第1章 推理与证明课件 2025-2026学年 青岛版（2024）八年级数学上册

第2课时　几何中的推理与证明 1．下列说法正确的是( ) A．命题一定是正确的 B．不正确的判断就不是命题 C．定理都是真命题 D．基本事实不一定是真命题 2．试说明“若∠A＋∠B＝180°，∠C＋∠D＝180°，∠A＝∠C，则∠B＝∠D”是真命题．以下是排乱的推理过程： ①因为∠A＝∠C(已知)； ②因为∠A＋∠B＝180°，∠C＋∠D＝180°(已知)； ③所以∠B＝180°－∠A，∠D＝180°－∠C(等式的性质)； ④所以∠B＝∠D(等量代换)； ⑤所以∠B＝180°－∠C(等量代换)． 正确的顺序是( ) A．①→③→②→⑤→④ B．②→③→⑤→①→④ C．②→③→①→⑤→④ D．②→⑤→①→③→④ 3．(多选)下列命题是基本事实的是( ) A．两点确定一条直线 B．同一平面内，过一点有且只有一条直线垂直于已知直线 C．两条平行线被第三条直线所截，内错角相等 D．过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行 4．[2024·哈尔滨期末]推理填空： 如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，点E在AB边上，且∠BDE＝∠C， 点F在AC边上，过点F作FG∥AD，FG交BC于点G.求证：∠BED＝ 2∠CFG. 证明：因为AD平分∠BAC， 所以∠BAD＝______(角平分线定义)， 所以______＝2∠CAD(等式的性质)． 因为_______(已知)， ∠CAD ∠BAC FG∥AD 所以∠CAD＝∠CFG(_______________________)， 所以______＝2∠CFG(等量代换)． 因为∠BDE＝____(已知)， 所以_______(同位角相等，两直线平行)， 所以∠BED＝∠BAC(_______________________)． 又因为______＝2∠CFG(已证)， 所以∠BED＝2∠CFG(_________)． 两直线平行，同位角相等 ∠BAC ∠C DE∥CA 两直线平行，同位角相等 ∠BAC 等量代换 5．将△ABC纸片沿DE折叠，其中∠B＝∠C. (1)如图1，点C落在BC边上的点F处，AB与DF是否平行？请说明 理由； (2)如图2，点C落在四边形ABED内部的点G处，探索∠B与∠1＋ ∠2之间的数量关系，并说明理由． 解：(1)AB与DF平行．理由： 由翻折，得∠DFC＝∠C. 又因为∠B＝∠C， 所以∠B＝∠DFC， 所以AB∥DF； (2)∠1＋∠2＝2∠B，理由： 连接GC，如图所示． 由翻折，得∠DGE＝∠ACB. 因为∠1＝∠DGC＋∠DCG，∠2＝∠EGC＋∠ECG， 所以∠1＋∠2＝∠DGC＋∠DCG＋∠EGC＋∠ECG＝(∠DGC＋ ∠EGC)＋(∠DCG＋∠ECG)＝∠DGE＋∠DCE＝2∠ACB. 因为∠B＝∠ACB， 所以∠1＋∠2＝2∠B. 6．[2025·玉林期中]读懂下面的推理过程，并填空(理由或数学式)． 中国汉字博大精深，方块文字智慧灵秀，奥妙无穷．如图1是一个“互”字，如图2是由图1抽象出的几何图形，其中AB∥CD，点E，M，F在同一条直线上，点G，N，H在同一条直线上，且∠AEF＝∠GHD，MG∥FN.求证：∠EFN＝∠G. 证明：如图2，延长EF交CD于点P， 因为AB∥CD(已知)， 所以∠AEF＝∠EPD(_______________________)， 又因为∠AEF＝∠GHD(已知)， 所以∠EPD＝______(等量代换)． 所以EP∥GH(_______________________)． 所以∠EFN＋______＝180°(两直线平行，同旁内角互补)． 两直线平行，内错角相等 ∠GHD 同位角相等，两直线平行 ∠FNG 又因为_______(已知)， 所以∠FNG＋∠G＝180°(_________________________)． 所以∠EFN＝∠G(_______________)． MG∥FN 两直线平行，同旁内角互补 同角的补角相等 7．[2025·临沂期中]如图，点D，E，F分别是三角形ABC的边BC，CA，AB上的点，给定以下三个条件：①DE∥BA　②∠FDE＝∠A　③DF∥CA.