第5章 勾股定理与实数 课件 2025-2026学年 青岛版（2024）八年级数学上册

第2课时　勾股定理的逆定理 知识点 勾股定理的逆定理 如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形 是直角三角形． 符号语言：在△ABC中， 因为a2＋b2＝c2， 所以△ABC是直角三角形，且∠C＝90°. 【注意】 运用勾股定理的逆定理时：(1)不能机械地认为Rt△ABC中，边长为c的边所对的角必是直角，应是最长边所对的角是直角；(2)不要习惯性地验证a2＋b2是否等于c2，而要看最长边的平方是否等于另两边的平方和． 考点1 利用勾股定理判断三角形的形状 典例1 [2025·蚌埠期中]如图，在△ABC中，AC＝15，BC＝25，点D在边BC上，且AD⊥BC，AD＝12. (1)求AB的长； (2)判断△ABC的形状，并说明理由． 思路导析 (1)在直角△ADC中利用勾股定理得CD＝9，进而求得BD＝16，在Rt△ABD中，运用勾股定理即可求解； (2)利用勾股定理的逆定理即可判断． 解：(1)因为AD⊥BC， 所以△ADC是直角三角形，∠ADC＝∠ADB＝90°. 所以DC2＝AC2－AD2＝152－122＝92. 所以DC＝9， 所以BD＝BC－CD＝25－9＝16， 在Rt△ABD中，AB2＝AD2＋BD2＝122＋162＝202， 所以AB＝20； (2)△ABC是直角三角形，理由如下： 因为AB＝20，AC＝15，BC＝25， 152＋202＝252， 所以△ABC是直角三角形，∠BAC是直角． 变式1 [2025·邯郸一模]五根小木棒的长度分别为7，15，20，24，25，现将它们摆成两个直角三角形，下列图形正确的是( ) 变式2 [2025·葫芦岛期中]在△ABC中，AC＝6，BC＝a，AB＝b， 如果a，b满足(a＋6)(a－6)＋b2＝0，则△ABC的形状是_______ _____． 直角三 角形 考点2 勾股定理及其逆定理的实际应用 典例2 [2025·长寿期中]如图，某住宅小区在施工过程中留下了一块空地(图中的四边形ABCD)，经测量，在四边形ABCD中，∠ACB＝90°，AB＝15 m，BC＝9 m，AD＝5 m，DC＝13 m. (1)△ACD是直角三角形吗？为什么？ (2)小区为美化环境，欲在空地上铺草 坪，已知草坪每平方米80元，试问铺满 这块空地共需花费多少元？ 思路导析 (1)先在Rt△ABC中，利用勾股定理可求得AC＝12 m， 在△ACD中，AC2＋AD2＝122＋52＝132＝CD2，再利用勾股定理的 逆定理可知△ACD是直角三角形，且∠DAC＝90°； (2)分别利用三角形的面积公式求出S△ABC＋S△ADC，即四边形ABCD 的面积，再乘以80，即可求总花费． 解：(1)△ACD是直角三角形，理由如下： 在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝15 m，BC＝9 m， 所以AC2＋92＝152，AC＝12. 在△ACD中，AD＝5 m，DC＝13 m，AC＝12 m， 所以AC2＋AD2＝122＋52＝132＝CD2， 所以△ACD是直角三角形，∠DAC＝90°； 变式1 [2025·河池期中]3月29日，巴马2025年“瑶风壮韵三月三·传承巴马民族风”系列活动在巴马城东体育广场开幕．活动前，工人师傅在搭建主会场时，想要两块直角三角形的铁皮制作造型．现有一块薄铁皮ABCD，∠B＝90°，各边的尺寸如图所示．为尽量不浪费材料而合理利用，请你帮工人师傅设计，如何裁剪得到两块都是“直角三角形”的铁皮？并说明理由． 解：为尽量不浪费材料而合理利用，可以连接AC，沿着AC剪裁就得到两个直角三角形．理由如下： 连接AC． 在△ABC中， 因为∠B＝90°， 所以△ABC为直角三角形； 所以AC2＝AB2＋BC2＝8， 又因为AD2＋AC2＝1＋8＝9，而DC2＝9， 所以AC2＋AD2＝DC2， 所以△ACD也为直角三角形． 所以为尽量不浪费材料而合理利用，沿着AC剪裁就得到两个直角三角形． 变式2 [2025·青岛期中]如图，某小区的两个喷泉A，B位于小路AC的同侧，两个喷泉之间的距离AB为25 m，喷泉的供水点M在小路AC上．现要为喷泉铺设两条互相垂直的供水管道AM和BM，已铺管道AM长为20 m，BM长为15 m，供水点M到AB的距离是MN. (1)请判断供水管道AM与BM是否符合铺设要求； (2)求MN的长及AN的长． 解：(1)符合要求，理由如下： 因为在△ABM中，AM＝20 m，BM＝15 m，AB＝25 m， 所以AM2＋BM2＝202＋152＝625，AB2＝252＝625， 所以AM2＋BM2＝AB2， 所以△ABM是直角三角形，∠AMB＝90°， 所以AM⊥BM，符合要求； (2)S四边形ABCD＝S△ABC＋S△ADC＝eq \f(1,2)AC·BC＋eq \f(1,2)AC·AD＝eq \f(1,2)×12×9＋eq \f(1,2)× 12×5＝84(m2)， 费用为84×80＝6 720(元)． 