专题23.1 图形的旋转（高效培优讲义）数学人教版九年级上册

专题23.1 图形的旋转 教学目标 1. 掌握旋转及其相关的定义，能够熟练判断生活中的旋转现象以及旋转三要素。 2. 掌握旋转的性质并能够熟练运用性质解决旋转的相关题目。 3. 掌握旋转作图的基本步骤并能够按照要求熟练的作图旋转的图形。 4. 掌握旋转对称图形并能够熟练的判断与自行设计。 教学重难点 1. 重点 （1）旋转及其旋转三要素； （2）旋转的性质及其应用； 2. 难点 （1）旋转的性质的应用； 知识点01 旋转及其相关定义 1. 旋转的概念： 在平面内，把一个图形绕着某一个点O按照顺时针或逆时针转动一定的角度叫做图形的 。点O叫做 ，转动的角度叫做 ，顺时针或逆时针叫做 。它们是旋转的三要素。 2. 旋转的相关概念： 如果图形上的点P经过旋转变为点P′，那么这两个点叫做 ，如果图形上的线段AB经过旋转变为点A′B′，那么这两条线段叫做 ，如果图形上的∠ABC经过旋转变为点∠A′B′C′，那么这两个角叫做 。 【即学即练1】 1．下列现象中，属于旋转的是（　　） A．在笔直公路上行驶的汽车 B．在空中直线上升的氢气球 C．风力发电机叶片的转动 D．传送带上物品位置的移动 【即学即练2】 2．如图，△BDE是等边△ABC绕着B点按逆时针方向旋转30°得到的，按图回答： （1）A、B、C的对应点是什么？ （2）线段AB、AC、BC的对应线段是什么？ （3）∠A、∠C和∠ABC的对应角是什么？ 知识点02 旋转的性质 1．旋转的性质，如图： ①旋转前后的两个图形 。即△ABC △DEF，所以对应边 ，对应角 。 ②对应点到旋转中心的距离 。即OB OE，OA OD，OC OF。所以旋转中心在对应点连线的垂直平分线上。 ③对应点与旋转中心的连线形成的夹角都 。等于 。即∠BOE ∠AOD ∠COF。 【即学即练1】 3．如图，将△ABC绕点C逆时针旋转，得到△CDE，若点A的对应点D恰好在线段AB上，且CD平分∠ACB，记线段BC与DE的交点为F．下列结论中，不正确的是（　　） A．CA＝CD B．△CDE≌△CDA C．∠BDF＝∠ACD D．DF＝EF 【即学即练2】 4．如图，将△ABC绕点C顺时针旋转，点B的对应点为点E，点A的对应点为点D，当点E恰好落在边AC上时，连接AD，若∠ACB＝30°，则∠DAC的度数是（　　） A．60° B．65° C．70° D．75° 【即学即练3】 5．如图，将△ABC绕点A顺时针旋转90°得到△ADE，点B，C的对应点分别为点D，E，连接CE，点D恰好落在线段CE上，若CD＝3，BC＝1，则AD的长为（　　） A． B． C．2 D． 知识点03 旋转作图 1. 旋转作图的步骤： ①确定旋转的三要素： ， ， 。 ②在原图中找到 ，做出图形关键点旋转后的 。 ③按照 连接各对应点。 【即学即练1】 6．如图，△ABC绕点O旋转后，顶点A的对应点为A′，试确定旋转后的三角形． 知识点04 利用旋转设计图案 1. 平面直角坐标系中的旋转： 若一个图形绕着平面直角坐标系原点旋转90°，则对应点之间的坐标关系为：原横坐标的绝对值变为 对应点的 ，原纵坐标的绝对值变成对应点的 。坐标符号看坐标所在象限。 简称横变纵，纵变横，符号看象限。 当在平面直角坐标系中绕着某点旋转180°时，可利用中点坐标公式求解坐标。 2. 旋转对称图形： 若一个图形绕着某点旋转一定的角度能够与原图形 ，这样的图形叫做旋转对称图形。 【即学即练1】 7．垃圾分类是对垃圾收集处置传统方式的改革，是对垃圾进行有效处置的一种科学管理方法．你认识垃圾分类的图标吗？请选出其中的旋转对称图形（　　） A．可回收物 B．有害垃圾 C．厨余垃圾 D．其他垃圾 【即学即练2】 8．观察如图所示的图形，绕着它的中心旋转120°后能与自身重合有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【即学即练3】 9．以原点为中心，将点P（4，5）按逆时针方向旋转90°，得到的点Q的坐标为（　　） A．（﹣4，5） B．（4，﹣5） C．（﹣5，4） D．（5，﹣4） 题型01 判断生活中的旋转现象 【典例1】下列生活现象中，可以看作是图形旋转的是（　　） A．钟表上的时针运动 B．升国旗的上升过程 C．月亮在水中形成的影子 D．电梯的升降 【变式1】下列车标图案中，可以看作由“基本图案”经过旋转得到的是（　　） A． B． C． D． 【变式2】下列说法中，正确的是（　　） A．“丽丽把教室的门打开”属于平移现象 B．“火箭冲向空中”属于旋转现象 C．“小明在荡秋千”属于旋转现象 D．“钟表的钟摆在摆动”属于平移现象 【变式3】联欢会上，数学李老师表演了一个魔术．她先把4张扑克牌按如图①方式放在桌子上，然后蒙住自己的眼睛，请一位同学上台，把其中一张扑克牌旋转180°．解除蒙具后，看到4张牌如图②所示．可以判断出被旋转过的牌是（　　） A．方块4 B．黑桃5 C．梅花6 D．红桃7 题型02 利用旋转解决角度问题 【典例1】如图，把△ABC绕点C顺时针旋转35°得到△A′B′C，点A、B的对应点分别为点A′、B′，A′B′交AC边于点D．若∠A′DC＝95°，则∠A的度数为（　　） A．40° B．45° C．50° D．55° 【变式1】如图，在菱形ABCD中，∠ABC＝80°，将线段BA绕点B顺时针旋转到对角线BD上得到线段BE，则∠AED＝（　　） A．120° B．110° C．100° D．90° 【变式2】在△ABC中，∠ACB＝120°，∠A＝m°，将△ABC绕点B逆时针旋转得到△A′BC′．如图，在△ABC旋转过程中，连接CC′，交AB于点D，当CC'∥A′B时，∠BDC为（　　） A．m° B．60°+2m° C．60°﹣m° D．120°﹣2m° 【变式3】如图，将△ABC绕点C顺时针方向旋转40°得△A′CB′，若AC⊥A′B′，则∠BAC等于（　　） A．50° B．60° C．70° D．80° 题型03 利用旋转解决线段问题 【典例1】如图，将△ABC绕点A顺时针旋转60°得到△AED，若AB＝7，AC＝5，BC＝3，则BE的长为（　　） A．