第二十三章 旋转（高效培优讲义）数学人教版九年级上册

第二十三章 旋转 教学目标 1. 熟练掌握旋转章节全章知识点； 2. 熟练运用全章知识点解决相应的题目题型； 教学重难点 1. 重点 （1）旋转的性质及其作图； （2）中心对称的性质及其作图； （3）关于原点对称的点的坐标特点 。 2. 难点 （1）与旋转有关的证明与计算； （2）旋转的三大模型的问题解决。 知识点01 旋转 1. 旋转的概念： 在平面内，把一个图形绕着某一个点O按照顺时针或逆时针转动一定的角度叫做图形的 旋转 。点O叫做旋转中心，转动的角度叫做旋转角，顺时针或逆时针叫做旋转方向。它们是旋转的三要素。 2. 旋转的相关概念： 如果图形上的点P经过旋转变为点P′，那么这两个点叫做对应点，如果图形上的线段AB经过旋转变为点A′B′，那么这两条线段叫做对应线段，如果图形上的∠ABC经过旋转变为点∠A′B′C′，那么这两个角叫做对应角。 3. 旋转的性质： ①旋转前后的两个图形全等。所以对应边相等，对应角相等。 ②对应点到旋转中心的距离相等。所以旋转中心在对应点连线的垂直平分线上。 ③对应点与旋转中心的连线形成的夹角都相等。等于旋转角。 4. 旋转作图的步骤： ①确定旋转的三要素：旋转中心，旋转方向，旋转角。 ②在原图中找到关键点，做出图形关键点旋转后的对应点。 ③按照原图形连接各对应点。 5. 平面直角坐标系中的旋转： 若一个图形绕着平面直角坐标系原点旋转90°，则对应点之间的坐标关系为：原横坐标的绝对值变为 对应点的纵坐标的绝对值，原纵坐标的绝对值变成对应点的横坐标的绝对值。坐标符号看坐标所在象限。 简称横变纵，纵变横，符号看象限。 当在平面直角坐标系中绕着某点旋转180°时，可利用中点坐标公式求解坐标。 6. 旋转对称图形： 若一个图形绕着某点旋转一定的角度能够与原图形完全重合，这样的图形叫做旋转对称图形。 知识点02 中心对称 1. 中心对称的定义： 把一个图形绕着某个点旋转180°，如果它能够与另一个图形完全重合，那么就说这两个图形关于这个点对称或成中心对称，这个点叫做对称中心，这两个图形中的对应点叫做关于对称中心的对称点。 注：中心对称指的是两个全等的图形的位置关系。 2. 中心对称的性质： ①关于中心对称的两个图形能够完全重合；即全等。 ②关于中心对称的两个图形，它们的对应点的连线都经过对称中心，并且被对称中心平分。 ③中心对称的两个图形对应边平行或共线。 3. 对称中心的确定： 连接任意两组对称点得到两条线段，这两条线段的交点就是对称中心。 4. 中心对称作图的基本步骤： 步骤：①确定图形的关键点与对称中心。 ②连接关键点与对称中心并延长，使延长的距离与关键点到对称中心的距离相等。得到对称点。 ③按照原图形连接各对称点。 知识点03 中心对称图形 1. 中心对称图形的定义： 一个图形绕某一点旋转180°后，如果旋转后的图形能够与旋转前完全重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做中心对称图形的对称中心。中心对称图形是一个图形的形状特点。 2. 中心对称图形的性质： 性质1：对应点连线都经过对称中心，且被对称中心平分 。 性质2：对应线段的数量关系是相等的，位置关系为平行或共线。 性质3：对应角相等。 性质4：经过对称中心的直线把中心对称图形分成两个全的图形。 特别提示：中心对称图形和中心对称不同，中心对称是两个图形之间的位置关系，而中心对称图形是指一个图形自身的形状特点，这点应注意区分，它们性质相同，应用方法相同。 知识点03 关于原点对称的点的坐标 1. 关于原点对称的点的坐标： 关于原点对称的两个点的坐标特点：横纵坐标均互为相反数。 即若点与点关于原点对称，则有，。 2. 关于点对称的点坐标： 关于点对称的点的坐标可以利用中点坐标公式进行求解。 题型01 生活中的旋转现象 【典例1】下列说法中，正确的是（　　） A．“丽丽把教室的门打开”属于平移现象 B．“火箭冲向空中”属于旋转现象 C．“小明在荡秋千”属于旋转现象 D．“钟表的钟摆在摆动”属于平移现象 【答案】C 【解答】解：A、“丽丽把教室的门打开”属于旋转现象，故A选项说法错误，不符合题意； B、“火箭冲向空中”属于平移、旋转现象，故B选项说法错误，不符合题意； C、“小明在荡秋千”属于旋转现象，故C选项说法正确，符合题意； D、“钟表的钟摆在摆动”属于旋转现象，故D说法错误，不符合题意． 故选：C． 【变式1】下列生活现象中，可以看作是图形旋转的是（　　） A．钟表上的时针运动 B．升国旗的上升过程 C．月亮在水中形成的影子 D．电梯的升降 【答案】A 【解答】解：A．钟表上的时针运动，可以看作图形的旋转现象，故本选项符合题意； B．升国旗的上升过程，可以看作图形的平移现象，故本选项不符合题意； C．月亮在水中形成的影子，可以看作轴对称现象，故本选项不符合题意； D．电梯的升降，可以看作图形的平移现象，故本选项不符合题意． 故选：A． 【变式2】联欢会上，数学李老师表演了一个魔术．她先把4张扑克牌按如图①方式放在桌子上，然后蒙住自己的眼睛，请一位同学上台，把其中一张扑克牌旋转180°．解除蒙具后，看到4张牌如图②所示．可以判断出被旋转过的牌是（　　） A．方块4 B．黑桃5 C．