请从这三个条件中选择两个作为条件(放在已知处)，另一个作为结论(放在证明处)组成一个真命题，并进行证明． 已知： ， ． 求证： ． 证明： 解：(答案不唯一)命题一：已知：DE∥BA，DF∥CA， 求证：∠FDE＝∠A. 证明：因为DE∥BA， 所以∠FDE＝∠BFD(两直线平行，内错角相等)． 因为DF∥CA， 所以∠A＝∠BFD(两直线平行，同位角相等)， 所以∠FDE＝∠A(等量代换)． 命题二：已知：DE∥BA，∠FDE＝∠A， 求证：DF∥CA. 证明：因为DE∥BA， 所以∠FDE＝∠BFD(两直线平行，内错角相等)． 因为∠FDE＝∠A， 所以∠A＝∠BFD(等量代换)， 所以DF∥CA(同位角相等，两直线平行)． 命题三：已知：DF∥CA，∠FDE＝∠A， 求证：DE∥BA. 证明：因为DF∥CA， 所以∠A＝∠BFD(两直线平行，同位角相等)． 因为∠FDE＝∠A， 所以∠FDE＝∠BFD(等量代换)， 所以DE∥BA(内错角相等，两直线平行)． 8．已知点A在射线CE上，∠C＝∠ADB. (1)如图1，若AD∥BC，求证：AC∥BD； (2)如图2，若BD⊥BC，垂足为B，BD交CE于点G，请探究∠DAE与∠C的数量关系，写出你的探究结论，并说明理由； (3)如图3，在(2)的条件下，过点D作DF∥BC交射线CE于点F，当∠BAC＝∠BAD，∠DFE＝8∠DAE时，求∠BAD的度数． 解：(1)证明：因为AD∥BC， 所以∠DAE＝∠C， 又因为∠C＝∠ADB， 所以∠DAE＝∠ADB， 所以AC∥BD； (2)∠DAE＋2∠C＝90°，理由如下： 如图，过点A作l∥BC交BD于点F， 因为l∥BC， 所以∠DFA＝∠CBD＝90°，∠C＝∠FAE， 所以∠DAE＋∠FAE＋∠ADB＝180°－∠DFA＝90°. 因为∠C＝∠ADB，∠C＝∠FAE， 所以∠DAE＋2∠C＝90°； (3)设∠DAE＝α，则∠DFE＝8α， 所以∠AFD＝180°－8α. 因为DF∥BC， 所以∠C＝∠AFD＝180°－8α， 又因为∠DAE＋2∠C＝90°， 所以2(180°－8α)＋α＝90°， 所以α＝18°. 又因为∠BAC＝∠BAD， 所以∠BAD＝∠BAC＝ (180°＋α)＝99°， 所以∠BAD的度数为99°. eq \f(1,2) $$1．3　几何证明举例 第1课时　几何证明举例(1) 1．下列定理中有逆定理的是( ) A．全等三角形的周长相等 B．若两个数相等，则这两个数的绝对值也相等 C．两直线平行，同旁内角互补 D．如果a＝b，那么a2＝b2 2．[2024·济南期中]如图，对于下列条件：①∠1＝∠2　 ②∠3＝∠4　③∠C＝∠5　④∠A＋∠ADC＝180°，其中一 定能得到AD∥BC的条件有( ) A．①② B．②④ C．②③ D．③④ 3．如图，把一张两边分别平行的纸条折叠，EF为折痕，ED交BF 于点G，且∠EFB＝50°.则下列结论：①∠DEF＝50°　②∠AED ＝80°　③∠BFC＝80°　④∠DGF＝100°.其中正确的有( ) A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 4．在学习“相交线与平行线”一章时，邱老师组织班上的同学分组开展潜望镜的实践活动，小林同学所在的小组制作了如图1所示的潜望镜模型并且观察成功．大家结合实践活动更好地理解了潜望镜的工作原理．图2中，AB，CD代表镜子摆放的位置，动手制作模型时，应该保证AB与CD平行，已知光线经过镜子反射时， ∠1＝∠2，∠3＝∠4，若FM⊥MN，则∠1＝( ) A．45° B．60° C．90° D．30° 5．[2024·南阳期末]如图，AB∥CD，∠BEF＝60°，则∠1，∠2与∠3之间的关系是( ) A．∠2＋∠3－∠1＝60° B．∠1＋∠2－∠3＝90° C．∠1＋∠3－∠2＝60° D．∠2＋∠3－∠1＝90° 6．(多选)如图，AB∥CD，EF交AB，CD于点M，N，连接DA并延长 交EF于点E，连接BC并延长交EF于点F.下列结论正确的是( ) A．∠1＝∠2 B．∠3＝∠B C．∠E＝∠F D．∠4＝∠5 7．[2024·阜新]将一个三角尺(∠A＝30°)按如图所示的位置 摆放，直线a∥b，若∠ABD＝20°，则∠α的度数是_____． 50° 8．