答：铺满这块空地共需花费6 720元． (2)因为MN⊥AB， 所以S△ABM＝eq \f(1,2)AB·MN， 因为AM⊥BM， 所以S△ABM＝eq \f(1,2)AM·BM， 所以eq \f(1,2)AB·MN＝eq \f(1,2)AM·BM， 因为AM＝20 m，BM＝15 m，AB＝25 m， 所以eq \f(1,2)×25·MN＝eq \f(1,2)×20×15， 所以MN＝12 m， 在Rt△AMN中，∠ANM＝90°， 由勾股定理，得AN2＝AM2－MN2＝202－122＝256＝162. 所以AN的长为16 m. $$5.2　算术平方根 知识点1 算术平方根 一般地，如果一个_____x的平方等于a，即x2＝a，那么这个___ ___x叫作a的算术平方根，记作“____”，读作“______”，如 25的算术平方根是__． 特别地，规定0的算术平方根是__， 即＝__． 正数 正 数 根号a 5 0 0 【注意】 因为任何数的平方都是非负数，所以负数没有算术平方根． 知识点2 成立的条件 式子 有意义的条件是_____． a≥0 知识点3 算术平方根的性质 1. ___0(a≥0)．(双重非负性) 【注意】 ≥ 2．运算性质：( )2＝__(a≥0)． 3．符号性质：(1)正数有一个正的算术平方根；(2)0的算术平 方根是0；(3)负数没有算术平方根． a 思路导析 先求出这个数，然后根据算术平方根的定义再求出它的前一个数的算术平方根即可． 变式1 64的算术平方根是( ) A．±4 B．±8 C．4 D．8 1 －1 0.5 考点3 算术平方根的实际应用 典例3 [2025·阳江期中]直田七亩半，忘了长和短．记得立契 时，长阔争一半．今问俊明公，此法如何算．意思是有一块面 积为7亩半的长方形田，忘了长与宽各是多少．只记得在立契约 的时候说过，宽是长的一半．则田的宽是___步．(一亩＝240平 方步) 30 思路导析 设此矩形田的宽为x步，根据题意列出方程即可求出答案． 解析：设此矩形田的宽为x步， 依据题意，可列方程为x·2x＝240×7.5＝1 800， 解得x＝30(负值舍去)， 则田的宽为30步． 变式 [跨学科][2025·大兴期中]物体自由下落时，下落的高 度h(单位：m)可用公式h＝ gt2来计算，其中，g是重力加速 度，取g＝10 m/s2，t(单位：s)表示物体下落的时间．若一个 小球从离地面45 m的高处自由下落，则小球落到地面的时间 是__s. 3 eq \r(a) eq \r(0) eq \r(a) eq \r(a) eq \r(a) 因为若a为正数，则eq \r(a)＞0，若a＝0，则eq \r(a)＝eq \r(0)＝0，所以eq \r(a)≥0(a≥0)． eq \r(a) 考点1 算术平方根 典例1 [2025·合肥期中]两个连续的正整数，较大数的算术平方根是a，则较小数的算术平方根是( ) A．a－1 B．a2－1 C．eq \r(a－1) D．eq \r(a2－1) 解析：因为较大数的算术平方根是a， 所以较大数为a2， 又因为这两个数是连续两个正整数， 所以较小数为a2－1， 所以较小数的算术平方根是eq \r(a2－1). 变式2 [2025·定西期中]已知eq \r(2x－1)＝1，则x＝ ． 考点2 算术平方根的非负性 典例2 [2025·临汾期中]若|a－2 026|＋eq \r(b＋2 027)＝0，其中a，b均为整数，则(a＋b)2 025＝ ． 思路导析 本题根据|a－2 026|＋eq \r(b＋2 027)＝0，得a＝2 026， b＝－2 027，再代入(a＋b)2 025，进行计算，即可作答． 解析：因为|a－2 026|≥0，eq \r(b＋2 027)≥0，且|a－2 026|＋eq \r(b＋2 027)＝0. 所以|a－2 026|＝0，eq \r(b＋2 027)＝0 解得a＝2 026，b＝－2 027， 所以(a＋b)2 025＝[2 026＋(－2 027)]2 025＝－1. 变式1 [2025·南昌期中]若(2a＋3)2＋eq \r(b－2)＝0，则eq \r(ab)＝ ． 变式2 [2025·周口期中]已知m，n满足eq \r(m－2)＋|n－0.25|＝0，那么eq \r(m,n)＝ ． eq \f(3,2) eq \f(1,2) $$5.3　无理数 第1课时　无理数 无限不循环小数 【注意】 任何一个有理数都可以化成有限小数或无限循环小数；反过来，任何有限小数或无限循环小数都是有理数． 知识点2 估计无理数的大小 对于带有根号的无理数，可以用“夹逼法”估计它的近似值， 其方法是： 第1步：确定被估算的无理数位于哪两个整数之间； 第2步：以较小整数开始逐步加0.1(或以较大整数开始逐步减 0.1)，并求出其平方确定被估算的无理数的十分位…… 如此继续下去，可以估算无理数的近似值． 思路导析 根据无理数的定义即可得出结果． 