCB(SAS)． 所以AC＝DB，∠ACB＝∠DBC. 因为PQ⊥BC， 所以∠PQC＝∠PQB＝90°， 因为∠PCQ＝∠PBQ，PQ＝PQ， 所以△PCQ≌△PBQ(AAS)， 所以PC＝PB＝7 cm. 所以AC＝BD＝PA＋PC＝3＋7＝10(cm)． 所以S四边形ABCD＝ AC·BD＝ ×10×10＝50(cm2)． 证明：因为EA⊥AB于点A，FD⊥CD于点D， 所以∠A＝∠D＝90°， 因为BF＝CE， 所以BE＝CF， 在Rt△ABE和Rt△DCF中， eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(BE＝CF，,AB＝DC，)) 所以Rt△ABE≌Rt△DCF(HL)． 解：由题意，得CD⊥DB，AB⊥DB， 所以∠CDO＝∠ABO＝90°， 在Rt△CDO和Rt△OBA中，eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(OC＝OA，,CD＝OB，)) 所以Rt△CDO≌Rt△OBA(HL)， 所以DO＝AB， 因为OB＝CD＝15 m，DB＝36 m， 所以OD＝AB＝BD－OB＝36－15＝21(m)， 所以楼的高度(AB)为21 m. 证明：(1)因为∠C＝∠C′＝90°， 所以△ACD和△A′C′D′都是直角三角形， 在Rt△ACD和Rt△A′C′D′中， eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(AD＝A′D′，,AC＝A′C′，)) 所以Rt△ACD≌Rt△A′C′D′(HL)； (2)因为Rt△ACD≌Rt△A′C′D′， 所以CD＝C′D′， 因为AD与A′D′分别为BC，B′C′边上的中线， 所以CB＝C′B′＝2CD， 在Rt△ABC和Rt△A′B′C′中， eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(AC＝A′C′，,∠C＝∠C′，,CB＝C′B′，)) 所以Rt△ABC≌Rt△A′B′C′(SAS)． 证明：(1)因为∠B＝∠D＝90°， 在Rt△ACB与Rt△ECD中， eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(AC＝EC，,AB＝ED，)) 所以Rt△ACB≌Rt△ECD(HL)， 所以∠ACB＝∠ECD， 所以∠ACB－∠ACE＝∠ECD－∠ACE， 所以∠BCE＝∠DCA； (2)因为Rt△ACB≌Rt△ECD， 所以BC＝DC，∠A＝∠E， 在△BCF和△DCG中， eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(∠BCF＝∠DCG，,BC＝DC，,∠B＝∠D，)) 所以△BCF≌△DCG(ASA)， 所以CF＝CG， 因为AC＝EC， 所以EF＝AG， 在△EFH和△AGH中， eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(∠EHF＝∠AHG，,∠E＝∠A，,EF＝AG，)) 所以△EFH≌△AGH(AAS)， 所以HA＝HE. eq \f(1,2) 解：因为AC⊥BD， 所以S△ACD＝eq \f(1,2)AC·PD，S△ABC＝eq \f(1,2)AC·BP. 所以S四边形ABCD＝S△ACD＋S△ABC＝eq \f(1,2)AC·PD＋eq \f(1,2)AC·BP＝eq \f(1,2)AC·(PD＋BP) ＝eq \f(1,2)AC·BD. 在Rt△ABE和Rt△DCF中， eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(AB＝DC，,AE＝DF，)) 所以Rt△ABE≌Rt△DCF(HL)． 所以∠ABC＝∠DCB. 