[2024·成都期末]如图，一条公路修到湖边时，需拐弯绕湖 而过，在A，B，C三处经过三次拐弯，此时道路恰好和第一次拐 弯之前的道路平行(即AE∥CD)，若∠A＝98°，∠B＝162°，则 ∠C的度数是______． 116° 9．生活中常见的探照灯、汽车大灯等灯具都是凹面镜．如图， 从光源P点照射到凹面镜上的光线PA，PB等反射以后沿着与直线 PF平行的方向射出，若∠CAP＝36°，∠DBP＝58°，则∠APB的 度数为_____． 94° 10．如图，已知长方形纸片ABCD，点E，F在AD边上，点G，H在 BC边上，分别沿EG，FH折叠，使点D和点A都落在点M处，若∠1＋ ∠2＝116°，则∠EMF的度数是_____． 52° 11．[2024·济南期末]如图，AB∥GE，AG∥BC，∠1＝∠2. (1)DE与AC的位置关系如何？为什么？ (2)∠B与∠G相等吗？请说明理由． 解：(1)DE∥AC，理由略； (2)∠B＝∠G，理由略． 12．[2024·齐齐哈尔期末改编]实践与探究 学习了平行线后，张华通过折纸想出了过点P画直线AB的平行线的方法，折纸过程如下：①－②－③－④. (1)通过上述的折纸过程，②的折痕PQ与直线AB的位置关系是 ； (2)下列选项中，能作为判定上述材料中DC∥AB的依据的有 ． (多选) A．同位角相等，两直线平行 B．内错角相等，两直线平行 C．同旁内角互补，两直线平行 D．平行于同一条直线的两条直线互相平行 E．经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行 (3)张华继续探究，他在P，Q两点处安装了绚丽的小射灯，灯P射线从 PD开始绕点P顺时针旋转至PC后立即回转，灯Q射线从QA开始绕点Q顺时 针旋转至QB后立即回转．两灯不停旋转交叉照射，且灯P、灯Q转动的 速度分别是1°/秒、3°/秒，若灯P射线转动20秒后，灯Q射线开始转 动，在灯P射线第一次到达PC之前，当灯Q转动t秒时，灯P射线PN转动 到如⑤的位置，用含t的代数式表示∠DPN＝__________； (20＋t)° (4)在(3)的条件下，在灯P射线第一次到达PC之前，Q灯转动几 秒，两灯的光束互相平行？请直接写出结果． 解：(1)如图1， 因为折叠， 所以直线AB折叠重合为两个角，因为平角为180°， 所以∠AQP＝90°，即AQ⊥PQ， 所以PQ与直线AB的位置关系是：垂直； (2)ABC； (3)因为灯P、灯Q转动的速度分别是1°/秒、3°/秒，若灯P射线转动20秒后，灯Q射线开始转动， 所以灯P转动20秒后度数为20×1＝20°， 又因为当灯Q转动t秒时，灯P射线PN转动到如⑤的位置， 所以此时灯P再次转动了t·1＝t°， 所以∠DPN＝(20＋t)°， 故答案为：(20＋t)°； (4)设灯Q转动t秒，两灯的光束互相平行， ①当0≤t≤70时，如图2， 因为AB∥CD， 所以∠DPN＝∠PNA， 因为QH∥PN， 所以∠HQA＝∠PNA， 所以∠HQA＝∠DPN， 所以3t＝1×(20＋t)，解得t＝10； ②当70<t≤160时，如图3， 因为AB∥CD， 所以∠DPN＋∠PNB＝180°， 因为QH∥PN， 所以∠HQB＝∠PNB， 所以∠DPN＋∠HQB＝180°， 所以3t－180°＋1×(20＋t)＝180°，解得t＝85， 综上所述，当t为10秒或85秒时，两灯的光束互相平行． 13．【感知】如图1，若AB∥CD，AM平分∠BAC，求证：∠CAM＝∠CMA. 请将下列证明过程补充完整： 证明：因为AM平分∠BAC(已知)， 所以∠CAM＝ (角平分线的定义)． 因为AB∥CD(已知)， 所以∠CMA＝ (两直线平行，内错角相等)， 所以∠CAM＝∠CMA(等量代换)． 【探索】如图2，AM平分∠BAC，∠CAM＝∠CMA，点E在射线AB上，点F在线段CM上，若∠AEF＝∠C，求证：EF∥AC； 【拓展】如图3，将【探索】中的点F移动到线段CM的延长线上，其他条件不变，若∠CAM＝3∠MEF＝57°，请直接写出∠AME的度数． 解：【感知】∠BAM，∠BAM； 【探索】证明：因为AM平分∠BAC， 所以∠CAM＝∠BAM， 因为∠CAM＝∠CMA， 所以∠BAM＝∠CMA， 所以AB∥CD， 所以∠AEF＝∠EFD， 因为∠AEF＝∠C， 所以∠EFD＝∠C， 所以EF∥AC； 【拓展】由【探索】知EF∥AC，如图，过点M作MG∥AC， 所以EF∥MG， 所以∠GME＝∠MEF. 