5.1勾股定理及其逆定理（第1课时勾股定理及其应用）（教学课件）数学新教材青岛版八年级上册

该初中数学课件聚焦勾股定理及其证明、HL定理及应用，通过ICME—14会标中的赵爽弦图导入，链接古代数学文化与新知，以拼图活动引导学生观察面积关系推导定理，再用定理证明HL，形成从探究到推理的学习支架。 其亮点在于融入赵爽弦图、《周髀算经》等传统文化培养数学眼光，通过拼图推导和HL证明发展推理意识，典例分析（芦苇问题、折叠问题）强化模型意识。课堂小结系统梳理知识，助力学生构建体系，教师可借助结构化流程和实例提升教学效率。

青岛版2024·八年级上册 5.1勾股定理及其逆定理 第1课时 勾股定理及其应用 第5章 勾股定理与实数 导入新课 第14届国际数学教育大会(ICME—14)的会标蕴藏着丰富的数学元素，展示了我国古代数学文化的魅力。尤其是位于螺旋中心，由四个直角三角形构成的正方形图案，是依据汉末三国初数学家赵爽的弦图创作的。 它是由什么图形组成的？ 蕴含着怎样的数学知识？ 让我们一起来探索其中的奥秘吧。 学 习 目 标 1 2 3 掌握勾股定理及其证明.（重点） 掌握直角三角形全等的判定方法HL（重点） 能运用勾股定理解决实际问题．（难点） 新知探究 剪四个全等的直角三角形，拼一拼，拼出图5.1-1所示的图形。判断这个图形中四个全等的直角三角形围成的大四边形和中间小四边形的形状，并说明理由。 a b c a b c a b c a b c a b c 两个四边形都是正方形。 因为它们各自的边相等，四个角都为直角。 新知探究 a b c 问题： (1)图中，小正方形的面积是多少？ (2)图中，大正方形的面积是多少？ (3)小正方形的面积与大正方形的面积有什么关系？ (4)由上述问题，你发现直角三角形的三边a,b,c有怎样的数量关系？ 观察下图，解决下列问题。 b-a (b-a)2 c2 大正方形的面积=小正方形的面积+4个直角三角形的面积 c2＝(b-a)2＋4×ab c2＝a2-2ab+b2＋2ab c2＝a2+b2 a2＋b2＝c2 c2＝(b-a)2＋4×ab 你能得到什么结论？ 新知探究 总结归纳 勾股定理: 知二推一 直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。 在直角三角形中，如果两条直角边长分别为a和b，斜边长为c，那么a2＋b2＝c2。 a b c 较短的直角边 勾 斜边 弦 较长的直角边 股 揭示了直角三角形三边长的平方关系. 我国古代数学名著《周髀算经》把直角三角形较短的直角边叫作“勾”，较长的直角边叫作“股”，斜边叫作“弦”. 新知探究 勾三股四弦五 勾²+股²=弦² 新知探究 做一做 如图5.1-2，在Rt△ABC和Rt△A'B'C'中，∠C=∠C'=90°，BC=B'C', AB=A'B'，证明: △ABC≌△A’B'C'。 证明:在Rt△ABC 和 Rt△A'B'C'中,由勾股定理，得 AB²=BC²+AC²， A'B'²=B'C'²+A'C’²。 因为 BC=B'C'，AB=A'B', 所以 AC²=A'C'²。 所以 AC=A'C'。 在 Rt△ABC 和Rt△A'B'C'中， BC=B'C',AB=A'B',AC=A'C', 所以△ABC≌△A'B'C' (SSS)。 你能得到什么结论？ 新知探究 总结归纳 直角三角形全等的“斜边、直角边”定理(HL): 斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等. 符号语言 条件1 条件2 前提 A B C A´ B´ C´ ┓ ┓ 在Rt△ABC和Rt△A´B´C´中 ∴ Rt△ABC≌Rt△A´B´C（HL） { AB=A′B′ AC=A′C′ (或BC=B′C′) \\ \\ \ \ 典例分析 例1 在△ABC中，BC＝6，AB＝AC＝5。求△ABC的面积。 A B C 6 5 5 求△ABC的面积 分析： 高 D 构造高，作垂线AD 根据勾股定理，求出AD 典例分析 例1 在△ABC中，BC＝6，AB＝AC＝5。求△ABC的面积。 解：如图，作BC边上的高AD。 ∵AB＝AC，BC＝6，∴BD＝BC＝3， 在Rt△ABD中，∠ADB＝90°，AB＝5，BD＝3， 由勾股定理得AD2＝AB2－BD2＝52－32＝16， ∴AD＝4， ∴S△ABC＝BC·AD＝××6×4＝12，即△ABC的面积为12。 A B C D 二指 一限 三用 典例分析 例2 《九章算术》中记载了一个有趣的数学问题：今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺。引葭赴岸，适与岸齐。问水深、葭长各几何。大意为：如图，有一个边长为10尺的正方形水池，在水池正中间有一根芦苇AD，它高出水面1尺，即CD为1尺。如果将这根芦苇从顶端牵引到池边中点B处，它的顶端刚好到达岸边的水面，问这个水池的水深和这根芦苇的长度各是多少。 