3.3 第1课时 二项式定理(课件PPT)-【精讲精练】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册(人教B版)

3.3　二项式定理与杨辉三角 第三章　排列、组合与二项式定理 第1课时　二项式定理 栏目导航 第三章　排列、组合与二项式定理 1 栏目导航 课前案•自主学习 01 课堂案•互动探究 02 课后案•学业评价 03 栏目导航 第三章　排列、组合与二项式定理 1 栏目导航 第三章　排列、组合与二项式定理 1 课前案•自主学习 栏目导航 栏目导航 第三章　排列、组合与二项式定理 1 栏目导航 第三章　排列、组合与二项式定理 1 n＋1 栏目导航 第三章　排列、组合与二项式定理 1 栏目导航 第三章　排列、组合与二项式定理 1 栏目导航 第三章　排列、组合与二项式定理 1 栏目导航 第三章　排列、组合与二项式定理 1 栏目导航 第三章　排列、组合与二项式定理 1 课堂案•互动探究 栏目导航 栏目导航 第三章　排列、组合与二项式定理 1 栏目导航 第三章　排列、组合与二项式定理 1 栏目导航 第三章　排列、组合与二项式定理 1 栏目导航 第三章　排列、组合与二项式定理 1 栏目导航 第三章　排列、组合与二项式定理 1 栏目导航 第三章　排列、组合与二项式定理 1 栏目导航 第三章　排列、组合与二项式定理 1 栏目导航 第三章　排列、组合与二项式定理 1 栏目导航 第三章　排列、组合与二项式定理 1 栏目导航 第三章　排列、组合与二项式定理 1 栏目导航 第三章　排列、组合与二项式定理 1 栏目导航 第三章　排列、组合与二项式定理 1 栏目导航 第三章　排列、组合与二项式定理 1 栏目导航 第三章　排列、组合与二项式定理 1 栏目导航 第三章　排列、组合与二项式定理 1 栏目导航 第三章　排列、组合与二项式定理 1 栏目导航 第三章　排列、组合与二项式定理 1 栏目导航 第三章　排列、组合与二项式定理 1 栏目导航 第三章　排列、组合与二项式定理 1 栏目导航 第三章　排列、组合与二项式定理 1 栏目导航 第三章　排列、组合与二项式定理 1 栏目导航 第三章　排列、组合与二项式定理 1 栏目导航 第三章　排列、组合与二项式定理 1 栏目导航 第三章　排列、组合与二项式定理 1 栏目导航 第三章　排列、组合与二项式定理 1 栏目导航 第三章　排列、组合与二项式定理 1 栏目导航 第三章　排列、组合与二项式定理 1 栏目导航 第三章　排列、组合与二项式定理 1 课后案•学业评价 栏目导航 点击进入Word 栏目导航 第三章　排列、组合与二项式定理 1 谢谢观看 栏目导航 第三章　排列、组合与二项式定理 1 学业标准 素养目标 1．能用计数原理证明二项式定理． 2．掌握二项式定理及其二项展开式的通项公式．(重点) 3．能解决与二项式定理有关的简单问题．(重点、难点) 1．通过二项式定理的学习，培养逻辑推理等核心素养． 2．通过二项式定理及展开式的通项公式的应用，提升数学运算等核心素养． 导学　二项式定理 你能用组合的观点说明(a＋b)4是如何展开的吗？ [提示]　因(a＋b)4＝(a＋b)(a＋b)(a＋b)(a＋b).由多项式乘法法则知，从四个a＋b中选a或选b是任意的，若有一个选b，则其余三个都选a，其方法有C种，式子为Ca3b，若有两个选b，则其余两个选a，其方法有C种，式子为Ca2b2. ◎结论形成 　二项式定理 (a＋b)n＝___________________________________________(n∈N＋). (1)上述公式称为二项式定理，等式右边的式子称为(a＋b)n的展开式，它共有______项，其中Can－kbk是展开式中的第k＋1项，通常用Tk＋1表示，_____称为第k＋1项的二项式系数． (2)二项展开式的通项公式 ①Tk＋1＝________； ②n是正整数，k是满足0≤k≤n的正整数． Can＋Can-1b＋Can-2b2＋…＋Can－kbk＋…＋Cbn C Can－kbk 1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)(a＋b)n展开式中共有n项．(　　) (2)在公式中，交换a，b的顺序对各项没有影响．