又因为MG∥AC， 所以∠CAM＝∠AMG， 所以∠MEF＋∠CAM＝∠GME＋∠AMG＝∠AME， 因为∠CAM＝3∠MEF＝57°， 所以∠MEF＝19°， 所以∠AME＝∠CAM＋∠MEF＝57°＋19°＝76°. 14．[2024·济南期末]【阅读理解】 我们经常过某个点作已知直线的平行线，以便利用平行线的性质来解决问题． 例如：如图1，AB∥CD，点E，F分别在直线AB，CD上，点P在直线AB，CD之间，设∠AEP＝∠α，∠CFP＝∠β，求证：∠P＝∠α＋∠β. 证明：如图2，过点P作PQ∥AB， 所以∠EPQ＝∠AEP＝∠α， 因为PQ∥AB，AB∥CD，所以PQ∥CD， 所以∠FPQ＝∠CFP＝∠β， 所以∠EPF＝∠EPQ＋∠FPQ＝∠α＋∠β. 即∠EPF＝∠α＋∠β. 可以运用以上结论解答下列问题： 【类比应用】 (1)①如图3，已知AB∥CD，已知∠D＝40°，∠GAB＝60°，求∠P的度数； ②如图4，已知AB∥CD，点E在直线CD上，点P在直线AB上方，连接PA，PE.设∠A＝∠α，∠CEP＝∠β，则∠α，∠β，∠P之间有何数量关系？请说明理由； 【拓展应用】 (2)如图5，已知AB∥CD，点E在直线CD上，点P在直线AB上方，连接PA，PE，∠PED的角平分线与∠PAB的角平分线所在直线交于点Q，求 ∠P＋∠Q的度数． 解：(1)①如图1，过点P作PQ∥AB， 所以∠APQ＝∠GAB＝60°， 因为PQ∥AB，AB∥CD， 所以PQ∥CD， 所以∠DPQ＝∠D＝40°， 所以∠APD＝∠APQ＋∠DPQ＝60°＋40°＝100°， 即∠APD＝100°； ②∠APE＝∠α＋∠β－180°，理由如下： 如图2，过点P作PQ∥AB， 所以∠A＋∠APQ＝180°， 因为∠A＝∠α， 所以∠APQ＝180°－∠A＝180°－∠α. 因为PQ∥AB，AB∥CD， 所以PQ∥CD， 所以∠QPE＝∠CEP＝∠β， 所以∠APE＝∠QPE－∠APQ＝∠β－(180°－∠α)＝∠α＋∠β－180°， 即∠APE＝∠α＋∠β－180°； (2)设∠BAF＝x，∠DEQ＝y， 因为AF平分∠PAB，EQ平分∠PED， 所以∠PAB＝2∠BAF＝2x， ∠PED＝2∠DEQ＝2y. 所以∠CEP＝180°－∠PED＝180°－2y， 由(1)可知，∠P＝∠PAB＋∠CEP－180°＝2x－2y， 由材料的结论可知，∠Q＝∠BAQ＋∠DEQ＝(180°－x)＋y＝180°－x ＋y， 所以 ∠P＋∠Q＝ (2x－2y)＋180°－x＋y＝180°. eq \f(1,2) eq \f(1,2) eq \f(1,2) $$第2课时　几何证明举例(2) 1．[2025·安阳期末]周末，小虎跟着爸爸来到新房装修现场， 在房间内，他们看到了一个人字架(如图所示)．爸爸想考考小 虎，便问道：“小虎，这个人字架中的∠3＝120°，你能不能 算出∠1比∠2大多少？”请你帮小虎计算一下，正确的答案 是( ) A．80° B．70° C．60° D．50° 2．[2024·临沂期中]如图，在△ABC中，∠BCD＝ ∠BCA， ∠CBD＝ ∠CBA，∠A＝75°，则∠D的度数为( ) A．120° B．145° C．135° D．150° 3．[2024·泰安期中]如图，∠ABC＝∠ACB，BD，CD，AD分别平 分△ABC的内角∠ABC，外角∠ACF，外角∠EAC.以下结论：①AD ∥BC　②∠ACB＝2∠ADB　③∠BDC＝ ∠BAC　④2∠ADB＋∠CDB ＝90°　⑤∠ADC＋∠ABD＝135°.其中正确的结论有( ) A．2个 B．4个 C．3个 D．5个 4．(多选)如图，下列说法中正确的是( ) A．∠B＋∠ACB＜180° B．∠B＋∠ACB＝180°－∠A C．∠B＜∠ACD D．∠B＞∠AEH 5．[2025·漳州期中]用反证法证明命题“四边形中至少有一个角是钝角或直角”，应先假设( ) A．四边形中有一个内角小于90° B．四边形中每一个内角都小于90° C．四边形中有一个内角大于等于90° D．四边形中每一个内角都大于等于90° 6．[2024·临沂期末]如图是脊柱侧弯的检查示意图，在体检时为方便测出Cobb角∠O的大小，需将∠O转化为与它相等的角，则图中与∠O相等的角是( ) A．