4 唯一) 2 知识点1 无理数的定义 定义： 叫作无理数． 特征：(1)无限性；(2)不循环性；(3)小数． 常见形式：(1)开方开不尽的数，如：eq \r(3)，eq \r(5)，eq \r(7)，…；(2)圆周率π以及含π的数，如：π，eq \f(π,3)，－2π，…；(3)具有特定结构的数，如：0.101 001 000 1…(每两个1之间依次多一个0)，…. 考点1 有理数与无理数的判断 典例1 [2025·温州二模]下列各数中，无理数是( ) A．eq \r(5) B．0 C．eq \f(1,3) D．－2 变式 [2025·榆林三模]实数8，π，eq \f(19,3)，eq \r(5)，3.1 415，eq \r(16)中， 是无理数的是 ． π，eq \r(5) 考点2 无理数的估算 典例2 [2025·玉林期中]eq \f(\r(5)＋1,2)介于两个连续的整数a与b之间，则2a＋b的值是 ． 思路导析 先估算出eq \r(5)的范围，即可进行解答． 解析：因为4<5<9， 所以2<eq \r(5)<3， 所以eq \f(3,2)<eq \f(\r(5)＋1,2)<2， 因为eq \f(\r(5)＋1,2)介于两个连续的整数a与b之间， 所以a＝1，b＝2， 所以2a＋b＝4. 变式1 [2025·徐州二模]写出一个比3小的无理数 ． eq \r(2)(答案不 变式2 [2025·濮阳期中]【阅读理解】 如何判断无理数的大小范围呢？我们可这样做： 因为25<30<36，所以eq \r(25)<eq \r(30)<eq \r(36)，即5<eq \r(30)<6.所以eq \r(30)是介于5到6的一个数． 由此我们也可以得到这样的结论：eq \r(30)的整数部分是5，小数部分是eq \r(30)－5. 【问题解决】 (1)下列无理数中，大小在3与4之间的是( 　 ) A．eq \r(7) B．2eq \r(2) C．eq \r(13) D．eq \r(17) (2)eq \r(11)的整数部分是 ，小数部分是 ； (3)eq \r(21)－2的整数部分为a，小数部分为b，则b－a＝ ． 解：(1)C； (2)因为9<11<16， 所以3<eq \r(11)<4， 所以eq \r(11)的整数部分是3， 小数部分是eq \r(11)－3. 故答案为：3；eq \r(11)－3； (3)因为16<21<25， 所以4<eq \r(21)<5， 所以2<eq \r(21)－2<3， 所以eq \r(21)－2的整数部分为2， 小数部分为eq \r(21)－4， 所以a＝2，b＝eq \r(21)－4， 所以b－a＝eq \r(21)－4－2＝eq \r(21)－6. 故答案为：eq \r(21)－6. 考点3 用计算器求算术平方根 典例3 [2024·烟台期末]用科学计算器进行计算，按键顺序依次为eq \x(\r(　)) eq \x(1) eq \x(0) eq \x(－) eq \x(1) eq \x(＝)，则计算器显示结果与下列各数最接近的一个是( ) A．1.2 B．2.0 C．2.2 D．2.3 变式 [2024·东营模拟]利用科学计算器求值时，小明的按键顺序为eq \x(\r(　)) eq \x(4) eq \x(＝)，则计算器面板显示的结果为 ． $$第5章 勾股定理与实数 5.1　勾股定理及其逆定理 第1课时　勾股定理 知识点1 勾股定理 在直角三角形中，如果两条直角边长分别是a和b，斜边长为c， 那么__________．用自然语言可叙述为_____________________ _____________________． 在我国古代，人们将直角三角形中较短的直角边称为勾，较长 的直角边称为股，斜边称为弦，所以这个定理在我国被称为 “勾股定理”． a2＋b2＝c2 直角三角形两直角边的 平方和等于斜边的平方 【注意】 (1)勾股定理体现的是直角三角形中三边之间的关系；(2)勾股定理只对直角三角形适用，应注意分清题目中的直角边和斜边，不要看到a，b，c就以为a，b为直角边，c为斜边． 知识点2 勾股定理的验证 我们可以利用赵爽弦图、毕氏证法、总统证法等方式来证明勾 股定理． 知识点3 勾股定理的应用 利用勾股定理解决实际问题时，关键是将实际问题转化为数学 模型(直角三角形)． 考点1 利用勾股定理进行计算 典例1 [2025·蚌埠期中]如图，在△ABC中，∠C＝90°，D是边BC上一点，若AC＝5，AB＝13，CD＝4，则BD的长是( ) A．6 B．7 C．8 D．9 思路导析 根据勾股定理求出BC＝12，根据线段的和差关系即可求得答案． 变式1 [2025·合肥期中]如图，长方形纸片ABCD中，AB＝3 cm， AD＝9 cm，将此长方形纸片折叠，使点D，B重合，点C落在点H 的位置，折痕为EF，则△ABE的面积为( ) A．6 cm2 B．8 cm2 C．10 cm2 D．12 cm2 变式2 [2025·江门期中]如图，在直线l上有正方形a，b，c， 若a，c的面积分别为4和16，则b的面积为___． 