梅花6 D．红桃7 【答案】A 【解答】解：因为牌中只有方块4是中心对称图形，所以旋转180度后，还是原来的样子． 故选：A． 【变式3】在俄罗斯方块游戏中，若某行被小方格块填满，则该行中的所有小方格会自动消失．现在游戏机屏幕下面三行已拼成如图所示的图案，屏幕上方又出现一小方格块正向下运动，为了使屏幕下面三行中的小方格都自动消失，你可以将图形进行以下的操作（　　） A．先逆时针旋转90°，再向左平移 B．先顺时针旋转90°，再向左平移 C．先逆时针旋转90°，再向右平移 D．先顺时针旋转90°，再向右平移 【答案】A 【解答】解：屏幕上方又出现一小方格块正向下运动，为了使屏幕下面三行中的小方格都自动消失，可以先逆时针旋转90°，再向左平移． 故选：A． 【变式4】如图，下列选项为一组传统竹编工艺品，其中能近似看作由如图旋转一周得到的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解答】解： 近似看作由旋转一周得到的是． 故选：B． 题型02 旋转的性质 【典例1】如图，在△ABC中，∠BAC＝135°，将△ABC绕点C逆时针旋转得到△DEC，点A，B的对应点分别为D，E，连接AD．当点A，D，E在同一条直线上时，下列结论不正确的是（　　） A．△ABC≌△DEC B．∠ADC＝45° C． D．AE＝AB+CD 【答案】D 【解答】解：∵△ABC绕点C逆时针旋转得到△DEC， ∴△ABC≌△DEC， 故A选项正确，不符合题意； 由旋转可得，CD＝CA，∠EDC＝∠BAC＝135°，AB＝DE， ∴∠ADC＝∠DAC． ∵点A，D，E在同一条直线上， ∴∠ADC＝∠DAC＝45°， 故B选项正确，不符合题意； ∵∠ADC＝∠DAC＝45°， ∴∠ACD＝90°， ∴ADAC， 故C选项正确，不符合题意； AE＝AD+DECD+AB， 故D选项不正确，符合题意． 故选：D． 【变式1】如图，把△ABC绕点C顺时针旋转40°得到△DEC，DE交AC于点G，若∠DGC＝90°，则∠A的度数是（　　） A．30° B．40° C．50° D．60° 【答案】C 【解答】解：∵把△ABC绕点C顺时针旋转40°得到△DEC， ∴∠GCD＝∠BCE＝40°，∠A＝∠D， ∵∠DGC＝90°， ∴∠D＝∠A＝50°， 故选：C． 【变式2】如图，教室的水平地面上有一个倒地的簸箕，BC与地面的夹角∠BCA＝55°，∠α＝26°，小明同学将它扶起（绕点C逆时针旋转）后平放在地面上，AB的对应线段为A′B′，在这一过程当中，簸箕柄AB绕点C旋转了（　　） A．79° B．89° C．98° D．99° 【答案】D 【解答】解：如图所示，根据题意，∠BCD＝∠B′CD′＝α＝26°， ∴旋转角为∠DCD′， ∴∠DCD′＝∠DCB′+∠B′CD′＝180°﹣∠BCA﹣∠BCD＝180°﹣55°﹣26°＝99°， 故选：D． 【变式3】如图，等边三角形ABC的边长为6cm，D、E分别为AC、AB边上的点，AD＝AE＝4cm，连接DE，将△ADE绕点D逆时针旋转，得到△EDP，连接CP，则CP的长是（　　） A． B． C．4cm D． 【答案】B 【解答】解：设DP交BC于F，如图所示： ∵∠BAC＝∠ACB＝60°，AC＝6， ∵AD＝AE＝4， ∴CD＝6﹣4＝2， ∴∠ADE＝60°，DE＝AD＝4， ∵将△ADE绕点D逆时针旋转，得到△EDP， ∴∠EDP＝60°，DP＝DE＝4， ∴∠PDC＝60°， ∴∠3＝60°，DF＝CF＝DC＝2， ∴PF＝DP﹣DF＝4﹣2＝2， ∴FC＝FP， ∴∠1＝∠2， ∴∠3＝∠1+∠2， ∴∠1＝30°， ∴∠PCD＝60°+30°＝90°， ∴， 故选：B 【变式4】如图，矩形ABCD中，AB＝6，∠CDB＝30°，E为CD边上一动点，△BEF为等边三角形，连接AF，则AF的最小值为（　　） A．1 B． C． D． 【答案】B 【解答】解：取BD的中点G，连接FG， ∵∠CDB＝30°， ∴∠C＝90°， ∴，∠DBC＝60°， ∵， ∴BG＝BC， ∵∠EBF＝60°＝∠CBD，BE＝BF， ∴∠CBE＝∠GBF， ∴△CBE≌△GBF（SAS）， ∴∠C＝∠FGB＝90°， ∴当AF⊥GF时，AF有最小值， 如图所示，过点A作AH⊥BD于点H， ∵∠CDB＝30°，DC∥B， ∴∠ABD＝∠CDB＝30°， ∴， ∴， ∵BD＝2AD，AD2+AB2＝BD2， ∴AD2+62＝（2AD）2， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵AH⊥BD，AF⊥GF，∠FGB＝90°， ∴． 故选：B． 【变式5】如图，BD为△ABC的角平分线，且BD＝BC，E为BD延长线上一点，BE＝BA，过点E作EF⊥AB于点F，连接EC，EA，则下列结论中：①△EBC可由△ABD绕点B旋转得到；②∠BCE+∠BCD＝180°；③△AEC是等腰三角形；④BA+BC＝2BF，正确的结论是（　　） A．①② B．①②③ C．①②③④ D．