∠BEA B．∠EDB C．∠CEA D．∠ACE 7．[2024·临沂期中]如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC≠BC， CD是斜边AB上的高，DE⊥AC，DF⊥BC，垂足分别是E，F，则图中 与∠B(∠B除外)相等的角的个数是( ) A．5个 B．4个 C．3个 D．6个 8．[2024·德州期中]如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝58°，点D，E分别在AB，AC上，将△ADE沿DE折叠得△FDE，且满足EF∥AB，则∠1＝( ) A．70° B．72° C．74° D．68° 9．[2024·济宁期中]如图，在多边形ABCDEF中，若∠D＝60°， 则∠A＋∠B＋∠C＋∠E＋∠F＝____°. 420 10.[规律探究题·双角平分线模型][2024·东营期中]如图，点D 为△ABC边BC延长线上一点，∠ABC与∠ACD的角平分线交于点A1， ∠A1BC与∠A1CD的角平分线交于点A2，…，∠A2 024BC与∠A2 024CD 的角平分线交于点A2 025，若∠A2 025＝α，则∠A的值为_______． 22 025α 11．[2024·烟台期末]折纸能锻炼人的综合协调能力，包括手、 眼和大脑. 如图，纸艺社团的小凡拿出一张长方形纸片ABCD， 他先将纸片沿 EF 折叠，再将折叠后的纸片沿GH 折叠，使得 GD′与A′B′重合，展开纸片后测量发现∠AEF＝110°， 则 ∠D′GH的度数是_____． 25° 12．用反证法求证：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个 内角的和． 已知：如图，∠1是△ABC的一个外角． 求证：∠1＝∠A＋∠B. 证明：假设∠1≠∠A＋∠B， 在△ABC中，∠A＋∠B＋∠2＝180°， 如图所示： 所以∠2＝180°－∠A－ ∠B， 所以∠1＋∠2≠180°， 与平角等于180°相矛盾， 所以假设不成立， 所以原命题成立，即∠1＝∠A＋∠B. 13．[2024·鞍山期中]如图1，CE是△ABC的外角∠ACD的平分线，且CE交BA的延长线于点E. (1)求证：∠BAC－∠B＝2∠E； (2)如图2，若AF平分∠BAC，∠ECD＝50°，∠E＝22°，求∠AFC的度数． 解：(1)证明：因为CE平分∠ACD， 所以∠ACE＝∠DCE， 因为∠DCE＝∠B＋∠E， 所以∠ACE＝∠B＋∠E， 因为∠BAC＝∠ACE＋∠E， 所以∠BAC＝∠B＋∠E＋∠E＝∠B＋2∠E， 所以∠BAC－∠B＝2∠E； (2)因为CE是△ABC的外角∠ACD的平分线， 所以∠ACD＝2∠ECD＝2×50°＝100°， 所以∠ACB＝180°－100°＝80°， 因为∠ECD＝50°，∠E＝22°， 所以∠B＝∠ECD－∠E＝50°－22°＝28°， 所以∠BAC＝∠B＋2∠E＝28°＋2×22°＝72°， 因为AF平分∠BAC， 所以∠BAF＝ ∠BAC＝36°， 所以∠AFC＝∠B＋∠BAF＝28°＋36°＝64°. 14．如图1，在△ABC中，AD平分∠BAC，AE⊥BC，∠B＝40°，∠C＝70°. (1)求∠DAE的度数； (2)如图2，若把“AE⊥BC”变成“点F在DA的延长线上，FE⊥BC”，其他条件不变，∠DFE的度数会变化吗？为什么？ (3)若改变∠B和∠C的度数，但保持∠C＞∠B，图1中的∠DAE与∠C－∠B的数量关系会不会改变？试给出结论，并加以证明． 解：(1)因为∠B＝40°，∠C＝70°， 所以∠BAC＝180°－∠B－∠C＝180°－40°－70°＝70°， 因为AD平分∠BAC，AE⊥BC， 所以∠DAC＝∠DAB＝35°，∠AEC＝90°， 所以∠EAC＝90°－∠C＝90°－70°＝20°， 所以∠DAE＝∠DAC－∠EAC＝35°－20°＝15°； (2)∠DFE的度数不会变化，理由： 由(1)，得∠DAB＝35°， 因为∠B＝40°， 所以∠FDE＝∠B＋∠DAB＝40°＋35°＝75°， 因为FE⊥BC， 所以∠FED＝90°， 所以∠DFE＝180°－∠FDE－∠FED＝180°－75°－90°＝15°， 所以∠DFE的度数不会变化； 15．