4.1.3 独立性与条件概率的关系(课件PPT)-【精讲精练】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册(人教B版)

4.1.3　独立性与条件概率的关系 第四章　概率与统计 栏目导航 第四章　概率与统计 1 栏目导航 课前案•自主学习 01 课堂案•互动探究 02 课后案•学业评价 03 栏目导航 第四章　概率与统计 1 栏目导航 第四章　概率与统计 1 课前案•自主学习 栏目导航 栏目导航 第四章　概率与统计 1 栏目导航 第四章　概率与统计 1 栏目导航 第四章　概率与统计 1 P(A|B)＝P(A) 不独立的 栏目导航 第四章　概率与统计 1 栏目导航 第四章　概率与统计 1 栏目导航 第四章　概率与统计 1 栏目导航 第四章　概率与统计 1 栏目导航 第四章　概率与统计 1 课堂案•互动探究 栏目导航 栏目导航 第四章　概率与统计 1 栏目导航 第四章　概率与统计 1 栏目导航 第四章　概率与统计 1 栏目导航 第四章　概率与统计 1 栏目导航 第四章　概率与统计 1 栏目导航 第四章　概率与统计 1 栏目导航 第四章　概率与统计 1 栏目导航 第四章　概率与统计 1 栏目导航 第四章　概率与统计 1 栏目导航 第四章　概率与统计 1 栏目导航 第四章　概率与统计 1 栏目导航 第四章　概率与统计 1 栏目导航 第四章　概率与统计 1 栏目导航 第四章　概率与统计 1 栏目导航 第四章　概率与统计 1 栏目导航 第四章　概率与统计 1 栏目导航 第四章　概率与统计 1 栏目导航 第四章　概率与统计 1 栏目导航 第四章　概率与统计 1 栏目导航 第四章　概率与统计 1 栏目导航 第四章　概率与统计 1 栏目导航 第四章　概率与统计 1 栏目导航 第四章　概率与统计 1 栏目导航 第四章　概率与统计 1 栏目导航 第四章　概率与统计 1 栏目导航 第四章　概率与统计 1 栏目导航 第四章　概率与统计 1 栏目导航 第四章　概率与统计 1 栏目导航 第四章　概率与统计 1 课后案•学业评价 栏目导航 点击进入Word 栏目导航 第四章　概率与统计 1 谢谢观看 栏目导航 第四章　概率与统计 1 学业标准 素养目标 1．理解条件概率与独立性的关系．(重点) 2．掌握相互独立事件概率乘法公式．(重点) 3．能综合运用互斥事件的概率加法公式及相互独立事件的概率乘法公式解决一些简单的实际问题．(难点) 1．通过对独立性与条件概率关系的学习，培养数学抽象等核心素养． 2．通过互斥事件的概率加法公式和相互独立事件的概率乘法公式的应用，提升逻辑推理、数学运算等核心素养． 导学　独立性与条件概率的关系 在必修内容中我们学习了事件A与B相互独立，那么A与B独立的充要条件是什么？ [提示]　P(AB)＝P(A)P(B). 假设P(A)>0且P(B)>0，在A与B独立的前提下： (1)P(A|B)与P(A)有什么关系？ (2)P(B|A)与P(B)有什么关系？ [提示]　(1)P(A|B)＝P(A)； (2)P(B|A)＝P(B). ◎结论形成 独立性与条件概率的关系 (1)A与B独立，当P(B)>0时，A与B独立的充要条件是____________． (2)A与B不独立，当P(A|B)≠P(A)时，事件B的发生会影响事件A发生的概率，此时A与B是____________． (3)“A与B独立”经常说成“A与B互不影响”． 1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)不可能事件与任何一个事件相互独立．(　　) (2)必然事件与任何一个事件相互独立．(　　) (3)如果事件A与事件B相互独立，则P(B|A)＝P(B).(　　) (4)“P(AB)＝P(A)·P(B)”是“事件A，B相互独立”的充要条件．(　　) 答案　(1)√　(2)√　(3)√　(4)√ 2．一个学生通过一种英语能力测试的概率是，他连续测试两次，那么其中恰有一次通过的概率是(　　) A．　　 B．　　 C．　　 D． 解析　由题意知，恰有一次通过的概率为×＋×＝. 答案　C 3．已知A与B独立，且P(A)＝0.75，则P(A|B)＝________． 解析　因为A与B独立，所以P(A|B)＝P(A)＝0.75. 答案　0.75 4．已知A，B是相互独立事件，且P(A)＝，P(B)＝，则P(A)________，P(AB)＝________． 