7 B．5 C．4 D．3 【变式1】如图，将△ABC绕点C顺时针旋转90°得到△EDC．若点A，D，E在同一条直线上，AB＝2，AC＝4，则AD的长为（　　） A．4 B．6 C．4 D． 【变式2】如图，在正方形ABCD中，连接对角线BD，BE平分∠DBC，交DC于点E，将△BCE绕点C顺时针旋转90°得到△DCF．若CF＝1，则S△BDE＝（　　） A． B． C． D．．04 【变式3】如图，在等边△ABC中，BC＝4，P是AC边上的高BD上的一动点，连接CP，将线段CP绕点C顺时针旋转60°到CN，连接DN，则线段DN的最小值为（　　） A． B．1 C． D．2 【变式4】把边长为5的正方形ABCD绕点A顺时针旋转45°得到正方形AB′C′D′，边BC与D′C′交于点O，则四边形ABOD′的周长是（　　） A．10 B． C． D． 题型04 旋转作图及其坐标计算 【典例1】已知：如图，四边形ABCD及一点P． 求作：四边形A′B′C′D′，使得它是由四边形ABCD绕P点顺时针旋转150°得到的． 【变式1】在平面直角坐标系中，点A的坐标为（3，2），将线段OA绕着点O逆时针旋转90°得线段OA'，则点A′的坐标为（　　） A．（﹣3，2） B．（﹣2，3） C．（3，﹣2） D．（2，﹣3） 【变式2】如图．等边△ABC的顶点A在第一象限，边BC在x轴上，点B（1，0）、C（3，0），将△ABC绕点B逆时针旋转90°得到△EBD，则点E的坐标是（　　） A．（﹣1，1） B． C． D． 【变式3】如图，在平面直角坐标系中，有一Rt△ABC，且A（﹣1，3），B（﹣3，﹣1），C（﹣3，3），已知△A1AC1是由△ABC旋转得到的． （1）请写出旋转中心的坐标是　 　 ，旋转角是　 　 度； （2）以（1）中的旋转中心为中心，画出△A1AC1顺时针旋转90°的三角形． 【变式4】如图，在平面直角坐标系中，已知△ABC的三个顶点坐标分别是A（1，1），B（4，1），C（3，3）． （1）将△ABC向下平移5个单位后得到△A1B1C1，请画出△A1B1C1； （2）将△ABC绕原点O逆时针旋转90°后得到△A2B2C2，请画出△A2B2C2； （3）判断以O，A1，B为顶点的三角形的形状．（无需说明理由） 题型05 旋转对称图形及其旋转角 【典例1】下列图形中是旋转对称图形有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式1】将如图所示的图形绕其中心旋转某一角度后会与原图形重合，这个角度可以是（　　） A．60° B．90° C．120° D．180° 【变式2】如图是一个正五角星，将这个正五角星绕着它的中心旋转与自身重合，至少应旋转的度数为（　　） A．36° B．45° C．60° D．72° 1．下列选项中的运动，属于旋转变换的是（　　） A．钟表上的时针运动 B．升国旗的上升过程 C．月亮在水中产生的倒影 D．电梯的升降 2．打乒乓球作为一项广受欢理的体育运动，能有效提升个人的灵活性与反应速度，如图是一个打乒乓球的图标，该图标通过旋转可以得到图形（　　） A． B． C． D． 3．如图是一个三叶吊扇的图片，吊扇正常工作（运转）时，其叶片的转动可以看成是一个旋转运动，当第一个叶片转动到第二个叶片的位置时，它转过了（　　）度． A．300 B．240 C．120 D．60 4．如图，把菱形ABOC绕点O顺时针旋转得到菱形DFOE，则下列角中不是旋转角的为（　　） A．∠BOF B．∠AOD C．∠COE D．∠COF 5．如图，将△ABC沿射线BC的方向平移，得到△A'B'C'，再将△A'B'C'绕点A'逆时针旋转一定角度后，得到△A'CD，点B'的对应点为C，点C'的对应点为点D，则下列结论不一定正确的是（　　） A．A'D∥BC B．BB'＝CC' C．∠B'A'C＝∠C'A'D D．CA'平分∠BCD 6．如图，在等边△ABC中，AB＝6，点D是BC的中点，将△ABD绕点A逆时针旋转后得到△ACE，那么线段DE的长为（　　） A． B．6 C． D． 7．如图，在平面直角坐标系中，若将△OAB绕点O逆时针旋转90°，得到△OA′B′，那么B（6，2）的对应点B′的坐标是（　　） A．（﹣6，﹣2） B．（﹣2，﹣6） C．（﹣2，6） D．（2，6） 8．如图，教室里的水平地面有一个倒地的灰斗，BC与地面的夹角为55°，∠C＝26°32′，小明同学将它扶起（将灰斗绕点C逆时针旋转）后平放在地面上，AB的对应线段为A′B′，在这一过程当中，灰斗柄AB绕点C旋转了（　　） A．74°32′ B．89°68′ C．98°28′ D．64°32′ 9．如图，将矩形ABCD绕点A顺时针旋转到矩形AB′C′D′的位置，旋转角为α（0°＜α＜90°）．若∠1＝114°，则∠α的大小是（　　） A．68° B．20° C．24° D．22° 10．如图，已知△ABC中，∠CAB＝20°，∠ABC＝30°，将△ABC绕A点逆时针旋转50°得到△AB′C′，以下结论：①BC＝B′C′，②AC∥C′B′，③C′B′⊥BB′，④∠ABB′＝∠ACC′，正确的有（　　） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 11．在角、线段、等腰三角形、平行四边形、等腰梯形、五角星及圆中共 　 　 个旋转对称图形． 12．如图，在平面直角坐标系中，点B的坐标是（﹣3，2），OA＝1，将点B绕点A顺时针旋转90°得到点C，则点C的坐标是 　 ． 13．如图，在△ABC中，将AC绕点A旋转至AD，连接DC并延长至点E，使得CE＝CD，连接AE，若AB∥DE，∠DAE＝∠ACB，CE＝1，则AB＝　 　 ． 14．如图，正方形ABCD中，将线段AD绕点A顺时针旋转30°得到线段AE，CE的延长线交正方形ABCD的对角线BD于点F，则∠AEF的度数为　 　 ． 15．如图，在平面直角坐标系中，P是第一象限角平分线上的一点，且P点的横坐标为3．