①②④ 【答案】C 【解答】解：①∵BD为△ABC的角平分线， ∴∠ABD＝∠CBD， 在△ABD和△EBC中， ， ∴△ABD≌△EBC（SAS）， ∴△EBC可由△ABD绕点B旋转得到， 故①正确； ②∵△ABD≌△EBC， ∴∠BCE＝∠BDA， ∵BD＝BC，∠BDC＝∠ADE， ∴∠BDC＝∠BCD＝∠ADE， ∴∠BCE+∠BCD＝∠BDA+∠BDC＝180°， 故②正确； ③∵BD＝BC，BE＝BA， ∴， ∵∠ABE＝∠CBE， ∴∠BEA＝∠BAE＝∠BCD＝∠BDC， ∵∠ADE＝∠BDC， ∴∠AED＝∠ADE＝∠BCD＝∠BDC， ∴∠CBD＝∠DAE， ∵∠BCE+∠BCD＝2∠BCD+∠ACE＝180°， ∴180°﹣∠CBD+∠ACE＝180°， ∴∠CBD＝∠ACE， ∴∠DAE＝∠ACE， ∴AE＝CE， ∴△AEC是等腰三角形， 故③正确； ④过E作EG⊥BC于G点， ∵BD为△ABC的角平分线，EF⊥AB， ∴EF＝EG， 在Rt△BEG和Rt△BEF中， ， ∴Rt△BEG≌Rt△BEF（HL）， ∴BG＝BF， 在Rt△AEF和Rt△CEG中， ， ∴Rt△CEG≌Rt△AFE（HL）， ∴AF＝CG， ∴BA+BC＝BF+FA+BG﹣CG＝BF+BG＝2BF， 故④正确， 综上所述，正确的结论是①②③④， 故选：C． 【变式6】如图，在四边形ABCD中，AC，BD是对角线，△ABC是等边三角形．线段CD绕点C顺时针旋转60°得到线段CE，连接AE． （1）求证：AE＝BD； （2）若∠ADC＝30°，AD＝3，BD＝5，求CD的长． 【答案】见试题解答内容 【解答】（1）证明：由旋转可知∠DCE＝60°，CD＝CE， ∵△ABC是等边三角形， ∴∠ACB＝60°，AC＝BC， ∴∠ACB+∠ACD＝∠DCE+∠ACD 即∠BCD＝∠ACE， 在△BCD和△ACE中， ， ∴△BCD≌△ACE（SAS）， ∴AE＝BD． （2）连接DE， 由（1）的结论知AE＝BD， ∵BD＝5， ∴AE＝5， 由旋转可知∠DCE＝60°， ∴△DCE是等边三角形， ∴∠CDE＝60°， ∵∠ADC＝30° ∴∠ADE＝∠ADC+∠CDE＝90°， 在Rt△ADE中，， ∵△CDE是等边三角形， ∴CD＝DE＝4 【变式7】△ABC是等边三角形，点D在边AC上，连接BD． （1）如图1，将线段BD绕点B顺时针旋转60°得到线段BE，连接CE，求证：△ABD≌△CBE； （2）如图2，延长AB至点F，连接FC，延长CA至点M，使DM＝DB，连接BM，若∠BDC＝2∠F，CD＝5，BF＝4，求AB的长．（提示：过点D作DN⊥BC） 【答案】（1）证明见解答； （2）AB的长为8． 【解答】（1）证明：∵△ABC是等边三角形， ∴AB＝CB，∠ABC＝60°， 由旋转得BD＝BE，∠DBE＝60°， ∴∠ABD＝∠CBE＝60°﹣∠CBD， 在△ABD和△CBE中， ， ∴△ABD≌△CBE（SAS）． （2）解：如图2，作DN⊥BC于点N，则∠BND＝∠CND＝90°， ∵△ABC是等边三角形， ∴AC＝AB＝BC，∠BAC＝∠ABC＝60°， ∴∠BAM＝∠CBF＝180°﹣60°＝120°， ∵DM＝DB，∠BDC＝2∠F， ∴∠DBM＝∠M， ∴∠BDC＝∠DBM+∠M＝2∠M， ∴2∠M＝2∠F， ∴∠M＝∠F， 在△ABM和△BCF中， ， ∴△ABM≌△BCF（AAS）， ∴AM＝BF＝4， ∵CD＝5， ∴DB＝DM＝AM+（AC﹣CD）＝4+（AB﹣5）＝AB﹣1， ∵∠CND＝90°，∠DCN＝60°， ∴∠CDN＝90°﹣∠DCN＝30°， ∴CNCD， ∴BN＝BC﹣CN＝AB，DN， ∵BN2+DN2＝DB2， ∴（AB）2（AB﹣1）2， 解得AB＝8， ∴AB的长为8． 题型03 旋转对称图形 【典例1】如图是一个正五角星，将这个正五角星绕着它的中心旋转与自身重合，至少应旋转的度数为（　　） A．36° B．45° C．60° D．72° 【答案】D 【解答】解：72°， 因而一个正五角星绕着它的中心至少旋转72°能与自身重合． 故选：D． 【变式1】浙江省积极响应国家“节约资源，保护环境”的号召，利用自身地域环境优势，加强可再生资源——风能的利用，其中，海上风电产业具有技术先导性强、经济体量大和产业关联度大的特点，如图是海上风力发电装置，转子叶片图案绕中心旋转n°后能与原图案重合，则n可以取（　　） A．60 B．90 C．120 D．180 【答案】C 【解答】解：∵360°÷3＝120°， ∴n＝120， 故选：C． 【典例2】如图是贵州苗族刺绣纹样，若将它绕其中心旋转一定角度后能够与自身重合，则至少应将它旋转的度数是（　　） A．45° B．90° C．120° D．180° 【答案】B 【解答】解：根据正方形是中心对称图形， ∴至少将正方形绕中心旋转360÷4＝90°，才能旋转后与自身重合． 故选：B． 题型04 中心对称 【典例1】如图，△ABC与△DEF关于点O成中心对称，点A、B、C的对称点分别为D、E、F．下列结论不一定正确的是（　　） A．AD⊥BE B．AO＝DO C．AB∥DE D．△ABC≌△DEF 【答案】A 【解答】解：∵△ABC与△DEF关于点O成中心对称， ∴AO＝DO，BO＝EO，△ABC与△DEF关于点O成中心对称． 