第12讲 旋转图形的构造技巧-讲义2021-2022学年九年级数学人教版上册

第12讲 旋转图形的构造技巧 知识导航 若两条共顶点的等边(等腰三角形两腰)中，有一条边旁边有三角形时，可以将这个三角形旋转到另一等边处，构造全等三角形. 【板块一】利用角度构造旋转图形的技巧 方法技巧 1.遇等腰直角三角形或垂直且相等的边，常构造旋转90°的全等三角形;遇60°的等腰三角形常构造旋转60°的全等三角形;遇120°的等腰三角形常构造旋转120°的全等三角形; 2线段之间存在特殊的数量关系，如勾股数关系，倍关系，倍关系，结合图中等线段，可以构造旋转的全等三角形 题型一 利用45°或90°的角构造 【例1】如图，∠BAC＝90°，BD＝AE，AB＝CE，将△ABE绕点P逆时针旋转a得到△BFD (1)请在图中画出点P及△BFD; (2)求证:旋转角a＝90 (3)求∠CDF的度数 【解析】(1)略; (2)由旋转性质得PA＝PB，PE＝PD，又BD＝AE:△PBD≌△PAE，∴∠PAE＝∠PBA， 又PB＝PA，∴∠PBA＝∠PAB，∴∠PAB＝∠PAE， 又∠PAB＋∠PAE＝∠BAC＝90°，∠PAB＝∠PBA＝45°， ∴∠APB＝90°，α＝90; (3)连接CF，由△ABE≌△BFD，∠BFD＝∠DBE， 又∠DBE＋∠EBF＝90°，∴∠BFD＋∠EBF＝90°，即得DF⊥BE， 又EC∥BF，EC＝BF，可得四边形BFCE为平行四边形， ∴CF＝BE＝DF，且CF⊥DF，∴△DCF为等腰直角三角形，∴∠CDF＝45° 【例2】如图，△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点D，E在直线BC上，若∠DAE＝135°，BC＝CE，求的值 【解析】将△ABE绕点A逆时针旋转90°得△ACF，连接DF，则∠ACF＝∠ABE＝45° ∴FC⊥CD，再证△DAF≌△DAE，∴DF＝DE， 设BD＝1，BC＝CE＝x，则CF＝BE＝2x，DF＝DE＝2x＋1， 在Rt△DCF中，DF2＝DC2＋CF2;∴(2x＋1)2＝(x＋1)2＋(2x)2 ∴x＝2，CE＝2，CD＝3，∴ 题型二 利用60°或120°的角构造 【例3】如图，在等边△ABC中，AC＝7，点P在△ABC内部，且∠APC＝90°，∠BPC＝120°，求△APC 的面积 【解析】将△ABP绕A逆时针旋转60°得△ACQ，连接PQ由已知可求∠AQC＝∠APB＝150°， 又∠APQ＝∠AQP＝60°，∴∠PQC＝90°，∠CPQ＝30°， 设CQ＝x，则PC＝2x，AP＝PQ＝， Rt△APC中，∴x2＝7 ∴S△APC＝ 【例4】如图，在△ABC中，BC＝4，∠ABC＝60°，AB＝1，将边AC绕着点A逆时针旋转120°，得到 AD，连接BD，求BD的长 【解析】将AB绕点A顺时针旋转120°得AE，连EB，EC，易求∠EBA＝30°，∠EBC＝90°， 在△AEB中可求EB＝3，又BC＝4，∴ 由△EAC≌△BAD可得BD＝EC＝ 题型三 利用中点旋转构造 【例5】如图，∠BAC＝α，∠EDC＝180°－α，AB＝AC，DC＝DE，P为BE的中点 (1)如图1，点A，C，D共线，求∠PAC的大小(用含α的式子表示); (2)如图2，点A，C，D不共线，求证:AP⊥DP 【解析】(1)延长AP，DE交于点F，△ABP≌△FEP，∠DAF＝∠F＝; (2)倍长AP至点F，连接EF，DF.则△ABP≌△FEP，延长AC交EF于点M， 可证∠CDE＋∠AHE＝180°，∠DCH＋∠DEH＝180°，∴∠ACD＝∠DEF ∴△ACD≌△FED，△DPA≌△DPF ，∴∠APD＝∠DPF＝90°，∴AP⊥DP 【例6】已知四边形ABCD和四边形AEFG都是正方形 (1)如图1，点E，G分别在AB，AD上，连接CF，点H为CF的中点，EH与DH的位置关系是______，数量关系是_________ (2)如图2在图1的基础上，把正方形AEFG绕点A顺时针旋转角度a(a为锐角)，(1)中结论是否仍成立?若成立，请证明;若不成立，请说明理由 【解析】(1)垂直，相等.过点H作MN∥BC交AB于点M，交CD于点N. 易证EM＝HN，MH＝DN，∴△EMH≌△HND， ∴EH＝DH，∠EHM＝∠HDN，∴∠EHM＋∠DHN＝90°，∴∠EHD＝90°，∴EH⊥DH; (2)延长EH到点M，使HM＝EH，连接CM ∴△EFH≌△MCH，EF＝CM，EF∥CM，M∥MG， 延长MC交EA延长线于点P，∴∠EPC＝∠ADC＝90°，∴∠PAD＝∠DCP，∠EAD＝∠DCM 又∵AE＝CM，AD＝DC，∴△AED≌△CMD，∴DE＝DM，∠ADE＝∠CDM，∴∠FDM＝90° ∴△DEM是等腰直角三角形，∴EH＝DH，EH⊥DH 题型四 利用互补的角构造 【例7】在四边