把一块三角板的直角顶点固定在点P处，将此三角板绕点P旋转，在旋转的过程中设一直角边与x轴交于点E，另一直角边与y轴交于点F，若△POE为等腰三角形，则点F的坐标为 　 　 ． 16．如图，△ABC中，∠B＝15°，∠ACB＝25°，AB＝4cm，点C是线段AD的中点，把△ABC按逆时针方向旋转一定角度后恰好与△ADE重合． （1）指出旋转中心，并求出旋转的度数； （2）求出∠BAE的度数和AE的长． 17．如图，在平面直角坐标系中，Rt△ABC的三个顶点分别是A（﹣3，2），B（0，4），C（0，2）． （1）将△ABC以点C为旋转中心旋转180°，画出旋转后对应的△A1B1C1，平移△ABC，对应点A2的坐标为（0，﹣4），画出平移后对应的△A2B2C2； （2）若将△A1B1C1绕某一点旋转可以得到△A2B2C2，请直接写出旋转中心的坐标． 18．如图，P是正三角形ABC内的一点，且PA＝6，PB＝8，PC＝10，若将△PAC绕点A逆时针旋转后得到△P′AB． （1）求点P与点P′之间的距离； （2）求∠APB的大小． 19．如图，在四边形ABCD中，AC，BD是对角线，△ABC是等边三角形．线段CD绕点C顺时针旋转60°得到线段CE，连接AE，DE． （1）求证：∠CBD＝∠CAE； （2）若∠ADC＝30°，AD＝3，BD＝5，求DE的长． 20．定义：如图1，在△ABC中，把AB绕点A顺时针旋转α（0°＜α＜180°）得到AB′，把AC绕点A逆时针旋转β得到AC′，连接B′C′．当α+β＝180°时，我们称是△A′B′C′，△ABC的“旋补三角形”，边B′C′上的中线AD叫做△ABC的“旋补中线”，点A叫做“旋补中心”． 特例感知：（1）在图2，图3中，是△ABC的“旋补三角形”，AD是△ABC的“旋补中线”． ①如图2，当△ABC为等边三角形时，AD与BC的数量关系AD＝ 　 　 BC； ②如图3，当∠BAC＝90°，BC＝8时，则AD长为 　 　 ． 猜想论证：（2）在图1中，当△ABC为任意三角形时，猜想AD与BC的数量关系，并给予证明． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题23.1 图形的旋转 教学目标 1. 掌握旋转及其相关的定义，能够熟练判断生活中的旋转现象以及旋转三要素。 2. 掌握旋转的性质并能够熟练运用性质解决旋转的相关题目。 3. 掌握旋转作图的基本步骤并能够按照要求熟练的作图旋转的图形。 4. 掌握旋转对称图形并能够熟练的判断与自行设计。 教学重难点 1. 重点 （1）旋转及其旋转三要素； （2）旋转的性质及其应用； 2. 难点 （1）旋转的性质的应用； 知识点01 旋转及其相关定义 1. 旋转的概念： 在平面内，把一个图形绕着某一个点O按照顺时针或逆时针转动一定的角度叫做图形的 旋转 。点O叫做 旋转中心 ，转动的角度叫做 旋转角 ，顺时针或逆时针叫做 旋转方向 。它们是旋转的三要素。 2. 旋转的相关概念： 如果图形上的点P经过旋转变为点P′，那么这两个点叫做 对应点 ，如果图形上的线段AB经过旋转变为点A′B′，那么这两条线段叫做 对应线段 ，如果图形上的∠ABC经过旋转变为点∠A′B′C′，那么这两个角叫做 对应角 。 【即学即练1】 1．下列现象中，属于旋转的是（　　） A．在笔直公路上行驶的汽车 B．在空中直线上升的氢气球 C．风力发电机叶片的转动 D．传送带上物品位置的移动 【答案】C 【解答】解：A．在笔直公路上行驶的汽车，是平移现象，故本选项不符合题意； B．在空中直线上升的氢气球，是平移现象，故本选项不符合题意； C．风力发电机叶片的转动，是旋转现象，故本选项符合题意； D．传送带上物品位置的移动，是平移现象，故本选项不符合题意． 故选：C． 【即学即练2】 2．如图，△BDE是等边△ABC绕着B点按逆时针方向旋转30°得到的，按图回答： （1）A、B、C的对应点是什么？ （2）线段AB、AC、BC的对应线段是什么？ （3）∠A、∠C和∠ABC的对应角是什么？ 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）∵△BDE是等边△ABC绕着B点按逆时针方向旋转30°得到的， ∴BA＝BD，BC＝BE， ∴A、B、C的对应点分别是点D、B、E； （2）∵△BDE是等边△ABC绕着B点按逆时针方向旋转30°得到的， ∴线段AB、AC、BC的对应线段分别为线段DB、DE、BE； （3）∵△BDE是等边△ABC绕着B点按逆时针方向旋转30°得到的， ∴∠A、∠C和∠ABC的对应角分别为∠D、∠E、∠DBE． 知识点02 旋转的性质 1．旋转的性质，如图： ①旋转前后的两个图形 全等 。即△ABC ≌ △DEF，所以对应边 相等 ，对应角 相等 。 ②对应点到旋转中心的距离 相等 。即OB = OE，OA = OD，OC = OF。所以旋转中心在对应点连线的垂直平分线上。 ③对应点与旋转中心的连线形成的夹角都 相等 。等于 旋转角 。即∠BOE = ∠AOD ＝ ∠COF。 【即学即练1】 3．如图，将△ABC绕点C逆时针旋转，得到△CDE，若点A的对应点D恰好在线段AB上，且CD平分∠ACB，记线段BC与DE的交点为F．下列结论中，不正确的是（　　） A．CA＝CD B．△CDE≌△CDA C．∠BDF＝∠ACD D．DF＝EF 【答案】B 【解答】解：∵点D是△ABC旋转后点A的对应点， 故CA＝CD，故A正确； 由旋转可知△CDE≌△CAB，但△CAB与△CAD并不全等，故B错误； 由旋转可知旋转角∠ACD＝∠BCE，对应角∠B＝∠E， 又CD平分∠ACB， ∴∠ACD＝∠DCF， ∴∠ACD＝∠DCF＝∠BCE． ∵∠B+∠BDF＝∠DFC，∠E+∠BCE＝∠DFC， ∴∠BDF＝∠BCE＝∠ACD， 故C正确； 在△ACD和△DCF中， ， ∴△ACD≌△DCF（ASA）， ∴AD＝DF， ∵D为AB中点， ∴AD， 又AB＝DE， ∴DF， 即F为DE中点， ∴DF＝EF， 故D正确； 故选：B． 【即学即练2】 4．如图，将△ABC绕点C顺时针旋转，点B的对应点为点E，点A的对应点为点D，当点E恰好落在边AC上时，连接AD，若∠ACB＝30°，则∠DAC的度数是（　　） A．