在△ABC和△DCB中， eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(AB＝DC，,∠ABC＝∠DCB，,BC＝CB，)) eq \f(1,2) eq \f(1,2) $$2．3　尺规作图 第1课时　作一个三角形全等于已知三角形 1．[2024·郑州期中]如图，已知△ABC，尺规作图的方法作出了△DEF≌△ABC，请根据作图痕迹判断△DEF≌△ABC的理论依据是( ) A．SAS B．AAS C．ASA D．SSS 2．[2024·石家庄期中]已知△ABC，以线段BC为公共边，作△DBC≌△ABC，对于图中的一些弧线，下列说法正确的是( ) A．弧②的半径长一定等于弧①的半径长 B．弧③的半径长一定等于弧①的半径长 C．弧③的半径长一定等于弧④的半径长 D．弧⑤的半径长一定等于弧④的半径长 3．[2024·昆明模拟]如图是陈老师在黑板上演示的“作一个角等于已知角”尺规作图及其步骤．作法：(1)如图，以点O为圆心，任意长为半径画弧，分别交OA，OB于点C，D；(2)画一条射线O′A′，以点O′为圆心，OC长为半径画弧，交O′A′于点C′；(3)以点C′为圆心，CD长为半径画弧，与(2)中所画的弧相交于点D′；(4)过点D′作射线O′B′，则 ∠A′O′B′＝∠AOB.以下是四名同学对作图过程做出的判断，四名同学说法错误的是( ) A．小华 B．小雅 C．小彤 D．小楠 4.[2024·唐山期中]如图是作△ABC的作图痕迹，则此作图的已知条件是( ) A．已知三角形的三边 B．已知三角形的两边及夹角 C．已知三角形的两角及夹边 D．已知三角形的两角及一角的对边 5．(多选)根据下列条件，能画出唯一△ABC的是( ) A．AB＝4，BC＝5，AC＝8 B．AB＝4，BC＝3，∠A＝120° C．AC＝3，BC＝2，∠A＝30° D．AC＝2，BC＝4，∠C＝90° 6．[2024·开封期末]如图，已知∠A和一条长度为a的线段，作 一个以∠A为底角，a为腰长的等腰三角形的方法是：①连接FG； ②以点F为圆心，a的长为半径画弧，交射线DM于点G；③在∠A的 两边上截取AB＝a，AC＝a；④画射线DM，以点D为圆心，a的长为 半径画弧，交射线DM于点E，并以点E为圆心，BC的长为半径画弧， 两弧交于点F，作射线DF.以上作法的正确顺序是_________．(填 序号) ③④②① 7．如图，已知△ABC的三边长分别为a，b，c，∠B＝α，∠C＝β，利用直尺和圆规完成下列作图．(不写作法，保留作图痕迹) (1)作线段EF＝a－c； (2)作∠POQ＝α＋β. 解：(1)如图1，EF即为所求作； (2)如图2，∠POQ即为所求作； 8．已知：∠α，∠β，线段c，如图所示．求作：△ABC，使∠A＝∠α，∠ABC＝∠β，AB＝2c.(不写作法，保留作图痕迹) 解：如图所示，△ABC即为所求． 9.[应用意识][2024·烟台期中]小明踢足球时，不慎将一块三角形玻璃打碎成三块，如图所示，请你选择图1、图2、图3中的一个图形作为依据，利用尺规作图，画出与该三角形玻璃全等的三角形，便于帮助小明去配玻璃．(做出选择，保留作图痕迹，不写作法) 解：选择图3作为作图依据， 所以△ABC即为所求作． 10．我们通过“三角形全等的判定”的学习，可以知道“两边及其夹角分别相等的两个三角形全等”是一个基本事实，用它可以判定两个三角形全等；而满足条件“两边和其中一边所对的角分别相等”的两个三角形却不一定全等．下面请你来探究“两边和其中一边所对的角分别相等的两个三角形不一定全等”． 探究：已知△ABC，求作一个△DEF，使EF＝BC，∠F＝∠C，DE＝AB(即两边和其中一边所对的角分别相等)． (1)动手画图 请用尺规作图的方法完成下面的作图过程： ①画EF＝BC；②在线段EF的上方画∠F＝∠C；③画DE＝AB； (2)观察 观察你画的图形，你会发现满足条件的三角形有 个；其中三角形 (根据自己作图标注的字母填三角形的名称)与△ABC明显不全等； (3)小结 经历以上探究过程，可得结论：________________________. 