(　　) (3)Can－kbk是(a＋b)n展开式中的第k项．(　　) (4)(a－b)n与(a＋b)n的二项式展开式的二项式系数相同．(　　) 答案　(1)×　(2)×　(3)×　(4)√ 2．(2024·四川成都七中月考)已知S＝(x－1)4＋4(x－1)3＋6(x－1)2＋4x－3，则S可化简为(　　) A．x4　　　　　　　 B．x4＋1 C．(x－2)4 D．x4＋4 解析　S＝(x－1)4＋4(x－1)3＋6(x－1)2＋4(x－1)＋1＝C(x－1)4＋C(x－1)3＋C(x－1)2＋C(x－1)＋C＝[(x－1)＋1]4＝x4. 答案　A 3．(x－)10的展开式中x6项的二项式系数为(　　) A．－C B．C C．－4C D．4C 解析　含x6项为展开式中第5项，所以二项式系数为C. 答案　B 4．(2025·天津卷)在(x－1)6的展开式中，x3项的系数为________． 解析　(x－1)6展开式的通项公式为Tk＋1＝Cx6-k·(－1)k， 当k＝3时，T4＝Cx3·(－1)3＝－20x3， 即(x－1)6展开式中x3的系数为－20. 故答案为－20. 答案　－20 题型一　二项式定理的正用和逆用 (1)(多选题)在的展开式中，x的幂指数是整数的项为(　　) A．第1项　　　　　　 B．第3项 C．第5项 D．第7项 (2)设n为正整数，化简：C4n-1＋C4n-2＋C4n-3＋…＋C40＋C4-1. [解析]　(1)＝C()6＋C()5·＋C()4＋C()3＋C()2·＋C()＋C＝x3＋6x＋15x＋20x＋15x＋6x＋x-2. 因此x的幂指数是整数的是第1项和第7项，故选AD. (2)原式＝(C4n＋C4n-1＋C4n-2＋…＋C41＋C40)＝(4＋1)n＝. [答案]　(1)AD　(2)略 运用二项式定理的解题策略 (1)正用：求形式简单的二项展开式时可直接由二项式定理展开，展开时注意二项展开式的特点：前一个字母是降幂，后一个字母是升幂．形如(a－b)n的展开式中会出现正负间隔的情况．对较繁杂的式子，先化简再用二项式定理展开． (2)逆用：逆用二项式定理可将多项式化简，对于这类问题的求解，要熟悉公式的特点、项数、各项幂指数的规律以及各项的系数． [触类旁通] 1．(1)求二项式的展开式； (2)化简：(x－2)5＋5(x－2)4＋10(x－2)3＋10(x－2)2＋5(x－2). 解析　(1)＝C(3)4＋C(3)3·＋C(3)2·＋C(3)·＋C＝81x2－108x＋54－＋. (2)原式＝C(x－2)5＋C(x－2)4＋C(x－2)3＋C(x－2)2＋C(x－2)＋C(x－2)0－1＝[(x－2)＋1]5－1＝(x－1)5－1. 题型二　求二项展开式中的特定项　一题多变 已知的展开式中第3项的系数比第2项的系数大162. (1)求n的值； (2)求展开式中含x3的项，并指出该项的二项式系数． [解析]　(1)因为T3＝C()n-2＝4Cx， T2＝C()n-1＝－2Cx， 依题意得4C＋2C＝162，所以2C＋C＝81， 所以n2＝81，n＝9. (2)设第k＋1项含x3项， 则Tk＋1＝C()9-k＝(－2)kCx， 所以＝3，k＝1， 所以第二项为含x3的项：T2＝－2Cx3＝－18x3. 二项式系数为C＝9. [母题变式] (变结论)本例条件不变，求二项展开式的所有的有理项． 解析　由题意可得 故k可取1，3，5，7，9. 故二项展开式的所有有理项为 T2＝(－2)Cx3＝－18x3； T4＝(－2)3Cx0＝－672； T6＝(－2)5Cx-3＝－4032x-3； T8＝(－2)7Cx-6＝－4608x-6； T10＝(－2)9Cx-9＝－512x-9. [素养聚焦] 通过利用二项式定理求特定项，把数学运算和逻辑推理等核心素养体现在解题过程中． 利用通项公式求解特定项的思路 二项展开式的特定项是指展开式中的某一项，如第k项、常数项、有理项、字母指数为某些特殊值的项．求解时，先准确写出通项，再把系数与字母分离出来(注意符号)，根据题目中所指定的字母的指数所具有的特征，列出方程(组)或不等式(组)求解即可，求有理项时，要注意运用整除的性质，同时应注意结合k的范围进行分析． [触类旁通] 2．