60° B．65° C．70° D．75° 【答案】D 【解答】解：由题意知△ABC≌△DEC， 则∠ACB＝∠DCE＝30°，AC＝DC， ∴∠DAC75°， 故选：D． 【即学即练3】 5．如图，将△ABC绕点A顺时针旋转90°得到△ADE，点B，C的对应点分别为点D，E，连接CE，点D恰好落在线段CE上，若CD＝3，BC＝1，则AD的长为（　　） A． B． C．2 D． 【答案】A 【解答】解：如图，连接BD， ∵将△ABC绕点A顺时针旋转90°得到△ADE，点B，C的对应点分别为点D，E，连接CE，点D恰好落在线段CE上， ∴∠BCD＝90°，AB＝AD，∠BAD＝90°， 又CD＝3，BC＝1， ∴BD， ∴AD， 故选：A． 知识点03 旋转作图 1. 旋转作图的步骤： ①确定旋转的三要素： 旋转中心 ， 旋转方向 ， 旋转角 。 ②在原图中找到 关键点 ，做出图形关键点旋转后的 对应点 。 ③按照 原图形 连接各对应点。 【即学即练1】 6．如图，△ABC绕点O旋转后，顶点A的对应点为A′，试确定旋转后的三角形． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：如图所示： 知识点04 利用旋转设计图案 1. 平面直角坐标系中的旋转： 若一个图形绕着平面直角坐标系原点旋转90°，则对应点之间的坐标关系为：原横坐标的绝对值变为 对应点的 纵坐标的绝对值 ，原纵坐标的绝对值变成对应点的 横坐标的绝对值 。坐标符号看坐标所在象限。 简称横变纵，纵变横，符号看象限。 当在平面直角坐标系中绕着某点旋转180°时，可利用中点坐标公式求解坐标。 2. 旋转对称图形： 若一个图形绕着某点旋转一定的角度能够与原图形 完全重合 ，这样的图形叫做旋转对称图形。 【即学即练1】 7．垃圾分类是对垃圾收集处置传统方式的改革，是对垃圾进行有效处置的一种科学管理方法．你认识垃圾分类的图标吗？请选出其中的旋转对称图形（　　） A．可回收物 B．有害垃圾 C．厨余垃圾 D．其他垃圾 【答案】A 【解答】解：选项A的图形绕中心旋转120°后与原图重合，是旋转对称图形；选项B、C、D的图形不是旋转对称图形． 故选：A． 【即学即练2】 8．观察如图所示的图形，绕着它的中心旋转120°后能与自身重合有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【解答】解：①旋转120°后，图形可以与原来的位置重合，故正确； ②旋转120°后，图形无法与原来的位置重合，故错误； ③旋转120°后，图形无法与原来的位置重合，故错误； ④旋转120°后，图形与原来的位置重合，故正确． 故选：B． 【即学即练3】 9．以原点为中心，将点P（4，5）按逆时针方向旋转90°，得到的点Q的坐标为（　　） A．（﹣4，5） B．（4，﹣5） C．（﹣5，4） D．（5，﹣4） 【答案】C 【解答】解：如图所示，建立平面直角坐标系，点Q的坐标为（﹣5，4）． 故选：C． 题型01 判断生活中的旋转现象 【典例1】下列生活现象中，可以看作是图形旋转的是（　　） A．钟表上的时针运动 B．升国旗的上升过程 C．月亮在水中形成的影子 D．电梯的升降 【答案】A 【解答】解：A．钟表上的时针运动，可以看作图形的旋转现象，故本选项符合题意； B．升国旗的上升过程，可以看作图形的平移现象，故本选项不符合题意； C．月亮在水中形成的影子，可以看作轴对称现象，故本选项不符合题意； D．电梯的升降，可以看作图形的平移现象，故本选项不符合题意． 故选：A． 【变式1】下列车标图案中，可以看作由“基本图案”经过旋转得到的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解答】解：以上车标图案中，可以看作由“基本图案”经过旋转得到的是A． 故选：A． 【变式2】下列说法中，正确的是（　　） A．“丽丽把教室的门打开”属于平移现象 B．“火箭冲向空中”属于旋转现象 C．“小明在荡秋千”属于旋转现象 D．“钟表的钟摆在摆动”属于平移现象 【答案】C 【解答】解：A、“丽丽把教室的门打开”属于旋转现象，故A选项说法错误，不符合题意； B、“火箭冲向空中”属于平移、旋转现象，故B选项说法错误，不符合题意； C、“小明在荡秋千”属于旋转现象，故C选项说法正确，符合题意； D、“钟表的钟摆在摆动”属于旋转现象，故D说法错误，不符合题意． 故选：C． 【变式3】联欢会上，数学李老师表演了一个魔术．她先把4张扑克牌按如图①方式放在桌子上，然后蒙住自己的眼睛，请一位同学上台，把其中一张扑克牌旋转180°．解除蒙具后，看到4张牌如图②所示．可以判断出被旋转过的牌是（　　） A．方块4 B．黑桃5 C．梅花6 D．红桃7 【答案】A 【解答】解：因为牌中只有方块4是中心对称图形，所以旋转180度后，还是原来的样子． 故选：A． 题型02 利用旋转解决角度问题 【典例1】如图，把△ABC绕点C顺时针旋转35°得到△A′B′C，点A、B的对应点分别为点A′、B′，A′B′交AC边于点D．若∠A′DC＝95°，则∠A的度数为（　　） A．40° B．45° C．50° D．55° 【答案】C 【解答】解：∵△ABC绕点C顺时针旋转35°得到△A′B′C， ∴∠A＝∠A'，∠A'CA＝35°， ∴∠A'＝180°﹣∠A′DC﹣∠A'CD＝180°﹣95°﹣35°＝50°， ∴∠A＝50°． 故选：C． 【变式1】如图，在菱形ABCD中，∠ABC＝80°，将线段BA绕点B顺时针旋转到对角线BD上得到线段BE，则∠AED＝（　　） A．120° B．110° C．100° D．90° 【答案】B 【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，∠ABC＝80°， ∴∠ABE＝∠CBE∠ABC＝40°， ∵BA＝BE， ∴∠BAE＝∠BEA（180°﹣40°）＝70°， ∴∠AED＝180°﹣∠AEB＝110°， 故选：B． 【变式2】在△ABC中，∠ACB＝120°，∠A＝m°，将△ABC绕点B逆时针旋转得到△A′BC′．