故B，D选项正确，不符合题意； ∵∠AOB＝∠DOE， ∴△AOB≌△DOE（SAS）， ∴∠BAO＝∠EDO， ∴AB∥DE， 故C选项正确，不符合题意； 根据已知条件不能得出AD⊥BE， 故A选项不正确，符合题意． 故选：A． 【变式1】如图，△A1B1C1与△ABC关于点O成中心对称，已知AA1＝8cm，BO＝6cm，A1B1＝5cm，则△OAB的周长为（　　） A．12cm B．15cm C．16cm D．19cm 【答案】B 【解答】解：由条件可知AO＝4cm，AB＝A1B1＝5cm， ∴△OAB的周长＝AO+AB+BO＝4+5+6＝15cm， 故选：B． 【变式2】某中学八年级科技社团“智慧”小组要制作一个以中心对称为主题的桥梁模型．他们设计了如图所示的结构，其中△ABC与△DEC关于点C成中心对称，点M、N分别是AC、BC的中点，横梁MN用于支撑桥梁．通过测量得到MN的长度为40cm，DE是模型中需要的主承重钢梁，根据以上信息模型中DE的长是（　　）cm． A．20 B．40 C．80 D．90 【答案】C 【解答】解：∵点M、N分别是AC、BC的中点，MN的长度为40cm， ∴MN是△ABC的中位线， ∴AB＝2MN＝80cm， 又∵△ABC与△DEC关于点C成中心对称， ∴DE＝AB＝80cm， 故选：C． 【变式3】如图，△ABC与△DEC关于点C成中心对称，，AE＝3，∠D＝90°，AC＝（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【解答】解：∵△ABC与△DEC关于点C成中心对称，AB， ∴，AC＝CD， ∵AE＝3，∠D＝90°， 根据勾股定理可得：， ∴． 故选：A． 【变式4】如图，经过正方形ABCD对称中心O的直线分别交BA的延长线、AD、BC于点E、F、G．已知DC＝4，DF＝3，则AE的长为（　　） A．2 B． C．3 D．4 【答案】A 【解答】解：过点O作OH⊥AD于点H，连接OD， ∵四边形ABCD是正方形， ∴∠BAD＝∠EAF＝90°，AD＝CD＝4， ∵点O是正方形ABCD的中心， ∴AH＝DHAD＝2，∠ODH＝45°， ∵∠OHD＝90°， ∴∠ODH＝∠HOD＝45°， ∴OH＝HD＝2， ∵DF＝3， ∴FH＝AF＝1， ∵∠EAF＝∠OHF＝90°，∠AFE＝∠OFH， ∴△EAF≌△OHF（ASA）， ∴AE＝OH＝2， 故选：A． 【变式5】如图所示，直线a⊥b，垂足为O，曲线C，关于点O成中心对称，点A对称点是A′，AB⊥a于点B，A′D⊥b于点D，若OB＝6，OD＝4，则阴影部分面积之和为 　24　 ． 【答案】24． 【解答】解：如图， ∵曲线C关于点O成中心对称，点A对称点是A′，AB⊥a于点B，A′D⊥b于点D， 若OB＝6，OD＝4， ∴AB＝4， ∴图形①与图形②面积相等， ∴阴影部分的面积之和＝长方形ABOE的面积＝6×4＝24． 故答案为：24． 【变式6】在一块矩形铁皮上裁去一个小矩形得到了如图所示的直角铁皮．用一条直线l将该直角铁皮分成面积相等的两部分，则符合条件的直线l有（　　） A．2条 B．3条 C．4条 D．无数条 【答案】B 【解答】解：如图所示， 符合条件的之间l有3条． 故选：B． 【变式7】如图，点O是平行四边形ABCD的对称中心，AD＞AB，E，F是边AB上的点，G，H是边BC上的点，且EFAB，GHBC，若S1，S2分别表示△EOF 和△GOH 的面积，则　　 ． 【答案】． 【解答】解：如图，连接AC，OB， ∵点O是平行四边形ABCD的对称中心， ∴点O是线段AC的中点，且S△AOB＝S△BOCS平行四边形ABCD， 令S△AOB＝S△BOC＝S， ∵EFAB，GHBC， ∴S△EOFS，S△GOHS， ∴． 故答案为：． 题型05 中心对称图形 【典例1】下列交通标志中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解答】解：A、即是轴对称图形又是中心对称图形，所以A正确； B、是轴对称图形但不是中心对称图形，所以B错误； C、是轴对称图形但不是中心对称图形，所以C错误； D、既不是轴对称图形又不是中心对称图形，所以D错误； 故选：A． 【变式1】中国航天事业取得了举世瞩目的成就，2025年4月24日，神舟二十号载人飞船发射取得圆满成功，在“东方红一号”发射55载之际开启第20次神州问天之旅．下列航天图标中，是中心对称图形的是（　　） A． B． C．D． 【答案】D 【解答】本题考查了中心对称图形的定义，把一个图形绕着某点旋转180°后，能与原来的图形完全重合，这个图形就是中心对称图形，解决本题的关键就是根据中心对称图形的定义进行判断．解：A选项：把图形绕任何一点旋转180°都不能与原图形重合，∴该图形不是中心对称图形，故A选项不符合题意； B选项：把图形绕任何一点旋转180°都不能与原图形重合，∴该图形不是中心对称图形，故B选项不符合题意； C选项：把图形绕任何一点旋转180°都不能与原图形重合，∴该图形不是中心对称图形，故C选项不符合题意； D选项：如下图所示，把图形绕点O旋转180°能与原图形重合，∴该图形是中心对称图形，故D选项符合题意． 故选：D． 