(1)(2024·北京卷)在(x－)4的展开式中，x3的系数为(　　) A．6 B．－6 C．12 D．－12 (2)若展开式的常数项为60，则常数a的值为________． 解析　(1)法一(公式法)　(x－)4的展开式的通项Tk＋1＝Cx4-k(－)k＝(－1)kCx(k＝0，1，2，3，4).由4－＝3，得k＝2，所以(x－)4的展开式中x3的系数为(－1)2C＝6. 法二(组合数法)　(x－)4的展开式中含x3的项是由(x－)(x－)(x－)(x－)中任意取2个括号内的x与剩余的2个括号内的(－)相乘得到的，所以(x－)4的展开式中含x3的项为Cx2·C(－)2＝6x3，所以(x－)4的展开式中x3的系数为6. (2)的展开式的第k＋1项是Tk＋1＝Cx6-k(－)kx-2k＝C(－)kx6-3k，令6－3k＝0，得k＝2，所以当k＝2时，Tk＋1为常数项，即常数项是Ca. 根据已知得Ca＝60，解得a＝4. 答案　(1)A　(2)4 题型三　较复杂多项展开式中的特定项问题　一题多解 (1)(2022·新高考全国卷Ⅰ)(x＋y)8的展开式中x2y6的系数为________(用数字作答). (2)(2024·上海闵行模拟)的展开式中的常数项为________(用数字作答). [解析]　(1)(x＋y)8展开式的通项为Tk＋1＝Cx8-kyk，所以(x＋y)8的展开式中x2y6的系数为C＋(－1)C＝－28. (2)法一　在x>0时可化为，因而展开式的通项Tk＋1＝C·()10-2k，则k＝5时为常数项，即C·＝. 在x<0时可化为，所以展开式的通项T′k＋1＝－C·(－1)k()10-2k，令10－2k＝0，得k＝5，则展开式的常数项为－C(－1)5＝. 综上，的展开式的常数项为. 法二　原式＝＝·[(x＋)2]5＝·(x＋)10. 求原展开式中的常数项，转化为求(x＋)10的展开式中含x5的项的系数，即C·()5. 所以原展开式中的常数项为＝. [答案]　(1)－28　(2) 1．两个二项展开式乘积的展开式中的特定项问题 (1)分别对每个二项展开式进行分析，发现它们各自项的特点． (2)找到构成展开式中特定项的组成部分． (3)分别求解再相乘，求和即得． 2．三项或三项以上的展开问题 应根据式子的特点，转化为二项式来解决(有些题目也可转化为计数问题解决).转化的方法通常为配方、因式分解、项与项结合，项与项结合时要注意合理性和简捷性． [触类旁通] 3．(1)(x4＋1)的展开式中的常数项为(　　) A．－22 B．－21 C．20 D．21 (2)在的展开式中，x2项的系数为(　　) A．－50 B．－30 C．30 D．50 解析　(1)因为中Tk＋1＝C·(－1)k， 所以(x4＋1)展开式中的常数项为 x4·C·(－1)6＋1·C(－1)7＝－22. (2)表示5个因式的乘积，在这5个因式中，有2个因式都选－x，其余的3个因式都选1，相乘可得含x2的项；或者有3个因式选－x，有1个因式选，1个因式选1，相乘可得含x2的项，故x2项的系数为C＋(－C·C·2)＝－30，故选B. 答案　(1)A　(2)B [缜密思维提能区]　易错辨析 二项式系数与项的系数问题 设(x－)n的展开式中，第二项与第四项的系数之比为1∶2，试求含x2的项． [错解]　第二项的系数为C，第四项的系数为C， 故＝，解得n＝5或n＝－2， 所以Tk＋1＝Cx5-k(－)k， 由5－k＝2得k＝3，即展开式中第四项为含x2的项， 所以Cx2(－)3＝－20x2. [正解]　(x－)n展开式的第2项与第4项分别为 Cxn-1(－)＝－nxn-1， Cxn-3(－)3＝－2Cxn-3. 依题意得＝⇒n2－3n－4＝0， 解方程并舍去不合题意的负根，得n＝4. [纠错心得] 1．本题将“二项展开式的某项的二项式系数”与“二项展开式的某项的系数”混淆． 2．解题中深刻理解“二项展开式的某项的二项式系数”与“二项展开式的某项的系数”的区别和联系，而且能准确应用． 知识落实 技法强化 1．二项式定理． 2．二项展开式的通项公式． 1．二项式系数与项的系数是两个不同的概念，前者仅与二项式的指数及项数有关，后者与二项式的指数、项数及字母的系数均有关． 2．要牢记Can－kbk是展开式的第k＋1项，而非第k项． $$