20 考点2 勾股定理的验证 典例2 勾股定理是人类最伟大的科学发现之一，西方国家称之为毕达哥拉斯定理．我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”，用数形结合的方法，给出了勾股定理的证明，后人称之为“赵爽弦图”流传至今．如图，下列式子中，可以用来表示从图1到图2的变化的是( ) 思路导析 根据两个图形面积相等列式，即可求解． 变式 下面四幅图中，不能证明勾股定理的是( ) 考点3 勾股定理的实际应用 典例3 [2025·云浮一模]我国古代数学著作《九章算术》中的一个问题：今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺．引葭赴岸，适与岸齐．问水深、葭长各几何？这道题的意思是：如图，有一个水池，水面是一个边长为10尺的正方形，在水池正中央有一根芦苇，它高出水面1尺，如果把这根芦苇拉向水池一边的中点，它的顶端恰好到达池边的水面，水的深度与这根芦苇的长度分别是(丈和尺是长度单位，1丈＝10尺)( ) A．5尺，6尺 B．10尺，11尺 C．11尺，12尺 D．12尺，13尺 思路导析 本题考查勾股定理的实际应用，设AC＝x尺，则AB＝AB′＝(x＋1)尺，在Rt△ACB′中，利用勾股定理进行求解即可． 变式1 [2025·哈尔滨期中]如图，由于台风的影响，一棵高度 是16 m的树折断，树顶落在离树干底部8 m处，则这棵树的折 断处距地面的高度是__m. 6 变式2 [2025·南京期末]如图，把摆钟的摆锤看作一个点，当 它摆动到最低点时，摆锤离底座的垂直高度DE＝5 cm，当它摆 动到最高点时，摆锤离底座的垂直高度BF＝7 cm，且与摆锤在 最低点时的水平距离为BC＝10 cm，求钟摆AD的长度． 解：由题意可知AD＝AB，CE＝BF＝7 cm， 所以CD＝CE－DE＝7－5＝2(cm)， 设AB＝x cm， 则AC＝AD－CD＝(x－2) cm， 因为∠ACB＝90°， 所以AB2＝AC2＋BC2，即x2＝(x－2)2＋102， 解得x＝26. 答：钟摆AD的长度为26 cm. A．4×eq \f(1,2)ab＋(b－a)2＝c2 B.eq \f(1,2)(a＋b)2＝2(eq \f(1,2)ab＋eq \f(1,2)c2) C．4ab＋(b－a)2＝c2 D．a2＋ab＋a×(b－a)＝c2 解析：设AC＝x尺，则AB＝AB′＝(x＋1)尺， 由题意，得∠ACB′＝90°，B′C＝eq \f(10,2)＝5尺， 在Rt△ACB′中，由勾股定理，得(x＋1)2＝x2＋52， 所以x＝12， 所以x＋1＝13， 即水深为12尺，芦苇长13尺． $$第2课时　数轴及网格中的无理数 知识点2 网格中的无理数 在网格中求线段的长度时，需要先找出线段所在的直角三角形， 再利用勾股定理计算出线段的长． 考点1 确定一个无理数在数轴上的对应点 典例1 [2025·静安二模]如图，数轴上的点A，B，O，C，D分 别表示数－2，－1，0，1，2，那么表示数 －2的点应落 在( ) A．线段AB上 B．线段BO上 C．线段OC上 D．线段CD上 思路导析 根据三角形的分类判断． 变式1 [2025·延安期中]如图，正方形ABCD的面积为7，顶点A在数轴上表示的数为1的点处，若以点A为圆心，AB的长为半径画弧，与数轴的正半轴交于点E，则点E所表示的数为( ) 考点2 网格中的无理数 典例2 如图1，在正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，依次连接正方形网格的格点A，B，C，D得到一个正方形，其边长为a. (1)a的值为 ； (2)在图2的数轴上作出表示实数－a＋1的点． 解：(1)(示例)如图1，点E即为所求作； (2)如图2，△BDF即为所求作； 变式2 [2025·南平期中]如图，每个小正方形的边长都是1，解答下列问题： (1)线段AB的长为 ，AC的长为 ； (2)请连接BC，判断△ABC的形状，并说明理由． 知识点1 数轴与无理数 1．任何一个无理数都可以用数轴上的点来表示，数轴上除去表示有理数的点以外，其他的点表示的数都是无理数． 2．在数轴上，用几何作图的方法可以表示一些无理数，如eq \r(2)，eq \r(3)，eq \r(5)，eq \r(7)……一般先通过构造直角三角形，利用勾股定理作出长为eq \r(2)，eq \r(3)，eq \r(5)，eq \r(7)，…的线段，再用圆规在数轴上截取等长的线段即可． eq \r(3) A．eq \r(7) B．1－eq \r(7) C．－eq \r(7) D．eq \r(7)＋1 变式2 [2025·焦作期中]如何在数轴上作出表示eq \r(5)的点？我们可以这样做：如图1，在数轴上找出表示0与2的点，分别记为点A与点C，作BC⊥AC，且BC＝1，以点A为圆心，AB长为半径画弧，交数轴正半轴于点B′，则点B′表示的数即为eq \r(5).