【变式2】下列图形既是中心对称图形也是轴对称图形的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【解答】解：A．不是中心对称图形，也不是轴对称图形，故此选项不合题意； B．不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项不合题意； C．不是中心对称图形，也不是轴对称图形，故此选项不合题意； D．既是中心对称图形，也是轴对称图形，故此选项符合题意； 故选：D． 【变式3】窗，聪也；于内窥外，为聪明也．在窗棂的装饰中，图案大多是几何纹样，现从中选取以下四种窗棂图案，其中是中心对称图形但不是轴对称图形的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解答】解：A．既是中心对称图形，又是轴对称图形，故此选项不符合题意； B．是中心对称图形，不是轴对称图形，故此选项符合题意； C．既是中心对称图形，又是轴对称图形，故此选项不符合题意； D．既是中心对称图形，又是轴对称图形，故此选项不符合题意； 故选：B． 题型06 关于原点对称的点的坐标 【典例1】点P（4，﹣3）关于原点的对称点是（　　） A．（4，3） B．（﹣3，4） C．（﹣4，3） D．（3，﹣4） 【答案】C 【解答】解：点P（4，﹣3）关于原点的对称点是（﹣4，3）， 故选：C． 【变式1】若点M（a﹣2，﹣3）与点N（3，1﹣b）关于原点成中心对称，则a+b的值是（　　） A．3 B．﹣3 C．5 D．7 【答案】B 【解答】解：∵点M（a﹣2，﹣3）与点N（3，1﹣b）关于原点成中心对称， ∴a﹣2＝﹣3，1﹣b＝3， 解得a＝﹣1，b＝﹣2， ∴a+b＝﹣1﹣2＝﹣3， 故选：B． 【变式2】已知，，则点P（a，b）关于原点对称的点的坐标是（　　） A．（2，﹣1） B．（﹣2，﹣1） C．（﹣2，1） D．（2，1） 【答案】C 【解答】解：∵， ∴a﹣2＝0，b+1＝0， ∴a＝2，b＝﹣1， ∴点P（2，﹣1）， 则点P（2，﹣1）关于原点对称的点的坐标为（﹣2，1）． 故选：C． 【变式3】在平面直角坐标系xOy中，点P（﹣2，a2+1）关于原点对称的点所在的象限是（　　） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】D 【解答】解：∵a2+1＞0， ∴点P（﹣2，a2+1）在第二象限， ∴点P（﹣2，a2+1）关于原点对称的点所在的象限是第四象限． 故选：D． 【变式4】点P（2a+1，4）与P′（1，3b﹣1）关于原点对称，则2a+b＝（　　） A．﹣3 B．﹣2 C．3 D．2 【答案】A 【解答】解：∵点P（2a+1，4）与P′（1，3b﹣1）关于原点对称， ∴2a+1＝﹣1，3b﹣1＝﹣4， ∴a＝﹣1，b＝﹣1， ∴2a+b＝2×（﹣1）+（﹣1）＝﹣3． 故选：A． 题型07 旋转中的坐标变换 【典例1】直角坐标平面内，若点M绕原点逆时针旋转90°到点P（x，y）．若点M绕原点顺时针旋转90°到点Q，则点Q坐标为（　　） A．（﹣y，﹣x） B．（﹣x，y） C．（﹣y，x） D．（﹣x，﹣y） 【答案】D 【解答】解：由点M绕原点逆时针旋转90°到点P（x，y）．点M绕原点顺时针旋转90°到点Q， 则点Q与点P（x，y）关于原点中心对称， 故点Q为（﹣x，﹣y）， 故选：D． 【变式1】如图，在平面直角坐标系xOy中，四边形OABC是矩形，点A（3，0），C（0，2），将矩形OABC绕点O逆时针旋转90°，则旋转后点B的对应点坐标为（　　） A．（﹣2，3） B．（﹣2，0） C．（0，3） D．（2，3） 【答案】A 【解答】解：如图， ∵四边形OABC是矩形， ∴OC＝AB，BC＝OA， ∵C（0，2），A（3，0）， ∴AB＝OC＝2，OA＝BC＝3， 由旋转变换的性质可知B′（﹣2，3）， 故选：A． 【变式2】如图，等边△ABC的顶点A在y轴正半轴上，边BC在x轴上，点B（﹣1，0），C（1，0），将△ABC绕点C顺时针旋转90°得到△EDC，则点E的坐标是（　　） A．（3，1） B． C． D． 【答案】C 【解答】解：过点E作EF⊥x轴于点F， ∴∠AOC＝∠CFE＝90°， ∴∠ECF+∠CEF＝90°． 由旋转得，CE＝AC，∠ACE＝90°， ∴∠ACO+∠ECF＝90°， ∴∠ACO＝∠CEF． ∴△CEF≌△ACO（AAS）， ∴EF＝OC，CF＝OA． ∵△ABC为等边三角形，B（﹣1，0），C（1，0）， ∴OC＝1，OA， ∴EF＝1，CF， ∴OF＝OC+CF， ∴点E的坐标为（，1）． 故选：C． 【变式3】如图，在△ABO中，AB⊥OB，，AB＝1，将△ABO绕O点旋转90°后得到△A1B1O，则点A1的坐标是（　　） A． B．或 C． D．或 【答案】B 【解答】解：在△ABO中，AB⊥OB，，AB＝1， ∴当△ABO绕点O顺时针旋转90°后得到△A1B1O，如图， ∴， ∴； 当△ABO绕点O逆时针旋转90°后得到△A1B1O， ∴， ∴， 故选：B． 