[2024·威海期末]【实验探究】 (1)将一副三角板如图1摆放，使三角板DEF的两条直角边分别经过点B，点C，且EF∥BC，则∠ABD＋∠ACD＝ ； (2)在图1的基础上，三角板ABC保持不动，将三角板DEF旋转得到图2，使三角板DEF的两条直角边依然分别经过点B，点C，则∠ABD＋∠ACD＝ ； 【猜想证明】 如图3，试猜想∠A，∠B，∠C，∠BDC之间的关系，并证明； 【结论应用】 请直接利用以上的结论，解决问题：如图4，∠ABD与∠ACD的角平分线交于点E，若∠A＝54°，∠D＝98°，求∠E的度数． 解：【实验探究】 (1)因为∠BDC＝90°， 所以∠CBD＋∠BCD＝180°－∠BDC＝90°. 因为EF∥BC， 所以∠ABC＝90°，∠ACB＝45°， 所以∠ABD＋∠ACD＝∠ABC＋∠ACB－(∠CBD＋∠BCD)＝45°. 故答案为：45°； (2)因为∠BDC＝90°， 所以∠CBD＋∠BCD＝180°－∠BDC＝90°. 因为∠ABC＝90°，∠ACB＝45°， 所以∠ABD＋∠ACD＝∠ABC＋∠ACB－(∠CBD＋∠BCD)＝45°. 故答案为：45°； 【猜想证明】∠ABD＋∠ACD＝∠BDC－∠A，证明如下： 如图，连接BC， 在△ABC中，∠ABC＋∠ACB＝180°－∠A， 在△DBC中， ∠DBC＋∠DCB＝180°－∠BDC， 所以∠ABD＋∠ACD＝(∠ABC＋∠ACB)－(∠CBD＋∠BCD)＝(180°－∠A)－(180°－∠BDC)＝∠BDC－∠A， 即∠ABD＋∠ACD＝∠BDC－∠A； 【结论应用】由【猜想证明】得∠ABD＋∠ACD＝∠BDC－∠A＝98° －54°＝44°，∠ABE＋∠ACE＝∠BEC－∠A＝∠BEC－54°. 因为∠ABD与∠ACD的平分线交于点E， 所以∠ABD＝2∠ABE，∠ACD＝2∠ACE， 所以∠ABD＋∠ACD＝2(∠ABE＋∠ACE)＝2(∠BEC－∠A)， 所以44°＝2(∠BEC－54°)， 所以∠BEC＝76°，即∠E＝76°. 16.[新定义][2024·济宁期中]在一个三角形中，如果一个角是另一个角的3倍，这样的三角形我们称之为“灵动三角形”．例如，三个内角分别为120°，40°，20°的三角形是“灵动三角形”； 三个内角分别为80°，75°，25°的三角形也是“灵动三角形”等等．如图，∠MON＝60°，在射线OM上找一点A，过点A作AB⊥OM于点A，交ON于点B，以A为端点作射线AD，交线段OB于点 C，规定 (0°<∠OAC<90°)． (1)△AOB (填“是”或“不是”) 灵动三角形； (2)若∠BAC＝70°， 则△AOC (填“是”或“不是”) 灵动三角形； (3)当△ABC为“灵动三角形”时，求∠OAC的度数． 解：(1)是；(2)是； (3)因为AB⊥OM， 所以∠BAO＝90°. 因为∠MON＝60°， 所以∠ABO＝30°. ①因为△ACB是灵动三角形，∠BAO＝90°＝3∠BAC>∠BAC， 所以∠BAC≠3∠ABC. ②当∠ACB＝3∠ABC时，∠ACB＝90°， 所以∠OAC＝90°－∠MON＝30°； ③当∠ACB＝3∠BAC时，∠ABC＝30°， 所以∠ACB＋∠BAC＝150°， 所以4∠BAC＝150°， 所以∠BAC＝37.5°， 所以∠OAC＝90°－∠BAC＝52.5°； ④当∠BAC＝3∠ACB时，∠ABC＝30°， 所以∠ACB＋∠BAC＝150°， 所以4∠ACB＝150°， 所以∠ACB＝37.5°， 所以∠BAC＝112.5°，不符合题意，舍去； ⑤当∠ABC＝3∠BAC时，∠ABC＝30°， 所以∠BAC＝10°， 所以∠OAC＝90°－∠BAC＝80°； ⑥当∠ABC＝3∠BCA时，∠ABC＝30°， ∴∠BCA＝10°， ∴∠BAC＝140°，不符合题意，舍去． 综上所述，∠OAC的度数为80°或30°或52.5°. eq \f(1,3) eq \f(1,3) eq \f(1,2) eq \f(1,2) (3)∠DAE与∠C－∠B的数量关系不会改变，证明： 因为AD平分∠BAC，∠BAC＝180°－∠B－∠C， 所以∠DAC＝eq \f(1,2)(180°－∠B－∠C)＝90°－eq \f(1,2)∠B－eq \f(1,2)∠C， 因为AE⊥BC，所以∠AEC＝90°， 所以∠EAC＝90°－∠C，因为∠DAE＝∠DAC－∠EAC， 所以∠DAE＝90°－eq \f(1,2)∠B－eq \f(1,2)∠C－(90°－∠C)＝eq \f(1,2)∠C－eq \f(1,2)∠B＝eq \f(1,2)(∠C－∠B)， 所以∠DAE与∠C－∠B的数量关系不会改变． $$1．