参照上述方法，在图2的数轴上画出表示－eq \r(13)的点，并说明该点表示的数是－eq \r(13). 解：如图，在数轴上找出表示0与3的点，分别记为点A与点C，作BC⊥AC，且BC＝2，以点A为圆心，AB长为半径画弧，交数轴负半轴于点D，则点D表示的数即为－eq \r(13). 因为BC⊥AC， 所以AB＝eq \r(AC2＋BC2)＝eq \r(32＋22)＝eq \r(13)， 因为点D位于点A的左侧， 所以点D表示的数是－eq \r(13). 思路导析 (1)直接利用勾股定理可得答案； (2)在数轴上以AB＝3(A表示1，B表示4)，BC＝1，∠ABC＝90°，构建直角三角形，可得AC＝eq \r(10)，再进一步作图即可． 解：(1)eq \r(10)； (2)如图，点M即为所求作； (理由：因为AB＝3，BC＝1，∠ABC＝90°， 所以AC＝eq \r(32＋12)＝eq \r(10)＝a， 所以AM＝AC＝a， 所以M表示的数为1－eq \r(10)＝－a＋1 变式1 [2025·合肥期中]在4×4的正方形网格中，每个边长为1的小正方形的顶点叫作格点，点A，B，C，D是格点． (1)在网格中找一格点E，使得BE＝eq \r(5)(点E不与点D重合，画出一种情况即可)； (2)作格点△BDF，使得BF＝eq \r(10)，DF＝eq \r(17)； (3)在(2)的条件下，求∠DBA－∠FBC的度数． (3)如图3，连接EF， 由网格特点可得∠DBA＝∠EBC， 由勾股定理，得EF＝eq \r(12＋22)＝eq \r(5)＝BE， 因为BE2＋EF2＝BF2， 所以△BEF为等腰直角三角形， 所以∠EBF＝45°， 所以∠DBA－∠FBC＝∠EBC－∠FBC＝∠EBF＝45°. 解：(1)AB＝eq \r(32＋12)＝eq \r(10)， AC＝eq \r(12＋12)＝eq \r(2)， 所以AB长为eq \r(10)，AC的长为eq \r(2)， 故答案为：eq \r(10)，eq \r(2)； (2)△ABC是直角三角形， 理由如下：连接BC， 由勾股定理，得BC＝eq \r(22＋22)＝eq \r(8)， 因为AB＝eq \r(10)，AC＝eq \r(2)， 所以AC2＋BC2＝2＋8＝10＝AB2， 所以△ABC为直角三角形. $$5.4　平方根 知识点1 平方根 1．平方根的定义 如果一个数x的_____等于a，即_____，那么x叫作a的平方根或 二次方根． 2．平方根的性质 一个正数有两个平方根，它们___________；0的平方根是__；负 数没有平方根． 平方 x2＝a 互为相反数 0 算术平 算术平方根 知识点2 开平方 求一个数a(a≥0)的_______的运算叫作开平方，a叫作_________． 平方与开平方互为逆运算． 平方根 被开方数 【注意】 ≥0(a≥0)，一个非负数的算术平方根总是非负数．与此类似的还有|a|≥0，an≥0(n为偶数)． 思路导析 根据平方根的定义进行解答即可． 变式1 下列说法：①36的平方根是6　②±9的平方根是±3　③0.01是0.1的平方根　④42的平方根是4　⑤81的算术平方根是±9.其中正确的有( ) A．0个 B．1个 C．3个 D．5个 ±2 考点2 利用平方根解方程 典例2 解方程： (1)x2－6＝0； (2)2(x－3)2＝50. 思路导析 (1)先移项，然后利用平方根的性质解方程； (2)先两边同时除以2，再利用平方根的性质解方程． 变式 [2025·襄阳期中]计算： (1)4(2x－1)2＝36； (2)(3x＋1)2－8＝1. 考点3 平方根的性质的应用 典例3 [2025·新乡期中]若m－5与m＋1是同一个数两个不同的平方根，则m的值为( ) A．－2 B．2 C．3或2 D．3 思路导析 一个正数有两个平方根，并且它们互为相反数，由此计算即可． 变式1 [2025·佛山期中]若一个正数a的两个平方根分别是3b－5和－2b＋2. (1)求a和b的值； (2)求a＋3b的平方根． 解：(1)因为一个正数a的两个平方根分别是3b－5和－2b＋2， 所以3b－5＋(－2b＋2)＝0， 所以b＝3， 所以a＝(3b－5)2＝42＝16； (2)因为a＝16，b＝3， 所以a＋3b＝16＋3×3＝16＋9＝25， 又因为25的平方根是±5， 所以a＋3b的平方根为±5. 变式2 [2025·梅州期中]阅读下列材料，完成后面任务： 问题：已知一个数的算术平方根为2x－1，平方根为±(x＋1)， 求这个数． 解：根据题意，得2x－1＝x＋1或2x－1＝－(x＋1)，……第一步 解得x＝2或x＝0.…………………………………………… 第二步 当x＝2时，2x－1＝2×2－1＝3，所以这个数是9，………第三步 当x＝0时，2x－1＝2×0－1＝－1，所以这个数是1.…… 第四步 综上所述，这个数是9或1. …………………………………第五步 任务： (1)上述解法是错误的，错在第 步； (2)请写出本题正确的解题过程． 