解：如图，△DEF和△D′EF即为所求作； (2)2；△D′EF(与图对应即可) (3)两边和其中一边所对的角分别相等的两个三角形不一定全等 $$第2章 全等三角形 2.1　全等三角形 1．[2024·潍坊]下列各组图形中，不是全等形的是( ) 2．[2024·烟台期中]下列说法：①全等图形的形状相同，大小相等　②全等三角形的对应边相等　③全等图形的周长相等，面积相等 ④面积相等的两个三角形全等．其中正确的是( ) A．①②③④ B．①③④ C．②③④ D．①②③ 3．[2024·临沂期中]如图，△ACB≌△A′CB′，∠A′CB＝30°，∠A′CB′＝70°，则∠ACA′的度数是( ) A．40° B．30° C．35° D．20° 4．[2024·厦门期末]如图，AC，BD是四边形ABCD的对角线，BD＝DC，∠ABD＝∠DCB，点E在BC上，连接DE，若△ABD与△ECD全等，下列线段长度等于AB＋BE的是( ) A．BC B．BE C．BD D．AC 5．[2024·翔安区期中]如图，△AOB≌△ADC，∠O＝∠D＝90°，记∠OAD＝α，∠ABO＝β，当AO∥BC时，α与β之间的数量关系为( ) A．α＋β＝90° B．α＋2β＝180° C．α＝β D．α＝2β 6．(多选)如图，△ABC≌△CDA，∠B＝∠D，则下列结论中正确的是( ) A．AB＝CD，BC＝DA B．∠BAC＝∠DCA，∠ACB＝∠CAD C．AB∥CD，BC∥DA D．AB＝AD，BC＝CD 7．(多选)如图，△ABC≌△EFD，且∠F＝∠B，则下列说法正确的是( ) A．FC＝BD B．EF平行且等于AB C．AC平行且等于DE D．CD＝ED 8．如图，四边形ABCD与四边形D′C′B′A′全等，则∠A′＝ ______，∠A＝______，B′C′＝___，AD＝__． 120° 105° 12 6 9．[2024·青岛期末]如图，已知△ABC≌△EFD，且点A，B，C 分别与点E，F，D对应，BF＝10，DC＝2，则DF＝__． 6 10．[2024·聊城期中]如图，AB＝12 m，CA⊥AB于点A，DB⊥AB 于点B，且AC＝4 m，点P从点B向点A运动，每分钟走1 m，点Q从 点B向点D运动，每分钟走2 m，若P，Q两点同时开始出发，运动 __分钟后△CAP≌△PBQ. 4 11．如图，A，D，E三点在同一条直线上，且△ABD≌△CAE. (1)若BD＝5，CE＝3，求DE； (2)若BD∥CE，求∠BAC. 解：(1)因为△ABD≌△CAE，BD＝5， CE＝3， 所以AD＝CE＝3，AE＝BD＝5， 所以DE＝AE－AD＝2； (2)因为BD∥CE， 所以∠BDE＝∠CEA， 因为△ABD≌△CAE， 所以∠ADB＝∠CEA，∠ABD＝∠CAE， 所以∠ADB＝∠BDE. 因为∠ADB＋∠BDE＝180°， 所以∠ADB＝90°， 所以∠ABD＋∠BAD＝90°， 所以∠BAC＝∠BAD＋∠CAE＝∠BAD＋∠ABD＝90°. 12．[2025·广州期末]如图，在△ABC中，点D，E分别在边BC， AB上，连接AD，CE交于点F，且△ABD≌△CFD. (1)求证：△ADC是等腰直角三角形； (2)若S△BCE＝15，S△AEF＝3，求四边形BEFD的面积． 解：(1)证明：因为△ABD≌△CFD， 所以∠ADB＝∠CDF，AD＝CD， 因为∠ADB＋∠CDF＝180°， 所以∠ADB＝∠CDF＝90°， 所以△ADC是等腰直角三角形； (2)因为S△BCE＝15，S△AEF＝3， 所以S△ABD＋S△CDF＝S△BCE＋S△AEF＝15＋3＝18， 因为△ABD≌△CFD， 所以S△ABD＝S△CDF＝ ×18＝9， 所以四边形BEFD的面积＝S△ABD－S△AEF＝9－3＝6. 13．[2025·保定期中]如图，△ABC≌△EDF，点A，F，C，E在一条直线上． (1)求证：AF＝CE； (2)连接AD.若∠DAF＝∠AFD＝∠ADE＝2∠B， 求∠E的度数． 