2　证明 第1课时　代数中的推理与证明 1．学习了整式的加减后，嘉淇发现任意三个连续奇数的和一定能被n(n是大于1的整数)整除，关于结论Ⅰ，Ⅱ，下列判断正确的是( ) 结论Ⅰ：若设三个连续奇数中最小的奇数为2m－1，则三个连续奇数的和为6m＋2； 结论Ⅱ：n的值为3 A．只有Ⅰ正确 B．只有Ⅱ正确 C．Ⅰ，Ⅱ都正确 D．Ⅰ，Ⅱ都不正确 2．[2025·六安期中]在小学我们就知道，如果一个整数的各个数位上的数字的和能被3整除，那么这个整数也能被3整除．如： 3 285的各个数位上的数字的和3＋2＋8＋5＝18能被3整除，所以3 285能被3整除； 463的各个数位上的数字的和4＋6＋3＝13不能被3整除，所以463不能被3整除． 设一个三位数的百位数字为a，十位数字为b，个位数字为c， (1)用代数式表示这个三位数是 ； (2)若a＋b＋c能被3整除，试说明这个三位数也能被3整除； (3)任意三个连续整数的和都能被3整除吗？为什么？ 解：(1)100a＋10b＋c (2)因为100a＋10b＋c ＝(99a＋9b)＋(a＋b＋c) ＝3(33a＋3b)＋(a＋b＋c)， 又因为a＋b＋c能被3整除， 所以这个三位数也能被3整除； (3)能，理由如下： 设三个连续整数分别为n－1，n，n＋1(n为整数)，它们的和为 (n－1)＋n＋(n＋1)＝3n， 因为n为整数， 所以(n－1)＋n＋(n＋1)能被3整除． 即任意三个连续整数的和都能被3整除． 3．[2025·石家庄期中]张老师在黑板上写了三个算式，希望同学们认真观察，发现规律．请你结合这些算式，解答下列问题： 请观察以下算式：①32－12＝8×1；②52－32＝8×2；③72－52＝8×3；…… (1)请你写出第④个符合上述规律的算式 ； (2)验证规律：设两个连续奇数为2n＋1，2n－1(其中n为正整数)，请验证它们的平方差是8的倍数； (3)拓展延伸：命题“两个连续偶数的平方差是8的倍数”是 命题．(填“真”或“假”) 解：(1)92－72＝8×4 (2)(2n＋1)2－(2n－1)2 ＝4n2＋4n＋1－(4n2－4n＋1) ＝4n2＋4n＋1－4n2＋4n－1 ＝8n； 而8n是8的倍数，则(2n＋1)2－(2n－1)2是8的倍数， 即两个连续奇数的平方差是8的倍数； (3)设两个连续偶数为2n，2n＋2， 则(2n＋2)2－(2n)2＝4n2＋8n＋4－4n2＝4(2n＋1)， 而2n＋1是奇数， 故4(2n＋1)不是8的倍数， 即命题：两个连续偶数的平方差是8的倍数是假命题． 故答案为：假． 4．(1)当n＝1，2，3时，分别求出代数式n2－12n＋35与n2－12n＋37的值； (2)判断下列命题是真命题还是假命题，若是真命题，给出证明；若是假命题，举出反例． 命题1：对任何正整数n，n2－12n＋35的值都是自然数； 命题2：对任何正整数n，n2－12n＋37的值都是自然数． 解：(1)当n＝1时，n2－12n＋35 ＝12－12×1＋35 ＝24，n2－12n＋37 ＝12－12×1＋37 ＝26； 当n＝2时，n2－12n＋35 ＝22－12×2＋35 ＝15，n2－12n＋37 ＝22－12×2＋37 ＝17； 当n＝3时，n2－12n＋35 ＝32－12×3＋35 ＝8，n2－12n＋37 ＝32－12×3＋37＝10； (2)命题1是假命题，命题2是真命题，证明如下： 因为n2－12n＋35 ＝n2－12n＋36－1 ＝(n－6)2－1， 所以当n＝6时，n2－12n＋35＝－1， 此时n2－12n＋35不是自然数，故命题1是假命题； 因为n2－12n＋37 ＝n2－12n＋36＋1 ＝(n－6)2＋1， 所以当n为自然数时，n2－12n＋37为大于等于1的整数， 即此时n2－12n＋37也为自然数， 故命题2是真命题． 5．[2025·漳州期中]“整体思想”在数学解题中运用广泛，下面例题是运用“整体思想”对多项式进行因式分解：因式分解：(x＋1)(x＋2)(x＋3)(x＋4)＋1. 