题型08 旋转作图变换 【典例1】按要求在如图所示的网格中完成作图（网格图中每个小正方形的边长均为1个单位长度）． （1）将△ABC绕点A顺时针旋转180°，得到△AB1C1，作出△AB1C1； （2）将△ABC沿某直线翻折，点B的对应点是点B2，作出翻折后的△A2B2C2． 【答案】（1）如图1即为所求； （2）如图2即为所求． 【解答】解：（1）将△ABC绕点A顺时针旋转180°，得到△AB1C1，如图1即为所求； （2）将△ABC沿某直线翻折后的△A2B2C2，如图2即为所求． 【变式1】如图，已知△ABC的顶点A，B，C在格点上，在网格中按下列要求作图： （1）将△ABC绕点C逆时针旋转90°得到△A1B1C1； （2）作出与△ABC关于点O成中心对称的△A2B2C2； （3）△ABC的面积为　2　 ． 【答案】（1）见解答． （2）见解答． （3）2． 【解答】解：（1）如图，△A1B1C1即为所求． （2）如图，△A2B2C2即为所求． （3）△ABC的面积为2． 故答案为：2． 【变式2】如图，在平面直角坐标系中，Rt△ABC的三个顶点分别是A（﹣3，2），B（0，4），C（0，2）． （1）作出△ABC以点C为对称中心的图形△A1B1C1； （2）平移△ABC，若点A对应点A2的坐标为（0，﹣4），画出平移后对应的△A2B2C2； （3）若将△A1B1C1绕某一点旋转可以得到△A2B2C2，请直接写出旋转中心的坐标． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）如图所示△A1B1C1即为所求； （2）如图所示，△A2B2C2即为所求； （3）如图所示，点P即为对称中心， ∵A1（3，2），A2（0，﹣4），， ∴p的坐标为（， 故答案为：． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第二十三章 旋转 教学目标 1. 熟练掌握旋转章节全章知识点； 2. 熟练运用全章知识点解决相应的题目题型； 教学重难点 1. 重点 （1）旋转的性质及其作图； （2）中心对称的性质及其作图； （3）关于原点对称的点的坐标特点 。 2. 难点 （1）与旋转有关的证明与计算； （2）旋转的三大模型的问题解决。 知识点01 旋转 1. 旋转的概念： 在平面内，把一个图形绕着某一个点O按照顺时针或逆时针转动一定的角度叫做图形的 旋转 。点O叫做旋转中心，转动的角度叫做旋转角，顺时针或逆时针叫做旋转方向。它们是旋转的三要素。 2. 旋转的相关概念： 如果图形上的点P经过旋转变为点P′，那么这两个点叫做对应点，如果图形上的线段AB经过旋转变为点A′B′，那么这两条线段叫做对应线段，如果图形上的∠ABC经过旋转变为点∠A′B′C′，那么这两个角叫做对应角。 3. 旋转的性质： ①旋转前后的两个图形全等。所以对应边相等，对应角相等。 ②对应点到旋转中心的距离相等。所以旋转中心在对应点连线的垂直平分线上。 ③对应点与旋转中心的连线形成的夹角都相等。等于旋转角。 4. 旋转作图的步骤： ①确定旋转的三要素：旋转中心，旋转方向，旋转角。 ②在原图中找到关键点，做出图形关键点旋转后的对应点。 ③按照原图形连接各对应点。 5. 平面直角坐标系中的旋转： 若一个图形绕着平面直角坐标系原点旋转90°，则对应点之间的坐标关系为：原横坐标的绝对值变为 对应点的纵坐标的绝对值，原纵坐标的绝对值变成对应点的横坐标的绝对值。坐标符号看坐标所在象限。 简称横变纵，纵变横，符号看象限。 当在平面直角坐标系中绕着某点旋转180°时，可利用中点坐标公式求解坐标。 6. 旋转对称图形： 若一个图形绕着某点旋转一定的角度能够与原图形完全重合，这样的图形叫做旋转对称图形。 知识点02 中心对称 1. 中心对称的定义： 把一个图形绕着某个点旋转180°，如果它能够与另一个图形完全重合，那么就说这两个图形关于这个点对称或成中心对称，这个点叫做对称中心，这两个图形中的对应点叫做关于对称中心的对称点。 注：中心对称指的是两个全等的图形的位置关系。 2. 中心对称的性质： ①关于中心对称的两个图形能够完全重合；即全等。 ②关于中心对称的两个图形，它们的对应点的连线都经过对称中心，并且被对称中心平分。 ③中心对称的两个图形对应边平行或共线。 3. 对称中心的确定： 连接任意两组对称点得到两条线段，这两条线段的交点就是对称中心。 4. 中心对称作图的基本步骤： 步骤：①确定图形的关键点与对称中心。 ②连接关键点与对称中心并延长，使延长的距离与关键点到对称中心的距离相等。得到对称点。 ③按照原图形连接各对称点。 知识点03 中心对称图形 1. 中心对称图形的定义： 一个图形绕某一点旋转180°后，如果旋转后的图形能够与旋转前完全重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做中心对称图形的对称中心。中心对称图形是一个图形的形状特点。 2. 中心对称图形的性质： 性质1：对应点连线都经过对称中心，且被对称中心平分 。 性质2：对应线段的数量关系是相等的，位置关系为平行或共线。 性质3：对应角相等。 性质4：经过对称中心的直线把中心对称图形分成两个全的图形。 特别提示：中心对称图形和中心对称不同，中心对称是两个图形之间的位置关系，而中心对称图形是指一个图形自身的形状特点，这点应注意区分，它们性质相同，应用方法相同。 