解：(1)证明：因为△ABC≌△EDF， 所以AC＝EF， 即AF＋FC＝CE＋CF， 所以AF＝CE； (2)因为△ABC≌△EDF， 所以∠B＝∠EDF， 因为∠DAF＝∠AFD＝∠ADE＝2∠B， 所以∠ADE＝2∠EDF， 所以DF平分∠ADE， ∠ADF＝ ∠ADE， 设∠ADF＝∠EDF＝x°， 则∠DAE＝∠AFD＝∠ADE＝2x°， ∠E＝∠AFD－∠EDF＝x°， 在△ADF中，根据三角形内角和定理，得 x＋2x＋2x＝180，解得x＝36， 所以∠E＝36°. 14．[2024·连云港期中]如图，在等腰△ABC中，AB＝AC＝5 cm，BC＝8 cm，点P从点B出发，以2 cm/s的速度沿BC向点C运动，设点P的运动时间为t s. (1)PC＝ cm；(用含t的代数式表示) (2)当点P从点B开始运动，同时，点Q从点C 出发，以v cm/s的速度沿CA向点A运动，是否存在这样v的值，使得△ABP与△PQC全等？若存在，请求出v的值；若不存在，请说明理由． 所以2t＝4， 解得t＝2， 又因为CQ＝AB＝5(cm)， 2v＝5， 解得v＝2.5. 综上所述，当v＝2.5或2时，△ABP与△PQC全等． eq \f(1,2) eq \f(1,2) 解：(1)(8－2t)； (2)①当△ABP≌△PCQ时，BP＝CQ，AB＝PC， 因为AB＝5 cm， 所以PC＝5 cm， 所以BP＝8－5＝3(cm)， 所以2t＝3， 解得t＝eq \f(3,2)， 又因为CQ＝BP＝3 cm， 所以v·eq \f(3,2)＝3， 解得v＝2； ②当△ABP≌△QCP时，BA＝CQ＝5 cm， PB＝PC， 因为PB＝PC， 所以BP＝PC＝eq \f(1,2)BC＝4(cm)， $$第2课时　“角边角”和“角角边” 1．如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D，BE⊥AC于点E，AD交BE于点F.若BF＝AC，则∠ABC的度数为( ) A．45° B．48° C．50° D．60° 2．[2024·菏泽期中]如图，AD⊥BC于点D，BE⊥AC于点E，DC＝EC＝4 cm，AC＝6 cm，则BD的长为( ) A．1 cm B．2 cm C．3 cm D．4 cm 3．[2024·淄博期中]如图，△ABC的面积为16cm2，AP垂直∠ABC的平分线BP于点P，则△PBC的面积为( ) A．4 cm2 B．6 cm2 C．8 cm2 D．10 cm2 4．如图，CD⊥AB于点D，BE⊥AC于点E，CD，BE相交于点O，且AO平分∠BAC，则图中的全等三角形共有( ) A．1对 B．2对 C．3对 D．4对 5．[2024·临沂期中]如图，△ABC的面积为40，AD平分∠BAC， AD⊥BD于点D，连接CD，则△ACD的面积为( ) A．10 B．15 C．20 D．25 6．(多选)如图，直线EF经过AC的中点O，交AB于点E，交CD于点F，下列哪个条件可以使△AOE ≌△COF成立( ) A．∠A＝∠C B．AB∥CD C．AE＝CF D．OE＝OF 7．[2024·滨州期中]如图，小明与小敏玩跷跷板游戏，如果跷 跷板的支点O(即跷跷板的中点)至地面的距离是45 cm，当小敏 从水平位置CD下降20 cm时，小明离地面的高度是___cm. 65 8.[一线三垂直模型]王强同学用10块高度都是2 cm的相同长方 体木块，垒了两堵与地面垂直的木墙，木墙之间刚好可以放进 一个等腰直角三角板(AC＝BC，∠ACB＝90°)，点C在DE上，点A 和点B分别与木墙的顶端重合，则两堵木墙之间的距离为___cm. 20 9．[2024·潍坊期中]如图，AB∥FC，E是DF的中点． (1)请说明：△ADE≌△CFE； (2)若AB＝15，CF＝8，求BD的长． 解：(1)证明略；(2)BD＝7. 10．[2024·商丘期中]如图，点D在AB上，点E在AC上，AB＝AC，∠B＝∠C. (1)求证：BD＝CE； (2)若BE，CD交于点F，试探求BF， CF的数量关系，并说明理由． 