解：(1)因为当x＝0时，2x－1＝2×0－1＝－1<0，不符合算术平方根的定义，舍去， 所以第四步错误． 故答案为：四； (2)根据题意，得2x－1＝x＋1或2x－1＝－(x＋1)， 解得x＝2或x＝0. 当x＝2时，2x－1＝2×2－1＝3，所以这个数是9， 当x＝0时，2x－1＝2×0－1＝－1，不符合算术平方根的定义，舍去． 综上所述，这个数是9. 3．平方根的表示方法及读法 正数a的两个平方根互为相反数，其中正的平方根是它的 ，负的平方根是它的 的相反数－eq \r(a)，合起来 记作“±eq \r(a)”，读作“正负根号a”． 方根eq \r(a) 知识点3 两个重要公式 1．(±eq \r(a))2＝a(a≥0)． 2.eq \r(a2)＝ ＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a（a≥0），,－a（a<0）.)) |a| eq \r(a) 考点1 平方根及其计算 典例1 求下列各数的平方根： (1)81； (2)eq \f(25,121)； (3)1.69； (4)2eq \f(2,49)； (5)(－2eq \f(1,4))2； (6)eq \f(1,104). 解：(1)因为(±9)2＝81， 所以81的平方根是±9； (2)因为(±eq \f(5,11))2＝eq \f(25,121)， 所以eq \f(25,121)的平方根是±eq \f(5,11)； (3)因为(±1.3)2＝1.69， 所以1.69的平方根是±1.3； (4)因为(±eq \f(10,7))2＝2eq \f(2,49)， 所以2eq \f(2,49)的平方根是±eq \f(10,7)； (5)因为(－2eq \f(1,4))2＝eq \f(81,16)，(±2eq \f(1,4))2＝eq \f(81,16)， 所以(－2eq \f(1,4))2的平方根是±2eq \f(1,4)； (6)因为(±eq \f(1,100))2＝eq \f(1,10 000)＝eq \f(1,104)， 所以eq \f(1,104)的平方根是±eq \f(1,100). 变式2 [2025·西安三模]eq \r(16)的平方根是 ． 解：(1)x2－6＝0， 所以x2＝6， 解得x1＝eq \r(6)，x2＝－eq \r(6)； (2)2(x－3)2＝50， (x－3)2＝25， x－3＝±5， x－3＝5或x－3＝－5， 解得x1＝8，x2＝－2. 解：(1)4(2x－1)2＝36， (2x－1)2＝9， 所以2x－1＝±3， 所以2x＝4或2x＝－2， 所以x1＝2或x2＝－1； (2)因为(3x＋1)2＝9， 所以3x＋1＝±3， 所以x1＝eq \f(2,3)，x2＝－eq \f(4,3). $$5.5　立方根 知识点1 立方根 1．立方根的定义 如果一个数x的_____等于a，即_____，那么x叫作a的立方根或 三次方根． 2．立方根的性质 正数的立方根是一个_____；0的立方根是0；负数的立方根是一 个_____． 立方 x3＝a 正数 负数 3．立方根的表示方法及读法 数a的立方根记作“ ”，读作“三次根号a”，其中a叫作 _________，3叫作_______． 被开方数 根指数 知识点2 开立方 求一个数的_______的运算叫作开立方．立方运算与开立方运算 互为逆运算． 立方根 考点1 利用立方根的定义求未知数的值 典例1 [2025·金山期中]方程(3x－2)3＝64的根是_____． x＝2 思路导析 直接利用立方根的定义得到方程3x－2＝4，然后解方程即可求解． 解析：因为43＝64， 所以3x－2＝4，解得x＝2， 故该方程的根为x＝2. 2或3或4 思路导析 根据正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，0的立方根是0，列式求解即可． －a＋b－c 思路导析 本题考查计算器—基础知识，根据计算器的按键顺序，写出计算的式子，然后求值即可． 考点4 平方根与立方根的综合应用 典例4 已知2a－1的平方根是±3，3a＋b－1的立方根是4，c是 算术平方根等于自身的数，则a＋2b－c2＝_________． 105或104 思路导析 根据题意分别计算出a，b，c的值，再代入代数式求值即可．算术平方根等于自身的数存在0与1两种情况． 1 eq \r(3,a) 知识点3 三个关系式 (1)eq \r(3,－a)＝－eq \r(3,a)； (2)eq \r(3,a3)＝a；　　 (3)(eq \r(3,a))3＝a. 变式 解方程：eq \f(1,3)(x＋1)3＝－9. 解：eq \f(1,3)(x＋1)3＝－9， 整理得(x＋1)3＝－27， 开立方得x＋1＝－3， 解得x＝－4. 考点2 立方根的性质 典例2 [2025·赣州期中]已知eq \r(3,a－3)＝a－3，则a的值为 . 