解：原式＝[(x＋1)(x＋4)][(x＋2)(x＋3)]＋1 ＝(x2＋5x＋4)(x2＋5x＋6)＋1 ＝(x2＋5x)2＋10(x2＋5x)＋24＋1 ＝(x2＋5x)2＋10(x2＋5x)＋25 ＝(x2＋5x＋5)2. (1)以上例题解答过程中把 当作一个整体，多项式变形后，运用 公式进行因式分解； (2)请仿照以上方法对下面多项式进行因式分解：(x－1)(x＋2)(x－3)(x＋4)＋25； (3)拓展应用： 求证：四个连续自然数n，n＋1，n＋2，n＋3的积与1的和等于一个奇数的平方． 解：(1)(x2＋5x)；完全平方； (2)(x－1)(x＋2)(x－3)(x＋4)＋25 ＝[(x－1)(x＋2)][(x－3)(x＋4)]＋25 ＝(x2＋x－2)(x2＋x－12)＋25 ＝(x2＋x)2－14(x2＋x)＋24＋25 ＝(x2＋x)2－14(x2＋x)＋49 ＝(x2＋x－7)2； (3)证明：n(n＋1)(n＋2)(n＋3)＋1 ＝[n(n＋3)][(n＋1)(n＋2)]＋1 ＝(n2＋3n)(n2＋3n＋2)＋1 ＝(n2＋3n)2＋2(n2＋3n)＋1 ＝(n2＋3n＋1)2， 因为n是自然数， 所以n(n＋3)一定是偶数， 所以n2＋3n＝n(n＋3)是偶数， 所以n2＋3n＋1是奇数， 所以四个连续自然数n，n＋1，n＋2，n＋3的积与1的和等于一个奇数的平方. $$第1章 推理与证明 1.1　定义与命题 1．下列语句中属于定义的是( ) A．对顶角相等 B．三角形的内角和等于180° C．正数大于零 D．能够完全重合的两个图形是全等形 2．命题“等角的补角相等”中的“等角的补角”( ) A．属于条件部分 B．既属于条件部分也属于结论部分 C．属于结论部分 D．既不属于条件部分也不属于结论部分 3．(多选)[2025·广州期中]下列命题为真命题的是( ) A．对顶角相等 B．内错角相等 C．如果a∥b，b∥c，则a∥c D．实数a，b满足a2＝b2，则a＝b 4．(多选)下列选项中，可以用来证明命题“若a＞b，则|a|＞|b|”是假命题的反例是( ) A．a＝1，b＝0 B．a＝1，b＝－2 C．a＝2，b＝－2 D．a＝2，b＝－1 5．(多选)下列四个命题中，是真命题的是( ) A．两条直线被第三条直线所截，内错角相等 B．如果∠1和∠2是对顶角，那么∠1＝∠2 C．一个锐角的余角一定小于这个角的补角 D．如果∠1和∠3互余，∠2与∠3的余角互补，那么∠1和∠2互补 6．“互为余角的两个角之和等于90°”的条件是_____________ ___，结论是_____________________． 7．把命题“三条直线两两相交，只有一个交点”写成“如 果……，那么……”的形式为_____________________________ _____________其条件是_________________，结论是_________ _____，该命题是___(填“真”或“假”)命题． 两个角互为余 角 这两个角的和等于90° 如果有三条直线两两相交，那么 只有一个交点 三条直线两两相交 只有一个 交点 假 8．黑板上写有3个命题： ①若a＝b，则a2＝b2； ②若a，b是有理数，则|a＋b|＝|a|＋|b|； ③若∠A与∠B都是锐角，则这两个角的和是钝角． (1)上述命题是真命题的是___(填序号)，该命题的条件是_____， 结论是______； ① a＝b a2＝b2 (2)对于上述命题中的假命题，请各写出一个反例． 答案：②当a＝1，b＝－1时，|a＋b|＝|－1＋1|＝0，|a|＋|b| ＝|1|＋|－1|＝2； ③当∠A＝30°，∠B＝40°时，∠A与∠B都是锐角，∠A＋∠B ＝70°. 9．[2025·渭南期中]如图，直线AB，CD被直线BC所截，分别在∠ABC和∠BCD的内部作射线BE和射线CF.现有以下三个条件：①AB⊥BC，CD⊥BC　②∠1＝∠2　③BE∥CF.若以①②为条件，③为结论组成一个命题，请判断这个命题的真假，若为真命题，请说明理由；若为假命题，请举出反例． 解：以①②为条件，③为结论组成一个命题，为：如果AB⊥BC， CD⊥BC，∠1＝∠2，那么BE∥CF，为真命题，理由如下： 因为AB⊥BC，CD⊥BC， 所以∠ABC＝∠DCB＝90°， 因为∠1＝∠2，所以∠ABC－∠1＝∠DCB－∠2， 所以∠EBC＝∠FCB， 所以BE∥CF. $$