分析： 根据题意，先画出水池截面示意图，设AD为芦苇，CD为芦苇出水部分，长1尺，将芦苇拉向岸边，其顶部D点恰好碰到岸边B. 典例分析 解：设水池的水深为x尺，则这根芦苇的长度为(x＋1)尺，即AC＝x，AD＝x＋1。 在Rt△ABC中，BC＝5，AB＝AD＝x＋1， 由勾股定理得BC2＋AC2＝AB2，即52＋x2＝(x＋1)2， 解得x＝12 ，∴x＋1＝13， ∴这个水池的水深为12尺，这根芦苇的长度为13尺。 新知应用 基础巩固题 1.如果直角三角形的一个锐角为30度，斜边长是2 ，那么直角三角形的其它两边长是（ ） A 1， B 1 ，3 C 1， D 1 ,5 2.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°,∠B=45°,AC=1,则AB=( ) A 2, B 1, C , D A C A B C 直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方 新知应用 基础巩固题 3.如图，长方形的边长为2，边 长为1，在数轴上. 以原点 为圆心，对角线 的长为半径画弧，交正半轴于一点， 则这个点表示的实数是( ) . A.2.5 B. C. D. D 直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方 新知应用 基础巩固题 4.如图,有两棵树,一棵高8米,另一棵高2米,两树相距8米,一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢,则它至少要飞行 米． 8 6 10 5.如图，在△ABC中，AB＝AC，AD是∠BAC的平分线．已知AB＝13，BC＝24，则AD的长为(　　)    A．5     B．6    C．8     D．10 A 新知应用 基础巩固题 6.在 Rt △ ABC 中，∠ A，∠ B，∠ C 的对边长分别为 a， b， c，∠ C=90°。 (1)已知 a=3， b=4，求 c； (2)已知 a=5,c=13，求 b； (3)已知 b∶c=4∶ 5，a=15，求 b和c。 解： (1)∵∠ C=90°，a=3，b=4，∴ c2=a2+b2=32+42=25，∴c=5。 (2)∵∠ C=90°， a=5，c=13，∴b2=c2-a2=132-52=144，∴b=12。 (3)∵b∶c=4∶5，∴设 b=4x，则c=5x(x＞0)。 又∵∠C=90°，a=15，∴152+(4x)2=(5x)2，∴ x=5，∴b=4x=20,c=5x=25。 新知应用 基础巩固题 7.如图，△ABC是直角三角形，分别以两条直角边 AB，AC为边向外作正方形。如果两个正方形的面积分别是36和64，求BC的长。 解:由题意,得AB²=36,AC²=64， 则BC²=AB²+AC²=36+64=100, 所以BC=10. 新知应用 能力提升题 8.已知直角三角形的三边的长分别为6，8，x， 则x＝__________. 当直角三角形中所给的两条边没有指明是斜边或直角边时，其中一较长边可能是直角边，也可能是斜边，这种情况下一定要进行分类讨论，否则容易丢解. 新知应用 能力提升题 9.在《算法统宗》中有一道“荡秋千”的问题：“平地秋千未起，踏板一尺离地，送行二步与人齐，五尺人高曾记.仕女佳人争踣，终朝笑语欢嬉.良工高士素好奇，算出索长有几？”译文为：如图，秋千OA静止时踏板离地面CD的距离为1尺，将它往前面推送两步（即CD的长为10尺），秋千的踏板B就和人一样高，已知这个人的身高为5尺，则绳索OA的长度为（   ）尺. A．10 B．12.5 C．14.5 D．16 C 新知应用 能力提升题 10.有一块直角三角形纸片, 两直角 边AC=6 cm, BC=8 cm, 如图所示. 现将 △ACD沿直线AD折叠(点D在BC边上), 使直角边 AC落在斜边AB上, 点C落在点E处. 求CD的长. 新知应用 能力提升题 解： ∵△ADE是由△ADC折叠得到的, ∴△ADE≌△ADC, ∴∠DEA=∠DCA=90°, DE=CD, AE=AC. 设CD=x cm(x>0), 则DE=x cm, BD=BC-CD=(8-x)cm. ∵AC=6 cm, BC=8 cm, ∴AB= =10(cm), ∴BE=AB-AE=AB-AC=10-6=4(cm). 在Rt△BDE中, 由勾股定理, 得BD2 =BE2 +DE2 , 即(8-x)2 =42 +x2 , 解得x=3, 即CD=3 cm. 课堂小结 内容 在Rt△ABC中，a,b为直角边,c为斜边：a2+b2=c2 证明 以面积的等量关系,证明直角三角形的勾股定理 应用 数学问题 直角三角形 勾股定理 实际问题 转化 利用 解决 构建 计算 确定直角，利用勾股定理实现边的转化 勾股定理 感谢聆听! $