如图，在△ABC旋转过程中，连接CC′，交AB于点D，当CC'∥A′B时，∠BDC为（　　） A．m° B．60°+2m° C．60°﹣m° D．120°﹣2m° 【答案】B 【解答】解：∵∠ACB＝120°，∠A＝m°， ∴∠ABC＝60°﹣m°， ∵将△ABC绕点B逆时针旋转得到△A′BC′， ∴∠ABC＝∠A'BC'＝60°﹣m°，BC＝BC'， ∴∠BCC'＝∠BC'C， ∵CC'∥A′B， ∴∠A'BC'＝∠BC'C＝60°﹣m°， ∴∠BC'C＝60°﹣m°， ∴∠BDC＝180°﹣∠ABC﹣∠BC'C＝60°+2m°， 故选：B． 【变式3】如图，将△ABC绕点C顺时针方向旋转40°得△A′CB′，若AC⊥A′B′，则∠BAC等于（　　） A．50° B．60° C．70° D．80° 【答案】A 【解答】解：将△ABC绕点C顺时针方向旋转40°得△A’CB’， ∴∠A′CA＝40°， ∵AC⊥A′B′， ∴∠A′＝90°﹣40°＝50°， 由对应角相等，得∠BAC＝∠A′＝50°． 故选：A． 题型03 利用旋转解决线段问题 【典例1】如图，将△ABC绕点A顺时针旋转60°得到△AED，若AB＝7，AC＝5，BC＝3，则BE的长为（　　） A．7 B．5 C．4 D．3 【答案】A 【解答】解：将△ABC绕点A顺时针旋转60°得到△AED， 由题意可得：AE＝AB＝7，∠BAE＝60°， ∴△ABE为等边三角形， ∴BE＝AB＝7， 故选：A． 【变式1】如图，将△ABC绕点C顺时针旋转90°得到△EDC．若点A，D，E在同一条直线上，AB＝2，AC＝4，则AD的长为（　　） A．4 B．6 C．4 D． 【答案】D 【解答】解：∵将△ABC绕点C顺时针旋转90°得到△EDC， ∴∠ACE＝90°，AC＝CE＝4，AB＝DE＝2， ∴AE4， ∴AD＝AE﹣DE＝42， 故选：D． 【变式2】如图，在正方形ABCD中，连接对角线BD，BE平分∠DBC，交DC于点E，将△BCE绕点C顺时针旋转90°得到△DCF．若CF＝1，则S△BDE＝（　　） A． B． C． D．．04 【答案】B 【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，BD为正方形ABCD的对角线， ∴BC＝CD，∠CBD＝∠CDB＝45°，∠BCE＝90°， ∵BE平分∠DBC， ∴， 由旋转得CF＝CE＝1，∠CDF＝∠CBE＝22.5°，∠DCF＝90°， ∴∠F＝90°﹣∠CDF＝90°﹣22.5°＝67.5°， ∵∠BDF＝∠BDC+∠CDF＝45°+22.5°＝67.5°， ∴∠BDE＝∠F， ∴BD＝BF， 设BC＝CD＝x， 则，BF＝BC+CF＝x+1， ∴， 解得：， ∴， ∵CF＝CE＝1， ∴DE＝CD﹣CE， ∴1， 故选：B． 【变式3】如图，在等边△ABC中，BC＝4，P是AC边上的高BD上的一动点，连接CP，将线段CP绕点C顺时针旋转60°到CN，连接DN，则线段DN的最小值为（　　） A． B．1 C． D．2 【答案】B 【解答】解：如图，取BC的中点M，连接PM， ∵△ABC为等边三角形，BD为△ABC的高， ∴∠ACB＝60°，AC＝BC，点D为AC的中点， ∴CD＝CM2． 由旋转得，PC＝CN，∠PCN＝60°， ∴∠PCM+∠DCP＝∠NCD+∠DCP＝60°， ∴∠PCM＝∠NCD， ∴△NCD≌△PCM（SAS）， ∴PM＝DN． ∴当PM⊥BD时，PM取得最小值，即DN取得最小值， 此时∠BPM＝∠BDC＝90°， ∴PM∥AC， ∵点M为BC的中点， ∴PM1． ∴线段DN的最小值为1． 故选：B． 【变式4】把边长为5的正方形ABCD绕点A顺时针旋转45°得到正方形AB′C′D′，边BC与D′C′交于点O，则四边形ABOD′的周长是（　　） A．10 B． C． D． 【答案】D 【解答】解：连接AC′， ∵四边形AB'C'D'是正方形， ∴∠D'AC'＝45°， ∵旋转角∠BAB′＝45°，∠BAD′＝45°， ∴∠D'AC'＝∠D'AB＝45°， ∴B在对角线AC′上， ∵B′C′＝AB′＝5， 在Rt△AB′C′中，AC′5， ∴BC′＝55， 在等腰Rt△OBC′中，OB＝BC′＝55， 在Rt△OBC′中，OC′（55）＝10﹣5， ∴OD′＝5﹣OC′＝55， ∴四边形ABOD′的周长是：2AD′+OB+OD′＝10+55+55＝10， 故选：D． 题型04 旋转作图及其坐标计算 【典例1】已知：如图，四边形ABCD及一点P． 求作：四边形A′B′C′D′，使得它是由四边形ABCD绕P点顺时针旋转150°得到的． 【答案】见试题解答内容 【解答】解： 四边形A′B′C′D′就是所求的图形． 【变式1】在平面直角坐标系中，点A的坐标为（3，2），将线段OA绕着点O逆时针旋转90°得线段OA'，则点A′的坐标为（　　） A．（﹣3，2） B．（﹣2，3） C．（3，﹣2） D．（2，﹣3） 【答案】B 【解答】解：如图，过A作AB⊥x轴于点B，过A′作A′C⊥y轴于点C，则∠A′CO＝∠ABO＝90°， 由旋转性质可知，∠AOA′＝90°，AO＝A′O， ∴∠COA+∠A′OC＝90°， ∵∠AOB+∠COA＝90°， ∴∠AOB＝∠A′OC， ∴△A′CO≌△ABO（AAS）， ∴A′C＝AB，OC＝OB， ∵点A的坐标为（3，2）， ∴AB＝2，OB＝3， ∴A′C＝AB＝2，OC＝OB＝3， ∴点A′的坐标为（﹣2，3）， 故选：B． 【变式2】如图．等边△ABC的顶点A在第一象限，边BC在x轴上，点B（1，0）、C（3，0），将△ABC绕点B逆时针旋转90°得到△EBD，则点E的坐标是（　　） A．（﹣1，1） B． C． D． 【答案】D 【解答】解：过点E作EM⊥x轴于点M，如下图： ∵点B坐标为（1，0）、点C坐标为（3，0）， ∴OB＝1，OC＝3， ∴BC＝3﹣1＝2． ∵△ABC是等边三角形， ∴AB＝BC＝2． ∵将△ABC绕点B逆时针旋转90°得到△EBD， ∴∠ABE＝90°，BE＝AB＝2，∠ABC＝60°， ∴∠EBM＝180°﹣∠ABE﹣∠ABC＝180°﹣60°﹣90°＝30°， ∴， ∴， ∴． ∵E在第二象限， ∴E点坐标为（1，1）， 故选：D． 