解：(1)略；(2)BF＝CF，理由：略． 11.[一线三垂直模型][2024·保定期末]小明在物理课上学习了发声物体的振动实验后，对其作了进一步的探究：在一个支架的横杆点O处用一根细绳悬挂一个小球A，小球A可以自由摆动，如图1，OA表示小球静止时的位置．当小明用发声物体靠近小球时，小球从OA摆到OB位置，此时过点B作BD⊥OA于点D，当小球摆到OC位置时，OB与OC恰好垂直(图2中的A，B，O，C在同一平面上)， 过点C作CE⊥OA于点E，测得CE＝15 cm， OE＝8 cm. (1)求证：OE＝BD； (2)求DE的长． 解：(1)证明：因为OB⊥OC， 所以∠BOD＋∠COE＝90°. 又因为CE⊥OA，BD⊥OA， 所以∠CEO＝∠ODB＝90°. 所以∠BOD＋∠B＝90°， 所以∠COE＝∠B. (2)因为△COE≌△OBD， 所以OD＝CE＝15 cm， 因为OE＝8 cm， 所以DE＝OD－OE＝15－8＝7 (cm)． 12.[一线三垂直模型]“一线三等角”模型是平面几何图形中的重要模型之一，“一线三等角”指的是图形中出现同一条直线上有3个相等的角的情况，在学习过程中，我们发现“一线三等角”模型的出现，还经常会伴随着出现全等三角形． 根据对材料的理解回答下列问题： (1)如图1，∠ADC＝∠CEB＝∠ACB＝90°，AC＝BC，猜想DE，AD， BE之间的关系： ； (2)如图2，将(1)中条件改为∠ADC＝∠CEB＝∠ACB＝α (90°<α<180°)，AC＝BC，请问(1)中的结论是否仍然成立？ 若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由； (3)如图3，在△ABC中，点D为AB上一点，DE＝DF，∠A＝∠EDF ＝∠B，AE＝2，BF＝5，请直接写出AB的长． 解：(1)DE＝AD＋BE； (2)(1)中结论仍然成立，证明： 因为∠ADC＝∠CEB＝∠ACB＝α， ∠BCE＋∠ACD＝180°－α， ∠ACD＋∠CAD＝180°－α， 所以∠CAD＝∠BCE. (3)因为∠A＝∠EDF＝∠B，∠EDB＝∠A＋∠AED＝∠EDF＋∠FDB， 所以∠AED＝∠FDB， 因为DE＝DF， 所以△AED≌△BDF(AAS)， 所以AE＝BD，AD＝BF， 所以AB＝AD＋BD＝BF＋AE＝5＋2＝7. 在△COE和△OBD中， eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(∠CEO＝∠ODB，,∠COE＝∠B，,OC＝OB，)) 所以△COE≌△OBD(AAS)， 所以OE＝BD； 在△ADC和△CEB中， eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(∠ADC＝∠CEB，,∠CAD＝∠BCE，,AC＝CB，)) 所以△ADC≌△CEB(AAS)． 所以AD＝CE，DC＝BE. 所以DE＝CE＋DC＝AD＋BE， 所以(1)中结论仍然成立； $$第3课时　“边边边” 1.[中华传统文化][2025·镇江期中]如图1，油纸伞是中国传统工艺品之一，是起源于中国的一种纸制或布制伞．油纸伞的制作工艺十分巧妙，如图2，伞圈D沿着伞柄AP滑动时，总有伞骨BD＝CD，AB＝AC，从而使得伞柄AP始终平分同一平面内两条伞骨所成的∠BAC.其中证明△ADB≌△ADC的理由是( ) A．SSS B．SAS C．ASA D．AAS 2．[2024·海淀期末]如图，AB＝AC，AD＝AE，BD＝CE，BD与CE相交于点O，与∠CAB(不包括∠CAB)一定相等的角有( ) A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 3．如图，AB＝DC，AE＝DF，CE＝BF，∠B＝55°，则∠C＝( ) A．45° B．55° C．35° D．65° 4．