知识点03 关于原点对称的点的坐标 1. 关于原点对称的点的坐标： 关于原点对称的两个点的坐标特点：横纵坐标均互为相反数。 即若点与点关于原点对称，则有，。 2. 关于点对称的点坐标： 关于点对称的点的坐标可以利用中点坐标公式进行求解。 题型01 生活中的旋转现象 【典例1】下列说法中，正确的是（　　） A．“丽丽把教室的门打开”属于平移现象 B．“火箭冲向空中”属于旋转现象 C．“小明在荡秋千”属于旋转现象 D．“钟表的钟摆在摆动”属于平移现象 【变式1】下列生活现象中，可以看作是图形旋转的是（　　） A．钟表上的时针运动 B．升国旗的上升过程 C．月亮在水中形成的影子 D．电梯的升降 【变式2】联欢会上，数学李老师表演了一个魔术．她先把4张扑克牌按如图①方式放在桌子上，然后蒙住自己的眼睛，请一位同学上台，把其中一张扑克牌旋转180°．解除蒙具后，看到4张牌如图②所示．可以判断出被旋转过的牌是（　　） A．方块4 B．黑桃5 C．梅花6 D．红桃7 【变式3】在俄罗斯方块游戏中，若某行被小方格块填满，则该行中的所有小方格会自动消失．现在游戏机屏幕下面三行已拼成如图所示的图案，屏幕上方又出现一小方格块正向下运动，为了使屏幕下面三行中的小方格都自动消失，你可以将图形进行以下的操作（　　） A．先逆时针旋转90°，再向左平移 B．先顺时针旋转90°，再向左平移 C．先逆时针旋转90°，再向右平移 D．先顺时针旋转90°，再向右平移 【变式4】如图，下列选项为一组传统竹编工艺品，其中能近似看作由如图旋转一周得到的是（　　） A． B． C． D． 题型02 旋转的性质 【典例1】如图，在△ABC中，∠BAC＝135°，将△ABC绕点C逆时针旋转得到△DEC，点A，B的对应点分别为D，E，连接AD．当点A，D，E在同一条直线上时，下列结论不正确的是（　　） A．△ABC≌△DEC B．∠ADC＝45° C． D．AE＝AB+CD 【变式1】如图，把△ABC绕点C顺时针旋转40°得到△DEC，DE交AC于点G，若∠DGC＝90°，则∠A的度数是（　　） A．30° B．40° C．50° D．60° 【变式2】如图，教室的水平地面上有一个倒地的簸箕，BC与地面的夹角∠BCA＝55°，∠α＝26°，小明同学将它扶起（绕点C逆时针旋转）后平放在地面上，AB的对应线段为A′B′，在这一过程当中，簸箕柄AB绕点C旋转了（　　） A．79° B．89° C．98° D．99° 【变式3】如图，等边三角形ABC的边长为6cm，D、E分别为AC、AB边上的点，AD＝AE＝4cm，连接DE，将△ADE绕点D逆时针旋转，得到△EDP，连接CP，则CP的长是（　　） A． B． C．4cm D． 【变式4】如图，矩形ABCD中，AB＝6，∠CDB＝30°，E为CD边上一动点，△BEF为等边三角形，连接AF，则AF的最小值为（　　） A．1 B． C． D． 【变式5】如图，BD为△ABC的角平分线，且BD＝BC，E为BD延长线上一点，BE＝BA，过点E作EF⊥AB于点F，连接EC，EA，则下列结论中：①△EBC可由△ABD绕点B旋转得到；②∠BCE+∠BCD＝180°；③△AEC是等腰三角形；④BA+BC＝2BF，正确的结论是（　　） A．①② B．①②③ C．①②③④ D．①②④ 【变式6】如图，在四边形ABCD中，AC，BD是对角线，△ABC是等边三角形．线段CD绕点C顺时针旋转60°得到线段CE，连接AE． （1）求证：AE＝BD； （2）若∠ADC＝30°，AD＝3，BD＝5，求CD的长． 【变式7】△ABC是等边三角形，点D在边AC上，连接BD． （1）如图1，将线段BD绕点B顺时针旋转60°得到线段BE，连接CE，求证：△ABD≌△CBE； （2）如图2，延长AB至点F，连接FC，延长CA至点M，使DM＝DB，连接BM，若∠BDC＝2∠F，CD＝5，BF＝4，求AB的长．（提示：过点D作DN⊥BC） 题型03 旋转对称图形 【典例1】如图是一个正五角星，将这个正五角星绕着它的中心旋转与自身重合，至少应旋转的度数为（　　） A．36° B．45° C．60° D．72° 【变式1】浙江省积极响应国家“节约资源，保护环境”的号召，利用自身地域环境优势，加强可再生资源——风能的利用，其中，海上风电产业具有技术先导性强、经济体量大和产业关联度大的特点，如图是海上风力发电装置，转子叶片图案绕中心旋转n°后能与原图案重合，则n可以取（　　） A．60 B．90 C．120 D．180 【典例2】如图是贵州苗族刺绣纹样，若将它绕其中心旋转一定角度后能够与自身重合，则至少应将它旋转的度数是（　　） A．45° B．90° C．120° D．180° 题型04 中心对称 【典例1】如图，△ABC与△DEF关于点O成中心对称，点A、B、C的对称点分别为D、E、F．下列结论不一定正确的是（　　） A．AD⊥BE B．AO＝DO C．AB∥DE D．△ABC≌△DEF 【变式1】如图，△A1B1C1与△ABC关于点O成中心对称，已知AA1＝8cm，BO＝6cm，A1B1＝5cm，则△OAB的周长为（　　） A．12cm B．15cm C．16cm D．