解析　因为A，B是相互独立事件，所以A与相互独立，又P()＝1－＝，所以P(A)＝P(A)P()＝×＝. P(AB)＝P(A)P(B)＝×＝. 答案　　 题型一　利用条件概率判断事件的独立性 (多选题)甲袋中装有4个白球、2个红球和2个黑球，乙袋中装有3个白球、3个红球和2个黑球．先从甲袋中随机取出一球放入乙袋，再从乙袋中随机取出一球．用A1，A2，A3分别表示甲袋取出的球是白球、红球和黑球，用B表示乙袋取出的球是白球，则(　　) A．A1，A2，A3两两互斥 B．P(B|A2)＝ C．A3与B是相互独立事件 D．P(B)＝ [解析]　对于A，由题意可知A1，A2，A3不可能同时发生，所以A1，A2，A3两两互斥，所以A正确；对于B，由题意可得P(A2)＝＝，P(A2B)＝×＝，所以P(B|A2)＝＝＝，所以B正确； 对于C，因为P(A3)＝＝，P(A3B)＝×＝，P(B|A3)＝＝＝，P(B)＝P(A1B)＋P(A2B)＋P(A3B)＝×＋＋＝，所以P(B|A3)≠P(B)，所以A3与B不是相互独立事件，所以C错误；对于D，由C选项可知P(B)＝，所以D错误． [答案]　AB 判断事件是否相互独立的方法 (1)定义法：事件A，B相互独立⇔P(AB)＝P(A)·P(B). (2)由事件本身的性质直接判定两个事件发生是否相互影响． (3)条件概率法：当P(A)>0时，可用P(B|A)＝P(B)判断． [触类旁通] 1．(多选题)有6个相同的球，分别标有数字1，2，3，4，5，6，从中有放回的随机取两次，每次取1个球，甲表示事件“第一次取出的球的数字是1”，乙表示事件“第二次取出的球的数字是2”；丙表示事件“两次取出的球的数字之和是8”；丁表示事件“两次取出的球的数字之和是7”，则(　　) A．甲与丙不相互独立 B．甲与丁不相互独立 C．乙与丙不相互独立 D．丙与丁不相互独立 解析　由题意可知，两点数和为8的所有可能为(2，6)，(3，5)，(4，4)，(5，3)，(6，2)， 两点数和为7的所有可能为(1，6)，(2，5)，(3，4)，(4，3)，(5，2)，(6，1)， P(甲)＝，P(乙)＝，P(丙)＝＝， P(丁)＝＝， A：P(甲丙)＝0≠P(甲)P(丙)， B：P(甲丁)＝＝P(甲)P(丁)， C：P(乙丙)＝≠P(乙)P(丙)， D：P(丙丁)＝0≠P(丙)P(丁)，故选ACD. 答案　ACD 题型二　求相互独立事件的概率　一题多变 王敏某天乘火车从重庆到上海去办事，若当天从重庆到上海的三列火车正点到达的概率分别为0.8，0.7，0.9，假设这三列火车之间是否正点到达互不影响．求： (1)这三列火车恰好有两列正点到达的概率； (2)这三列火车至少有一列正点到达的概率． [解析]　用A，B，C分别表示这三列火车正点到达的事件， 则P(A)＝0.8，P(B)＝0.7，P(C)＝0.9， 所以P()＝0.2，P()＝0.3，P()＝0.1. (1)由题意得A，B，C之间互相独立， 所以恰好有两列正点到达的概率为 P1＝P(BC)＋P(AC)＋P(AB) ＝P()P(B)P(C)＋P(A)P()P(C)＋P(A)P(B)P() ＝0.2×0.7×0.9＋0.8×0.3×0.9＋0.8×0.7×0.1＝0.398. (2)三列火车至少有一列正点到达的概率为 P2＝1－P(　　)＝1－P()P()P() ＝1－0.2×0.3×0.1＝0.994. [母题变式] 1．(变结论)本例条件不变，求恰有一列火车正点到达的概率． 解析　恰有一列火车正点到达的概率为P3＝P(A　)＋P(B)＋P(　C)＝P(A)P()·P()＋P()P(B)P()＋P()P()P(C)＝0.8×0.3×0.1＋0.2×0.7×0.1＋0.2×0.3×0.9＝0.092. 2．(变条件、变结论)若一列火车正点到达记10分，用ξ表示三列火车的总得分，求P(ξ≤20). 解析　事件“ξ≤20”表示“至多两列火车正点到达”，其对立事件为“三列火车都正点到达”，所以P(ξ≤20)＝1－P(ABC)＝1－P(A)P(B)P(C)＝1－0.8×0.7×0.9＝0.496. [素养聚焦] 通过求相互独立事件的概率，把逻辑推理、数学运算等核心素养体现在解题过程中． 1．求相互独立事件同时发生的概率的步骤 (1)先确定各个事件是相互独立的． (2)再确定各个事件会同时发生． (3)先求每个事件发生的概率，再利用公式求它们同时发生的概率． 2．事件运算与概率之间的关系 A，B互斥 A，B相互独立 P(A＋B) P(A)＋P(B) 1－P()P() P(AB) 0 P(A)P(B) P(　) 1－[P(A)＋P(B)] P()P() [触类旁通] 2．