如图，在方格纸中，点A，B，C均在格点上，以AB为一边作△ABP，使之与△ABC全等，在方格的格点中找出符合条件的P点(不与点A，B，C重合)，则点P有( ) A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 5．(多选)如图，AC与DB相交于点O，下列条件可以证明△ABC ≌△DCB的是( ) A．AB＝DC，AC＝DB B．∠A＝∠D，∠ABC＝∠DCB C．BO＝CO，∠A＝∠D D．AB＝DC，∠ACB＝∠DBC 6．如图，胶州湾大桥是一座斜拉式大桥，斜拉式大桥多采用三 角形结构，使其不易变形，这种做法的依据是_______________． 三角形的稳定性 7．[2024·德州期中]如图，勤劳的小蜜蜂A，B，C，D，E，F分 别位于蜂房(由若干个正六边形拼成)向阳面的一侧劳作，若任 何不共线三点位置都可以组成一个三角形，则与△ACD全等的三 角形是_____________． △ABC，△ADE 8．[2024·长春期中]如图，AB＝AC，AD＝AE，BD＝CE，且点B， D，E在同一条直线上．给出下面四个结论； ①△ABD≌△ACE ②∠ADE＝∠CAE＋∠ACE ③AD∥CE ④∠BEC＝∠DAE.上述结论中，正确结论的序号有_______． ①②④ 9．如图，小敏做了一个角平分仪ABCD，其中AB＝AD，BC＝DC， 将仪器上的点A与∠PRQ的顶点R重合，调整AB和AD，使它们分 别落在角的两边上，过点A，C画一条射线AE，AE就是∠PRQ的 平分线，小敏根据角平分仪的画图原理得到下列结论： ①△ABC≌△ADC　②∠BCA＝∠DCA ③∠ABC＝∠ADC　④∠BAE＝∠ACD. 其中正确的结论有_______．(填序号) ①②③ 10．如图，A，D，C，F在一条直线上，BC与DE交于点G，AD＝CF， AB＝DE，BC＝EF，求证： (1)△ABC≌△DEF； (2)AB∥DE. 证明：(1)略；(2)略． 11．如图，在四边形ABCD中，∠B＝∠D＝90°，点E，F分别在 AB，AD上，AE＝AF，CE＝CF.求证：CB＝CD. 12．[2024·朔州期中]综合与实践 生活中的数学 去学校的路上，淘淘发现路边的一根电线杆两侧对称地拉着钢绳(如图1)，他很快明白了其中的道理． 【提出问题】 淘淘来到学校，看到学校的旗杆两侧并没有拉着钢绳，于是提出问题：学校的旗杆是否垂直于地面？ 【实践操作】 如图2，淘淘找来两根5米长的绳子，一端系在旗杆上的同一位置A处，另一端分别固定在地面的两个木桩B，C上(两个木桩和旗杆在同一平面内，绳结处的长度误差忽略不计)，淘淘现只有一把卷尺． 【解决问题】 (1)如图1，电线杆两侧对称地拉着钢绳是为了防止电线杆倾倒，这样做是利用了 ； (2)如图2，需要用卷尺测量哪些线段的长度？ (3)如图2，当测量出的线段满足什么条件时，旗杆是垂直于地面的？并说明理由． 解：(1)三角形的稳定性； (2)只需测量BD和CD的长度； 13.[半角模型]如图，若在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B＋∠D＝ 180°，E，F分别是BC，CD上的点，连接AE，AF，EF，若EF＝BE ＋FD，求证： ∠EAF＝ ∠BAD. 所以△ABE≌△ADG(SAS)， 所以AE＝AG， ∠BAE＝∠GAD， 因为EF＝BE＋FD， 所以EF＝DG＋DF＝GF， 证明：如图，连接AC. 在△ACE和△ACF中， eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(AE＝AF，,CE＝CF，,AC＝AC，)) 所以△ACE ≌△ACF(SSS)， 所以∠EAC＝∠FAC， 在△ACB和△ACD中， eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(∠B＝∠D＝90°，,∠BAC＝∠DAC，,AC＝AC，)) 所以△ACB ≌△ACD(AAS)， 所以CB＝CD. (3)当BD＝CD时，旗杆是垂直于地面的． 