【变式3】如图，在平面直角坐标系中，有一Rt△ABC，且A（﹣1，3），B（﹣3，﹣1），C（﹣3，3），已知△A1AC1是由△ABC旋转得到的． （1）请写出旋转中心的坐标是　（0，0）　 ，旋转角是　90　 度； （2）以（1）中的旋转中心为中心，画出△A1AC1顺时针旋转90°的三角形． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）旋转中心的坐标是（0，0），旋转角是90°； （2）如图所示，△A1A2C2是△A1AC1以O为旋转中心，顺时针旋转90°的三角形， 【变式4】如图，在平面直角坐标系中，已知△ABC的三个顶点坐标分别是A（1，1），B（4，1），C（3，3）． （1）将△ABC向下平移5个单位后得到△A1B1C1，请画出△A1B1C1； （2）将△ABC绕原点O逆时针旋转90°后得到△A2B2C2，请画出△A2B2C2； （3）判断以O，A1，B为顶点的三角形的形状．（无需说明理由） 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）如图所示，△A1B1C1即为所求： （2）如图所示，△A2B2C2即为所求： （3）三角形的形状为等腰直角三角形，OB＝OA1，A1B， 即， 所以三角形的形状为等腰直角三角形． 题型05 旋转对称图形及其旋转角 【典例1】下列图形中是旋转对称图形有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【解答】解：将第一个图形绕中心点旋转72°的整数倍后，会与自身重合， 所以第一个图形符合题意． 将第二个图形绕中心点旋转90°的整数倍后，会与自身重合， 所以第二个图形符合题意． 将第三个图形绕中心点旋转360°的整数倍后，会与自身重合， 所以第三个图形符合题意． 将第四个图形绕中心点旋转60°的整数倍后，会与自身重合， 所以第四个图形符合题意． 故选：D． 【变式1】将如图所示的图形绕其中心旋转某一角度后会与原图形重合，这个角度可以是（　　） A．60° B．90° C．120° D．180° 【答案】C 【解答】解：这个角度可以是120°或120°的整数倍， 故选：C． 【变式2】如图是一个正五角星，将这个正五角星绕着它的中心旋转与自身重合，至少应旋转的度数为（　　） A．36° B．45° C．60° D．72° 【答案】D 【解答】解：72°， 因而一个正五角星绕着它的中心至少旋转72°能与自身重合． 故选：D． 1．下列选项中的运动，属于旋转变换的是（　　） A．钟表上的时针运动 B．升国旗的上升过程 C．月亮在水中产生的倒影 D．电梯的升降 【答案】A 【解答】解：A．钟表上的时针运动，属于旋转，故本选项符合题意； B．升国旗的上升过程，属于平移，不属于旋转，故本选项不符合题意； C．月亮在水中产生的倒影，不属于旋转，故本选项不符合题意； D．电电梯的升降，属于平移，不属于旋转，故本选项不符合题意； 故选：A． 2．打乒乓球作为一项广受欢理的体育运动，能有效提升个人的灵活性与反应速度，如图是一个打乒乓球的图标，该图标通过旋转可以得到图形（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【解答】解：通过旋转可以得到图形． 故选：D． 3．如图是一个三叶吊扇的图片，吊扇正常工作（运转）时，其叶片的转动可以看成是一个旋转运动，当第一个叶片转动到第二个叶片的位置时，它转过了（　　）度． A．300 B．240 C．120 D．60 【答案】C 【解答】解：它转过的度数为120°， 故选：C． 4．如图，把菱形ABOC绕点O顺时针旋转得到菱形DFOE，则下列角中不是旋转角的为（　　） A．∠BOF B．∠AOD C．∠COE D．∠COF 【答案】D 【解答】解：A、OB旋转后的对应边为OF，故∠BOF可以作为旋转角，故本选项错误； B、OA旋转后的对应边为OD，故∠AOD可以作为旋转角，故本选项错误； C、OC旋转后的对应边为OE，故∠COE可以作为旋转角，故本选项错误； D、OC旋转后的对应边为OE不是OF，故∠COF不可以作为旋转角，故本选项正确； 故选：D． 5．如图，将△ABC沿射线BC的方向平移，得到△A'B'C'，再将△A'B'C'绕点A'逆时针旋转一定角度后，得到△A'CD，点B'的对应点为C，点C'的对应点为点D，则下列结论不一定正确的是（　　） A．A'D∥BC B．BB'＝CC' C．∠B'A'C＝∠C'A'D D．CA'平分∠BCD 【答案】A 【解答】解：由旋转的性质可得，∠DA'C＝∠B'A'C，A'B'＝A'C， ∴∠A'B'C＝∠A'CB'， 又∵∠A'B'C与∠B'A'C'不一定相等， ∴∠DA'C与∠A'CB'不一定相等， ∴A'D与BC不一定平行，故A选项不一定正确，符合题意； 由平移的性质可得，BC＝B'C'， ∴BB'＝CC'，故B选项正确，不合题意； 由旋转的性质可得，∠B'A'C'＝∠CA'D， ∴∠B'A'C＝∠C'A'D，故C选项正确，不合题意； 由旋转的性质可得，∠A'CD＝∠A'B'C，A'B'＝A'C， ∴∠A'B'C＝∠A'CB'， ∴∠A'CD＝∠A'CB'， ∴CA'平分∠BCD，故D选项正确，不合题意； 故选：A． 6．如图，在等边△ABC中，AB＝6，点D是BC的中点，将△ABD绕点A逆时针旋转后得到△ACE，那么线段DE的长为（　　） A． B．6 C． D． 【答案】C 【解答】解：∵△ABC是等边三角形， ∴AB＝BC＝AC＝6，∠BAC＝60°， ∵BD＝DC＝3， ∴AD⊥BC， ∴AD3 ∵△ABD绕点A逆时针旋转后得到△ACE， ∴∠BAD＝∠CAE，AD＝AE， ∴∠DAE＝∠BAC＝60°， ∴△ADE是等边三角形， ∴DE＝AD＝3， 故选：C． 7．