19cm 【变式2】某中学八年级科技社团“智慧”小组要制作一个以中心对称为主题的桥梁模型．他们设计了如图所示的结构，其中△ABC与△DEC关于点C成中心对称，点M、N分别是AC、BC的中点，横梁MN用于支撑桥梁．通过测量得到MN的长度为40cm，DE是模型中需要的主承重钢梁，根据以上信息模型中DE的长是（　　）cm． A．20 B．40 C．80 D．90 【变式3】如图，△ABC与△DEC关于点C成中心对称，，AE＝3，∠D＝90°，AC＝（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【变式4】如图，经过正方形ABCD对称中心O的直线分别交BA的延长线、AD、BC于点E、F、G．已知DC＝4，DF＝3，则AE的长为（　　） A．2 B． C．3 D．4 【变式5】如图所示，直线a⊥b，垂足为O，曲线C，关于点O成中心对称，点A对称点是A′，AB⊥a于点B，A′D⊥b于点D，若OB＝6，OD＝4，则阴影部分面积之和为 　 　 ． 【变式6】在一块矩形铁皮上裁去一个小矩形得到了如图所示的直角铁皮．用一条直线l将该直角铁皮分成面积相等的两部分，则符合条件的直线l有（　　） A．2条 B．3条 C．4条 D．无数条 【变式7】如图，点O是平行四边形ABCD的对称中心，AD＞AB，E，F是边AB上的点，G，H是边BC上的点，且EFAB，GHBC，若S1，S2分别表示△EOF 和△GOH 的面积，则 　 ． 题型05 中心对称图形 【典例1】下列交通标志中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　） A． B． C． D． 【变式1】中国航天事业取得了举世瞩目的成就，2025年4月24日，神舟二十号载人飞船发射取得圆满成功，在“东方红一号”发射55载之际开启第20次神州问天之旅．下列航天图标中，是中心对称图形的是（　　） A． B． C．D． 【变式2】下列图形既是中心对称图形也是轴对称图形的是（　　） A． B． C． D． 【变式3】窗，聪也；于内窥外，为聪明也．在窗棂的装饰中，图案大多是几何纹样，现从中选取以下四种窗棂图案，其中是中心对称图形但不是轴对称图形的是（　　） A． B． C． D． 题型06 关于原点对称的点的坐标 【典例1】点P（4，﹣3）关于原点的对称点是（　　） A．（4，3） B．（﹣3，4） C．（﹣4，3） D．（3，﹣4） 【变式1】若点M（a﹣2，﹣3）与点N（3，1﹣b）关于原点成中心对称，则a+b的值是（　　） A．3 B．﹣3 C．5 D．7 【变式2】已知，，则点P（a，b）关于原点对称的点的坐标是（　　） A．（2，﹣1） B．（﹣2，﹣1） C．（﹣2，1） D．（2，1） 【变式3】在平面直角坐标系xOy中，点P（﹣2，a2+1）关于原点对称的点所在的象限是（　　） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【变式4】点P（2a+1，4）与P′（1，3b﹣1）关于原点对称，则2a+b＝（　　） A．﹣3 B．﹣2 C．3 D．2 题型07 旋转中的坐标变换 【典例1】直角坐标平面内，若点M绕原点逆时针旋转90°到点P（x，y）．若点M绕原点顺时针旋转90°到点Q，则点Q坐标为（　　） A．（﹣y，﹣x） B．（﹣x，y） C．（﹣y，x） D．（﹣x，﹣y） 【变式1】如图，在平面直角坐标系xOy中，四边形OABC是矩形，点A（3，0），C（0，2），将矩形OABC绕点O逆时针旋转90°，则旋转后点B的对应点坐标为（　　） A．（﹣2，3） B．（﹣2，0） C．（0，3） D．（2，3） 【变式2】如图，等边△ABC的顶点A在y轴正半轴上，边BC在x轴上，点B（﹣1，0），C（1，0），将△ABC绕点C顺时针旋转90°得到△EDC，则点E的坐标是（　　） A．（3，1） B． C． D． 【变式3】如图，在△ABO中，AB⊥OB，，AB＝1，将△ABO绕O点旋转90°后得到△A1B1O，则点A1的坐标是（　　） A． B．或 C． D．或 题型08 旋转作图变换 【典例1】按要求在如图所示的网格中完成作图（网格图中每个小正方形的边长均为1个单位长度）． （1）将△ABC绕点A顺时针旋转180°，得到△AB1C1，作出△AB1C1； （2）将△ABC沿某直线翻折，点B的对应点是点B2，作出翻折后的△A2B2C2． 【变式1】如图，已知△ABC的顶点A，B，C在格点上，在网格中按下列要求作图： （1）将△ABC绕点C逆时针旋转90°得到△A1B1C1； （2）作出与△ABC关于点O成中心对称的△A2B2C2； （3）△ABC的面积为　 　 ． 【变式2】如图，在平面直角坐标系中，Rt△ABC的三个顶点分别是A（﹣3，2），B（0，4），C（0，2）． （1）作出△ABC以点C为对称中心的图形△A1B1C1； （2）平移△ABC，若点A对应点A2的坐标为（0，﹣4），画出平移后对应的△A2B2C2； （3）若将△A1B1C1绕某一点旋转可以得到△A2B2C2，请直接写出旋转中心的坐标． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$