解析：eq \r(3,a－3)＝a－3，即一个数的立方根等于它本身， 所以当a－3＝－1时， 解得a＝2； 当a－3＝0时， 解得a＝3； 当a－3＝1时， 解得a＝4； 综上所述，a的值为2或3或4. 变式 [2025·重庆期中]数a，b，c在数轴上对应的位置如图，化简eq \r(（a＋b）2)－eq \r(（c－b）2)＋eq \r(3,b3)的结果为 ． 考点3 利用计算器求立方根 典例3 [2025·烟台期末]用科学计算器进行计算，按键顺序依次为eq \x(\r(　)) eq \x(10) eq \x(＋) eq \x(2ndF) eq \x(\r(　)) eq \x(1) eq \x(＝)，则计算器显示结果与下列各数最接近的一个是( ) A．3.2 B．4.0 C．4.2 D．4.4 解析：eq \r(10)＋eq \r(3,1)≈3.2＋1＝4.2. 变式 用计算器求下列各式的值： (1)eq \r(3,4.913)； (2)eq \r(3,－9.261)； (3)eq \r(3,28.36)(精确到0.01)． 解：(1)eq \r(3,4.913)＝1.7； (2)eq \r(3,－9.261)＝－2.1； (3)eq \r(3,28.36)≈3.05. 解析：由题意可知2a－1＝9， 3a＋b－1＝64，eq \r(c)＝c， 解得a＝5，b＝50，c＝0或c＝1. 所以a＋2b－c2＝5＋2×50－02＝105， 或a＋2b－c2＝5＋2×50－12＝104. 变式 [新定义]我们规定：若一个实数的算术平方根等于它的立方根，则称这样的数为“最美实数”． (1)若eq \r(2)＋a是“最美实数”，则a的值为 ； (2)若m＋n与m－n都是“最美实数”，且m＋n≠3m－n，则m－n的值为 ． －eq \r(2)或1－eq \r(2) $$5.6　实数 知识点1 实数的定义及分类 1．实数的定义：_______________统称为实数． 有理数与无理数 0 负有理数 负无理数 无限不循,环小数 正无理数 负实数 负无理数 0 知识点2 实数与数轴 1．实数与数轴上的点的关系 实数与数轴上的点一一对应． 2．利用数轴比较实数的大小 数轴上的任意两点，右边的点所表示的实数总比左边的点所表 示的实数大． 知识点3 与实数有关的概念 名称 意义 性质 相反数 如果a是一个实数，那么－a 表示a的相反数 a与b互为相反数↔a＋b＝0 倒数 a与 互为倒数(其中a≠0) a与b互为倒数↔ab＝1 绝对值 (1)如果a是实数，那么|a| 就是在数轴上表示数a的点到 原点的距离． (2)实数a的绝对值记作|a| (1)正实数的绝对值等于它本 身，负实数的绝对值等于它 的相反数，0的绝对值是0. (2)任何实数的绝对值都是非 负数，即|a|≥0. (3)互为相反数的两个数的绝 对值相等，即|a|＝|－a| 知识点4 实数的运算 1．在实数的运算中，有理数的运算法则、运算律对实数同样适 用． 2．实数的运算顺序： 先算乘方、开方，再算乘、除，最后算加、减．同级运算从左到 右依次进行，有括号的要先算括号里面的． 思路导析 本题根据整数、负有理数、无理数的定义，对给出的实数逐一分类即可． 思路导析 (1)(2)(3)(4)根据相反数和绝对值的定义求解即可． 考点3 实数与数轴 典例3 [2025·大兴期中]如图，点A和点B在数轴上，点A对应的 实数为1，点B对应的实数为3，以AB为边在数轴上方作矩形ABCD， 且AD＝1，连接对角线AC，若以点A为圆心，AC长为半径作弧交数 轴于点E，则点E对应的实数是______________． 思路导析 本题考查了实数与数轴，勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键．先根据勾股定理求出AC＝5，即点E与点A之间的距离，再确定点E对应的实数即可求解． 思路导析 此题主要考查了实数运算，正确化简各数是解题关键．直接利用立方根的性质以及算术平方根分别化简，化简绝对值，计算有理数的乘方，进而得出答案． 2．实数的分类 (1)按定义分： eq \a\vs4\al(实数) eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(有理数\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(正有理数,　 　,　 　))\a\vs4\al(有限小数或无,限循环小数),无理数\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(正无理数,　 　))\a\vs4\al(　 　))) (2)按性质分： 实数eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(正实数\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(正有理数,　 　)),　 　, 　 　\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(负有理数, 　 　)))) eq \f(1,a) 考点1 实数的定义与分类 典例1 [2025·大兴期中]把下列各实数填在相应的集合内：2 025，－eq \r(2)，－eq \f(3,2)，eq \r(3,7)，－1.6，0，eq \r(3,125)，－5，π. 