理由：由题意，AB＝AC. 在△ADB和△ADC中， eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(AD＝AD，,AB＝AC，,BD＝CD，)) 所以△ADB≌△ADC(SSS)， 所以∠ADB＝∠ADC＝90°. 则AD⊥BC. eq \f(1,2) 证明：如图，延长FD到点G，使DG＝BE，连接AG， 因为∠B＋∠ADC＝180°， ∠ADG＋∠ADC＝180°， 所以∠B＝∠ADG， 在△ABE和△ADG中， eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(AB＝AD，,∠B＝∠ADG，,BE＝DG，)) 在△AEF和△AGF中， eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(AE＝AG，,AF＝AF，,EF＝GF，)) 所以△AEF≌△AGF(SSS), 所以∠EAF＝∠FAG， 所以∠EAF＝eq \f(1,2)∠EAG， 因为∠BAE＝∠GAD，所以∠BAD＝∠EAG， 所以∠EAF＝eq \f(1,2)∠BAD. $$第2课时　过直线外一点作这条直 线的平行线和垂线 1．(多选)如图，在△ABC中，AB＞AC，点D是BA延长线上一点，观察图中尺规作图的痕迹，下列结论正确的是( ) A．∠DAE＝∠B B．∠EAC＝∠C C．AE∥BC D．∠DAE＝∠EAC 2．[2024·济南期中]如图，∠DAE＝100°，∠EAB＝65°，根 据图中尺规作图的痕迹，可知∠ABC的度数为_____． 35° 3．[2024·烟台期末]如图，点B在AD上，点C在AD外，连接AC，BC. (1)利用尺规，过点B作射线BP，使BP∥AC；(不写作法，保留作图痕迹，作出所有符合条件的射线；不同的射线可用BP1，BP2，BP3，…来表示) (2)在(1)的条件下，若∠A＝47°， 请求出∠ABP的度数． 解：(1)如图所示，射线BP1和BP2就是所要求作的射线； (2)当BP1∥AC时， ∠ABP1＋∠A＝180°， 所以∠ABP1＝180°－∠A ＝180°－47° ＝133°； 当BP2∥AC时， ∠ABP2＝∠A＝47°. 综上所述，∠ABP为47°或133°. 4．[2025·银川期中]如图，在等腰△ABC中，∠BAC＝∠ACB，延长BC至点D. (1)请用尺规作图法求作射线CE，使得CE∥BA，且点E在BA上方；(保留作图痕迹，不写作法) (2)作△ABC中BC边上的高线，垂足为点F，若∠CBA＝142°，求∠CAF的度数． 解：(1)作∠DCE＝∠CBA，如图1所示，射线CE即为求作； (2)如图2所示，线段AF即为BC边上的高； 因为∠BAC＝∠ACB， ∠CBA＝142°， 所以∠BAC＝∠ACB ＝ ×(180°－142°) ＝19°， 因为∠AFC＝90°， 所以∠CAF＝90°－19° ＝71°. 5．已知一直角边和这条直角边的对角，求作直角三角形．(用尺规作图，不写作法，但要保留作图痕迹) 已知：线段a和∠α，如图所示． 求作：Rt△ABC使BC＝a，∠C＝90°，∠A＝∠α. 解：如图，Rt△ABC为所作． 6.[教材改编]如图，在△ABC中，∠C＝90°，点E是AB边上的一点． (1)利用尺规作图在AB的上方作EF＝BC， 并且EF⊥AB；(保留作图痕迹，不写作法) (2)在(1)中，利用尺规过点F作直线FD，使FD∥AC，且FD交AB于点D；(保留作图痕迹，不写作法) (3)在(2)中，若AC＝3，AB＝6，求AD＋BE的值． 解：(1)如图，EF为所求作； (2)直线FD为所求作； (3)因为EF⊥AB， 所以∠FEA＝90°， 所以∠C＝∠FEA. 因为FD∥AC， 所以∠A＝∠FDE. 又因为EF＝BC， 所以△ABC≌△DFE(AAS)， 所以AC＝DE＝3， 又因为AB＝6， 所以AD＋BE＝AB－DE＝6－3＝3. eq \f(1,2) $$