如图，在平面直角坐标系中，若将△OAB绕点O逆时针旋转90°，得到△OA′B′，那么B（6，2）的对应点B′的坐标是（　　） A．（﹣6，﹣2） B．（﹣2，﹣6） C．（﹣2，6） D．（2，6） 【答案】C 【解答】解：如图，过B作BC⊥OA于C，过B′作B′D⊥x轴于D， ∴∠BCO＝∠B′DO＝90°， ∴∠2+∠3＝90°， 由旋转的性质可知，∠B′OB＝90°，OB＝OB′， ∴∠1+∠2＝90°， ∴∠1＝∠3； 在△OB′D和△BOC中， ， ∴△OB′D≌△BOC（AAS）， ∴B′D＝OC，OD＝BC， 又∵B（6，2），即BC＝2，OC＝6， ∴B′D＝6，OD＝2， ∴B′（﹣2，6）． 故选：C． 8．如图，教室里的水平地面有一个倒地的灰斗，BC与地面的夹角为55°，∠C＝26°32′，小明同学将它扶起（将灰斗绕点C逆时针旋转）后平放在地面上，AB的对应线段为A′B′，在这一过程当中，灰斗柄AB绕点C旋转了（　　） A．74°32′ B．89°68′ C．98°28′ D．64°32′ 【答案】C 【解答】解：∵BC与地面的夹角为55°， ∴∠ACB＝55°， 如图， 由旋转的性质得∠B'CD'＝∠BCD， ∵∠C＝26°32′， ∴∠B'CD'＝26°32′， ∴∠BCB'＝180°﹣∠ACB﹣∠B'CD'＝180°﹣55°﹣26°32′＝98°28'， 即灰斗柄AB绕点C旋转了98°28'， 故选：C． 9．如图，将矩形ABCD绕点A顺时针旋转到矩形AB′C′D′的位置，旋转角为α（0°＜α＜90°）．若∠1＝114°，则∠α的大小是（　　） A．68° B．20° C．24° D．22° 【答案】C 【解答】解：∵矩形ABCD绕点A顺时针旋转到矩形AB′C′D′的位置， ∴∠ADC＝∠D'＝90°，∠DAD′＝α， ∵∠ABC＝90°， ∴∠BAD'＝180°﹣∠2， 又∵∠2＝∠1＝114°， ∴∠BAD'＝180°﹣114°＝66°， ∴∠DAD′＝∠BAD﹣∠BAD'＝90°﹣66°＝24°， 即α＝24°． 故选：C． 10．如图，已知△ABC中，∠CAB＝20°，∠ABC＝30°，将△ABC绕A点逆时针旋转50°得到△AB′C′，以下结论：①BC＝B′C′，②AC∥C′B′，③C′B′⊥BB′，④∠ABB′＝∠ACC′，正确的有（　　） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】B 【解答】解：①∵△ABC绕A点逆时针旋转50°得到△AB′C′， ∴BC＝B′C′，故①正确； ②∵△ABC绕A点逆时针旋转50°， ∴∠BAB′＝50°． ∵∠CAB＝20°， ∴∠B′AC＝∠BAB′﹣∠CAB＝30°． ∵∠AB′C′＝∠ABC＝30°， ∴∠AB′C′＝∠B′AC． ∴AC∥C′B′，故②正确； ③在△BAB′中， AB＝AB′，∠BAB′＝50°， ∴． ∴∠BB′C′＝∠AB′B+∠AB′C′＝65°+30°＝95°． ∴C′B′与BB′不垂直，故③不正确； ④在△ACC′中， AC＝AC′，∠CAC′＝50°， ∴∠ACC′（180°﹣50°）130°＝65°． ∴∠ABB′＝∠ACC′，故④正确． 综上所述，①②④这三个结论正确，所以只有选项B正确，符合题意． 故选：B． 11．在角、线段、等腰三角形、平行四边形、等腰梯形、五角星及圆中共 　4　 个旋转对称图形． 【答案】4． 【解答】解：在角、线段、等腰三角形、平行四边形、等腰梯形、五角星及圆只有五角星、圆、线段、平行四边形是旋转对称图形． 故答案为：4． 12．如图，在平面直角坐标系中，点B的坐标是（﹣3，2），OA＝1，将点B绕点A顺时针旋转90°得到点C，则点C的坐标是 　（3，4）　 ． 【答案】（3，4）． 【解答】解：如图，过点C作CD⊥x轴于点D，过点B作BE⊥x轴于点E，则∠ADC＝∠AEB＝90°， ∴∠BAE+∠ABE＝90°， 根据题意得：AC＝AB，∠BAC＝90°， ∴∠BAE+∠CAD＝90°， ∴∠ABE＝∠CAD， ∴△ABE≌△CAD， ∴AD＝BE，CD＝AE， ∵点B的坐标是（﹣3，2）， ∴OE＝3，AD＝BE＝2， ∵OA＝1， ∴OD＝3，CD＝AE＝4， ∴点C的坐标为（3，4）． 故答案为：（3，4）． 13．如图，在△ABC中，将AC绕点A旋转至AD，连接DC并延长至点E，使得CE＝CD，连接AE，若AB∥DE，∠DAE＝∠ACB，CE＝1，则AB＝　2　 ． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：∵将AC绕点A旋转至AD， ∴AC＝AD， ∴∠D＝∠ACD， 又∵AB∥DE， ∴∠BAC＝∠ACD＝∠D， 在△ABC与△DEA中， ， ∴△ABC≌△DEA（ASA）， ∴AB＝DE＝CD+CE＝2， 故答案为：2． 14．如图，正方形ABCD中，将线段AD绕点A顺时针旋转30°得到线段AE，CE的延长线交正方形ABCD的对角线BD于点F，则∠AEF的度数为　45°　 ． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：如图，连接BE， ∵四边形ABCD是正方形， ∴∠BAD＝∠ABC＝90°，BC＝AD＝AB， ∵将线段AD绕点A顺时针旋转30°得到线段AE， ∴∠DAE＝30°，AD＝AE， ∴AB＝AE，∠EAB＝90°﹣∠DAE＝60°， ∴△ABE是等边三角形， ∴AB＝BE，∠ABE＝∠AEB＝60°， ∴BE＝BC，∠CBE＝90°﹣∠ABE＝30°， ∴， ∴∠AEF＝180°﹣∠AEB﹣∠BEC＝45°． 故答案为：45°． 15．如图，在平面直角坐标系中，P是第一象限角平分线上的一点，且P点的横坐标为3．把一块三角板的直角顶点固定在点P处，将此三角板绕点P旋转，在旋转的过程中设一直角边与x轴交于点E，另一直角边与y轴交于点F，若△POE为等腰三角形，则点F的坐标为 　（0，0）或（0，3）或（0，6﹣3）或（0，6+3）　 ． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：△POE是等腰三角形的条件是：OP、PE、EO其中有两段相等，分情况讨论： ①当PE＝OE时，PE⊥x轴，则PF⊥y轴，则OF＝PE＝3，故F的坐标是（0，3）； ②当OP＝PE时，∠OPE＝90°＝∠FPE，则F与O重合，即点F坐标为（0，0）； ③当OP＝OE，点E在x轴正半轴上时，过P作PA⊥x轴，PB⊥y轴，易得△PAE≌△PBF， ∴BF＝AE＝OE﹣AO＝33， 此时，OF＝3﹣（33）＝6﹣3， 当点E在x轴负半轴上时，同理可得，BF＝AE＝OE+AO＝33， 此时，OF＝3+（33）＝6+3， ∴点F的坐标是：（0，6﹣3）或（0，6+3）． 故答案为：（0，0）或（0，3）或（0，6﹣3）或（0，6+3）． 16．如图，△ABC中，∠B＝15°，∠ACB＝25°，AB＝4cm，点C是线段AD的中点，把△ABC按逆时针方向旋转一定角度后恰好与△ADE重合． （1）指出旋转中心，并求出旋转的度数； （2）求出∠BAE的度数和AE的长． 【答案】（1）旋转中心是点A，旋转角度是140°； （2）∠BAE＝80°，AE＝2cm． 【解答】解：（1）∵△ABC逆时针旋转一定角度后与△ADE重合，A为顶点， ∴旋转中心是点A， 根据旋转的性质可知：∠CAE＝∠BAD＝180°﹣∠B﹣∠ACB＝140°， ∴旋转角度是140°； （2）由旋转可知：△ABC≌△ADE， ∴AB＝AD，AC＝AE，∠BAC＝∠EAD＝140°， ∴∠BAE＝360°﹣2∠BAC＝360°﹣140°×2＝80°， ∵C为AD中点， ∴AC＝AEAB4＝2cm． 17．如图，在平面直角坐标系中，Rt△ABC的三个顶点分别是A（﹣3，2），B（0，4），C（0，2）． （1）将△ABC以点C为旋转中心旋转180°，画出旋转后对应的△A1B1C1，平移△ABC，对应点A2的坐标为（0，﹣4），画出平移后对应的△A2B2C2； （2）若将△A1B1C1绕某一点旋转可以得到△A2B2C2，请直接写出旋转中心的坐标． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）如图所示：A1（3，2）、C1（0，2）、B1（0，0）；B2（3，﹣2）、C2（3，﹣4）． （2）将△A1B1C1绕某一点旋转可以得到△A2B2C2，旋转中心的P点坐标为（，﹣1）． 18．如图，P是正三角形ABC内的一点，且PA＝6，PB＝8，PC＝10，若将△PAC绕点A逆时针旋转后得到△P′AB． （1）求点P与点P′之间的距离； （2）求∠APB的大小． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）由旋转的性质知AP′＝AP＝6，∠P′AB＝∠PAC， ∴∠P′AP＝∠BAC＝60°， ∴△P′AP是等边三角形， ∴PP′＝6； （2）∵P′B＝PC＝10，PB＝8， ∴P′B2＝P′P2+PB2， ∴△P′PB为直角三角形，且∠P′PB＝90°， ∴∠APB＝∠P′PB+∠P′PA＝90°+60°＝150°． 19．如图，在四边形ABCD中，AC，BD是对角线，△ABC是等边三角形．线段CD绕点C顺时针旋转60°得到线段CE，连接AE，DE． （1）求证：∠CBD＝∠CAE； （2）若∠ADC＝30°，AD＝3，BD＝5，求DE的长． 【答案】（1）见解析过程； （2）4． 【解答】（1）证明：由旋转可知∠DCE＝60°，CD＝CE， ∵△ABC是等边三角形， ∴∠ACB＝60°，AC＝BC， ∴∠ACB＝∠DCE＝60°， ∴∠ACB+∠ACD＝∠DCE+∠ACD， ∴∠BCD＝∠ACE， 在△BCD和△ACE中， ， ∴△BCD≌△ACE（SAS）， ∴∠CBD＝∠CAE； （2）∵△BCD≌△ACE， ∴AE＝BD＝5， ∵∠DCE＝60°，CD＝CE， ∴△CDE是等边三角形， ∴∠CDE＝60°， 又∵∠ADC＝30°， ∴∠ADE＝∠ADC+∠CDE＝90°， 在Rt△ADE中，DE4． 20．定义：如图1，在△ABC中，把AB绕点A顺时针旋转α（0°＜α＜180°）得到AB′，把AC绕点A逆时针旋转β得到AC′，连接B′C′．当α+β＝180°时，我们称是△A′B′C′，△ABC的“旋补三角形”，边B′C′上的中线AD叫做△ABC的“旋补中线”，点A叫做“旋补中心”． 特例感知：（1）在图2，图3中，是△ABC的“旋补三角形”，AD是△ABC的“旋补中线”． ①如图2，当△ABC为等边三角形时，AD与BC的数量关系AD＝ 　　 BC； ②如图3，当∠BAC＝90°，BC＝8时，则AD长为 　4　 ． 猜想论证：（2）在图1中，当△ABC为任意三角形时，猜想AD与BC的数量关系，并给予证明． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）①∵△ABC是等边三角形， ∴AB＝AC＝BC，∠BAC＝60°， ∵△AB′C′是△ABC的“旋补三角形”， ∴∠B′AC′＝120°，AB＝AB′，AC＝AC′， ∴AB′＝AC′， ∴∠AB′D＝30°， ∴ADAB′， ∴ADBC， 故答案为：； ②∵△AB′C′是△ABC的“旋补三角形”， ∴∠B′AC′＝∠BAC＝90°，AB＝AB′，AC＝AC′， 在△AB′C′和△ABC中， ， ∴△AB′C′≌△ABC（SAS）， ∴B′C′＝BC＝8， ∵∠B′AC′＝90°，AD是△ABC的“旋补中线”， ∴ADB′C′＝4， 故答案为：4； （2）猜想ADBC． 证明：如图，延长AD至点E使得AD＝DE，连接B′E、C′E， ∵AD是△AB′C’的中线， ∴B′D＝C′D， ∵DE＝AD， ∴四边形AB′EC′是平行四边形， ∴B′E＝AC′，∠B′AC′+∠AB′E＝180°， ∵α+β＝180°， ∴∠B′AC′+∠BAC＝180°， ∴∠EB′A＝∠BAC， 在△EB′A和△CAB中， ， ∴△EB′A≌△CAB（SAS）， ∴AE＝BC， ∴ADBC． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$