整数集合：{ }； 负有理数集合：{ }； 无理数集合：{ }． 2 025，0，eq \r(3,125)，－5 －eq \f(3,2)，－1.6，－5 －eq \r(2)，eq \r(3,7)，π 变式1 [2025·福州期中]在实数0，－eq \f(1,2)，eq \r(2)，eq \f(3,2)中，无理数 是( ) A．0 B．－eq \f(1,2) C．eq \r(2) D．eq \f(3,2) eq \r(27)，eq \f(π,3)，… 变式2 [2025·黄石期中]把下列各数填入相应的括号里. 3eq \f(1,2)，eq \r(27)，0，eq \r(3,－8)，eq \f(π,3)，－0.5，3.14，－0.212 112 111 2. (1)正实数：{ }； (2)负实数：{ }； (3)有理数：{ }； (4)无理数：{ }． 3eq \f(1,2)，eq \r(27)，eq \f(π,3)，3.14，… eq \r(3,－8)，－0.5，－0.212 112 111 2，… 3eq \f(1,2)，0，eq \r(3,－8)，－0.5，3.14，－0.212 112 111 2，… 考点2 与实数有关的概念 典例2 [2025·深圳一模]求下列各数的绝对值和相反数． (1)－eq \r(5)； (2)eq \r(7)； (3)3－π； (4)1－eq \r(2). 解：(1)－eq \r(5)的绝对值是eq \r(5)，相反数是eq \r(5)； (2)eq \r(7)的绝对值是eq \r(7)，相反数是－eq \r(7)； (3)3－π的绝对值是π－3，相反数是π－3； (4)1－eq \r(2)的绝对值是eq \r(2)－1，相反数是eq \r(2)－1. 3－eq \r(5) 变式1 eq \r(5)－2的相反数是 ，eq \r(3,－8)的倒数是 ． 变式2 [2025·南京一模]－eq \r(11)的绝对值是 ，eq \r(5)－3的 相反数是 ． －eq \r(5)＋2 －eq \f(1,2) eq \r(11) 1＋eq \r(5)或1－eq \r(5) 解析：根据题意可得AB＝3－1＝2，BC＝AD＝1， 故AC＝eq \r(AB2＋BC2)＝eq \r(22＋12)＝eq \r(5)， 即AE＝AC＝eq \r(5)， 当点E在点A的左侧时，点E对应的实数为1－eq \r(5)； 当点E在点A的右侧时，点E对应的实数为1＋eq \r(5). 变式 在数轴上标出表示下列各数的点(近似位置即可)，比较它们的大小，并用“>”连接． |－eq \r(2)|，－eq \r(3)，5，－(－eq \r(8))，－eq \r(13)，π. 解：|－eq \r(2)|＝eq \r(2)，－(－eq \r(8))＝eq \r(8)， 如图所示． 由数轴可知，5>π>－(－eq \r(8))>|－eq \r(2)|>－eq \r(3)>－eq \r(13). 考点4 实数的运算 典例4 [2025·湛江期中]计算： (1)eq \r(16)＋eq \r(3,－64)＋eq \r(9)； (2)－22×eq \r(\f(1,4))－(－1)2 024； (3)eq \r(3,－8)－eq \r(1－\f(16,25))＋|2－eq \r(5)|＋eq \r(（－4）2). 解：(1)eq \r(16)＋eq \r(3,－64)＋eq \r(9)＝4－4＋3＝3； (2)－22×eq \r(\f(1,4))－(－1)2 024＝－4×eq \f(1,2)－1＝－2－1＝－3； (3)eq \r(3,－8)－eq \r(1－\f(16,25))＋|2－eq \r(5)|＋eq \r(（－4）2)＝－2－eq \r(\f(9,25))－2＋eq \r(5)＋4＝－2－eq \f(3,5)－2＋eq \r(5)＋4＝eq \r(5)－eq \f(3,5). 变式 [2025·临沂期中]计算： (1)(－1)2＋eq \r(3,64)＋|eq \r(5)－3|＋eq \r(（－2）2)； (2)eq \r(\f(1,16))－eq \r(6\f(1,4))＋3×|－eq \r(2)|＋eq \r(3,－8). 解：(1)(－1)2＋eq \r(3,64)＋|eq \r(5)－3|＋eq \r(（－2）2)＝1＋4＋3－eq \r(5)＋2＝10－eq \r(5)； (2)eq \r(\f(1,16))－eq \r(6\f(1,4))＋3×|－eq \r(2)|＋eq \r(3,－8)＝eq \f(1,4)－eq \f(5,2)＋3eq \r(2)－2 ＝3eq \r(2)－eq \f(17,4). $$