甲、乙两颗卫星同时监测台风，在同一时刻，甲、乙两颗卫星准确预报台风的概率分别为0.8和0.75，则在同一时刻至少有一颗卫星预报准确的概率为________． 解析　在同一时刻两颗卫星预报都不准确的概率为(1－0.8)×(1－0.75)＝0.05，则在同一时刻至少有一颗卫星预报准确的概率为1－0.05＝0.95. 答案　0.95 题型三　相互独立事件的综合应用 在一场娱乐晚会上，有5位民间歌手(1号至5号)登台演唱，由现场数百名观众投票选出最受欢迎歌手．各位观众须彼此独立地在选票上选3名歌手，其中观众甲是1号歌手的歌迷，他必选1号，不选2号，另在3至5号中随机选2名．观众乙和丙对5位歌手的演唱没有偏爱，因此在1至5中随机选3名歌手． (1)求观众甲选中3号歌手且观众乙未选中3号歌手的概率； (2)求3号歌手得到观众甲、乙、丙的票数之和为2票的概率． [解析]　(1)设A表示事件“观众甲选中3号歌手”，B表示事件“观众乙选中3号歌手”，则P(A)＝＝，P(B)＝＝. ∵事件A与B相互独立， ∴观众甲选中3号歌手且观众乙未选中3号歌手的概率为P(A)＝P(A)P()＝P(A)[1－P(B)]＝×＝或P(A)＝＝. (2)设C表示事件“观众丙选中3号歌手”，则P(C)＝＝，用事件D表示3号歌手得到观众甲、乙、丙的票数之和为2票，依题意得D＝AB＋AC＋BC. ∴P(D)＝P(AB)＋P(AC)＋P(BC) ＝××＋××＋××＝. 概率问题中的数学思想 (1)正难则反：灵活应用对立事件的概率关系P(A)＋P()＝1简化问题，是求解概率问题最常用的方法． (2)化繁为简：将复杂事件的概率转化为简单事件的概率，即寻找所求事件与已知事件之间的关系．“所求事件”分几类(考虑加法公式，转化为互斥事件)还是分几步组成(考虑乘法公式，转化为互独事件). (3)方程思想：利用有关的概率公式和问题中的数量关系，建立方程(组)，通过解方程(组)使问题获解. [触类旁通] 3．某田径队有三名短跑运动员，根据平时训练情况统计甲、乙、丙三人100米跑(互不影响)的成绩在13 s内(称为合格)的概率分别为，，，若对这三名短跑运动员的100 m跑的成绩进行一次检测，求 (1)三人都合格的概率； (2)三人都不合格的概率； (3)出现几人合格的概率最大． 解析　记“甲、乙、丙三人100米跑成绩合格”分别为事件A，B，C，显然事件A，B，C相互独立，则P(A)＝，P(B)＝，P(C)＝. 设恰有k人合格的概率为Pk(k＝0，1，2，3) (1)三人都合格的概率：P3＝P(ABC)＝P(A)·P(B)·P(C)＝××＝. (2)三人都不合格的概率： P0＝P(　)＝P()·P()·P()＝××＝. (3)恰有两人合格的概率： P2＝P(AB)＋P(AC)＋P(BC) ＝××＋××＋××＝. 恰有一人合格的概率：P1＝1－P0－P2－P3 ＝1－－－＝＝. 综合(1)(2)(3)可知P1最大． 所以出现恰有1人合格的概率最大． [缜密思维提能区]　易错辨析 独立事件同时发生的概率 设事件A与B相互独立，两个事件中只有A发生的概率和只有B发生的概率都是，求事件A和事件B同时发生的概率． [错解]　 ∵A与B相互独立，且只有A发生的概率和只有B发生的概率都是， ∵P(A)＝P(B)＝， ∴P(AB)＝P(A)P(B)＝×＝. [正解]　在相互独立事件A和B中，只有A发生，即事件A发生，只有B发生即事件A发生．∵A和B相互独立， ∴A与，和B也相互独立． ∴P(A)＝P(A)P()＝P(A)[1－P(B)]＝，　① P(B)＝P()P(B)＝[1－P(A)]P(B)＝.　② ①－②得P(A)＝P(B).　③ ①③联立可解得P(A)＝P(B)＝. ∴P(AB)＝P(A)P(B)＝×＝. [纠错心得] 在A与B中只有A发生是指A发生和B不发生这两个事件同时发生，即事件A发生．搞清事件的关系，利用相互独立事件同时发生的概率公式列方程组求解． 知识落实 技法强化 1．条件概率与独立性的关系． 2．相互独立事件概率的乘法公式． 两个事件的相互独立性的推广 两个事件的相互独立性可以推广到n(n>2，n∈N＋)个事件的相互独立性，即若事件A1，A2…，An相互独立， (1)则这n个事件同时发生的概率 P(A1A2…An)＝P(A1)·P(A2)…P(An). (2)P(A1＋A2＋…＋An)＝1－P(12…n) ＝1－P(1)·P(2)…P(n). $$